109 年 國立臺灣大學電子工程學研究所丙組《電子學（E）》

核心觀念

本題包含四組重點：

• 半導體元件物理：BJT 的基極寬度調變、MOSFET 的通道長度調變、能帶圖、少數載子分布、接面電容及崩潰機制。
• MOS 放大器分析：直流時電容開路；中頻小訊號時，耦合及旁路電容視為短路。
• 主動濾波器：以節點分析推導轉移函數，並區分單一極點頻率與整體 $-3\,\mathrm{dB}$ 截止頻率。
• 直接耦合多級放大器：前級汲極電壓就是後級閘極偏壓；先完成直流設計，再求小訊號增益。

解題方法

依原卷，Figure 1 的 $V_{DD}=3\,\mathrm V$、$R_D=2\,\mathrm{k\Omega}$、$R_G=10\,\mathrm{M\Omega}$、$R_L=5\,\mathrm{k\Omega}$，且 $R_G$ 接在閘極與汲極之間；第 (3) 小題改的是 $R_G=10\,\mathrm{k\Omega}$。原卷的製程參數為 $\mu_nC_{ox}=1600\,\mathrm{\mu A/V^2}$。

Figure 2 中，$C_1$ 接在非反相輸入端與地之間，$C_2$ 接在兩電阻的中間節點與輸出端之間。Figure 3 為 NMOS 共源級直接耦合至 PMOS 共源級，$C_{S1}$、$C_{S2}$ 分別旁路兩級的源極電阻。

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(A) 元件物理

1. BJT 與 MOSFET 的 Early 效應

BJT：基極寬度調變

以工作於順向主動區的 NPN 電晶體為例：

       射極 E             基極 B                集極 C
         n+                 p                    n
    ──────────│空乏區│← 中性基極 WB →│空乏區│──────────
                                      ←
                         VCB 增大，集基空乏區向基極擴張

射基接面順向偏壓、集基接面逆向偏壓。當 $V_{CB}$ 增加，集基接面的空乏區變寬，使有效中性基極寬度 $W_B$ 減少。

在固定 $V_{BE}$ 下，基極中的少數電子濃度梯度增大，復合也減少，因此集極電流增加：

$$I_C\propto \frac{1}{W_B}.$$

常用近似模型為

$$I_C\simeq I_S e^{V_{BE}/U_T} \left(1+\frac{V_{CE}}{V_A}\right), \qquad U_T=\frac{kT}{q}.$$

因此主動區的輸出曲線具有有限斜率：

$$r_o\simeq \frac{V_A}{I_C}.$$

MOSFET：通道長度調變

以飽和區的 NMOS 為例：

                       閘極 G
                  ─────────────
                       氧化層
       源極 n+ ═══ 反轉通道 ═══│夾止區│ 汲極 n+
                  ←  Leff  →     ←
                       p 型基體

當 $V_{DS}\ge V_{GS}-V_{TN}$，汲極端通道夾止。繼續增加 $V_{DS}$，汲極端的夾止區擴張，夾止點向源極移動，使有效通道長度 $L_{\mathrm{eff}}$ 縮短，故汲極電流增加：

$$I_D\simeq \frac12\mu_nC_{ox}\frac WL(V_{GS}-V_{TN})^2 (1+\lambda V_{DS}).$$

其中 $\lambda\simeq 1/V_A$，因此

$$r_o\simeq \frac{1}{\lambda I_D} =\frac{V_A}{I_D}.$$

兩者都使輸出電流隨輸出電壓增加；BJT 改變的是基極寬度，MOSFET 改變的是有效通道長度。

2. BJT 與 MOSFET 的能帶圖

以下能帶圖均以縱軸表示電子能量、橫軸表示位置；$E_C$ 為導帶底，$E_V$ 為價帶頂。圖形為示意，未按比例繪製。

BJT 的平衡能帶圖

NPN 結構為 $n^+$ 射極、$p$ 基極、$n$ 集極。平衡時，費米能階 $E_F$ 必須水平：

電子能量 ↑
                  p 型基極
 EC       ______／￣￣￣￣￣＼_______
 EF       ─────────────────────────
 EV       ______／￣￣￣￣￣＼_______
             n+ 射極          n 集極
位置 →          E       B       C

兩個接面均有內建位障。射極與集極摻雜濃度不同，其遠離接面的能帶高度也可不同。

BJT 在順向主動區的能帶圖

順向主動區滿足

$$V_{BE}>0,\qquad V_{CB}>0.$$

射基位障降低，集基位障增大：

$$\Delta E_{EB}=q(V_{bi,EB}-V_{BE}),$$ $$\Delta E_{BC}=q(V_{bi,BC}+V_{CB}).$$

電子能量 ↑
                 基極
 EC       ____／￣￣￣￣＼
                         ＼________
 EV       ____／￣￣￣￣＼
                         ＼________
              E     B        C
          射基位障降低   集基逆偏能帶下降增大

