112 年 國立臺北大學資訊工程研究所《線性代數與離散數學》

核心觀念

本題考查線性代數中反矩陣（Inverse Matrix）的定義與可逆矩陣（Invertible Matrix）的基本性質。

1. 反矩陣定義：設 $A$ 為 $n \times n$ 的方陣，若存在同階方陣 $B$ 使得 $AB = BA = I$（其中 $I$ 為單位矩陣），則稱 $A$ 為可逆矩陣（Non-singular matrix），並將 $B$ 記作 $A^{-1}$。
2. 定義之恆等性：根據定義，只要矩陣 $A$ 為可逆矩陣（即行列式值 $\det(A) \neq 0$），等式 $AA^{-1} = I$ 便無條件恆成立。此等式為所有可逆矩陣皆具備的基本定義，而非用以約束矩陣 $A$ 必須為特定形式的特異方程式。

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解題方法

本題為是非判斷題，證明一般性全稱命題為假的最嚴密切入點為反例法（Counterexample Method）。

反例構建與驗證步驟：
只需舉出至少一個既不等於 $I$ 也不等於 $-I$ 的可逆矩陣 $A$，並驗證其滿足 $AA^{-1} = I$ 即可。

取 $2 \times 2$ 的對角矩陣 $A$：
$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

計算其行列式值 $\det(A) = 2 \times 3 - 0 \times 0 = 6 \neq 0$，確認 $A$ 為可逆矩陣。其反矩陣 $A^{-1}$ 為：
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

進行矩陣乘法驗證：

核心觀念

本題考查線性代數的核心定理：可逆矩陣定理（Invertible Matrix Theorem / Equivalent Conditions for Invertibility） 以及 列簡化梯形矩陣（Reduced Row Echelon Form, RREF） 的性質。

設 $A$ 為 $n \times n$ 的實數或複數方陣，下列條件彼此等價（If and only if）：

1. $A$ 為可逆矩陣（Invertible / Non-singular matrix）。
2. $A$ 的行列式值不為零，即 $\det(A) \neq 0$。
3. $A$ 的列簡化梯形矩陣為單位矩陣，即 $\text{RREF}(A) = I_n$。
4. $A$ 的秩（Rank）等於其階數，即 $\text{rank}(A) = n$（滿秩）。
5. 齊次線性方程組 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有唯一解（ trivial solution $\mathbf{x} = \mathbf{0}$）。

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解題方法

由於行列式 $\det(A)$ 僅定義於方陣（$n \times n$），故前提設定 $A$ 為 $n \times n$ 方陣。驗證本題的「若且唯若（$\iff$）」雙向推導如下：

1. 充分性推導（$\Rightarrow$）：若 $\det(A) \neq 0$，則 $\text{RREF}(A) = I_n$

• 因為 $\det(A) \neq 0$，依定義矩陣 $A$ 為可逆矩陣。
• 若 $A$ 可逆，則 $A$ 的 $n$ 個行向量（Column vectors）線性獨立，故 $\text{rank}(A) = n$。
• 對 $A$ 進行高斯—約當消去法（Gauss-Jordan Elimination）化簡至列簡化梯形矩陣 $\text{RREF}(A)$。由於 $\text{rank}(A) = n$，矩陣的每一行與每一列均包含一個主元（Pivot），且主元數值皆為 $1$，其餘位置均為 $0$。
• 滿足此結構的 $n \times n$ 矩陣即為單位矩陣 $I_n$，因此 $\text{RREF}(A) = I_n$。

2. 必要性推導（$\Leftarrow$）：若 $\text{RREF}(A) = I_n$，則 $\det(A) \neq 0$

• 若 $\text{RREF}(A) = I_n$，代表矩陣 $A$ 可透過有限次基本列運算（Elementary row operations）化簡為 $I_n$。

核心觀念

本題考查線性代數中**三角矩陣（Triangular Matrix）的行列式性質與奇異矩陣（Singular Matrix）**的定義。涉及的核心定理與定義如下：

1. 三角矩陣的行列式定理：
   設 $A = [a_{ij}]$ 為 $n \times n$ 的上三角（Upper Triangular）或下三角（Lower Triangular）矩陣，其行列式值等於主對角線（Main Diagonal）上所有元素的乘積：
   $\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}$

2. 奇異矩陣的定義：
   一 $n \times n$ 方陣 $A$ 為奇異矩陣（不可逆矩陣），當且僅當其行列式值為零：
   $A \text{ is singular} \iff \det(A) = 0$

3. 實數乘積為零的性質：
   對於實數或複數系中的元素，若干數相乘為零的充要條件為其中至少有一個數為零：
   $\prod_{i=1}^{n} a_{ii} = 0 \iff \exists \, i \in \{1, 2, \dots, n\} \text{ 使得 } a_{ii} = 0$

