109 年 國立臺灣大學資訊工程學系碩士班《計算機數學（含線性代數、離散數學）》

核心觀念

本題考查離散數學中**普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）**於組合計數問題的應用。

1. 生成函數與多元一次方程式整數解：
   設整數變數 $x_i$ 的取值集合為 $S_i \subseteq \mathbb{Z}$，則變數 $x_i$ 的單項生成函數為 $f_i(x) = \sum_{k \in S_i} x^k$。當多個變數滿足方程式 $x_1 + x_2 + \dots + x_n = r$ 時，整體系統的生成函數 $g(x)$ 為各變數單項生成函數之乘積：
   $g(x) = \prod_{i=1}^{n} f_i(x)$
   方程式的整數解個數即為 $g(x)$ 展開式中 $x^r$ 項的係數，記作 $[x^r] g(x)$。

2. 有限等比級數求和公式：
   對於公比 $x \neq 1$ 的有限等比級數，其和可表示為閉合型態（Closed Form）：
   $\sum_{k=a}^{b} x^k = x^a + x^{a+1} + \dots + x^b = x^a \cdot \frac{1 - x^{b-a+1}}{1 - x}$

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解題方法

步驟一：建立單一變數 $x_i$ 的生成函數
根據題目限制條件，對任意 $1 \le i \le n$，變數 $x_i$ 的可能取值範圍為 $a \le x_i \le b$ 的整數，即 $x_i \in \{a, a+1, a+2, \dots, b\}$。
因此，單一變數 $x_i$ 對應的生成函數 $f(x)$ 為所有可行取值對應之 $x$ 冪次和：
$f(x) = x^a + x^{a+1} + x^{a+2} + \dots + x^b$

步驟二：計算 $n$ 個變數的整體生成函數
由於 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 為 $n$ 個獨立且限制範圍相同的變數，根據多項式乘法法則，方程式 $x_1 + x_2 + \dots + x_n = r$ 的整數解個數生成函數 $g(x)$ 為 $n$ 個 $f(x)$ 之乘積：
$g(x) = [f(x)]^n = \left( x^a + x^{a+1} + x^{a+2} + \dots + x^b \right)^n$

步驟三：化簡為閉合型態（Closed Form）
利用有限等比級數求和公式化簡多項式 $f(x)$。級數首項為 $x^a$，公比為 $x$，項數為 $(b - a + 1)$ 項：
$f(x) = x^a (1 + x + x^2 + \dots + x^{b-a}) = x^a \cdot \frac{1 - x^{b-a+1}}{1 - x}$
將化簡後的 $f(x)$ 代入整體生成函數 $g(x)$：

核心觀念

1. 從集合 $A$ 到集合 $B$ 的函數總數公式：
   設 $A$ 與 $B$ 為有限集合，其元素個數分別為 $|A|$ 與 $|B|$。從 $A$ 到 $B$ 所能建立的函數總數為：
   $|B|^{|A|}$
   這是因為定義域 $A$ 中的每一個元素都有 $|B|$ 種映射選擇，且各元素的選擇相互獨立，由乘法原理可得 $|B| \times |B| \times \dots \times |B| = |B|^{|A|}$。

2. 笛卡兒積（Cartesian Product）的元素個數：
   若 $S = \{1, 2, \dots, n\}$，則 $S^k = \underbrace{S \times S \times \dots \times S}_{k \text{ 個}}$ 的元素個數為：
   $|S^k| = |S|^k = n^k$

3. 單元集（Singleton Set）：
   對應域標示為 $\{1, 2, \dots, 1\}$，代表從 $1$ 開始至 $1$ 結束的集合，即單元集 $\{1\}$，其元素個數為 $1$。

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解題方法

1. 確定定義域（Domain）與對應域（Codomain）的大小：

   • 定義域 $A = \{1, 2, \dots, n\}^k$，其元素個數為：
     $|A| = n^k$
   • 對應域 $B = \{1, 2, \dots, 1\} = \{1\}$，其元素個數為：
     $|B| = 1$