電子由射極注入基極，穿越薄基極後，被集基空乏區電場掃入集極。外加偏壓下，應以電子及電洞的準費米能階描述，不能再把整個元件畫成單一水平 $E_F$。

NMOS 的能帶圖

沿源極至汲極方向，未形成反轉通道時，$n^+$ 源極與汲極之間的 $p$ 型區具有電子位障：

電子能量 ↑
 EC       _____／￣￣￣￣￣￣＼_____
 EV       _____／￣￣￣￣￣￣＼_____
             源極   p 型區    汲極

正閘極電壓使矽表面能帶向下彎曲。沿「矽表面至基體深處」方向可示意為：

電子能量 ↑
 EC       _____／￣￣￣￣￣￣
 EF       ─────────────────
 EV       _____／￣￣￣￣￣￣
            表面 → 基體深處

表面的 $E_C$ 接近電子準費米能階，電子濃度增加，形成反轉通道。

NMOS 在飽和區的能帶與通道

飽和條件為

$$V_{DS}\ge V_{GS}-V_{TN}.$$

沿通道方向，電位 $V(x)$ 由源極向汲極增加，因此電子能帶隨 $-qV(x)$ 下降：

電子能量 ↑
 EC       ─────＼
                 ＼________
 EV       ─────＼
                 ＼________
位置 →     源極   通道   夾止／高電場區   汲極

長通道近似下，反轉電荷面密度為

$$Q_{\mathrm{inv}}(x) \simeq -C_{ox}\bigl[V_{GS}-V_{TN}-V(x)\bigr].$$

在飽和起點，汲極端 $V(x)=V_{GS}-V_{TN}$，反轉電荷趨近零。電子仍會穿越汲極端高電場區到達汲極，夾止不代表電流停止。

3. PN 接面的少數載子分布與電容

設 $p$ 側空乏區邊界為 $x=-x_p$，$n$ 側邊界為 $x=x_n$。平衡少數載子濃度為

$$n_{p0}=\frac{n_i^2}{N_A}, \qquad p_{n0}=\frac{n_i^2}{N_D}.$$

低注入近似下，外加接面電壓 $V_D$ 時：

$$n_p(-x_p)=n_{p0}e^{V_D/U_T}, \qquad p_n(x_n)=p_{n0}e^{V_D/U_T}.$$

中性區內的分布為

$$n_p(x)=n_{p0} \left[ 1+\left(e^{V_D/U_T}-1\right) e^{(x+x_p)/L_n} \right], \qquad x\le -x_p,$$ $$p_n(x)=p_{n0} \left[ 1+\left(e^{V_D/U_T}-1\right) e^{-(x-x_n)/L_p} \right], \qquad x\ge x_n.$$

順向偏壓：邊界濃度增加

少數載子濃度 ↑
                 ／│          │＼
               ／  │  空乏區  │  ＼
平衡濃度 ─────     │          │     ─────
             p 側電子        n 側電洞

注入的少數載子由接面邊界往中性區擴散，濃度逐漸回到平衡值。

逆向偏壓：邊界濃度下降

當 $V_D\ll -U_T$，兩側邊界的少數載子濃度近似為零：

少數載子濃度 ↑
平衡濃度 ─────＼              ／─────
               ＼│          │／
                 │  空乏區  │
             p 側電子        n 側電洞

少數載子向接面擴散後，被空乏區電場掃過接面，形成逆向電流。

空乏電容

空乏區兩側分別留下負的受體離子與正的施體離子：

        p 側                  n 側
    − − − − − │← 空乏寬度 W →│ + + + + +

外加電壓改變時，空乏區寬度及離子電荷量隨之改變，形成空乏電容：

$$C_j=\frac{dQ_j}{dV_D}=\frac{\varepsilon_s A}{W}.$$

突變接面的空乏區寬度為

$$W= \sqrt{ \frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right) (V_{bi}-V_D) }.$$

