108 年 國立成功大學資訊工程系碩士班《計算機數學》

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第 1 題15 分

Two eigenvectors of this circulant matrix C are (1,1,1,1)T(1, 1, 1, 1)^T and (1,i3,i,i9)T(1, i^3, i, i^9)^T. What are the eigenvalues λ0\lambda_0 and λ1\lambda_1?

C=[c0c1c2c3c3c0c1c2c2c3c0c1c1c2c3c0]C = \begin{bmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & c_0 & c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 & c_0 & c_1 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_0 \end{bmatrix}

and

[c0c1c2c3c3c0c1c2c2c3c0c1c1c2c3c0][1111]=λ0[1111]\begin{bmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & c_0 & c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 & c_0 & c_1 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \lambda_0 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

and

[c0c1c2c3c3c0c1c2c2c3c0c1c1c2c3c0][1i3ii9]=λ1[1i3ii9]\begin{bmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & c_0 & c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 & c_0 & c_1 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ i^3 \\ i \\ i^9 \end{bmatrix} = \lambda_1 \begin{bmatrix} 1 \\ i^3 \\ i \\ i^9 \end{bmatrix}
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原卷第 1 頁

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核心觀念

4×44\times4 循環矩陣的特徵向量可寫成

v=(1,r,r2,r3)T,r4=1.v=(1,r,r^2,r^3)^T,\qquad r^4=1.

其對應特徵值為第一列與 vv 的內積：

λ=c0+c1r+c2r2+c3r3.\lambda=c_0+c_1r+c_2r^2+c_3r^3.

附圖中第二個特徵向量的第三個分量為 i6i^6，因此以下依原卷內容作答。

解題方法

第一個特徵向量為

v0=(1,1,1,1)T.v_0=(1,1,1,1)^T.

計算第一個分量：

Cv0=[c0+c1+c2+c3c0+c1+c2+c3c0+c1+c2+c3c0+c1+c2+c3].Cv_0= \begin{bmatrix} c_0+c_1+c_2+c_3\\ c_0+c_1+c_2+c_3\\ c_0+c_1+c_2+c_3\\ c_0+c_1+c_2+c_3 \end{bmatrix}.

因此

λ0=c0+c1+c2+c3.\lambda_0=c_0+c_1+c_2+c_3.

第二個特徵向量為

v1=(1,i3,i6,i9)T.v_1=(1,i^3,i^6,i^9)^T.

令

r=i3.r=i^3.

因為

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第 2 題

Let

A=[2−100−12−100−12−100−12]A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}

(a) Compute the LULU factorization of AA. (10%)
(b) Explain why AA must be positive definite. (10%)

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核心觀念

本題考查兩個觀念：

  1. LULU 分解：將矩陣 AA 分解為下三角矩陣 LL 與上三角矩陣 UU 的乘積：
    A=LU.A=LU.

  2. 正定矩陣判定：對實對稱矩陣 AA，可利用下列等價條件判斷正定性：

    • 對所有非零向量 xx，有 xTAx>0x^T A x>0；
    • 所有順序主子矩陣的行列式皆為正（Sylvester 判準）；
    • 所有 LULU 分解中的主元素皆為正。

(a) LULU 分解

採用 Doolittle 分解，使 LL 的對角線元素皆為 11。設

L=[1000ℓ211000ℓ321000ℓ431],U=[u11u12000u22u23000u33u34000u44].L= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ \ell_{21}&1&0&0\\ 0&\ell_{32}&1&0\\ 0&0&\ell_{43}&1 \end{bmatrix}, \qquad U= \begin{bmatrix} u_{11}&u_{12}&0&0\\ 0&u_{22}&u_{23}&0\\ 0&0&u_{33}&u_{34}\\ 0&0&0&u_{44} \end{bmatrix}.

依照高斯消去法逐步計算：

第一步

第一個主元素為

u11=2,u12=−1.u_{11}=2,\qquad u_{12}=-1.

消去第二列第一欄，得到

ℓ21=−12.\ell_{21}=\frac{-1}{2}.