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解題方法

欲證明或推導本命題「三角矩陣 $A$ 為奇異矩陣當且僅當其主對角線至少有一個元素為零」，須利用**充要條件（If and Only If）**的雙向邏輯推導：

推導步驟：

1. 設 $A$ 為 $n \times n$ 的三角矩陣，由行列式性質可知：
   $\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$
2. 根據奇異矩陣的定義，$A$ 為奇異矩陣之充要條件為 $\det(A) = 0$：
   $A \text{ 為奇異矩陣} \iff \det(A) = 0$
3. 將行列式代入上式：
   $\det(A) = 0 \iff a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} = 0$
4. 依據代數基本性質，多個數之乘積為零，當且僅當其中至少有一個數為零：
   $a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} = 0 \iff \exists \, i \in \{1, 2, \dots, n\} \text{ 使得 } a_{ii} = 0$
5. 綜合上述雙向推導，即證得該命題成立。

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核心觀念

1. 列等價（Row Equivalence）之定義：
   若兩增廣矩陣 $[A|b]$ 與 $[B|c]$ 為列等價，代表 $[A|b]$ 可透過有限次「初等列運算（Elementary Row Operations, EROs）」轉換為 $[B|c]$。這等價於存在一個可逆矩陣 $E$（即若干初等矩陣之積），使得：
   $E [A|b] = [B|c] \implies EA = B \quad \text{且} \quad Eb = c$

2. 初等列運算對行列式（Determinant）的影響：

   • 列對調（Row Swap）：行列式值變號（乘以 $-1$）。
   • 列倍加（Row Addition）：行列式值保持不變（乘以 $1$）。
   • 列倍乘（Row Scaling）：將某一列乘以非零常數 $k$，行列式值亦隨之乘以 $k$。

3. 矩陣積之行列式性質：
   由 $\det(B) = \det(EA) = \det(E) \det(A)$ 可知，$\det(B)$ 是否等於 $\det(A)$ 完全取決於初等矩陣積的行列式值 $\det(E)$ 是否為 $1$。

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解題方法

本題為是非判斷題。證明一個數學命題為假（False）的最嚴謹方法為構造「反例（Counterexample）」。

1. 理論推導

若增廣矩陣 $[A|b]$ 與 $[B|c]$ 列等價，則存在可逆矩陣 $E$ 使得 $B = EA$。
根據行列式的積性質：
$\det(B) = \det(E) \cdot \det(A)$
由於初等列運算包含「列倍乘」（乘以非零實數 $k \neq 1$）與「列對調」（乘以 $-1$），因此 $\det(E)$ 的值可以是任意非零實數，並不保證 $\det(E) = 1$。當 $\det(E) \neq 1$ 且 $\det(A) \neq 0$ 時，$\det(A) \neq \det(B)$。

2. 反例構造

取 $2 \times 2$ 方陣 $A$ 與 $2 \times 1$ 行向量 $b$：
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
此時增廣矩陣為：

核心觀念

1. 子空間（Subspace）的嚴格定義：
   設 $V$ 為一向量空間，$W$ 為 $V$ 的子集。若 $W$ 在 $V$ 所定義的向量加法與純量乘法下亦構成向量空間，則稱 $W$ 為 $V$ 的子空間（記作 $W \le V$）。
   要滿足 $W$ 為 $V$ 的子空間，首要前提條件是 $W$ 必須是 $V$ 的子集合（即 $W \subseteq V$）。

2. 向量空間 $\mathbb{R}^n$ 的元素結構：
   $\mathbb{R}^n$ 是由所有 $n$ 維實數有序數組（$n$-tuples）所組成的集合：
   $\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in \mathbb{R}, \forall i = 1, 2, \dots, n\}$

3. 集合包含（Subset）與同構（Isomorphism）的判別：
   子空間要求嚴格的「子集包含關係」（$\subseteq$），而非僅是結構上的「同構關係」（$\cong$）。

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解題方法

本題的切入點在於檢查 $\mathbb{R}^3$ 與 $\mathbb{R}^5$ 兩集合之間是否滿足子集合定義（$W \subseteq V$）：

1. 比較元素長度與結構：

   • $\mathbb{R}^3$ 中的元素為 3 元數組：
     $\mathbf{u} = (x_1, x_2, x_3), \quad x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}$
   • $\mathbb{R}^5$ 中的元素為 5 元數組：
     $\mathbf{v} = (y_1, y_2, y_3, y_4, y_5), \quad y_1, y_2, y_3, y_4, y_5 \in \mathbb{R}$

2. 驗證包含關係：
   由於一個 3 元數組 $(x_1, x_2, x_3)$ 與一個 5 元數組 $(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5)$ 的資料維度與數學結構不同，3 元數組並不是 5 元數組的一種特例。因此：

