113 年 國立嘉義大學應用數學系碩士班甲：計算暨資訊科學組《微積分》

此題考查積分技巧，主要使用部分分式分解法來化簡被積函數。

設被積函數為 $f(x) = \frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)^2}$。
我們將 $f(x)$ 分解為部分分式：
$\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$
將右式通分，得到：
$x^2+1 = A(x-2)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-1)$
為了求出常數 $A, B, C$，我們可以代入特定的 $x$ 值或比較係數。

令 $x=1$：
$1^2+1 = A(1-2)^2 + B(1-1)(1-2) + C(1-1)$
$2 = A(-1)^2 + 0 + 0$
$2 = A$

令 $x=2$：
$2^2+1 = A(2-2)^2 + B(2-1)(2-2) + C(2-1)$
$5 = 0 + B(1)(0) + C(1)$
$5 = C$

為了求 $B$，我們可以比較 $x^2$ 的係數。
展開右式：
$A(x^2-4x+4) + B(x^2-3x+2) + C(x-1)$
$Ax^2 - 4Ax + 4A + Bx^2 - 3Bx + 2B + Cx - C$
$(A+B)x^2 + (-4A-3B+C)x + (4A+2B-C)$

比較 $x^2$ 的係數：
$1 = A+B$
由於 $A=2$，所以 $1 = 2+B$，解得 $B = -1$。

此題考查對數函數的微分性質以及連鎖律。

首先，利用對數的性質化簡被微分的表達式。
令 $y = \log_2 \left( \frac{(x^2+1)(x^3+3)}{x^4+5} \right)$。
根據對數性質 $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ 和 $\log_b(M/N) = \log_b M - \log_b N$，我們可以將表達式改寫為：
$y = \log_2(x^2+1) + \log_2(x^3+3) - \log_2(x^4+5)$
接下來，我們需要對這個表達式求導。
我們知道 $\frac{d}{dx} (\log_b u) = \frac{1}{u \ln b} \frac{du}{dx}$。
對於每一項，我們應用這個規則。

第一項：$\frac{d}{dx} [\log_2(x^2+1)]$
令 $u = x^2+1$，則 $\frac{du}{dx} = 2x$。
所以，$\frac{d}{dx} [\log_2(x^2+1)] = \frac{1}{(x^2+1) \ln 2} (2x) = \frac{2x}{(x^2+1) \ln 2}$。

第二項：$\frac{d}{dx} [\log_2(x^3+3)]$
令 $u = x^3+3$，則 $\frac{du}{dx} = 3x^2$。

此題考查極限計算，當直接代入 $x=0$ 時會得到 $\frac{0}{0}$ 的不定型，因此需要使用代數方法（如乘以共軛式）或羅必達法則來求解。

方法一：乘以共軛式
將分子乘以其共軛式 $\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x}$：
$\frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x+x^2} \times \frac{\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x}}{\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x}}$
$= \frac{(1+2x) - (1-3x)}{(x+x^2)(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
$= \frac{1+2x-1+3x}{(x+x^2)(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
$= \frac{5x}{(x+x^2)(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
當 $x \to 0$，且 $x \neq 0$，我們可以約分 $x$：
$= \frac{5}{(1+x)(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
現在，我們對這個簡化後的表達式計算極限：
$\lim_{x \to 0} \frac{5}{(1+x)(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
代入 $x=0$：

此題考查極限計算，當直接代入 $y=0$ 時會得到 $\frac{\cos(0)-1}{0^2} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$ 的不定型，因此需要使用代數方法或羅必達法則來求解。

方法一：使用泰勒級數展開
我們知道 $\cos(y)$ 在 $y=0$ 附近的泰勒級數展開為：
$\cos(y) = 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \dots$
將此代入極限式中：
$\lim_{y \to 0} \frac{\left( 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \dots \right) - 1}{y^2}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{-\frac{y^2}{2} + \frac{y^4}{24} - \dots}{y^2}$
提出 $y^2$ 作為公因數：
$= \lim_{y \to 0} \frac{y^2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{y^2}{24} - \dots \right)}{y^2}$
約分 $y^2$ (因為 $y \to 0$ 但 $y \neq 0$)：
$= \lim_{y \to 0} \left( -\frac{1}{2} + \frac{y^2}{24} - \dots \right)$
當 $y \to 0$，級數中除了常數項 $-\frac{1}{2}$ 外，其他項都趨近於 0。
$= -\frac{1}{2}$