第二個主元素為

u22=2−ℓ21u12=2−(−12)(−1)=32.u_{22}=2-\ell_{21}u_{12} =2-\left(-\frac12\right)(-1) =\frac32.

且

u23=−1.u_{23}=-1.

第二步

消去第三列第二欄：

ℓ32=−1u22=−13/2=−23.\ell_{32}=\frac{-1}{u_{22}} =\frac{-1}{3/2} =-\frac23.

第三個主元素為

u33=2−ℓ32u23=2−(−23)(−1)=43.u_{33}=2-\ell_{32}u_{23} =2-\left(-\frac23\right)(-1) =\frac43.

且

u34=−1.u_{34}=-1.

第三步

消去第四列第三欄：

ℓ43=−1u33=−14/3=−34.\ell_{43}=\frac{-1}{u_{33}} =\frac{-1}{4/3} =-\frac34.

第四個主元素為

u44=2−ℓ43u34=2−(−34)(−1)=54.u_{44}=2-\ell_{43}u_{34} =2-\left(-\frac34\right)(-1) =\frac54.

因此

L=[1000−121000−231000−341],L= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ -\frac12&1&0&0\\ 0&-\frac23&1&0\\ 0&0&-\frac34&1 \end{bmatrix},

以及

U=[2−100032−100043−100054].U= \begin{bmatrix} 2&-1&0&0\\ 0&\frac32&-1&0\\ 0&0&\frac43&-1\\ 0&0&0&\frac54 \end{bmatrix}.

所以

A=[1000−121000−231000−341][2−100032−100043−100054].\boxed{ A= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ -\frac12&1&0&0\\ 0&-\frac23&1&0\\ 0&0&-\frac34&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&-1&0&0\\ 0&\frac32&-1&0\\ 0&0&\frac43&-1\\ 0&0&0&\frac54 \end{bmatrix} }.

(b) AA 為正定矩陣的原因

方法一：利用二次型直接證明

矩陣 AA 為對稱矩陣。對任意向量

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第 3 題

Let p(x)=−x3+cx2+(c+3)x+1p(x) = -x^3 + cx^2 + (c+3)x + 1, where cc is a real number. Let

C=[010001−1−(c+3)−c]C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -(c+3) & -c \end{bmatrix}

and let

A=[−12−c−31−1c+2−11−c−1]A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -c-3 \\ 1 & -1 & c+2 \\ -1 & 1 & -c-1 \end{bmatrix}

(a) Compute the A−1CAA^{-1}CA. (10%)
(b) Show that CC is the companion matrix of p(x)p(x) and use the result from part (a) to prove that p(x)p(x) will have only real roots regardless of the value of cc. (5%)

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核心觀念

本題考查三個重點：

  1. 相似矩陣的計算：若 B=A−1CAB=A^{-1}CA，則等價於計算
    CA=AB.CA=AB.
  2. 三階 companion matrix 與多項式特徵多項式的對應。
  3. 相似矩陣具有相同的特徵多項式與特徵值。

（a）計算 A−1CAA^{-1}CA

先注意到

det⁡A=−1≠0,\det A=-1\neq 0,

因此 A−1A^{-1} 存在。

令

B=A−1CA.B=A^{-1}CA.

直接計算 CACA：

CA=[1−1c+2−11−c−1−21−3c−3].CA= \begin{bmatrix} 1&-1&c+2\\ -1&1&-c-1\\ -2&1&-3c-3 \end{bmatrix}.

為避免直接求出 A−1A^{-1}，令 BB 的三個列向量分別為 b1,b2,b3b_1,b_2,b_3，逐一解

Abj=(CA)j.Ab_j=(CA)_j.

計算結果為

b1=[3c+2−3−3],b2=[−4c−122],b3=[4c2+7c+4−4c−3−4c−4].b_1= \begin{bmatrix} 3c+2\\ -3\\ -3 \end{bmatrix}, \qquad b_2= \begin{bmatrix} -4c-1\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}, \qquad b_3= \begin{bmatrix} 4c^2+7c+4\\ -4c-3\\ -4c-4 \end{bmatrix}.