核心觀念

本題考查線性代數中**矩陣的秩（Rank）**之兩項重要基本性質：

1. 非零純量乘法不改變矩陣的秩：對於任意 $m \times n$ 矩陣 $A$ 與任意非零純量 $c \neq 0$，純量倍數矩陣 $cA$ 的秩與原矩陣相同，即：
   $\text{rank}(cA) = \text{rank}(A)$
2. 矩陣轉置不改變矩陣的秩：矩陣的行秩（Column rank）必定等於列秩（Row rank），因此矩陣轉置後的秩與原矩陣相同，即：
   $\text{rank}(A^T) = \text{rank}(A)$

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解題方法

採用定理推導法，逐步分析矩陣 $2A$ 與 $3A^T$ 的秩：

1. 分析矩陣 $2A$ 的秩：
   因為純量 $2 \neq 0$，對矩陣 $A$ 乘以非零純量不會改變其線性獨立的列向量或行向量個數，故：
   $\text{rank}(2A) = \text{rank}(A)$

2. 分析矩陣 $3A^T$ 的秩：
   同理，因為純量 $3 \neq 0$，對轉置矩陣 $A^T$ 乘以非零純量亦不改變其秩：
   $\text{rank}(3A^T) = \text{rank}(A^T)$

3. 結合轉置矩陣性質：
   根據線性代數基本定理，任意矩陣 $A$ 的轉置矩陣 $A^T$ 之秩必定等於 $A$ 的秩：
   $\text{rank}(A^T) = \text{rank}(A)$

4. 綜合串連比較：
   將上述各等式串聯可得：

核心觀念

本題考查線性代數中齊次與非齊次線性系統解的結構、**矩陣零空間（Null Space）與行向量線性獨立（Linearly Independent）**之間的等價關係。

關鍵定理與定義：

1. 線性獨立的定義：矩陣 $A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ 的行向量（Column vectors）線性獨立，若且唯若齊次方程組 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有唯一解（即零解 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$）。此時矩陣的零空間為零子空間，即 $\text{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}$。
2. 非齊次系統解的結構：若非齊次系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 存在特解 $\mathbf{x}_p$，則其通解（General solution）可表示為 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$，其中 $\mathbf{x}_h \in \text{Null}(A)$ 為對應齊次系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解。

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解題方法

本題命題為「雙向蘊涵（If and only if, $\iff$）」，需分別證明與推導「必要性（$\Rightarrow$）」與「充分性（$\Leftarrow$）」：

1. 必要性推導（$\Rightarrow$）：已知「對任意 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 至多有一解」，證明「$A$ 的行向量線性獨立」

• 取常數項向量為零向量，即 $\mathbf{b} = \mathbf{0} \in \mathbb{R}^m$。
• 齊次系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 必定存在零解 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$（此解稱為無煞解/ trivial solution）。
• 依已知條件，$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解數「至多為一」，故零解 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 必須是 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的唯一解。
• 依據線性獨立定義，$x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \dots + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$ 僅有 $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$ 的唯一解，因此 $A$ 的行向量必定線性獨立。

2. 充分性推導（$\Leftarrow$）：已知「$A$ 的行向量線性獨立」，證明「對任意 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 至多有一解」

• 因為 $A$ 的行向量線性獨立，故 $\text{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}$。
• 對於任意給定的 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，討論 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解數：
  • 情況 A（無解）：若 $\mathbf{b} \notin \text{Col}(A)$（行空間），則 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有 $0$ 個解。

核心觀念

• 單射（One-to-One / Injective）的定義：對於映射 $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，若對任意定義域內的向量 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in \mathbb{R}^n$，滿足 $L(\mathbf{x}_1) = L(\mathbf{x}_2) \implies \mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2$，則稱 $L$ 為單射（一對一）線性轉換。
• 線性轉換為單射的充要條件：設 $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 為線性轉換，$L$ 為單射的充要條件（$\iff$）包含以下等價敘述：
  1. $\ker(L) = \{\mathbf{0}\}$（核空間 / 零空間僅包含零向量）。
  2. $\text{nullity}(L) = 0$（零化度為 0）。
  3. 若 $A_{m \times n}$ 為 $L$ 的標準矩陣（Standard Matrix），則 $A$ 的直行向量組（Column Vectors）為線性獨立（Linearly Independent），即 $\text{rank}(A) = n$。
• 一般線性轉換的性質：一般的線性轉換不一定具備單射性質。若題目未額外限定 $L$ 為單射，則無法保證 $L(\mathbf{x}_1) = L(\mathbf{x}_2) \implies \mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2$ 成立。

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解題方法

本題為是非判斷題。題幹命題為全稱敘述：「對任意線性轉換 $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，若 $L(\mathbf{x}_1) = L(\mathbf{x}_2)$，則必有 $\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2$」。

1. 代數推導與條件分析：
   利用線性轉換的線性性質（加法與純量乘法封閉性）：
   $L(\mathbf{x}_1) = L(\mathbf{x}_2) \iff L(\mathbf{x}_1) - L(\mathbf{x}_2) = \mathbf{0} \iff L(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) = \mathbf{0}$
   由上式可知，$\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2 \in \ker(L)$。
   若要保證 $\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2$（即 $\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2 = \mathbf{0}$），必須限制 $\ker(L)$ 內只能包含零向量 $\mathbf{0}$。