方法二：羅必達法則
當 $y \to 0$ 時，原式為 $\frac{0}{0}$ 的不定型。
對分子和分母分別求導。
分子導函數：$\frac{d}{dy}(\cos(y) - 1) = -\sin(y)$
分母導函數：$\frac{d}{dy}(y^2) = 2y$
根據羅必達法則，極限等於：
$\lim_{y \to 0} \frac{-\sin(y)}{2y}$
當 $y \to 0$ 時，此式仍為 $\frac{0}{0}$ 的不定型。再次使用羅必達法則。
對分子和分母再次求導。
分子導函數：$\frac{d}{dy}(-\sin(y)) = -\cos(y)$

此題考查定積分的計算，需要理解最大整數函數的性質，並將積分區間進行適當分割。

最大整數函數 $[x]$ 的定義是小於或等於 $x$ 的最大整數。
在積分區間 $[0, 1]$ 上，我們需要分析 $[x^2]$ 和 $[x]^2$ 的行為。

首先分析 $[x]$：
在區間 $[0, 1)$ 上，$0 \le x < 1$，所以 $[x] = 0$。
在點 $x=1$ 上，$[x] = 1$。

接著分析 $[x^2]$：
在區間 $[0, 1)$ 上，$0 \le x < 1$，所以 $0 \le x^2 < 1$。
因此，在區間 $[0, 1)$ 上，$[x^2] = 0$。
在點 $x=1$ 上，$x^2 = 1$，所以 $[x^2] = 1$。

此題考查極限計算，當直接代入 $x=0$ 時會得到 $0^0$ 的不定型，這是一個常見的不定型，通常需要使用對數來轉化。

令 $L = \lim_{x \to 0^+} x^x$。
取自然對數：
$\ln L = \ln \left( \lim_{x \to 0^+} x^x \right)$
由於對數函數是連續的，我們可以將極限移到對數函數內部：
$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \ln(x^x)$
利用對數性質 $\ln(a^b) = b \ln a$：
$\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln x$
當 $x \to 0^+$, $x \ln x$ 形式為 $0 \times (-\infty)$，這也是一個不定型。
為了使用羅必達法則，我們將其改寫為分數形式：
$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$

核心觀念
此題測驗「利用已知的幾何級數展開，再以積分(或導數)得到目標函數的泰勒級數」的技巧。

• 先掌握 $\displaystyle\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n\;( |u|<1)$。
• 了解 $\displaystyle\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$，可將 $\tan^{-1}x$ 表成 $\int_0^x\frac{1}{1+t^2}\,dt$，再把被積分函數以幾何級數展開並逐項積分。

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解題過程

1. 由導函數寫成積分形式

$$\tan^{-1}x = \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt .$$

為什麼這樣做？
將原函數寫成積分，可直接把已知的級數 (此處是 $1/(1+t^2)$ 的展開) 代入，利用項級積分得到目標函數的級數。

2. 把 $\displaystyle\frac{1}{1+t^{2}}$ 展開為幾何級數

令 $u=t^{2}$，則

$$\frac{1}{1+t^{2}}=\frac{1}{1+u} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}, \qquad |t|<1 .$$

為什麼可以使用此展開？
幾何級數 $\displaystyle\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}$ 在 $|u|<1$ 時絕對收斂。此處 $u=t^{2}$，所以只要 $|t|<1$，展開合法。

核心觀念
本題考查極坐標曲線的弧長公式。須先把弧長積分寫成

$L=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r(\theta)^2+\bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\;d\theta ,$