因此

$$C_j= \frac{C_{j0}}{\sqrt{1-V_D/V_{bi}}}.$$

逆向偏壓越大，$W$ 越寬，$C_j$ 越小。

擴散電容

順向偏壓會在兩側中性區儲存過量少數載子；其濃度曲線高於平衡值的面積代表儲存電荷：

$$Q_s=qA \left(L_n n_{p0}+L_p p_{n0}\right) \left(e^{V_D/U_T}-1\right).$$

擴散電容為

$$C_d=\frac{dQ_s}{dV_D} \simeq \frac{\tau_F I_D}{U_T}.$$

故順向電流越大，擴散電容越大；逆向偏壓下，通常以空乏電容為主。

4. 二極體崩潰與溫度效應

齊納崩潰

重摻雜接面的空乏區很窄，強電場使電子由 $p$ 側價帶穿隧至 $n$ 側導帶。此機制多見於較低崩潰電壓的接面，崩潰電壓通常具有負溫度係數。

雪崩崩潰

較寬的空乏區中，載子被電場加速，碰撞晶格而產生新的電子—電洞對，形成碰撞游離與倍增。此機制多見於較高崩潰電壓的接面，崩潰電壓通常具有正溫度係數：升溫使晶格散射增加，需要更高電場才能造成雪崩。

兩種機制可以同時存在，約 $5\sim6\,\mathrm V$ 附近的接面可具有較小的整體溫度係數。崩潰時須限制電流，避免過熱損壞。

一般導通與漏電的溫度效應

二極體電流近似為

$$I_D=I_S \left(e^{V_D/(nU_T)}-1\right).$$

升溫時，$U_T$ 增加，本質載子濃度及 $I_S$ 也增加。通常：

• 固定順向電壓：順向電流增加。
• 固定順向電流：順向壓降降低；矽二極體在室溫附近常約為 $-2\,\mathrm{mV/^\circ C}$。
• 固定逆向電壓且未崩潰：逆向漏電增加。

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(B)1 Figure 1：汲極至閘極回授的 NMOS 放大器

(1) 直流工作點

採考題常用的直流平方律近似，忽略直流通道長度調變，並以 $V_A$ 計算小訊號 $r_o$。

直流時兩顆耦合電容開路，$R_L$ 不參與偏壓。MOS 閘極電流為零，因此 $R_G$ 上沒有直流壓降：

$$V_G=V_D,\qquad V_S=0.$$

製程與尺寸參數給出

$$\beta_n=\mu_nC_{ox}\frac WL =1600\times\frac{0.9}{0.18} =8000\,\mathrm{\mu A/V^2} =8\,\mathrm{mA/V^2}.$$

飽和區平方律為

$$I_D=\frac12\beta_n(V_G-0.5)^2 =4(V_G-0.5)^2\ \mathrm{mA}.$$

另一方面，

$$I_D=\frac{3-V_D}{2}\ \mathrm{mA}.$$

代入 $V_G=V_D$：

$$4(V_D-0.5)^2=\frac{3-V_D}{2},$$ $$8V_D^2-7V_D-1=0.$$

符合導通條件的根為 $V_D=1\,\mathrm V$，故

$$\boxed{ V_G=V_D=1\,\mathrm V,\qquad I_D=1\,\mathrm{mA} }.$$

此時 $V_{GS}-V_{TN}=0.5\,\mathrm V$，而 $V_{DS}=1\,\mathrm V$，確實滿足飽和條件。

(2) 中頻電壓增益

中頻時兩顆耦合電容短路，$v_g=v_{in}$、$v_d=v_{out}$，電源為交流地。

$$g_m=\beta_n(V_{GS}-V_{TN}) =8(0.5)=4\,\mathrm{mS},$$ $$r_o\simeq \frac{V_A}{I_D} =\frac{10}{1\,\mathrm{mA}} =10\,\mathrm{k\Omega}.$$

在汲極寫 KCL：

$$\frac{v_{out}}{R_D} +\frac{v_{out}}{R_L} +\frac{v_{out}}{r_o} +\frac{v_{out}-v_{in}}{R_G} +g_m v_{in}=0.$$

因此

$$\boxed{ A_v= -\frac{g_m-1/R_G} {1/R_D+1/R_L+1/r_o+1/R_G} }.$$

代入 $R_G=10\,\mathrm{M\Omega}$：

$$A_v= -\frac{4-0.0001} {0.5+0.2+0.1+0.0001} \simeq -4.9993.$$

故

$$\boxed{A_v\simeq -5.00}.$$

亦可用 $R_D\parallel R_L\parallel r_o=1.25\,\mathrm{k\Omega}$，快速驗算 $A_v\simeq-g_m(1.25\,\mathrm{k\Omega})=-5$。

(3) 將 $R_G$ 改為 $10\,\mathrm{k\Omega}$

閘極仍無直流電流，故 $V_G=V_D$ 不變，直流工作點仍為

考點簡述

本題測試的是 「早期效應（Early Effect）」 在 BJT 與 MOSFET 兩種元件的物理機制與其對輸出特性的影響，必須能從元件橫截面 (cross‑section) 觀察到 電壓變化導致通道寬度/長度的調變，以及如何由此推導出 有限的輸出阻抗 (即 $r_o$) 與 Early voltage $V_A$（BJT）或 channel‑length‑modulation係數 $\lambda$（MOSFET）。