2. 套用函數總數公式推導：
   根據函數定義，定義域 $A$ 中每一個元素 $x \in A$ 都必須在對應域 $B$ 中恰好指定一個對應值 $f(x)$。

核心觀念

本題屬於離散數學中**組合計數（Combinatorial Counting）與重複組合（Combinations with Repetition）**的經典應用題型。

1. 重複組合定義：從 $n$ 種相異物品中，可重複地選取 $k$ 個物品的組合數，記作 $H(n, k)$，其計算公式為：
   $H(n, k) = C(n+k-1, k) = \binom{n+k-1}{k}$
   這等價於多元一次方程式 $x_1 + x_2 + \dots + x_n = k$ 的**非負整數解（Nonnegative Integer Solutions）**個數，其中 $x_i \ge 0$ 且 $x_i \in \mathbb{Z}$。

2. 不等式型重複組合轉換：
   對於形如 $\sum_{i=1}^n x_i < r$ 且 $x_i \ge 0$ 的非負整數不等式，由於 $x_i$ 皆為整數，其和亦必然為整數，故該不等式可等價改寫為：
   $x_1 + x_2 + \dots + x_n \le r - 1$
   處理此類「小於等於」不等式有兩種常見切入觀念：

   • 鬆弛變數法（Slack Variable Method）：引入一個額外的非負整數鬆弛變數 $x_{n+1} \ge 0$，將不等式轉化為 $(n+1)$ 個變數的等式 $\sum_{i=1}^{n+1} x_i = r - 1$。
   • 曲棍球棒恆等式（Hockey-Stick Identity）：將總和拆解為 $k = 0, 1, \dots, r-1$ 各種相等情況分別計算再求和，即 $\sum_{k=0}^{r-1} H(n, k) = \sum_{k=0}^{r-1} C(n+k-1, k) = C(n+r-1, r-1)$。

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解題方法

當 $n = 4$ 且 $r = 8$ 時，原式為：
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 < 8, \quad \text{其中 } x_i \ge 0 \text{ 且 } x_i \in \mathbb{Z}$

主要解法：引入鬆弛變數法（推薦）

1. 不等式轉化：
   因為 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 皆為非負整數，其總和必然為整數，故 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 < 8$ 完全等價於：
   $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \le 7$

2. 引入鬆弛變數 $x_5$：
   定義非負整數 $x_5 = 7 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$。因為 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \le 7$，故 $x_5 \ge 0$ 必成立。
   將原不等式重構為含 $5$ 個變數的線性方程式：
   $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 7, \quad \text{其中 } x_i \ge 0 \text{ 對所有 } 1 \le i \le 5$

3. 求重複組合數：
   上述方程式的非負整數解個數即為從 $5$ 種相異元素中重複取 $7$ 個元素的重複組合數 $H(5, 7)$：
   $H(5, 7) = C(5 + 7 - 1, 7) = C(11, 7)$

4. 數值計算：
   利用組合的對稱性質 $C(11, 7) = C(11, 4)$ 展開計算：

核心觀念

本題考查**一階非齊次常係數線性遞迴關係式（First-order Non-homogeneous Linear Recurrence Relation）**的求解能力。主要包含以下重點：

1. 通解結構（General Solution Structure）：
   一階非齊次線性遞迴關係式 $a_n = c a_{n-1} + f(n)$ 的通解由「齊次解 $a_n^{(h)}$」與「特解 $a_n^{(p)}$」疊加而成：
   $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$
2. 齊次解（Homogeneous Solution）：
   對應齊次方程 $a_n - 3a_{n-1} = 0$，特徵方程式為 $r - 3 = 0$，解得特徵根 $r = 3$，故齊次解形如 $a_n^{(h)} = c \cdot 3^n$（其中 $c$ 為待定常數）。
3. 特解與待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）：
   非齊次項為 $f(n) = n$（一階多項式），且底數 $1$ 並非齊次特徵根（$1 \neq 3$），故可假設特解形式為一階一般多項式：
   $a_n^{(p)} = An + B$
4. 初始條件與特解常數確定：
   利用初始條件 $a_0 = 1$ 代入通解，即可求解常數 $c$，得到最終閉合形式（Closed-form expression）。

