109 年 國立聯合大學電機工程學系研究所《工程數學》

第 1 題核心觀念

本題綜合考查：

1. Bernoulli 微分方程與變數代換。
2. 恰當微分方程。
3. 常係數非齊次二階微分方程。
4. 單位階躍函數與積分因子法。
5. 卷積定理與 Laplace 變換。

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(1) $y'-\dfrac{y}{x}=\dfrac{y^3}{x^4}$，$y(1)=1$

核心觀念

此式為 Bernoulli 方程：

$$y'+P(x)y=Q(x)y^n,\qquad n=3.$$

令

$$v=y^{1-n}=y^{-2}.$$

則

$$v'=-2y^{-3}y'.$$

解題方法

原方程可寫成

$$y'=\frac{y}{x}+\frac{y^3}{x^4}.$$

兩邊乘以 $-2y^{-3}$：

$$-2y^{-3}y' =-\frac{2}{x}y^{-2}-\frac{2}{x^4}.$$

由 $v=y^{-2}$ 得

$$v'+\frac{2}{x}v=-\frac{2}{x^4}.$$

其積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int 2/x\,dx}=x^2.$$

因此

$$(x^2v)'=-\frac{2}{x^2}.$$

積分得

$$x^2v=\frac{2}{x}+C,$$

所以

$$v=\frac{2}{x^3}+\frac{C}{x^2}.$$

由 $y(1)=1$，得 $v(1)=1$：

$$1=2+C,$$

故 $C=-1$。因此

$$y^{-2}=\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^2} =\frac{2-x}{x^3}.$$

因為 $y(1)=1>0$，取正平方根：

$$\boxed{y(x)=\sqrt{\frac{x^3}{2-x}}}.$$

包含初值 $x=1$ 的最大實數解區間為

$$\boxed{0<x<2}.$$

另外，原方程也有特殊解 $y\equiv 0$，但不符合 $y(1)=1$。

解題技巧

Bernoulli 方程代換後，必須注意 $y\equiv0$ 可能被除以 $y^3$ 的步驟排除，因此需另外檢查。最後利用初值判斷平方根正負號。

【答案】

$$\boxed{y(x)=\sqrt{\frac{x^3}{2-x}},\qquad 0<x<2.}$$

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(2) $4x y\,dx+(2x^2+3y^2+20)\,dy=0$，$y(1)=1$

核心觀念

令

$$M(x,y)=4xy,\qquad N(x,y)=2x^2+3y^2+20.$$

若

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},$$

則為恰當微分方程，可求勢函數 $F(x,y)$，使得

$$dF=M\,dx+N\,dy=0.$$

計算得

$$M_y=4x,\qquad N_x=4x,$$

因此方程恰當。

解題方法

由

$$F_x=M=4xy$$

對 $x$ 積分：

$$F(x,y)=2x^2y+g(y).$$

再對 $y$ 微分：

$$F_y=2x^2+g'(y).$$

與 $N$ 比較：

$$2x^2+g'(y)=2x^2+3y^2+20,$$

所以

$$g'(y)=3y^2+20,$$

積分得

$$g(y)=y^3+20y.$$

因此通解為

$$2x^2y+y^3+20y=C.$$

代入 $x=1,y=1$：

$$C=2(1)^2(1)+1^3+20(1)=23.$$

故初值解為

$$\boxed{2x^2y+y^3+20y=23}.$$

解題技巧

看到 $M\,dx+N\,dy=0$ 時，先比較 $M_y$ 與 $N_x$。若相等，直接積分 $M$ 或 $N$，不需先解成 $y'$。

【答案】

$$\boxed{2x^2y+y^3+20y=23.}$$

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(3) $y''+9y'+20y=te^{-t}$，$y(0)=0,\ y'(0)=0$