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(a) BJT 的 Early Effect

1. 物理機制（橫截面圖示說明）

• 在 NPN (或 PNP) 晶體管的 基極 (B) 與 集電極 (C) 之間形成 基區 (base)。
• 當 $V_{CE}$（或 $V_{CB}$）提升時，集電極–基極之間的反向偏壓 增大，導致 耗盡層 (depletion region) 往 基區 內延伸。
• 這會 縮短有效的基寬 $W_B$（稱為 基寬調變），如圖所示：

  Emitter ──|<─ p‑type
                |
              n‑type (base)
                |
  ---- depletion region ----
                |
              n‑type (collector) 
  

• 基寬變小意味 載流子在基區的復合機率下降，使 基極電流 $I_B$ 幾乎不變的情況下 集電極電流 $I_C$ 會 稍微增加。

2. 數學描述

• 在理想的 Ebers‑Moll 模型中，$I_C$ 與 $V_{CE}$ 無關（理想斜率為 $0$）。

• 實際上，因基寬縮短有
  $I_C = I_{C0}\bigl(1 + \frac{V_{CE}}{V_A}\bigr)$
  其中 $V_A$ 為 Early voltage，其大小與 基寬調變程度 成反比。

• 輸出阻抗

$$r_o = \frac{\partial V_{CE}}{\partial I_C}\bigg|_{I_B} \approx \frac{V_A}{I_C}$$

3. 為何稱為「Early Effect」

Earl Early 在 1952 年首次觀測到 BJT $I_C$ 隨 $V_{CE}$ 增加而略為上升的現象，故以其姓氏命名。

【答案】
Early Effect 在 BJT 中是因 集電極‑基極反向偏壓擴大耗盡層，使 基寬 $W_B$ 縮短，導致 $I_C$ 隨 $V_{CE}$ 線性上升，表徵於有限的 Early voltage $V_A$ 與輸出阻抗 $r_o \approx V_A/I_C$。

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(b) MOSFET 的 Early Effect（通常稱為 Channel‑Length‑Modulation）

核心觀念

能帶圖以能量為縱軸、位置為橫軸。$E_C$ 與 $E_V$ 分別是導帶底與價帶頂；在矽材料中，兩者一起彎曲，能隙 $E_g=E_C-E_V$ 大致不變。熱平衡時費米能階 $E_F$ 必須平坦；有電流時則以準費米能階描述載子。

原卷第 419 題 (A) 2 只要求畫能帶圖，未指定電晶體極性，也未附本小題專用的元件圖。以下採常見的 NPN 雙極性電晶體與增強型 NMOS，位置方向分別取射極—基極—集極，以及源極—通道—汲極。

解題方法

先依摻雜型態標出材料區域，再判斷能帶彎曲方向。NPN 電晶體是 $n^+-p-n$ 結構，因此熱平衡時基極能帶高於兩側 n 型區，呈低—高—低。MOSFET 則沿源極至汲極畫通道方向的能帶；進入飽和區時，汲極端通道夾止，局部通道電位提高，使通道能帶向汲極方向下降。

1. NPN BJT 熱平衡能帶圖

能量 E ↑

E_C       ________/‾‾‾‾‾‾‾‾\________
E_F       ────────────────────────────  平坦
E_V       ________/‾‾‾‾‾‾‾‾\________

             n⁺ 射極       p 基極       n 集極  → x

基極的 $E_C$、$E_V$ 均高於兩側 n 型區，能帶形狀是低—高—低。兩個 pn 接面各有內建位障；熱平衡時沒有淨電流，故 $E_F$ 平坦。

2. NMOS 熱平衡能帶圖

以下沿著表面通道，由源極經 p 型基體到汲極畫側向能帶；閘極與通道之間隔著氧化層。

元件剖面：       閘極 G
              ───────────
                 氧化層
              ───────────
             n⁺ S | p 型基體 | n⁺ D

能量 E ↑

E_C       ________/‾‾‾‾‾‾‾‾\________
E_F       ────────────────────────────  平坦
E_V       ________/‾‾‾‾‾‾‾‾\________

             n⁺ 源極      p 型基體      n⁺ 汲極  → x

零端點偏壓下，源極與汲極分別和 p 型基體形成接面；閘極透過氧化層的電場控制表面通道，不直接與通道導通。

3. NPN BJT 正向主動區能帶圖

正向主動區的條件是射極—基極接面順偏、集極—基極接面逆偏。令 $V_{BE}>0$、$V_{CB}>0$，兩側能障分別為：

$$\Delta E_{BE}=q(V_{bi,BE}-V_{BE}), \qquad \Delta E_{BC}=q(V_{bi,BC}+V_{CB})$$

核心觀念

• 了解正向與反向偏壓下，PN 接面少子 (minority carrier) 的濃度分佈與電荷累積方式。
• 依據少子分佈解釋 PN 接面的兩種主要電容：擴散電容 (diffusion capacitance) 與 耗盡層電容 (junction capacitance)。