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解題方法

方法一：齊次解與特解法（待定係數法，推薦首選）

第一步：求齊次解 $a_n^{(h)}$
考慮對應的齊次遞迴關係式：
$a_n^{(h)} - 3a_{n-1}^{(h)} = 0$
寫出特徵方程式：
$r - 3 = 0 \implies r = 3$
因此，齊次解為：
$a_n^{(h)} = c \cdot 3^n \quad (c \text{ 為待定常數})$

第二步：求特解 $a_n^{(p)}$
非齊次項為一階多項式 $f(n) = n$。設特解為：
$a_n^{(p)} = An + B$
將 $a_n^{(p)}$ 代回原遞迴式 $a_n = 3a_{n-1} + n$ 中：
$An + B = 3[A(n-1) + B] + n$
展開並整理右式：
$An + B = 3An - 3A + 3B + n$
$An + B = (3A + 1)n + (-3A + 3B)$

對比等式兩邊 $n$ 的同次項係數：

• $n^1$ 項係數：$A = 3A + 1 \implies -2A = 1 \implies A = -\frac{1}{2}$
• $n^0$ 項（常數項）：$B = -3A + 3B \implies -2B = -3A \implies B = \frac{3}{2}A = \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{4}$

因此，特解為：
$a_n^{(p)} = -\frac{1}{2}n - \frac{3}{4}$

第三步：組合通解並代入初始條件
通解 $a_n$ 為齊次解與特解之和：
$a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = c \cdot 3^n - \frac{1}{2}n - \frac{3}{4}$

代入初始條件 $a_0 = 1$：
$a_0 = c \cdot 3^0 - \frac{1}{2}(0) - \frac{3}{4} = 1$
$c - \frac{3}{4} = 1 \implies c = \frac{7}{4}$

第四步：寫出最終解
將 $c = \frac{7}{4}$ 代回通解：
$a_n = \frac{7}{4} \cdot 3^n - \frac{1}{2}n - \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 3^n - 2n - 3}{4}$

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方法二：母函數法 / 生成函數法（Generating Function Method）

定義普通生成函數（Ordinary Generating Function）為：
$A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

原遞迴式為 $a_n - 3a_{n-1} = n$ ($n \ge 1$)，兩邊同乘 $x^n$ 並對 $n=1$ 到 $\infty$ 求和：
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n - 3 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n x^n$

利用已知級數展開公式：

• $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = A(x) - a_0 = A(x) - 1$
• $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n = x A(x)$
• $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$

將上述代入方程式：
$(A(x) - 1) - 3x A(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$

核心觀念

1. 生成函數（Generating Function）
   在離散數學中，數列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 的普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）定義為無窮級數 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$。求解線性遞迴關係式時，常將遞迴式轉化為有理函數（Rational Function）形式：
   $A(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$
   其中 $P(x)$ 與 $Q(x)$ 為多項式，且分子次數嚴格小於分母次數（即 $\deg(P) < \deg(Q)$）。

2. 部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）的嚴格定義
   將有理函數 $A(x)$ 拆解為最簡分式之和的過程稱為部分分式分解。若分母包含重線性因子 $(x-r)^k$，其標準分解型態必須包含最高至 $k$ 次方的每一項次，且每一個分式的分子次數必須嚴格小於底數 $(x-r)$ 的次數（即分子必須為常數）：
   $\frac{A_1}{x-r} + \frac{A_2}{(x-r)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-r)^k}$
   題幹特別提醒：如 $\frac{x-8}{(x-3)^2}$ 這類分子次數為 $1$、與底數次數相同或更高的表示式，尚未完成分解，必須進一步降次拆解。

