109 年 國立臺南大學資訊工程學系碩士班《離散數學與線性代數》

核心觀念

本題旨在考驗離散數學中**數學歸納法（Mathematical Induction）的嚴謹證明技巧，同時亦可透過等差級數求和公式（Arithmetic Progression Sum）**進行代數驗算。

1. 數學歸納法原理（Mathematical Induction）：
   設 $P(n)$ 為關於自然數 $n \in \mathbb{N}$ 的命題。若滿足以下兩個條件：

   • 基礎步驟（Basis Step）：證明 $P(1)$ 為真。
   • 歸納步驟（Inductive Step）：假設對任意正整數 $k \in \mathbb{N}$，$P(k)$ 為真（稱為歸納假設 Inductive Hypothesis），並由此推導出 $P(k+1)$ 亦為真。
     則由數學歸納法原理可知，對所有 $n \in \mathbb{N}$，$P(n)$ 均為真。

2. 等差級數求和公式（Arithmetic Progression Sum）：
   首項為 $a_1$，末項為 $a_n$，項數為 $n$ 的等差級數總和公式為：
   $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

---

解題方法

在研究所考試中，面對題目要求「Let $n \in \mathbb{N}$. Prove that ...」，最標準且可獲得滿分的證明方式為數學歸納法。

法一：數學歸納法（標準證明）

設命題 $P(n)$ 為：
$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$

1. 基礎步驟（Basis Step）：
   當 $n = 1$ 時：

   • 左式（LHS）$= 2(1) - 1 = 1$
   • 右式（RHS）$= 1^2 = 1$
     因為 $\text{LHS} = \text{RHS} = 1$，故 $P(1)$ 成立。

2. 歸納假設（Inductive Hypothesis）：
   假設當 $n = k$（其中 $k \in \mathbb{N}$）時，命題 $P(k)$ 成立，即：
   $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$

3. 歸納步驟（Inductive Step）：
   當 $n = k + 1$ 時，目標為證明 $P(k+1)$ 亦成立，即證明：
   $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)^2$

   由左式開始推導：

核心觀念

本題考查離散數學中**關係（Relation）與等價關係（Equivalence Relation）**的定義與證明方法。

1. 關係的定義：
   設 $R$ 為定義在實數集 $\mathbb{R}$ 上的二元關係。對任意 $a, b \in \mathbb{R}$，$aRb \iff a - b \in \mathbb{Z}$（其中 $\mathbb{Z}$ 表示整數集）。

2. 等價關係（Equivalence Relation）的判定條件：
   一個定義在集合 $A$ 上的關係 $R$，必須同時滿足以下三個性質才稱為等價關係：

   • 自反性（Reflexivity）：對所有 $a \in A$，$aRa$ 均成立。
   • 對稱性（Symmetry）：對所有 $a, b \in A$，若 $aRb$，則 $bRa$ 成立。
   • 遞移性（Transitivity）：對所有 $a, b, c \in A$，若 $aRb$ 且 $bRc$，則 $aRc$ 成立。

---

解題方法

要證明 $R$ 為等價關係，必須依序證明自反性、對稱性與遞移性三個條件皆成立：

1. 證明自反性（Reflexivity）：

   • 對於任意實數 $a \in \mathbb{R}$，計算 $a - a = 0$。
   • 因為 $0 \in \mathbb{Z}$（$0$ 為整數），即 $a - a$ 為整數。
   • 根據關係 $R$ 的定義，得 $aRa$ 成立。
   • 故關係 $R$ 滿足自反性。

2. 證明對稱性（Symmetry）：

   • 對於任意實數 $a, b \in \mathbb{R}$，假設 $aRb$ 成立。
   • 根據定義，存在某一整數 $k \in \mathbb{Z}$ 使得 $a - b = k$。
   • 計算 $b - a = -(a - b) = -k$。
   • 因為 $k \in \mathbb{Z}$，其加法反元素 $-k$ 亦為整數（即 $-k \in \mathbb{Z}$）。
   • 由 $b - a = -k \in \mathbb{Z}$，根據定義可得 $bRa$ 成立。
   • 故關係 $R$ 滿足對稱性。