因此

A−1CA=[3c+2−4c−14c2+7c+4−32−4c−3−32−4c−4].\boxed{ A^{-1}CA= \begin{bmatrix} 3c+2&-4c-1&4c^2+7c+4\\ -3&2&-4c-3\\ -3&2&-4c-4 \end{bmatrix} }.

快速驗算方式是將上式乘回 AA，應滿足

A(A−1CA)=CA.A(A^{-1}CA)=CA.

（b）Companion matrix 判定與題目中的符號問題

對於首項係數為 11 的三次多項式

r(x)=x3+a2x2+a1x+a0,r(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,

其 companion matrix 定義為

Cr=[010001−a0−a1−a2].C_r= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -a_0&-a_1&-a_2 \end{bmatrix}.

題目給出的矩陣為

C=[010001−1−(c+3)−c],C= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -1&-(c+3)&-c \end{bmatrix},

所以它所對應的多項式是

r(x)=x3+cx2+(c+3)x+1.r(x)=x^3+cx^2+(c+3)x+1.

事實上，

det⁡(xI−C)=det⁡[x−100x−11c+3x+c]\det(xI-C) = \det \begin{bmatrix} x&-1&0\\ 0&x&-1\\ 1&c+3&x+c \end{bmatrix} =x(x(x+c)+(c+3))+1=x\bigl(x(x+c)+(c+3)\bigr)+1 =x3+cx2+(c+3)x+1.=\boxed{x^3+cx^2+(c+3)x+1}.

然而題目給定的多項式為

p(x)=−x3+cx2+(c+3)x+1,p(x)=-x^3+cx^2+(c+3)x+1,
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第 4 題15 分

Consider the set S={a,b,c,d,e}S=\{a,b,c,d,e\}, and a logical matrix MM corresponding to a relation RR on the set SS is shown in the following.

M=[1010001000001001111101101]M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

(a) (5%) In order to check if there exists a partial ordering, which properties should you check?
(b) (5%) Draw the Hasse diagram of this order.
(c) (5%) Determine all pairs of incomparable elements.

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核心觀念

題目給出的邏輯矩陣採標準定義：

Mij=1⟺xiRxj,(x1,x2,x3,x4,x5)=(a,b,c,d,e)M_{ij}=1 \Longleftrightarrow x_iRx_j, \qquad (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(a,b,c,d,e)

要判斷關係 RR 是否為偏序（partial ordering），必須檢查三個性質：

  1. 反身性（reflexive）：對所有 x∈Sx\in S，皆有 xRxxRx。
  2. 反對稱性（antisymmetric）：若 xRyxRy 且 yRxyRx，則 x=yx=y。
  3. 遞移性（transitive）：若 xRyxRy 且 yRzyRz，則 xRzxRz。

矩陣中各列所代表的關係為：

a→{a,c},b→{b},c→{c},d→{a,b,c,d,e},e→{b,c,e}.\begin{aligned} a&\to \{a,c\},\\ b&\to \{b\},\\ c&\to \{c\},\\ d&\to \{a,b,c,d,e\},\\ e&\to \{b,c,e\}. \end{aligned}

(a) 判斷偏序所需檢查的性質

1. 反身性

檢查矩陣主對角線：

Maa=Mbb=Mcc=Mdd=Mee=1M_{aa}=M_{bb}=M_{cc}=M_{dd}=M_{ee}=1

因此：

aRa,bRb,cRc,dRd,eReaRa,\quad bRb,\quad cRc,\quad dRd,\quad eRe

所以 RR 具有反身性。

2. 反對稱性

檢查是否存在不同元素 x≠yx\ne y，同時滿足 xRyxRy 與 yRxyRx。

例如：

  • aRcaRc，但 cR̸ac\not Ra；
  • dRadRa，但 aR̸da\not Rd；
  • eRbeRb，但 bR̸eb\not Re；
  • eRceRc，但 cR̸ec\not Re。