2. 反例構造：
   只要線性轉換 $L$ 的零空間存在非零向量 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$（即 $\text{nullity}(L) > 0$），即可找到反例。

核心觀念

本題考驗**矩陣相似（Matrix Similarity）**的定義與性質判斷。

1. 相似矩陣的定義：
   設 $A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}$ 為同階方陣，若存在一個可逆矩陣 $P$ 使得 $B = P^{-1} A P$，則稱 $A$ 與 $B$ 相似（記作 $A \sim B$）。
2. 相似不變量（Similarity Invariants）：
   若兩矩陣相似，則兩者必然擁有相同的：
   • 跡數（Trace）：$\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B)$
   • 行列式值（Determinant）：$\det(A) = \det(B)$
   • 階數（Rank）：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$
   • 特徵多項式（Characteristic Polynomial）與特徵值（Eigenvalues）
   • 最小多項式（Minimal Polynomial）
   • 約當標準式（Jordan Canonical Form）
3. 對角線相同的本質：
   兩矩陣具有相同的對角線元素（Same diagonal），代表其主對角線（Main diagonal）對應位置的元素完全相同。這僅能保證兩矩陣的「跡數（Trace）」相等，無法保證行列式值、特徵值或約當結構相同。

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解題方法

本題為是非判斷題（Statement Evaluation）。要證明全稱命題「任何對角線相同的矩陣皆相似」不成立，只需舉出一個**反例（Counterexample）**即可。

構造反例的方向有以下兩種：

1. 利用行列式值不同：尋找主對角線相同、但非對角線元素不同導致行列式值不同的矩陣。
2. 利用約當結構與最小多項式不同：尋找主對角線相同、特徵值相同，但幾何重複數（不可對角化程度）不同的矩陣。

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題目分析

本敘述為錯誤（False）。

反例推導與驗證：

• 反例 1（行列式值與特徵值不同）：
  考慮兩個 $2 \times 2$ 矩陣：

核心觀念

本題考查線性代數中的 線性變換（Linear Transformation） 性質以及 核空間（Kernel / Null Space） 的基本定義：

1. 線性變換的線性性質（Linearity）：
   設 $L: V \to V$ 為一線性變換，對任意向量 $u, v \in V$ 及純量 $c$，皆滿足：

   • 加法保持性：$L(u + v) = L(u) + L(v)$
   • 係數積保持性：$L(c v) = c L(v)$
     綜合可得線性組合性質：$L(c_1 v_1 + c_2 v_2) = c_1 L(v_1) + c_2 L(v_2)$。

2. 核空間（Kernel）的定義：
   線性變換 $L: V \to V$ 的核空間定義為映射後會變為零向量 $\mathbf{0}_V$ 的所有向量集合：
   $\ker(L) = \{ v \in V \mid L(v) = \mathbf{0}_V \}$

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解題方法

要驗證向量 $(v_1 - 2v_2)$ 是否屬於 $\ker(L)$，只需依據核空間定義，計算 $L(v_1 - 2v_2)$ 並檢驗其結果是否為零向量 $\mathbf{0}_V$：

1. 套用線性變換之線性疊加性質：
   將 $L$ 作用於向量 $(v_1 - 2v_2)$：
   $L(v_1 - 2v_2) = L(v_1) - L(2v_2)$

核心觀念

本題考查線性代數中矩陣秩與虛無度定理（Rank-Nullity Theorem）、轉置矩陣之秩的性質，以及對稱矩陣 $A A^T$ 與 $A^T A$ 的維度差異。關鍵觀念包含：

1. 矩陣秩的相等性質：對於任意實數矩陣 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，恆有：
   $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T) = \text{rank}(A^T A) = \text{rank}(A A^T) = r$
2. 秩與虛無度定理 (Rank-Nullity Theorem)：
   對於矩陣 $M \in \mathbb{R}^{p \times q}$，其零空間維度（nullity）與秩（rank）滿足：
   $\text{nullity}(M) = q - \text{rank}(M)$
   其中 $q$ 為矩陣 $M$ 的行數（列數／Column 數）。
3. 矩陣維度差異：
   • $A A^T$ 為 $m \times m$ 的正方陣，其 $\text{nullity}(A A^T) = m - \text{rank}(A A^T) = m - r$。
   • $A^T A$ 為 $n \times n$ 的正方陣，其 $\text{nullity}(A^T A) = n - \text{rank}(A^T A) = n - r$。