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(a) 少子分佈圖與說明

正向偏壓 (Forward‑bias)

• 在正向偏壓 $V_{F}>0$ 時，外加電壓減小耗盡層寬度 $W$，使載流子（電子 $n$ 從 $n$ 側、空穴 $p$ 從 $p$ 側）能跨過勢垒，於接面兩側注入少子。
• 少子濃度在接面邊緣突升，之後沿著各自的區域以 指數衰減 形式回復至本徵濃度。
• 衰減長度分別為 電子的少子擴散長度 $L_n$（在 $p$ 側）與 空穴的少子擴散長度 $L_p$（在 $n$ 側）。

$$\Delta n_p(x)=\Delta n_p(0)\,e^{-x/L_n},\qquad \Delta p_n(x)=\Delta p_n(0)\,e^{-x/L_p}$$

$\Delta n_p(0)$、$\Delta p_n(0)$ 為接面處的少子過度濃度，與正向電壓呈指數關係：

$$\Delta n_p(0)=n_{p0}\bigl(e^{qV_F/kT}-1\bigr),\qquad \Delta p_n(0)=p_{n0}\bigl(e^{qV_F/kT}-1\bigr)$$

反向偏壓 (Reverse‑bias)

• 反向偏壓 $V_{R}<0$ 使耗盡層寬度 $W$ 增大，勢壘更高，載流子難以跨越。
• 少子注入極少，接面處的少子濃度僅略高於本徵值，且指數衰減的幅度幾乎看不見。
• 因此，少子濃度曲線在反向偏壓下幾乎是一條水平線（接近本徵濃度），只有極細的彎曲。

圖示

下圖同時呈現正向與反向偏壓下 $p$ 側的電子少子分佈 (左) 與 $n$ 側的空穴少子分佈 (右)。

• 藍色曲線：正向偏壓下的少子濃度（明顯的指數衰減）
• 紅色曲線：反向偏壓下的少子濃度（近似恆定）

【答案】

• 正向偏壓：少子濃度在接面突升，並隨距離指數衰減。
• 反向偏壓：少子濃度基本保持在本徵值，衰減幅度極小。

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(b) PN 接面的電容模型

PN 接面在不同工作狀態下會呈現兩種主要電容：

1. 耗盡層電容 (Junction capacitance, $C_j$)

• 來源：耗盡層內的固定離子電荷形成的電容，等同於一層平行板電容。
• 公式（以理想一步階摺層為例）：

$C_j = \frac{\varepsilon_s A}{W}$

其中
$\varepsilon_s$ 為半導體介電常數，$A$ 為結面積，$W$ 為耗盡層寬度。

核心觀念
本題主要考查二極體在 反向擊穿（breakdown）時的兩種機制——Zener 破壞與 雪崩破壞（avalanche breakdown），以及 溫度 對二極體正向/反向特性的影響（正向導通電壓、飽和電流、擊穿電壓的溫度係數）。

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(a) 二極體的擊穿行為 (Breakdown Behaviors)

1. 正向導通
   二極體在正向偏壓下遵守「二極體方程式」
   $I = I_S\left(e^{\frac{V_D}{nV_T}}-1\right)$
   其中

   • $I_S$：飽和電流（reverse‑saturation current）
   • $n$：理想因子 (1~2)
   • $V_T = \frac{kT}{q}$：熱電壓，≈ 26 mV (於 300 K)

2. 反向偏壓 – 產生擊穿
   當施加的反向電壓 $V_R$ 超過二極體的 擊穿電壓 $V_{BR}$ 時，二極體會急速導通，出現大量電流。此現象稱為 reverse breakdown，主要有兩種物理機制：

   機制	主要特徵	典型 $V_{BR}$ 範圍	成因
   Zener 破壞	高電場在耗盡層引發 量子隧穿（tunneling）	$<5\text{ V}$（低電壓）	在強電場下，價帶電子穿透能障直接進入導帶，產生大量載流子
   雪崩破壞 (avalanche)	反向電場使少數子（電子或電洞）加速，與晶格碰撞產生 撞擊電離，形成正回饋	$>5\text{ V}$（中高電壓）	高能載流子在撞擊時釋放出其他電子，形成連鎖電離，電流呈指數增長

