109 年 國立聯合大學電子工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念

本題考查一階常微分方程的兩種基本解法：

• 變數分離法：將含 $y$ 的項與含 $x$ 的項分開，再分別積分。
• 一階線性微分方程：標準形式為
  $y'+P(x)y=Q(x),$
  使用積分因子
  $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$

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解題方法

（a）$3y'=\dfrac{4xe^{x^2}}{y^3}$

將 $y'=\dfrac{dy}{dx}$ 代入：

$$3\frac{dy}{dx}=\frac{4xe^{x^2}}{y^3}.$$

將 $y$ 與 $dy$ 分離：

$$y^3\,dy=\frac{4}{3}xe^{x^2}\,dx.$$

兩邊積分：

$$\int y^3\,dy=\frac{4}{3}\int xe^{x^2}\,dx.$$

左邊為

$$\int y^3\,dy=\frac{y^4}{4}.$$

右邊令 $u=x^2$，則 $du=2x\,dx$，因此

$$\frac{4}{3}\int xe^{x^2}\,dx =\frac{4}{3}\cdot\frac12 e^{x^2} =\frac23e^{x^2}.$$

故

$$\frac{y^4}{4}=\frac23e^{x^2}+C.$$

乘以 $4$，並將常數重新記為 $C$：

$$\boxed{y^4=\frac83e^{x^2}+C}.$$

若要求顯式形式，則

$$\boxed{ y=\pm\left(\frac83e^{x^2}+C\right)^{1/4} }$$

其中根式內須為非負，且原方程含有 $y^{-3}$，所以解的定義區間內必須滿足 $y\neq 0$。

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（b）$y'-\dfrac{3}{x}y=2x^2$

此方程已是一階線性微分方程：

$$y'+P(x)y=Q(x),$$

其中

核心觀念

本題考查二階線性微分方程：

1. 常係數線性微分方程的特徵根法。
2. 右側函數與齊次解重複時的待定係數法修正。
3. Euler–Cauchy 方程的冪次試解。
4. 變數代換 $t=\ln|x|$，將 Euler–Cauchy 方程化為常係數方程。

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a. $y''+2y'+y=9e^{-x}$

1. 求齊次解

先解對應的齊次方程：

$$y''+2y'+y=0$$

其特徵方程為

$$r^2+2r+1=0$$

即

$$(r+1)^2=0$$

因此有重根 $r=-1$，齊次解為

$$y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}$$

2. 求特解

右側為 $9e^{-x}$，而 $e^{-x}$ 已經出現在齊次解中，且對應重根的重數為 $2$，因此可設

$$y=e^{-x}u(x)$$

計算導數：

$$y'=e^{-x}(u'-u)$$ $$y''=e^{-x}(u''-2u'+u)$$

代回原方程：

\begin{align*}
y''+2y'+y
&=e^{-x}(u''-2u'+u)
+2e^{-x}(u'-u)+e^{-x}u\
&=e^{-x}u''
\end{align*}

所以

$$e^{-x}u''=9e^{-x}$$

得到

$$u''=9$$

積分兩次：

$$u'=9x+C_1$$ $$u=\frac{9}{2}x^2+C_1x+C_2$$

其中 $C_1x+C_2$ 所產生的部分已包含於齊次解，因此可取特解

$$y_p=\frac{9}{2}x^2e^{-x}$$

3. 通解

$$\boxed{ y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{9}{2}x^2e^{-x} }$$

亦可合併寫成

$$\boxed{ y=e^{-x}\left(C_1+C_2x+\frac{9}{2}x^2\right) }$$

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b. $x^2y''-4xy'+6y=\ln(x^2)$

因為 $\ln(x^2)$ 要求 $x\neq 0$，以下在 $x>0$ 或 $x<0$ 的區間上討論。

1. 求齊次解

先解齊次方程：

$$x^2y''-4xy'+6y=0$$

這是 Euler–Cauchy 方程，設

$$y=x^m$$

則

$$y'=mx^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}$$

代入：

\begin{align*}
x^2y''-4xy'+6y
&=m(m-1)x^m-4mx^m+6x^m\
&=\left[m(m-1)-4m+6\right]x^m\
&=(m^2-5m+6)x^m
\end{align*}

因此特徵方程為

$$m^2-5m+6=0$$

分解得

$$(m-2)(m-3)=0$$

所以

$$m=2,\ 3$$

齊次解為

一、 函數圖形描繪 (Function Sketches)