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解題方法

本題因單獨擷取考題，缺乏前一題（第 4 題）給定之具體遞迴關係式與初始條件，以下依據題幹提示之表達式 $\frac{x-8}{(x-3)^2} - \frac{9}{x-1}$ 作為前一題生成函數化簡結果之合理假設進行推導。

步驟一：分析待拆解有理函數

假設由前一題推導出之生成函數暫時表示式為：
$A(x) = \frac{x-8}{(x-3)^2} - \frac{9}{x-1}$
其中項次 $\frac{9}{x-1}$ 的分子已為常數，符合最簡形式；而項次 $\frac{x-8}{(x-3)^2}$ 的分子為一次多項式 $x-8$，次數未降至常數，需針對該項進行降次拆解。

步驟二：分子多項式湊項降次

將分子 $x-8$ 改寫為以底數 $(x-3)$ 表示的形式：
$x - 8 = (x - 3) - 5$

代回該分式並進行拆項：
$\frac{x-8}{(x-3)^2} = \frac{(x-3) - 5}{(x-3)^2} = \frac{x-3}{(x-3)^2} - \frac{5}{(x-3)^2} = \frac{1}{x-3} - \frac{5}{(x-3)^2}$

步驟三：組合完全部分分式分解形式

將化簡後的結果代回 $A(x)$，得到符合標準定義的部分分式分解：
$A(x) = \frac{1}{x-3} - \frac{5}{(x-3)^2} - \frac{9}{x-1}$

核心觀念

本題考驗「二項式定理（Binomial Theorem）」與「中央二項式係數（Central Binomial Coefficient）」的放縮估算技巧，以及對「取整函數（Floor Function）」屬性的分析。

本題運用之關鍵定義與定理如下：

1. 取整函數（Floor Function）：
   對任意實數 $x$，$\lfloor x \rfloor$ 表示不超過 $x$ 的最大整數。當 $n \ge 2$ 時，$\lfloor n/2 \rfloor \ge 1$。
2. 二項式定理（Binomial Theorem）：
   $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$
3. 中央二項式係數的最大性（Maximality of Central Binomial Coefficient）：
   在 Pascal 三角形的第 $n$ 列中，中央項 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ 為該列最大的組合係數。即對任意 $0 \le k \le n$，均滿足：
   $\binom{n}{k} \le \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$

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解題方法

本題需分別針對「題目字面給定之分式敘述」與「離散數學標準考題之組合數敘述」進行嚴謹推導與說明。

1. 題目字面敘述之分析與推導

原題給定之不等式為：
$\frac{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \ge 2^n$

對任意整數 $n \ge 2$：
因 $\lfloor n/2 \rfloor \ge \frac{n-1}{2}$，左式（LHS）的上界為：
$\frac{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \le \frac{n}{(n-1)/2} = \frac{2n}{n-1} = 2 + \frac{2}{n-1} \le 4$
而右式（RHS）為 $2^n$。當 $n \ge 2$ 時，$2^n \ge 4$。
具體驗算小數值：

• 當 $n=2$ 時：$\text{LHS} = \frac{2}{\lfloor 1 \rfloor} = 2$，$\text{RHS} = 2^2 = 4$。由於 $2 < 4$，不等式不成立。
• 當 $n=3$ 時：$\text{LHS} = \frac{3}{\lfloor 1.5 \rfloor} = 3$，$\text{RHS} = 2^3 = 8$。由於 $3 < 8$，不等式不成立。
• 當 $n \ge 3$ 時：$\text{LHS} \le 3 < 8 \le 2^n$，不等式恆不成立。

因此，若直接依題目字面符號 $\frac{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \ge 2^n$ 進行證明，該不等式為數學上不成立（偽敘述）。