3. 擊穿電壓的設計意圖

   • Zener 二極體：專門利用低電壓 Zener 破壞作為電壓參考或穩壓元件。
   • 一般二極體：若未特別設計，擊穿被視為失效模式，只在測試或保護電路中加以限制。

4. 擊穿電流的特性

   • 在擊穿區，電流與外加電壓關係近似 線性（受限於外部電阻），可寫成 $I \approx \frac{V_R - V_{BR}}{R_{L}}$

核心觀念

耦合電容在直流分析時視為開路，因此輸入訊號與負載 $R_L$ 不影響偏壓。閘極電流近似為零，$R_G$ 上沒有直流壓降，所以閘極與汲極電位相同：

$$V_G=V_D=V_{GS}=V_{DS}$$

依題目提供的 Early 電壓 $V_A$，飽和區汲極電流採用含通道長度調變的模型：

$$I_D=\frac{1}{2}k_n'\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TN})^2 \left(1+\frac{V_{DS}}{V_A}\right)$$

解題方法

由 $R_D$ 的電流與電晶體汲極電流相等：

$$I_D=\frac{V_{DD}-V_D}{R_D} =\frac{3-V_D}{2\,\text{k}\Omega}$$

先計算跨導參數：

$$\frac{1}{2}k_n'\frac{W}{L} =\frac{1}{2}(1600\,\mu\text{A}/\text{V}^2) \left(\frac{0.9}{0.18}\right) =4\,\text{mA}/\text{V}^2$$

代入 $V_G=V_D$、$V_A=10\,\text{V}$、$V_{TN}=0.5\,\text{V}$，令 $V=V_D$：

核心觀念

此題考查共源級 NMOS 放大器的中頻小訊號增益。耦合電容在直流分析時視為開路，在中頻小訊號分析時視為短路；晶體管的輸出電阻為 $r_o \approx V_A/I_D$。因此，汲極看到的負載包含 $R_D$、$R_L$ 與 $r_o$ 的並聯。

解題方法

先由直流偏壓求 $I_D$ 和 $V_{GS}$。由於閘極直流電流近似為零，$R_G$ 上沒有直流壓降，因此 $V_G=V_D$。源極接地，故 $V_{GS}=V_{DS}=V_D$，NMOS 工作於飽和區。

忽略直流偏壓計算中的通道長度調變，令 $\beta_n=k'_n(W/L)$：

$$\beta_n=1600\,\mu\text{A/V}^2 \times \frac{0.9}{0.18} =8\,\text{mA/V}^2$$ $$I_D=\frac{V_{DD}-V_D}{R_D} =\frac{3-V_D}{2\,\text{k}\Omega}$$ $$I_D=\frac{1}{2}\beta_n(V_{GS}-V_{TN})^2 =4\,\text{mA/V}^2(V_D-0.5)^2$$

取符合 $V_D>V_{TN}$ 的解，得到 $V_D=V_G=1\,\text{V}$、$I_D=1\,\text{mA}$，因此 $V_{OV}=V_{GS}-V_{TN}=0.5\,\text{V}$。小訊號參數為

核心觀念

依原卷圖中文字，本小題問的是將回授電阻 $R_G$ 改為 $10\,\text{k}\Omega$；圖中的 $R_D$ 仍為 $2\,\text{k}\Omega$。題目敘述中的「$R_D$」與原卷圖不一致，以下依圖中實際標示作答。

直流時，輸入與輸出耦合電容皆視為開路，MOS 閘極電流近似為零，因此經 $R_G$ 沒有直流壓降，$V_G=V_D$。小訊號時，耦合電容視為短路；$R_G$ 會連接汲極與由理想輸入源固定的小訊號閘極電壓，必須納入增益計算。

解題方法

由圖可知 $V_{DD}=3\,\text{V}$、$R_D=2\,\text{k}\Omega$，且源極接地。採用平方律計算直流偏壓，將 $V_A$ 用於小訊號輸出電阻 $r_o$。

$$k_n=k_n'\frac{W}{L} =1600\,\mu\text{A}/\text{V}^2\times\frac{0.9}{0.18} =8\,\text{mA}/\text{V}^2$$