3. 證明遞移性（Transitivity）：

   • 對於任意實數 $a, b, c \in \mathbb{R}$，假設 $aRb$ 且 $bRc$

核心觀念

本題考查「冪集上的包含關係」與 Hasse diagram 的繪製。

給定集合

$$S=\{a,b,c\}$$

其冪集為

$$P(S)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$$

偏序關係定義為

$$A\preceq B \iff A\subseteq B$$

因此，若 $A$ 是 $B$ 的子集合，就將 $A$ 放在 $B$ 的下方。

Hasse diagram 只保留「覆蓋關係」：若 $A\subset B$，且不存在集合 $C$ 使得

$$A\subset C\subset B$$

則稱 $B$ 覆蓋 $A$，兩者之間畫一條線。對冪集而言，覆蓋關係正好是「上方集合比下方集合多一個元素」。

---

解題方法

依照集合中元素個數分層：

• 第 $0$ 層：$\varnothing$
• 第 $1$ 層：$\{a\},\{b\},\{c\}$
• 第 $2$ 層：$\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}$
• 第 $3$ 層：$\{a,b,c\}$

各層之間的覆蓋關係如下：

$$\varnothing\subset\{a\},\quad \varnothing\subset\{b\},\quad \varnothing\subset\{c\}$$ $$\{a\}\subset\{a,b\},\quad \{a\}\subset\{a,c\}$$ $$\{b\}\subset\{a,b\},\quad \{b\}\subset\{b,c\}$$ $$\{c\}\subset\{a,c\},\quad \{c\}\subset\{b,c\}$$ $$\{a,b\}\subset\{a,b,c\},\quad \{a,c\}\subset\{a,b,c\},\quad \{b,c\}\subset\{a,b,c\}$$

因此 Hasse diagram 為三層 Boolean lattice：

核心觀念

1. 齊次線性遞迴關係式（Homogeneous Linear Recurrence Relation）：
   對於二階常係數齊次線性遞迴式 $a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2}$，其特徵方程式為 $r^2 - c_1 r - c_2 = 0$。若特徵根為相異實根 $r_1, r_2$，則數列通項可表示為 $a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n$。
2. Jacobsthal 數列（Jacobsthal Numbers）：
   由遞迴關係 $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ 所定義之經典離散數列，廣泛應用於組合計數與資訊科學。
3. 四捨五入函數與距離判定（Rounding Function & Distance Analysis）：
   根據題目定義，$\text{round}(x)$ 表示最接近 $x$ 的整數。若某一整數 $I$ 與 $x$ 之間的距離滿足 $|x - I| < \frac{1}{2}$，則 $I$ 必然為最接近 $x$ 的唯一整數，即 $\text{round}(x) = I$。

---

解題方法

本題推導分為兩個主要階段：
階段一：求解 Jacobsthal 數列的通項公式（Closed-form Formula）
階段二：證明該通項公式滿足四捨五入函數之定義

階段一：求解通項公式

給定遞迴關係式：
$a_n - a_{n-1} - 2a_{n-2} = 0$

1. 求特徵方程式與特徵根：
   設 $a_n = r^n$，代入遞迴式得特徵方程式：
   $r^2 - r - 2 = 0 \implies (r - 2)(r + 1) = 0$
   解得特徵根為 $r_1 = 2$，$r_2 = -1$。

2. 建立通式與代入初始條件：
   數列通項可表示為：
   $a_n = C_1 \cdot 2^n + C_2 \cdot (-1)^n$
   代入題目給定之初始條件 $a_1 = 1$ 與 $a_2 = 3$：
   $\begin{cases} a_1 = 2C_1 - C_2 = 1 \\ a_2 = 4C_1 + C_2 = 3 \end{cases}$

3. 求解待定係數 $C_1, C_2$：
   將上述兩式相加可得：
   $6C_1 = 4 \implies C_1 = \frac{2}{3}$
   將 $C_1 = \frac{2}{3}$ 代回第一式：
   $C_2 = 2C_1 - 1 = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{1}{3}$

4. 化簡通項公式：
   對於所有非負整數 $n$，Jacobsthal 數列之通項公式為：
   $a_n = \frac{2}{3} \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot (-1)^n = \frac{2^{n+1} + (-1)^n}{3}$
   （代入 $n=0$ 驗算：$a_0 = \frac{2^1 + (-1)^0}{3} = 1$，符合遞迴倒推 $a_2 = a_1 + 2a_0 \implies 3 = 1 + 2(1)$）。