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解題方法

步驟一：分析兩矩陣的維度與 Rank

設 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，且 $\text{rank}(A) = r$。
根據實數矩陣的基本性質，矩陣乘積 $A A^T$ 與 $A^T A$ 的秩皆等於 $A$ 的秩：
$\text{rank}(A A^T) = \text{rank}(A) = r$
$\text{rank}(A^T A) = \text{rank}(A) = r$

步驟二：套用 Rank-Nullity Theorem 計算 Nullity

1. 矩陣 $A A^T$ 的大小為 $m \times m$（總共有 $m$ 行），由 Rank-Nullity Theorem 可得：
   $\text{nullity}(A A^T) = m - \text{rank}(A A^T) = m - r$
2. 矩陣 $A^T A$ 的大小為 $n \times n$（總共有 $n$ 行），由 Rank-Nullity Theorem 可得：
   $\text{nullity}(A^T A) = n - \text{rank}(A^T A) = n - r$

步驟三：比較兩者的 Nullity

若要使得 $\text{nullity}(A A^T) = \text{nullity}(A^T A)$，必須滿足：
$m - r = n - r \iff m = n$
當 $m \neq n$（即 $A$ 為非正方矩陣）時，$m - r \neq n - r$，故 $\text{nullity}(A A^T) \neq \text{nullity}(A^T A)$。

因此，題目敘述在一般狀況下（$m \neq n$ 時）並不成立。

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選項與敘述分析

核心觀念

本題旨在考驗**正交矩陣（Orthogonal Matrix）與行列式（Determinant）**的基本定義及代數性質：

1. 正交矩陣定義：若方陣 $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 為正交矩陣，則其滿足 $Q^T Q = Q Q^T = I$（其中 $I$ 為單位矩陣，$Q^T$ 為 $Q$ 的轉置矩陣）。
2. 行列式運算性質：
   • 轉置性質：矩陣轉置後其行列式保持不變，即 $|A^T| = |A|$（或寫作 $\det(A^T) = \det(A)$）。
   • 乘法性質：兩矩陣相乘之行列式等於個別行列式之積，即 $|AB| = |A||B|$。
   • 單位矩陣行列式：$|I| = 1$。
3. 符號慣例：在線性代數試題中，$|A|$ 代表矩陣 $A$ 之行列式（$\det(A)$）。

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解題方法

由正交矩陣的定義出發，透過行列式的代數運算性質進行推導與判斷：

1. 一般性代數推導：
   因為 $Q$ 為正交矩陣，故：
   $Q^T Q = I$
   對等式兩端同時取行列式：
   $|Q^T Q| = |I|$
   根據行列式的積性與單位矩陣性質展開：
   $|Q^T| \cdot |Q| = 1$
   又因為轉置矩陣的行列式等於原矩陣行列式，即 $|Q| = |Q^T|$，代入上式可得：
   $(|Q^T|)^2 = 1 \implies |Q^T| = \pm 1$
   推導顯示，正交矩陣轉置後的行列式 $|Q^T|$ 可能為 $+1$ 或 $-1$，並不保證「恆等於 $1$」。

2. 舉反例（Counterexample）驗證：
   只要能找到一個正交矩陣使 $|Q^T| = -1$，即可證明題幹敘述不恆成立。
   取 2 階鏡射矩陣（Reflection Matrix）：
   $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

   • 驗證正交性：

核心觀念

本題的核心在於檢驗柯西－施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）的等號成立條件，以及單位向量與線性獨立／線性相依的定義。

1. 柯西－施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
   對於實內積空間 $\mathbb{R}^n$ 中的任意向量 $x, y$，均滿足：
   $|x^T y| \le \|x\| \|y\|$
   其中等號 $|x^T y| = \|x\| \|y\|$ 成立的充要條件為：$x$ 與 $y$ 線性相依（Linearly Dependent）。

2. 單位向量（Unit Vector）
   若 $x, y$ 為單位向量，則其長度（範數）定義為 $\|x\| = 1$ 且 $\|y\| = 1$。

3. 兩向量之線性相關性判別
   在非零向量的前提下，兩向量 $\{x, y\}$ 為線性相依，當且僅當其中一向量為另一向量的純量倍（即 $y = c x$，$c \neq 0$）；反之，若無法以純量倍表示，則為線性獨立。

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解題方法

題目給定 $x, y \in \mathbb{R}^n$ 為單位向量（即 $\|x\| = 1, \|y\| = 1$），且滿足 $|x^T y| = 1$。

推導步驟如下：

1. 將長度帶入內積絕對值：
   $|x^T y| = 1 = 1 \cdot 1 = \|x\| \|y\|$
2. 根據柯西－施瓦茨不等式：
   $|x^T y| = \|x\| \|y\| \iff x \text{ 與 } y \text{ 線性相依}$
3. 由等號成立條件可知，存在非零實數 $c$ 使得 $y = c x$。
4. 取兩邊範數：
   $\|y\| = |c| \|x\| \implies 1 = |c| \cdot 1 \implies c = \pm 1$
5. 因此 $y = x$ 或 $y = -x$。這表示 $x$ 與 $y$ 互為純量倍數，兩向量平行且方向相同或相反。