2. 標準修正考題（組合數不等式）之完整證明

在離散數學經典考題中，本題係試題轉錄誤將二項式組合符號 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ 誤植為分式 $\frac{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$，且漏寫分母 $n$。其正確命題為證明以下中央二項式係數不等式：
$\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \ge \frac{2^n}{n} \quad (\text{對所有 } n \ge 2)$

完整證明步驟如下：

1. 根據二項式定理，展開 $2^n$：
   $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

2. 將級數拆解為兩個端點項與中間項：
   $\binom{n}{0} + \binom{n}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} = 2^n$

核心觀念

1. 多項式插值與線性方程組（Polynomial Interpolation & Linear Systems）
   給定 $n$ 次多項式 $f(x)$ 及其在 $n+1$ 個互異點的函數值，可建立以係數為變數的線性方程組。由於節點互異，其係數矩陣為范德蒙矩陣（Vandermonde Matrix），保證聯立方程組解存在且唯一。

2. 多項式的奇偶分解（Even-Odd Decomposition of Polynomials）
   若採用的求值節點具有關於原點對稱的特性（如 $-2, -1, 0, 1, 2$），可將多項式 $f(x)$ 拆解為偶函數部分與奇函數部分：
   $f(x) = f_{\text{even}}(x) + f_{\text{odd}}(x)$
   其中：
   $f_{\text{even}}(x) = ax^4 + cx^2 + e = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
   $f_{\text{odd}}(x) = bx^3 + dx = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$
   利用對稱點相加與相減，可將原本 $5 \times 5$ 的大型聯立方程組解耦（Decouple）為兩個獨立的 $2 \times 2$ 線性方程組與一個常數項直接求解，大幅降低計算複雜度與出錯率。

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解題方法

步驟一：求解常數項 $e$

直接帶入 $x = 0$：
$f(0) = a(0)^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = 2 \implies e = 2$

步驟二：利用對稱點 $x = \pm 1$ 解耦

1. 偶函數部分（相加消去奇次項）：
   $f(1) + f(-1) = 2(a + c + e) = 18 + 16 = 34$
   $a + c + e = 17$
   將 $e = 2$ 代入得：
   $a + c = 15 \quad \text{--- (式 1)}$

2. 奇函數部分（相減消去偶次項）：
   $f(1) - f(-1) = 2(b + d) = 18 - 16 = 2$
   $b + d = 1 \quad \text{--- (式 2)}$

步驟三：利用對稱點 $x = \pm 2$ 解耦

1. 偶函數部分（相加消去奇次項）：
   $f(2) + f(-2) = 2(16a + 4c + e) = 166 + 150 = 316$
   $16a + 4c + e = 158$
   將 $e = 2$ 代入得：
   $16a + 4c = 156 \implies 4a + c = 39 \quad \text{--- (式 3)}$

2. 奇函數部分（相減消去偶次項）：
   $f(2) - f(-2) = 2(8b + 2d) = 166 - 150 = 16$
   $8b + 2d = 16 \implies 4b + d = 4 \quad \text{--- (式 4)}$

步驟四：求解變數 $a, b, c, d$

1. 由 (式 1) 與 (式 3) 求解 $a, c$：

核心觀念

1. 矩陣乘法與轉置矩陣：
   對於矩陣 $B \in \mathbb{R}^{m \times n}$，矩陣 $B B^T$ 的第 $(i, j)$ 個元素等於 $B$ 的第 $i$ 個列向量（Row Vector）與第 $j$ 個列向量的內積，即 $(B B^T)_{i,j} = \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j$。
2. 矩陣的零化度（Nullity）與秩-零化度定理：
   對 $n \times n$ 方陣 $M$，其零空間（Null Space）的維度稱為零化度，記作 $\text{nullity}(M) = \dim(\text{Null}(M))$。
   根據秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：
   $\text{nullity}(M) = n - \text{rank}(M)$
3. 特徵值與幾何重數（Geometric Multiplicity）：
   • 矩陣 $A - \lambda I$ 的零化度 $\text{nullity}(A - \lambda I)$，在定義上即為純量 $\lambda$ 作為矩陣 $A$ 之特徵值的幾何重數。
   • 若 $\lambda$ 不是 $A$ 的特徵值，則 $A - \lambda I$ 為滿秩矩陣（可逆），其 $\text{nullity}(A - \lambda I) = 0$。
4. 實對稱矩陣可對角化性質：
   矩陣 $A = B B^T$ 為實對稱矩陣（Real Symmetric Matrix），必可正交對角化。因此，$A$ 的每一個特徵值之代數重數（Algebraic Multiplicity）必等於其幾何重數（Geometric Multiplicity）。