---

階段二：證明 $a_n = \text{round}\left(\frac{2^{n+1}}{3}\right)$

將通項公式移項變形，可得：
$\frac{2^{n+1}}{3} = a_n - \frac{(-1)^n}{3}$

依據 $n$ 的奇偶性進行討論：

1. 當 $n$ 為非負偶數（$n = 2k, k \in \mathbb{N}_0$）時：
   $(-1)^n = 1 \implies \frac{2^{n+1}}{3} = a_n - \frac{1}{3}$
   此時 $\frac{2^{n+1}}{3}$ 與整數 $a_n$ 的距離為：
   $\left| \frac{2^{n+1}}{3} - a_n \right| = \frac{1}{3}$
   因為 $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$，代表整數 $a_n$ 為距離 $\frac{2^{n+1}}{3}$ 最近的整數。
   故 $\text{round}\left(\frac{2^{n+1}}{3}\right) = a_n$。

2. 當 $n$ 為正奇數（$n = 2k+1, k \in \mathbb{N}_0$）時：

核心觀念

本題旨在考驗 $n \times n$ 方陣之行列式（Determinant）運算性質。設 $A, B$ 為 $n \times n$ 階矩陣，$c$ 為純量，則行列式滿足以下基本定理與公式：

1. 純量乘積之行列式：$|c A| = c^n |A|$（注意階數 $n$，本題中矩陣為 $2 \times 2$，故 $n = 2$）。
2. 矩陣相乘之行列式：$|A B| = |A| \cdot |B|$。
3. 矩陣次方之行列式：$|A^k| = |A|^k$（$k$ 為整數）。
4. 逆矩陣（反矩陣）之行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$（其中 $|A| \neq 0$）。
5. 轉置矩陣之行列式：$|A^t| = |A|$。

---

解題方法

本題已知 $A, B$ 皆為 $2 \times 2$ 階矩陣（即階數 $n = 2$），且已知其行列式分別為 $|A| = -1$ 與 $|B| = 2$。

(a) 計算 $|3A^2B^{-1}|$

1. 提純量：因為矩陣階數 $n = 2$，將純量 $3$ 提至行列式外部需平方：
   $|3A^2B^{-1}| = 3^2 \cdot |A^2B^{-1}| = 9 \cdot |A^2B^{-1}|$

2. 拆解積與次方：利用行列式之乘法性質與次方向量拆解：
   $|A^2B^{-1}| = |A^2| \cdot |B^{-1}| = |A|^2 \cdot \frac{1}{|B|}$

3. 代入已知數值：
   $|3A^2B^{-1}| = 9 \cdot (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} = 9 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(b) 計算 $|(2AB^t)^{-1}|$

1. 利用逆矩陣行列式公式：
   $|(2AB^t)^{-1}| = \frac{1}{|2AB^t|}$

2. 計算內部行列式 $|2AB^t|$：

   • 提純量 $2$（矩陣階數 $n = 2$）：
     $|2AB^t| = 2^2 \cdot |AB^t| = 4 \cdot |AB^t|$
   • 拆解乘積與轉置：
     $|AB^t| = |A| \cdot |B^t| = |A| \cdot |B|$
   • 代入數值：
     $|2AB^t| = 4 \cdot (-1) \cdot 2 = -8$

3. 求倒數：
   $|(2AB^t)^{-1}| = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

---

核心觀念

本題考查線性方程組 $Ax = b$ 的解之存在性與唯一性判定，其核心定理為克羅內克－卡佩里定理（Rouché–Capelli Theorem，亦稱增廣矩陣秩定理）。

假設 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣（代表 $m$ 個方程式、$n$ 個未知數），$[A|b]$ 為大小 $m \times (n+1)$ 的增廣矩陣（Augmented Matrix），則線性系統 $Ax = b$ 的解數判定原則如下：

1. 無解（No solutions / Inconsistent）：
   $\text{rank}(A) < \text{rank}([A|b])$
   此時常數向量 $b$ 不屬於係數矩陣 $A$ 的行空間（Column Space），方程式組彼此矛盾。
2. 有解（Consistent）：
   $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) = r$
   此時常數向量 $b$ 位於 $A$ 的行空間內。有解情況下可依自由變數個數 $n - r$ 進一步分類：
   • 唯一解（Single solution）：當 $r = n$（秩等於未知數個數）時，自由變數個數為 $n - r = 0$。
   • 無窮多解（Many solutions）：當 $r < n$（秩小於未知數個數）時，自由變數個數為 $n - r > 0$。