核心觀念

本題考查線性代數中的**相似矩陣（Similar Matrices）性質及其與特徵值（Eigenvalues）與特徵多項式（Characteristic Polynomial）**之間的關係。

1. 相似矩陣定義：若存在可逆矩陣（Nonsingular matrix）$S$，使得 $B = S^{-1}AS$，則稱矩陣 $A$ 與 $B$ 相似（記作 $A \sim B$）。
2. 特徵多項式定義：矩陣 $A$ 的特徵多項式定義為 $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$。
3. 矩陣行列式乘積性質：對任意同階方陣 $X$ 與 $Y$，有 $\det(XY) = \det(X)\det(Y)$；對可逆矩陣 $S$，有 $\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$。

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解題方法

證明相似矩陣具備相同特徵值有兩種主要切入點：

方法一：利用特徵多項式相等（最嚴謹、推薦）

若能證明矩陣 $A$ 與矩陣 $B$ 的特徵多項式完全相同，則兩者的根（即特徵值，含代數重數）必定完全相同。

推導過程如下：
寫出矩陣 $B$ 的特徵多項式 $p_B(\lambda)$：
$p_B(\lambda) = \det(B - \lambda I)$

將 $B = S^{-1}AS$ 代入，並注意到單位矩陣可寫成 $I = S^{-1}IS$：
$B - \lambda I = S^{-1}AS - \lambda S^{-1}IS = S^{-1}(A - \lambda I)S$

利用行列式的乘法性質展開：
$p_B(\lambda) = \det\left(S^{-1}(A - \lambda I)S\right) = \det(S^{-1}) \cdot \det(A - \lambda I) \cdot \det(S)$

由於純量乘法可交換且 $\det(S^{-1})\det(S) = \det(S^{-1}S) = \det(I) = 1$：
$p_B(\lambda) = \det(S^{-1})\det(S) \cdot \det(A - \lambda I) = 1 \cdot \det(A - \lambda I) = \det(A - \lambda I) = p_A(\lambda)$

因為 $p_B(\lambda) = p_A(\lambda)$，兩矩陣的特徵多項式完全相等，故 $A$ 與 $B$ 擁有完全相同的特徵值。

核心觀念

• 矩陣相似（Matrix Similarity）：若存在一可逆矩陣 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$，則稱矩陣 $A$ 與 $B$ 相似（記作 $A \sim B$）。相似矩陣具備相同的特徵多項式、最小多項式、跡（Trace）、行列式（Determinant）以及 Jordan 標準型（Jordan Canonical Form, JCF）。
• 特徵多項式（Characteristic Polynomial）：定義為 $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。特徵多項式僅能決定矩陣特徵值（Eigenvalues）及其代數重數（Algebraic Multiplicity），但無法單獨決定幾何重數（Geometric Multiplicity）或 Jordan 方塊（Jordan Block）的結構。
• 邏輯充分必要條件：
  • 「$A$ 與 $B$ 相似」$\Rightarrow$「$A$ 與 $B$ 具有相同的特徵多項式」（必要條件）。
  • 「$A$ 與 $B$ 具有相同的特徵多項式」$\nRightarrow$「$A$ 與 $B$ 相似」（非充分條件）。

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解題方法

本題為是非性敘述判斷題。若要證明一個全稱命題為錯誤，最嚴謹且有效率的方法為舉出反例（Counterexample）。

構造反例的切入點：尋找兩個同階數、特徵多項式完全相同，但 Jordan 標準型不同（或特徵空間維度不同）的矩陣。

推導過程與反例構造：

設 $n = 2$，考慮以下兩個 $2 \times 2$ 矩陣：
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

1. 計算特徵多項式：
   • 矩陣 $A$ 的特徵多項式：
     $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix} \lambda - 1 & 0 \\ 0 & \lambda - 1 \end{bmatrix} = (\lambda - 1)^2$
   • 矩陣 $B$ 的特徵多項式：

核心觀念

1. 特徵值的重數定義：
   • 代數重數（Algebraic Multiplicity, $am(\lambda)$）：特徵多項式 $P_A(t) = \det(tI - A)$ 中根 $t = \lambda$ 的重數。
   • 幾何重數（Geometric Multiplicity, $gm(\lambda)$）：特徵空間 $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$ 的維度，即 $n - \mathrm{rank}(A - \lambda I)$。
2. 矩陣的秩（Rank）與零化度（Nullity）：
   • 特徵值 $\lambda = 0$ 的幾何重數為 $gm(0) = \mathrm{nullity}(A) = n - \mathrm{rank}(A)$，故矩陣的秩可表示為：
     $\mathrm{rank}(A) = n - gm(0)$
   • 非零特徵值（計入代數重數）的總個數為：
     $N_{\text{nonzero}} = n - am(0)$
3. 代數重數與幾何重數的關係：
   • 對於任意特徵值 $\lambda$，恆滿足 $1 \le gm(\lambda) \le am(\lambda)$。
   • 若 $A$ 可對角化（或至少對 $\lambda = 0$ 滿足 $gm(0) = am(0)$），則 $\mathrm{rank}(A) = N_{\text{nonzero}}$。
   • 若 $A$ 不可對角化且 $gm(0) < am(0)$（例如非零的冪零矩陣），則 $\mathrm{rank}(A) > N_{\text{nonzero}}$，命題不成立。