矩陣中沒有任意兩個不同元素之間同時出現雙向關係，因此 RR 具有反對稱性。

3. 遞移性

由各元素的關係集合直接檢查：

  • aRaaRa、aRcaRc，而 aa 與 cc 的後繼關係均仍滿足結果在 {a,c}\{a,c\} 中；
  • bb 與 cc 只有自身關係，遞移性自然成立；
  • dd 與所有元素有關係，而每個元素的後繼元素都仍屬於 {a,b,c,d,e}\{a,b,c,d,e\}；
  • eRbeRb、eRceRc、eReeRe，且
    bRbbRb、cRccRc、eReeRe，因此所需的 eRbeRb、eRceRc、eReeRe 均成立。

所以 RR 具有遞移性。

因此，RR 同時具備反身性、反對稱性與遞移性，故 RR 是 SS 上的偏序關係。

(b) Hasse diagram

Hasse 圖只保留「覆蓋關係」，也就是 xRyxRy 且不存在不同於 x,yx,y 的元素 zz 使得 xRzxRz 且 zRyzRy。

逐一判斷可得覆蓋關係：

  • dRadRa，且中間沒有元素，所以 d≺ad\prec a；
  • dRedRe，且中間沒有元素，所以 d≺ed\prec e；
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第 5 題15 分

Solve the following recurrence equations for A(n)A(n), and B(n)B(n).

{A(n)=3A(n−1)+2B(n−1)B(n)=A(n−1)+B(n−1)\begin{cases} A(n) = 3A(n-1) + 2B(n-1) \\ B(n) = A(n-1) + B(n-1) \end{cases}

n≥1n \geq 1, A(0)=3A(0) = \sqrt{3}, B(0)=0B(0) = 0.

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核心觀念

本題是二階線性遞迴方程組，兩個數列彼此耦合。可將其寫成矩陣形式：

[A(n)B(n)]=[3211][A(n−1)B(n−1)].\begin{bmatrix} A(n)\\ B(n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A(n-1)\\ B(n-1) \end{bmatrix}.

核心方法是利用矩陣的特徵值，或將方程組消去其中一個數列，轉換成單一的二階線性遞迴。其特徵方程式的根會決定通解形式。

解題方法

令

M=[3211].M= \begin{bmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{bmatrix}.

原方程組為

[A(n)B(n)]=M[A(n−1)B(n−1)].\begin{bmatrix} A(n)\\ B(n) \end{bmatrix} =M \begin{bmatrix} A(n-1)\\ B(n-1) \end{bmatrix}.

矩陣 MM 的特徵方程式為

det⁡(M−λI)=∣3−λ211−λ∣=0.\det(M-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda&2\\ 1&1-\lambda \end{vmatrix} =0.

因此

(3−λ)(1−λ)−2=0,(3-\lambda)(1-\lambda)-2=0,

整理得

λ2−4λ+1=0.\lambda^2-4\lambda+1=0.

所以兩個特徵值為

λ1=2+3,λ2=2−3.\lambda_1=2+\sqrt{3},\qquad \lambda_2=2-\sqrt{3}.

記

r=2+3,s=2−3.r=2+\sqrt{3},\qquad s=2-\sqrt{3}.

由於矩陣的特徵值為 r,sr,s，因此 A(n)A(n) 與 B(n)B(n) 都滿足相同的二階遞迴：

X(n)=4X(n−1)−X(n−2).X(n)=4X(n-1)-X(n-2).

求 A(n)A(n)

先由初始條件計算：

A(0)=3,A(0)=\sqrt{3},

且

A(1)=3A(0)+2B(0)=33.A(1)=3A(0)+2B(0) =3\sqrt{3}.

因此設

A(n)=Crn+Dsn.A(n)=C r^n+D s^n.

代入 n=0n=0：

C+D=3.C+D=\sqrt{3}.

代入 n=1n=1：

Cr+Ds=33.Cr+Ds=3\sqrt{3}.