此外，由子空間維度定理可知，增廣矩陣 $[A|b]$ 是在矩陣 $A$ 後方加入一列向量 $b$，故必定滿足以下基本不等式關係：
$\text{rank}(A) \le \text{rank}([A|b]) \le \text{rank}(A) + 1$
任何滿足 $\text{rank}([A|b]) < \text{rank}(A)$ 的數據皆違反矩陣秩的基本性質。

---

解題方法

對表中每一小題，按以下步驟進行系統化判定：

1. 找出未知數個數 $n$（即矩陣 $A$ 之大小 $m \times n$ 中的行數 $n$）。
2. 比較 $\text{rank}(A)$ 與 $\text{rank}([A|b])$ 的大小：
   • 若 $\text{rank}(A) \neq \text{rank}([A|b])$ $\implies$ 無解（No solutions）。
   • 若 $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) = r$：
     • 若 $r = n$ $\implies$ 唯一解（Single solution）。
     • 若 $r < n$ $\implies$ 無窮多解（Many solutions）。

---

選項分析

(a) 小題

• 已知條件：$A$ 之大小為 $4 \times 4$（即 $m = 4, n = 4$），$\text{rank}(A) = 4$，$\text{rank}([A|b]) = 4$。
• 推導分析：
  • $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) = 4$，系統一致（有解）。
  • 秩 $r = 4$ 等於未知數個數 $n = 4$，自由變數個數為 $n - r = 4 - 4 = 0$。
• 結論：系統有唯一解（Single solution）。

(b) 小題

• 已知條件：$A$ 之大小為 $3 \times 3$（即 $m = 3, n = 3$），$\text{rank}(A) = 3$，$\text{rank}([A|b]) = 2$。
• 推導分析：
  • 依矩陣秩之性質，$A$ 的行空間包含於 $[A|b]$ 的行空間中，恆有 $\text{rank}(A) \le \text{rank}([A|b])$。

核心觀念

1. 反矩陣（Inverse Matrix）之存在性：
   對任意 $n \times n$ 的實數方陣 $A$，其反矩陣 $A^{-1}$ 存在的充要條件為行列式 $\det(A) \neq 0$（即 $A$ 為非奇異矩陣 / 可逆矩陣）。
2. 高斯－喬登消去法（Gauss-Jordan Elimination）：
   將矩陣 $A$ 與同階單位矩陣 $I_n$ 組成增廣矩陣 $[A \mid I_n]$，利用基本列運算（Elementary Row Operations）將左半部的 $A$ 化為單位矩陣 $I_n$，此時右半部即轉變為反矩陣 $A^{-1}$，即：
   $[A \mid I_n] \xrightarrow{\text{列運算}} [I_n \mid A^{-1}]$
3. 對稱矩陣性質：
   若方陣 $A$ 為對稱矩陣（$A = A^T$），則其反矩陣 $A^{-1}$ 亦必定為對稱矩陣（$(A^{-1})^T = A^{-1}$）。

---

解題方法

採用高斯－喬登消去法進行推導：

步驟一：建立增廣矩陣 $[A \mid I_3]$

$[A \mid I_3] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & \mid & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步驟二：執行基本列運算化為列簡梯形矩陣（RREF）

1. 消去第三列第一行元素（列運算 $R_3 \to R_3 - R_1$）：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \mid & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 消去第三列第二行元素（列運算 $R_3 \to R_3 - 2R_2$）：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \mid & -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$

3. 將第三列主元倍率化為 $1$（列運算 $R_3 \to -\frac{1}{2}R_3$）：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \mid & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

4. 向上消去第三行的其餘元素：

   • 第一列執行 $R_1 \to R_1 - R_3$
   • 第二列執行 $R_2 \to R_2 - 2R_3$

核心觀念

• 線性轉換的核空間 (Kernel of Linear Transformation)：設 $T: V \rightarrow W$ 為一線性轉換，則 $T$ 的核空間（核子）定義為所有經由 $T$ 轉換後會被映至零向量的向量集合：
  $\ker(T) = \{ x \in V \mid T(x) = 0 \}$
• 矩陣轉換與零空間 (Null Space)：當線性轉換定義為 $T(x) = Ax$ 時，$\ker(T)$ 即為矩陣 $A$ 的零空間 $\text{Null}(A)$，相當於齊次線性方程組 $Ax = 0$ 的全體解集合。
• 高斯消去法與列簡約梯形矩陣 (Reduced Row Echelon Form, RREF)：透過基本列運算將矩陣 $A$ 化簡為 RREF，找出樞紐變數與自由變數 (Free variables)，進而表示出齊次方程組的參數式通解與核空間之生成基底。