其中 $r(\theta)$ 為極坐標半徑，$r'(\theta)$ 為它對 $\theta$ 的導數。計算完積分即可得到完整的弧長。

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解題過程

1. 寫出 $r(\theta)$ 與其導數

   給定 $r(\theta)=1+\cos\theta$。

$r'(\theta)=\frac{d}{d\theta}(1+\cos\theta)=-\sin\theta .$

2. 代入弧長公式

$L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\,\bigl(1+\cos\theta\bigr)^2+\bigl(-\sin\theta\bigr)^2\,}\;d\theta .$

為什麼要把 $\sin^2\theta$ 加進去？因為弧長公式的根號裡必須同時考慮徑向變化 $r$ 與角向變化 $r'$，兩者共同決定曲線在平面上的實際走向。

3. 化簡根號內的表達式

$$\begin{aligned} \bigl(1+\cos\theta\bigr)^2+\sin^2\theta &=1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta\\ &=1+2\cos\theta+(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\ &=1+2\cos\theta+1 \\ &=2\bigl(1+\cos\theta\bigr). \end{aligned}$$

這一步利用了三角恆等式 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。根號變為

$\sqrt{2\bigl(1+\cos\theta\bigr)}=\sqrt{2}\,\sqrt{1+\cos\theta}.$

4. 將根號內的 $\,1+\cos\theta$ 轉為半角公式

$$1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+\cos\theta}= \sqrt{2}\,\bigl|\cos\frac{\theta}{2}\bigr|.$$

注意 $\cos\frac{\theta}{2}$ 在區間 $[0,2\pi]$ 的符號變化：

• 當 $0\le\theta\le\pi$ 時，$\cos\frac{\theta}{2}\ge0$；
• 當 $\pi\le\theta\le2\pi$ 時，$\cos\frac{\theta}{2}\le0$。

因此 $|\cos\frac{\theta}{2}|=\cos\frac{\theta}{2}$（$0\le\theta\le\pi$），而在 $\pi\le\theta\le2\pi$ 則為 $-\cos\frac{\theta}{2}$。

5. 把積分拆成兩段

核心概念
此題測驗「絕對值函數的導數」與「分段函數在分界點是否可微」的判斷方法。關鍵在於檢查左、右導數是否相等，若相等且函數本身在該點連續，則可微。

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解題步驟

1. 寫出 $f(x)$ 的分段表示
   絕對值 $|x-1|$ 在 $x=1$ 兩側的表達式不同：

   $$|x-1|=\begin{cases} -(x-1)=1-x, & x<1,\\[4pt] x-1, & x\ge 1. \end{cases}$$

   因此

   $$f(x)=e^{|x-1|}= \begin{cases} e^{\,1-x}, & x<1,\\[4pt] e^{\,x-1}, & x\ge 1. \end{cases}$$

2. 確認函數在 $x=1$ 連續
   計算左右極限：

   $$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}e^{\,1-x}=e^{0}=1,$$ $$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}e^{\,x-1}=e^{0}=1.$$

   同時 $f(1)=e^{|1-1|}=e^{0}=1$，故 $f$ 在 $x=1$ 連續。

核心觀念
本題主要檢驗以下兩個微分技巧：

1. 冪函數的微分：利用 $\displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{\,n-1}$。
2. 合成函數的微分（鏈式法則）：當函數以根號或其他指數形式出現時，先把它寫成冪次形式，再直接套用冪函數微分公式即可。

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解題過程

函數給定為

$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt[3]{\sqrt{x}}$

先把每一項寫成冪次的形式：

$$\sqrt{x}=x^{\frac12},\qquad \sqrt[3]{\sqrt{x}}=(\sqrt{x})^{\frac13}= \left(x^{\frac12}\right)^{\frac13}=x^{\frac12\cdot\frac13}=x^{\frac16}.$$

因此

$f(x)=x^{\frac12}+x^{\frac12}+x^{\frac16}=2x^{\frac12}+x^{\frac16}.$

接下來對每一項分別微分。

1. 對 $2x^{\frac12}$ 微分