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解題方法

本題為是非題，需判定命題「$n \times n$ 矩陣 $A$ 的秩等於其非零特徵值（計入重數）的個數」是否恆成立。

1. 一般性推導與不等式關係

設 $A$ 為 $n \times n$ 矩陣。特徵值 $0$ 的代數重數為 $am(0)$，幾何重數為 $gm(0)$。

• 計入代數重數後，非零特徵值的總個數為 $n - am(0)$。
• 根據秩與零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：
  $\mathrm{rank}(A) = n - \mathrm{nullity}(A) = n - gm(0)$
• 由於幾何重數不超過代數重數（$gm(0) \le am(0)$），可推得：

核心觀念

1. 奇異值（Singular Value, SV）的定義：設 $A$ 為 $n \times n$ 的實數矩陣（或複數矩陣 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$），轉置交乘矩陣 $A^T A$（或共軛轉置 $A^* A$）為半正定（Positive Semi-definite）對稱矩陣。$A$ 的奇異值定義為 $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^T A)}$，其中 $\lambda_i(A^T A) \ge 0$ 為 $A^T A$ 的特徵值。
2. 奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：任意 $n \times n$ 矩陣 $A$ 皆可分解為 $A = U \Sigma V^T$，其中 $U, V$ 為 $n \times n$ 正交矩陣（Orthogonal Matrices），$\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)$ 為對角矩陣，對角線上的非負元素即為 $A$ 的奇異值（依重數排列）。
3. 矩陣秩（Rank）的保秩性質：
   • 矩陣乘上任意可逆矩陣（包含正交矩陣）不改變其秩，即 $\text{rank}(A) = \text{rank}(U \Sigma V^T) = \text{rank}(\Sigma)$。
   • 對任意矩陣 $A$，其零空間與轉置交乘矩陣之零空間相同 $\text{Null}(A^T A) = \text{Null}(A)$，故由秩-零化數定理可得 $\text{rank}(A^T A) = \text{rank}(A)$。

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解題方法

本題可透過 奇異值分解（SVD） 的矩陣結構進行直接證明與推導：

對任意 $n \times n$ 矩陣 $A$，存在正交矩陣 $U, V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 使得 $A$ 可寫成：
$A = U \Sigma V^T$
其中 $\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)$ 為對角矩陣，對角線上的元素 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_r > \sigma_{r+1} = \dots = \sigma_n = 0$ 即為 $A$ 的奇異值。

由於 $U$ 與 $V^T$ 皆為正交矩陣，正交矩陣必為滿秩的可逆矩陣。根據矩陣秩乘積性質，乘上可逆矩陣不會改變矩陣的秩：
$\text{rank}(A) = \text{rank}(U \Sigma V^T) = \text{rank}(\Sigma)$

核心觀念

• 矩陣乘法結合律（Associative Law of Matrix Multiplication）：雖然矩陣乘法滿足代數結合律，即對任意可相乘的矩陣 $A, B, C, D$ 恆有 $((AB)C)D = (AB)(CD)$，其數學計算結果完全一致；然而，不同的加括號計算順序（Parenthesization）所需的浮點數運算次數（Floating-Point Operations, FLOPs）卻可能存在極大差異。這是演算法中經典「矩陣鏈乘積問題（Matrix Chain Multiplication Problem）」的核心依據。
• 矩陣乘法的運算複雜度：設矩陣 $P$ 的維度為 $m \times n$，矩陣 $Q$ 的維度為 $n \times p$，則計算乘積 $PQ$（結果維度為 $m \times p$）所需的純量乘法次數（Scalar Multiplications）為：
  $m \times n \times p$
  （註：若同時計算浮點加法，運算總數通常記為 $2mnp - mp$，但在分析乘法次數與複雜度級數時，以 $mnp$ 作為核心計量標準）。

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解題方法

要判斷「計算 $((AB)C)D$ 與 $(AB)(CD)$ 所需的浮點數運算次數是否必然相同」，可透過一般維度代數推導與具體維度反例來驗證：

1. 設定矩陣維度：
   假設矩陣 $A, B, C, D$ 的維度分別為：

   • $A: m \times n$
   • $B: n \times p$
   • $C: p \times q$
   • $D: q \times r$

2. 推導 $((AB)C)D$ 之純量運算次數：

   • 第一步計算 $AB$：維度為 $m \times p$，運算次數為 $mnp$。
   • 第二步計算 $(AB)C$：即 $(m \times p) \times (p \times q)$，結果維度為 $m \times q$，運算次數為 $mpq$。
   • 第三步計算 $((AB)C)D$：即 $(m \times q) \times (q \times r)$，結果維度為 $m \times r$，運算次數為 $mqr$。
   • 總運算次數 $T_1 = mnp + mpq + mqr$。