解此聯立方程式。由 r−s=23r-s=2\sqrt{3}，可得

C=33−3sr−s=3(3−s)23=1+32,C=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}s}{r-s} =\frac{\sqrt{3}(3-s)}{2\sqrt{3}} =\frac{1+\sqrt{3}}{2},

以及

D=3−C=3−12.D=\sqrt{3}-C =\frac{\sqrt{3}-1}{2}.

所以

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第 6 題20 分

Given the following figures (a) and (b). Assume the source node is aa and the sink node is ff. The label along the edge (or node) means the maximum capacity of the edge (or node).

(a) (10%) Find the maximum flow from the source to the sink. And what is the corresponding minimum cut in Fig. (a).
(b) (10%) Find the maximum flow from the source to the sink. And what is the corresponding minimum cut in Fig. (b)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
(a) Figure (a) shows a network with nodes a, b, c, d, e, f, j, i, h, g. Edges and their capacities are:
a->b (4), a->j (3)
b->c (6), b->e (4)
c->d (5)
d->f (10)
e->f (5)
j->i (4)
i->h (8)
h->g (7)
g->f (15)
node b capacity 15, node c capacity 20, node d capacity 15, node e capacity 10.

(b) Figure (b) shows a network with nodes a, b, c, d, e, f. Edges and their capacities are:
a->b (15), a->c (20)
b->d (15)
c->e (15)
d->f (10)
e->f (10)
node b capacity 15, node c capacity 20, node d capacity 15, node e capacity 10.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

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核心觀念

本題考查最大流與最小割定理。

  • 每條有向邊上的流量不可超過其容量。

  • 除源點 aa 與匯點 ff 外，每個節點必須滿足流量守恆。

  • 對任意割 (S,T)(S,T)，割容量為所有由 SS 指向 TT 的邊容量總和。

  • 最大流最小割定理：

    最大流量=最小割容量\text{最大流量}=\text{最小割容量}

圖 (b) 的節點括號數字是節點容量，表示通過該節點的總流量不可超過該容量。

(a) 圖 (a)

依原圖，重要邊容量為：

a→b:4,a→e:3,a→j:3,e→f:5,g→f:7a\to b:4,\quad a\to e:3,\quad a\to j:3,\quad e\to f:5,\quad g\to f:7

其中上方路徑為 a→b→c→d→e→fa\to b\to c\to d\to e\to f，下方路徑為 a→j→i→h→g→fa\to j\to i\to h\to g\to f。

解題方法

先找出一組可行流：

  1. 沿上方路徑輸送 44 單位：
    a→b→c→d→e→fa\to b\to c\to d\to e\to f

  2. 由 a→ea\to e 再輸送 11 單位：
    a→e→fa\to e\to f

    此時 e→fe\to f 的總流量為 4+1=54+1=5，恰好達到容量上限。

  3. 沿下方路徑輸送 33 單位：
    a→j→i→h→g→fa\to j\to i\to h\to g\to f

因此可行流量為

∣f∣=4+1+3=8|f|=4+1+3=8

各節點的流量守恆如下：

  • 節點 ee：流入 4+1=54+1=5，流出 55。
  • 節點 ii：流入 33，流出 33。
  • 節點 gg：流入 33，流出 33。

對應的最小割

取

S={a,b,c,d,e},T={j,i,h,g,f}S=\{a,b,c,d,e\},\qquad T=\{j,i,h,g,f\}

由 SS 指向 TT 的邊只有：

  • a→ja\to j，容量 33
  • e→fe\to f，容量 55

所以割容量為

c(S,T)=3+5=8c(S,T)=3+5=8

已知可行流量為 88，且存在容量為 88 的割，因此由最大流最小割定理：

圖 (a) 的最大流=8\boxed{\text{圖 (a) 的最大流}=8}

(b) 圖 (b)

圖中節點容量為

b(15),c(20),d(15),e(10)b(15),\quad c(20),\quad d(15),\quad e(10)