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解題方法

步驟一：求矩陣 $A = B B^T$

給定 $4 \times 4$ 矩陣：
$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

將 $B$ 的 4 個列向量標記為：

• $\mathbf{r}_1 = (0, 0, 1, 0)$
• $\mathbf{r}_2 = (-2, 0, 0, 0)$
• $\mathbf{r}_3 = (0, 0, 0, -1)$
• $\mathbf{r}_4 = (0, 0, -1, 0)$

計算兩兩列向量的內積 $(B B^T)_{i,j} = \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j$：

• $\mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{r}_1 = 1$, $\mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{r}_4 = -1$，與其餘列向量之內積皆為 $0$
• $\mathbf{r}_2 \cdot \mathbf{r}_2 = 4$，與其餘列向量之內積皆為 $0$
• $\mathbf{r}_3 \cdot \mathbf{r}_3 = 1$，與其餘列向量之內積皆為 $0$
• $\mathbf{r}_4 \cdot \mathbf{r}_4 = 1$, $\mathbf{r}_4 \cdot \mathbf{r}_1 = -1$，與其餘列向量之內積皆為 $0$

得矩陣 $A = B B^T$ 為：
$A = B B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

步驟二：計算 $A = B B^T$ 的特徵多項式與特徵值

計算特徵多項式 $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$：
$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 4-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

觀察第 2 行（Column）與第 3 行，除對角項外皆為 0，可按對角分塊拆解行列式：
$p(\lambda) = (4 - \lambda)(1 - \lambda) \cdot \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ -1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
$p(\lambda) = (4 - \lambda)(1 - \lambda) \left[ (1-\lambda)^2 - (-1)^2 \right]$
$p(\lambda) = (4 - \lambda)(1 - \lambda) (\lambda^2 - 2\lambda)$
$p(\lambda) = \lambda (1 - \lambda) (\lambda - 2) (4 - \lambda)$

由生成向量可得

$$U=\{(a,b,a+c,b)^T:a,b,c\in\mathbb R\} =\{(x,y,z,w)^T\in\mathbb R^4:w=y\}.$$

取

$$p=(1,1,0,0)^T,\qquad q=(0,0,0,1)^T.$$

因 $p,q\notin U$，故

$$Bp=Bq=0.$$

本題要求的矩陣 $B$ 為 $A$ 的摩爾－彭若斯廣義逆矩陣（Moore-Penrose Pseudoinverse），記作 $B = A^+$。

觀念與解題步驟

步驟 1：計算 $A^T A$ 與其特徵值

將 $A$ 轉置：
$A^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0.5 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -0.5 & 0 \end{pmatrix}$

計算 $A^T A$：
$A^T A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0.5 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -0.5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.25 & 0 & 0 & -0.25 \\ 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -0.25 & 0 & 0 & 0.25 \end{pmatrix}$

步驟 2：奇異值分解 (SVD) 或利用定義求解 $A^+$

觀察矩陣 $A$ 的列 (rows) 與行 (columns) 關係，也可直接解線性方程組求解 $B = A^+$：

由 $A^+ = (A^T A)^+ A^T$，先求 $(A^T A)^+$：
$A^T A$ 為區塊對角矩陣：

1. 對於區塊 $M_1 = \begin{pmatrix} 0.25 & -0.25 \\ -0.25 & 0.25 \end{pmatrix}$，其 Pseudoinverse 為