因為 $V_G=V_D$ 且 $V_S=0$，所以 $V_{GS}=V_{DS}=V_D$。假設 NMOS 工作於飽和區：

$$I_D=\frac{1}{2}k_n(V_{GS}-V_{TN})^2 =4(V_D-0.5)^2\,\text{mA}$$

汲極電阻的電流為：

$$I_D=\frac{3-V_D}{2\,\text{k}\Omega} =\frac{3-V_D}{2}\,\text{mA}$$

聯立可得：

$$\frac{3-V_D}{2}=4(V_D-0.5)^2 \quad\Longrightarrow\quad V_D=1\,\text{V}$$

因此直流工作點為：

$$V_G=V_D=1\,\text{V},\qquad I_D=1\,\text{mA},\qquad V_{DS}=1\,\text{V}$$

此時 $V_{OV}=V_{GS}-V_{TN}=0.5\,\text{V}$，且 $V_{DS}\ge V_{OV}$，符合飽和區條件。

核心觀念

理想運算放大器接成電壓追隨器，因此在未進入輸出飽和時，$V_{\text{out}}=V_+$。題目給定 $V_{\text{out}}(0)=0$，可採用零初始條件，以 $s$ 域求零狀態傳遞函數，再令 $s=j\omega$ 得到頻率響應。

圖中 $C_1$ 接在非反相輸入端對地；$C_2$ 則接在 $R_1、R_2$ 之間的節點與運算放大器輸出端之間。由於運算放大器輸入阻抗無限大，非反相輸入端不吸收電流；$C_2$ 的電流由運算放大器輸出端提供，不流入非反相輸入端。

解題方法

令 $V_x$ 為 $R_1$、$R_2$、$C_2$ 相接的節點電壓。理想電壓追隨器滿足

$$V_{\text{out}}=V_+.$$

在非反相輸入端套用 KCL：

$$\frac{V_+-V_x}{R_2}+sC_1V_+=0,$$

因此

$$V_x=(1+sR_2C_1)V_+.$$

在 $V_x$ 節點套用 KCL。流經 $R_1$ 的電流等於流經 $R_2$ 與 $C_2$ 的電流總和：

$$\frac{V_{\text{in}}-V_x}{R_1} = \frac{V_x-V_+}{R_2}+sC_2(V_x-V_{\text{out}}).$$

利用 $V_{\text{out}}=V_+$，以及由非反相端 KCL 得到的

$$\frac{V_x-V_+}{R_2}=sC_1V_+, \qquad V_x-V_+=sR_2C_1V_+,$$

可將輸入電流寫成

核心觀念
本題測試的是「利用運算放大器的線性區域來求出濾波器的轉移函數 $H(s)$，並從 $H(s)$ 推導出在直流 ($\omega=0$) 與無限頻率 ($\omega\to\infty$) 時的增益 $|H|$」。要點在於：

1. 先寫出 $H(s)$（在題目 (a) 已完成），通常是分子/分母皆為多項式的形式。
2. 代入 $s=j\omega$，得到頻率響應 $H(j\omega)$。
3. 求極限
   • $\displaystyle \lim_{\omega\to0} |H(j\omega)|$ → $|H(\omega=0)|$（直流增益）。
   • $\displaystyle \lim_{\omega\to\infty} |H(j\omega)|$ → $|H(\omega=\infty)|$（無限頻率增益）。
4. 檢查運算放大器的飽和限制（$V_{out}^{\max}=5\,$V、$V_{out}^{\min}=0\,$V），確保計算出的增益在可線性操作範圍內。

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解題過程

(a) 已得的轉移函數 $H(s)$（示例）

因題目未提供電路圖，以下僅以常見的 單階低通有源濾波器（反相配置）為例，說明如何從 $H(s)$ 推得 $|H(0)|$ 與 $|H(\infty)|$。
若實際電路不同，請依 (a) 推導出的 $H(s)$ 直接套用下列步驟即可。

假設電路為反相 RC 低通：

$$H(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} =-\frac{R_{2}}{R_{1}}\;\frac{1}{1+sR_{C}C}$$

其中

• $R_{1}$、$R_{2}$ 為反相放大器的輸入與回授電阻，
• $R_{C}$、$C$ 為串聯於回授端的 RC 組成低通項。

說明：在低頻時（$s\to0$），電容視為開路，電路等價於純粹的反相放大器；在高頻時（$|s| \to \infty$），電容視為短路，回授路徑的阻抗趨近於 $0$，導致增益趨近於 $0$（低通行為）。

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(2) 計算 $|H(\omega=0)|$ 與 $|H(\omega=\infty)|$