可利用兩條主要路徑：

a→b→d→fa\to b\to d\to f

以及

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第 一 題

Linear Algebra (50%)

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第 二 題

Discrete Mathematics (50%) (請說明如何求解過程,只寫答案不予計分)

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第 Problem 3 題

Let p(x)=−x3+cx2+(c+3)x+1p(x) = -x^3 + cx^2 + (c+3)x + 1, where cc is a real number. Let

C=[010001−1−(c+3)−c]C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -(c+3) & -c \end{bmatrix}

and let

A=[−12−c−31−1c+2−11−c−1]A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -c-3 \\ 1 & -1 & c+2 \\ -1 & 1 & -c-1 \end{bmatrix}

(a) Compute the A−1CAA^{-1}CA. (10%)
(b) Show that CC is the companion matrix of p(x)p(x) and use the result from part (a) to prove that p(x)p(x) will have only real roots regardless of the value of cc. (5%)

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核心觀念

本題考查三個重點：

  1. 相似矩陣的計算：若 B=A−1CAB=A^{-1}CA，則等價於計算
    CA=AB.CA=AB.
  2. 三階 companion matrix 與多項式特徵多項式的對應。
  3. 相似矩陣具有相同的特徵多項式與特徵值。

（a）計算 A−1CAA^{-1}CA

先注意到

det⁡A=−1≠0,\det A=-1\neq 0,

因此 A−1A^{-1} 存在。

令

B=A−1CA.B=A^{-1}CA.

直接計算 CACA：

CA=[1−1c+2−11−c−1−21−3c−3].CA= \begin{bmatrix} 1&-1&c+2\\ -1&1&-c-1\\ -2&1&-3c-3 \end{bmatrix}.

為避免直接求出 A−1A^{-1}，令 BB 的三個列向量分別為 b1,b2,b3b_1,b_2,b_3，逐一解

Abj=(CA)j.Ab_j=(CA)_j.

計算結果為

b1=[3c+2−3−3],b2=[−4c−122],b3=[4c2+7c+4−4c−3−4c−4].b_1= \begin{bmatrix} 3c+2\\ -3\\ -3 \end{bmatrix}, \qquad b_2= \begin{bmatrix} -4c-1\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}, \qquad b_3= \begin{bmatrix} 4c^2+7c+4\\ -4c-3\\ -4c-4 \end{bmatrix}.

因此

A−1CA=[3c+2−4c−14c2+7c+4−32−4c−3−32−4c−4].\boxed{ A^{-1}CA= \begin{bmatrix} 3c+2&-4c-1&4c^2+7c+4\\ -3&2&-4c-3\\ -3&2&-4c-4 \end{bmatrix} }.

快速驗算方式是將上式乘回 AA，應滿足

A(A−1CA)=CA.A(A^{-1}CA)=CA.

（b）Companion matrix 判定與題目中的符號問題

對於首項係數為 11 的三次多項式

r(x)=x3+a2x2+a1x+a0,r(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,

其 companion matrix 定義為

Cr=[010001−a0−a1−a2].C_r= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -a_0&-a_1&-a_2 \end{bmatrix}.

題目給出的矩陣為

C=[010001−1−(c+3)−c],C= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -1&-(c+3)&-c \end{bmatrix},

所以它所對應的多項式是

r(x)=x3+cx2+(c+3)x+1.r(x)=x^3+cx^2+(c+3)x+1.

事實上，

det⁡(xI−C)=det⁡[x−100x−11c+3x+c]\det(xI-C) = \det \begin{bmatrix} x&-1&0\\ 0&x&-1\\ 1&c+3&x+c \end{bmatrix} =x(x(x+c)+(c+3))+1=x\bigl(x(x+c)+(c+3)\bigr)+1 =x3+cx2+(c+3)x+1.=\boxed{x^3+cx^2+(c+3)x+1}.

然而題目給定的多項式為

p(x)=−x3+cx2+(c+3)x+1,p(x)=-x^3+cx^2+(c+3)x+1,
🔒

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