核心觀念

齊次方程的特徵方程為

$$r^2+9r+20=0=(r+4)(r+5),$$

所以齊次解為

$$y_h=C_1e^{-4t}+C_2e^{-5t}.$$

右側為 $te^{-t}$，使用待定係數法，設

$$y_p=e^{-t}(at+b).$$

解題方法

利用運算子公式：

$$(D^2+9D+20)\left(e^{-t}v\right) =e^{-t}(D^2+7D+12)v.$$

令 $v=at+b$，則

$$v'=a,\qquad v''=0.$$

因此

$$(D^2+7D+12)v =7a+12(at+b).$$

與 $t$ 比較係數：

$$12a=1,\qquad 7a+12b=0.$$

得到

$$a=\frac1{12},\qquad b=-\frac7{144}.$$

故

$$y_p=e^{-t}\left(\frac{t}{12}-\frac7{144}\right).$$

一般解為

$$y=C_1e^{-4t}+C_2e^{-5t} +e^{-t}\left(\frac{t}{12}-\frac7{144}\right).$$

代入 $y(0)=0$：

$$C_1+C_2-\frac7{144}=0,$$

即

$$C_1+C_2=\frac7{144}.$$

先求特解導數：

$$y_p' =e^{-t}\left(-\frac{t}{12}+\frac{19}{144}\right).$$

代入 $y'(0)=0$：

$$-4C_1-5C_2+\frac{19}{144}=0,$$

即

$$4C_1+5C_2=\frac{19}{144}.$$

解得

$$C_1=\frac19,\qquad C_2=-\frac1{16}.$$

因此

$$\boxed{ y(t)=\frac19e^{-4t}-\frac1{16}e^{-5t} +e^{-t}\left(\frac{t}{12}-\frac7{144}\right) }.$$

解題技巧

右側若為多項式乘上指數函數 $P_n(t)e^{\alpha t}$，可設

$$y_p=e^{\alpha t}Q_n(t).$$

若 $\alpha$ 是特徵根，才需要額外乘上 $t^s$；本題 $\alpha=-1$ 不是特徵根，因此不必乘 $t$。

【答案】

核心觀念

本題綜合考查矩陣的特徵值、特徵向量、反矩陣與行列式：

• 特徵值 $\lambda$ 滿足特徵方程
  $\det(\lambda I-A)=0$
• 對應特徵向量 $\mathbf v$ 滿足
  $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$
  或
  $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$
• 若 $\det(A)\neq 0$，則
  $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$
• 若 $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ 且 $\lambda\neq 0$，則
  $A^{-1}\mathbf v=\frac{1}{\lambda}\mathbf v$
  因此 $A^{-1}$ 的特徵值是 $A$ 的特徵值的倒數。

給定

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&-1\\ 3&0&-1\\ -3&2&3 \end{bmatrix}$$

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（1）求三個特徵值

計算特徵方程：

$$\det(\lambda I-A) = \begin{vmatrix} \lambda-1&-2&1\\ -3&\lambda&1\\ 3&-2&\lambda-3 \end{vmatrix}$$

展開並整理可得

$$\det(\lambda I-A) = \lambda^3-4\lambda^2-4\lambda+16$$

因式分解：

$$\lambda^3-4\lambda^2-4\lambda+16 = \lambda^2(\lambda-4)-4(\lambda-4)$$ $$=(\lambda^2-4)(\lambda-4)$$ $$=(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-4)$$

所以特徵方程為

$$(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-4)=0$$

三個特徵值為

$$\boxed{\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=4,\qquad \lambda_3=-2}$$

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（2）求對應的特徵向量

對應 $\lambda=2$

解

$$(A-2I)\mathbf v=\mathbf 0$$

其中

$$A-2I= \begin{bmatrix} -1&2&-1\\ 3&-2&-1\\ -3&2&1 \end{bmatrix}$$

令 $\mathbf v=(x,y,z)^T$，由方程組可得

$$-x+2y-z=0$$ $$3x-2y-z=0$$

兩式相減：

$$4x-4y=0 \quad\Rightarrow\quad x=y$$

代回可得 $z=x$，因此可取

$$\boxed{\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}}$$

驗算：

$$A \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\2\\2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}$$