3. 推導 $(AB)(CD)$ 之純量運算次數：

   • 第一步計算 $AB$：維度為 $m \times p$，運算次數為 $mnp$。
   • 第二步計算 $CD$：即 $(p \times q) \times (q \times r)$，結果維度為 $p \times r$，運算次數為 $pqr$。
   • 第三步計算 $(AB)(CD)$：即 $(m \times p) \times (p \times r)$，結果維度為 $m \times r$，運算次數為 $mpr$。
   • 總運算次數 $T_2 = mnp + pqr + mpr$。

4. 比較兩者運算量：
   比較 $T_1$ 與 $T_2$ 扣除共通項 $mnp$ 後的剩餘量：

   • $T_1 - mnp = mpq + mqr = m(pq + qr)$

核心觀念

本題考查**數值線性代數（Numerical Linear Algebra）**中「問題的病態性（Conditioning of a System）」與「演算法的數值穩定性（Numerical Stability of an Algorithm）」之根本區別。

涉及的核心定理與定義如下：

1. 矩陣的條件數（Condition Number）：
   對非奇異矩陣 $A$，其條件數定義為：
   $\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|$
   條件數衡量線性系統 $Ax = b$ 對於輸入資料（矩陣 $A$ 或向量 $b$）擾動的敏感程度：

   • 若 $\kappa(A) \approx 1$，稱矩陣 $A$ 為良態（Well-conditioned）。
   • 若 $\kappa(A) \gg 1$，稱矩陣 $A$ 為病態（Ill-conditioned）。

2. 相對誤差傳播公式（Relative Error Bound）：
   若右端向量 $b$ 產生微小擾動 $\Delta b$，對應的解 $x$ 產生擾動 $\Delta x$，則相對誤差界限為：
   $\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \kappa(A) \cdot \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}$

3. 數值穩定的演算法（Numerically Stable Algorithm）：
   數值穩定演算法（例如帶列選主元的 LU 分解或 QR 分解）能保證計算過程產生的捨入誤差（Rounding Error）不會被極端放大，即滿足良好的後向穩定性（Backward Stability）。

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解題方法

欲判斷本題敘述是否正確，必須釐清「演算法的穩定性」與「問題本身的敏感度」之間的關係：

1. 演算法數值穩定的含義：
   使用數值穩定的演算法求解 $Ax = b$ 時，求得的計算解 $\hat{x}$ 相當於精確求解一個鄰近的擾動系統：
   $(A + \Delta A)\hat{x} = b + \Delta b$
   其中相對後向誤差滿足：
   $\frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} \le \mathcal{O}(\epsilon_{\text{mach}}), \quad \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \le \mathcal{O}(\epsilon_{\text{mach}})$
   這裏 $\epsilon_{\text{mach}}$ 為浮點數計算的機器精度（Machine Epsilon）。

2. 計算解的相對誤差推導：
   結合後向誤差與條件數，計算解 $\hat{x}$ 的前向相對誤差（Forward Relative Error）上限為：

核心觀念

1. 矩陣的誘導範數 (Induced Matrix Norm)：
   設 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$（或 $\mathbb{C}^{n \times n}$），由向量 $p$-範數引導出的矩陣 $p$-範數定義為：
   $\|A\|_p = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p} = \max_{\|x\|_p = 1} \|Ax\|_p$

2. 矩陣 1-範數 ($\|A\|_1$)：
   矩陣 $A = [a_{ij}]$ 的 1-範數為最大絕對值行和 (Maximum Absolute Column Sum)：
   $\|A\|_1 = \max_{1 \le j \le n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$

3. 矩陣 $\infty$-範數 ($\|A\|_\infty$)：
   矩陣 $A = [a_{ij}]$ 的 $\infty$-範數為最大絕對值列和 (Maximum Absolute Row Sum)：
   $\|A\|_\infty = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$

4. 轉置矩陣 (Transpose Matrix)：
   若令 $B = A^T$，則矩陣 $B$ 的第 $i$ 列第 $j$ 行元素為 $b_{ij} = a_{ji}$。

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解題方法

本題需驗證等式 $\|A\|_1 = \|A^T\|_\infty$ 是否成立。

設 $A = [a_{ij}]_{n \times n}$，考慮轉置矩陣 $A^T$ 的元素定義：
$(A^T)_{ij} = a_{ji}$

依據矩陣 $\infty$-範數（最大絕對值列和）的定義，計算 $\|A^T\|_\infty$：