---

解題方法

求線性轉換 $T$ 的核空間 $\ker(T)$，即求齊次線性方程組 $Ax = 0$ 的所有解：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

對係數矩陣 $A$ 進行高斯消去法（列運算）：

1. 將第 1 列的 $(-1)$ 倍加至第 3 列（$R_3 - R_1 \rightarrow R_3$）：
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

2. 將第 2 列的 $(-1)$ 倍加至第 3 列（$R_3 - R_2 \rightarrow R_3$）：
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 將第 2 列乘以 $(-1)$（$(-1)R_2 \rightarrow R_2$）：
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

4. 將第 2 列的 $(-2)$ 倍加至第 1 列（$R_1 - 2R_2 \rightarrow R_1$），化簡為列簡約梯形矩陣 (RREF)：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

寫回對應的齊次線性方程組：
$\begin{cases} x_1 + 5x_3 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$

樞紐變數為 $x_1, x_2$，自由變數為 $x_3$。令 $x_3 = t$（其中 $t \in \mathbb{R}$），可得：
$\begin{cases} x_1 = -5t \\ x_2 = t \\ x_3 = t \end{cases}$

寫成向量形式：

核心觀念

• 向量空間的基底（Basis）定義：
  若集合 $S = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 為向量空間 $V$ 的基底，則必須同時滿足以下兩個條件：
  1. 線性獨立（Linearly Independent）：向量方程 $c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n = \mathbf{0}$ 只有唯一零解 $c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$。
  2. 線性生成（Spanning）：$\mathrm{span}(S) = V$，即 $V$ 中的任意向量皆可表示為 $S$ 中向量的線性組合。
• 基底定理（Basis Theorem）：
  已知 $n$ 維向量空間 $V$（本題 $V = \mathbb{R}^3$，維度 $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$），若集合 $S$ 恰好包含 $n$ 個向量，則下列敘述等價：
  1. $S$ 為 $V$ 的基底。
  2. $S$ 在 $V$ 中線性獨立。
  3. $S$ 能生成 $V$。
     因此，給定 $3$ 個三維向量，只需證明這 $3$ 個向量線性獨立，即可直接確定其構成 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
• 行列式與線性獨立判定（Determinant Criterion）：
  以這 $3$ 個向量作為列向量（或行向量）所構成的 $3 \times 3$ 方陣 $A$，若其行列式 $\det(A) \neq 0$，則該向量集線性獨立，且可生成 $\mathbb{R}^3$。

---

解題方法

本題欲證明 $S = \{(1, 2, 3), (-2, 1, 0), (1, 0, 1)\}$ 為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。提供以下兩種規範的推導證明方式：

方法一：矩陣行列式法（最精準且簡捷）

1. 檢視向量數量與空間維度：
   向量空間 $\mathbb{R}^3$ 的維度 $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$，集合 $S$ 包含 $3$ 個向量。
2. 構造矩陣並求行列式：
   將 $S$ 中的向量作為矩陣的列向量構造 $3 \times 3$ 矩陣 $A$：
   $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
   沿第一列進行降階展開求其行列式 $\det(A)$：
   $\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$
   $\det(A) = 1 \cdot (1 - 0) - 2 \cdot (-2 - 0) + 3 \cdot (0 - 1)$
   $\det(A) = 1 + 4 - 3 = 2$
3. 結論推導：
   由於 $\det(A) = 2 \neq 0$，矩陣 $A$ 為可逆矩陣（階數 $\mathrm{rank}(A) = 3$）。
   這代表 $S$ 中的 $3$ 個向量在 $\mathbb{R}^3$ 中線性獨立。根據基底定理，維度為 $3$ 的空間中 $3$ 個線性獨立的向量必構成該空間的基底，故 $S$ 為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。

方法二：依定義逐步驗證法（線性獨立與線性生成）

1. 驗證線性獨立（Linear Independence）：
   設純量 $c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$ 滿足線性組合：
   $c_1 (1, 2, 3) + c_2 (-2, 1, 0) + c_3 (1, 0, 1) = (0, 0, 0)$
   寫成線性方程組：