把 $s=j\omega$ 代入：

$H(j\omega)= -\frac{R_{2}}{R_{1}}\;\frac{1}{1+j\omega R_{C}C}$

核心觀念

有限開迴路增益的運算放大器，負端接輸出端形成電壓追隨器，但輸出不會完全等於正端電壓。在線性工作範圍內，

$$V_{out}=A_v(V_+-V_-)=A_v(V_+-V_{out}),$$

因此

$$V_{out}=\beta V_+,\qquad \beta=\frac{A_v}{1+A_v}.$$

本題再以拉氏域節點分析求出 $H(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)$。

解題方法

令 $V_x$ 為 $R_1$、$R_2$ 與 $C_2$ 相接的節點電壓，$V_+$ 為運算放大器正端電壓。假設電容初始電壓為零，正端不吸收電流。正端節點的 KCL 為

$$\frac{V_+-V_x}{R_2}+sC_1V_+=0,$$

所以

$$V_x=(1+sR_2C_1)V_+.$$

在 $V_x$ 節點套用 KCL：

$$\frac{V_x-V_{in}}{R_1} +\frac{V_x-V_+}{R_2} +sC_2(V_x-V_{out})=0.$$

代入 $V_x=(1+sR_2C_1)V_+$ 及 $V_{out}=\beta V_+$，整理得

核心觀念

此電路是運算放大器緩衝器搭配 RC 濾波網路。理想運放未進入飽和時，輸出會跟隨濾波網路送到非反相端的電壓；但輸出受限於 $0\text{ V}$ 至 $5\text{ V}$，超出範圍時便會被削波。

由理想運放的節點方程可得傳遞函數：

$$H(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} =\frac{1}{1+sC_1(R_1+R_2)+s^2R_1R_2C_1C_2}$$

代入 $R_1=R_2=1\,\text{k}\Omega$、$C_1=C_2=1\,\text{nF}$：

$$H(s)=\frac{1}{(1+sRC)^2}, \qquad RC=10^{-6}\text{ s}$$

解題方法

輸入頻率為 $f=10\text{ Hz}$，角頻率為 $\omega=2\pi f$，因此

$$\omega RC=2\pi(10)(10^{-6}) \approx 6.28\times10^{-5}\ll 1$$

所以在此頻率下，濾波器的增益非常接近 $1$，相位延遲也極小，未受輸出限制時可近似視為

$$V_{\text{out}}(t)\approx 6\sin(20\pi t)$$

運放輸出只能介於 $0\text{ V}$ 與 $5\text{ V}$，因此穩態波形近似為

$$V_{\text{out}}(t)\approx \begin{cases} 0, & 6\sin(20\pi t)<0\\ 6\sin(20\pi t), & 0\le 6\sin(20\pi t)\le 5\\ 5, & 6\sin(20\pi t)>5 \end{cases}$$

週期為 $T=1/f=0.1\text{ s}$。每週期的正半週中，輸入超過 $5\text{ V}$ 的時間由 $6\sin(20\pi t)=5$ 求得：

核心觀念

本題考查兩級 MOSFET 放大器的直流偏壓設計：

• 電容 $C_C$、$C_{S1}$、$C_{S2}$ 在直流分析時視為開路。
• $M_1$ 為 NMOS，$M_2$ 為 PMOS。
• 假設題目中的參數採用

$$I_D=\frac{1}{2}k(V_{OV})^2$$

其中 $V_{OV}$ 為過驅電壓。

• 輸入電阻由閘極分壓器決定：

$$R_{in}=R_1\parallel R_2$$

為使設計唯一，採用對稱分壓器 $R_1=R_2$。

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解題方法

1. 設計 $M_1$ 的偏壓

已知

$$I_{D1}=0.2\text{ mA},\qquad k_{n1}=0.2\text{ mA/V}^2$$

因此

$$V_{OV1} =\sqrt{\frac{2I_{D1}}{k_{n1}}} =\sqrt{\frac{2(0.2)}{0.2}} =\sqrt{2} =1.414\text{ V}$$

NMOS 的閘源電壓為

$$V_{GS1}=V_{TN1}+V_{OV1} =0.6+1.414 =2.014\text{ V}$$

由 $R_{in}=400\text{ k}\Omega$，且取 $R_1=R_2$：

$$R_1\parallel R_2=400\text{ k}\Omega$$

故

$$R_1=R_2=800\text{ k}\Omega$$

閘極直流電壓為

$$V_{G1}=V_{DD}\frac{R_2}{R_1+R_2} =5\frac{800}{800+800} =2.5\text{ V}$$

因此 $M_1$ 的源極電壓為

$$V_{S1}=V_{G1}-V_{GS1} =2.5-2.014 =0.486\text{ V}$$

由 $I_{D1}=0.2\text{ mA}$：

$$R_{S1}=\frac{V_{S1}}{I_{D1}} =\frac{0.486}{0.2\text{ mA}} =2.43\text{ k}\Omega$$

又已知 $V_{DS1}=2\text{ V}$，故

$$V_{D1}=V_{S1}+V_{DS1} =0.486+2 =2.486\text{ V}$$

$M_1$ 的汲極接至 $M_2$ 的閘極，因此

$$V_{G2}=V_{D1}=2.486\text{ V}$$

$M_1$ 的汲極電阻為