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對應 $\lambda=4$

解

$$(A-4I)\mathbf v=\mathbf 0$$

其中

$$A-4I= \begin{bmatrix} -3&2&-1\\ 3&-4&-1\\ -3&2&-1 \end{bmatrix}$$

由

$$-3x+2y-z=0$$ $$3x-4y-z=0$$

相加可得

$$-2y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-y$$

再代回可得 $x=y$，因此可取

$$\boxed{\mathbf v_2= \begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix}}$$

驗算：

$$A \begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\4\\-4 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix}$$

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對應 $\lambda=-2$

解

$$(A+2I)\mathbf v=\mathbf 0$$

其中

$$A+2I= \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 3&2&-1\\ -3&2&5 \end{bmatrix}$$

由第一列得

$$3x+2y-z=0 \quad\Rightarrow\quad z=3x+2y$$

代入第三列：

$$-3x+2y+5z=0$$ $$-3x+2y+5(3x+2y)=0$$ $$12x+12y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-x$$

因此

$$z=3x+2(-x)=x$$

可取

$$\boxed{\mathbf v_3= \begin{bmatrix} 1\\-1\\1 \end{bmatrix}}$$

驗算：

核心觀念

本題使用兩項複變函數工具：

1. 留數定理
   $\oint_C f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;z_k),$
   其中 $z_k$ 為曲線 $C$ 內部的奇點。

2. 柯西主值積分
   對實軸上的極點，採用主值積分，並以半圓凹陷避開該極點。上半平面繞行時：

$$\operatorname{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f;z_k) +i\pi\operatorname{Res}(f;x_0),$$

其中 $x_0$ 是實軸上的簡單極點。

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（1）橢圓路徑上的閉合積分

題目中的曲線為
$x^2+9y^2=9,$
亦即
$\frac{x^2}{9}+y^2=1.$

此橢圓的水平半軸為 $3$、垂直半軸為 $1$，因此 $z=1$ 與 $z=-1$ 均位於曲線 $C$ 內部。

令

$$f(z)=\frac{e^{z\pi/2}+2ze^{z/2}}{z^2-1} =\frac{e^{z\pi/2}+2ze^{z/2}}{(z-1)(z+1)}.$$

奇點為 $z=1,-1$，均為簡單極點。

在 $z=1$ 的留數

$$\operatorname{Res}(f;1) =\lim_{z\to1}(z-1)f(z) =\frac{e^{\pi/2}+2e^{1/2}}{2}.$$

因此

$$\operatorname{Res}(f;1) =\frac12e^{\pi/2}+e^{1/2}.$$

在 $z=-1$ 的留數

$$\operatorname{Res}(f;-1) =\lim_{z\to-1}(z+1)f(z) =\frac{e^{-\pi/2}-2e^{-1/2}}{-2}.$$

整理得

$$\operatorname{Res}(f;-1) =-\frac12e^{-\pi/2}+e^{-1/2}.$$

套用留數定理

兩個極點皆在 $C$ 內，故

$$\oint_C f(z)\,dz =2\pi i\left[ \left(\frac12e^{\pi/2}+e^{1/2}\right) +\left(-\frac12e^{-\pi/2}+e^{-1/2}\right) \right].$$

因此

$$\boxed{ \oint_C \frac{e^{z\pi/2}+2ze^{z/2}}{z^2-1}\,dz = 2\pi i\left[ \frac{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}{2} +e^{1/2}+e^{-1/2} \right] }$$

亦可寫成

$$\boxed{ 2\pi i\left(\sinh\frac{\pi}{2}+2\cosh\frac12\right) }.$$

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（2）柯西主值積分

考慮

$$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-i)^2}.$$

奇點為：