• $f(t)$ 的圖形：
  在 $0 \le t < 2$ 範圍內高為 $1$；在 $2 \le t < 4$ 範圍內高為 $-1$；其餘 $t$ 區段皆為 $0$。

• $g(t)$ 的圖形：
  在 $0 \le t < 4$ 範圍內高為 $1$；其餘 $t$ 區段皆為 $0$ 的矩形波。

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二、 摺積積分計算 (Convolution Integral)

將 $f(t)$ 與 $g(t)$ 以單位階梯函數 $u(t)$ 表示：
$f(t) = u(t) - 2u(t-2) + u(t-4)$
$g(t) = u(t) - u(t-4)$

取拉氏轉換（Laplace Transform）：
$F(s) = \frac{1}{s}\left(1 - 2e^{-2s} + e^{-4s}\right)$
$G(s) = \frac{1}{s}\left(1 - e^{-4s}\right)$

由摺積定理 $y(t) = f(t) * g(t) \iff Y(s) = F(s)G(s)$：

核心觀念

本題考查：

• 拉普拉斯轉換處理積分方程。
• 單位階躍函數 $u(t-t_0)$ 的位移性質。
• 積分的拉普拉斯轉換公式：
  $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}=\frac{F(s)}{s},$
  其中 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$。
• 第二位移定理：
  $\mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s).$

題目中的外力項只在 $t\geq t_0$ 時作用，因此最後答案必須保留單位階躍函數。

解題方法

原積分方程為

$$f(t)=e^{-(t-t_0)}u(t-t_0)+\int_0^t f(\tau)\,d\tau.$$

設

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.$$

第一步：轉換外力項

由第二位移定理，

$$e^{-(t-t_0)}u(t-t_0) =u(t-t_0)e^{-(t-t_0)}.$$

因為

$$\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1},$$

所以

$$\mathcal{L}\{e^{-(t-t_0)}u(t-t_0)\} =\frac{e^{-t_0s}}{s+1}.$$

第二步：對整個方程取拉普拉斯轉換

左側為

$$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).$$

右側第一項為

$$\frac{e^{-t_0s}}{s+1}.$$

右側積分項利用積分轉換公式：

$$\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} =\frac{F(s)}{s}.$$

因此

$$F(s)=\frac{e^{-t_0s}}{s+1}+\frac{F(s)}{s}.$$

移項整理：

$$F(s)\left(1-\frac{1}{s}\right) =\frac{e^{-t_0s}}{s+1}.$$

由

$$1-\frac{1}{s}=\frac{s-1}{s},$$

可得

$$F(s)\frac{s-1}{s} =\frac{e^{-t_0s}}{s+1},$$

因此

$$F(s)=\frac{s\,e^{-t_0s}}{(s-1)(s+1)}.$$

第三步：部分分式分解

先處理未含位移因子的部分：

核心觀念

本題考查：

• 單邊拉普拉斯轉換處理初始值問題。
• 微分的拉普拉斯轉換公式：
  $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),$
  $\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).$
• 單位階躍函數：

$$\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}.$$

• 第二平移定理：
  $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a),$
  其中 $f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$。

右側 $u(t)-u(t-5)$ 表示在 $0\le t<5$ 時輸入為 $1$，在 $t\ge 5$ 時輸入降為 $0$。

解題方法

令

$$Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.$$

對微分方程兩邊取拉普拉斯轉換：

$$\mathcal{L}\{y''\}+5\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{u(t)-u(t-5)\}.$$

代入初始條件 $y(0)=1$、$y'(0)=0$：

$$(s^2Y-s)+5(sY-1)+4Y = \frac{1-e^{-5s}}{s}.$$

整理得

$$(s^2+5s+4)Y-(s+5)=\frac{1-e^{-5s}}{s}.$$

因為

$$s^2+5s+4=(s+1)(s+4),$$

因此

$$Y(s) = \frac{s+5}{(s+1)(s+4)} + \frac{1-e^{-5s}}{s(s+1)(s+4)}.$$

第一部分反拉普拉斯轉換

先分解：

$$\frac{s+5}{(s+1)(s+4)} = \frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4}.$$

比較係數：

$$A+B=1,\qquad 4A+B=5,$$

得到

$$A=\frac{4}{3},\qquad B=-\frac{1}{3}.$$

所以

$$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s+5}{(s+1)(s+4)} \right\} = \frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t}.$$

第二部分反拉普拉斯轉換

令

$$G(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+4)}.$$

部分分式分解：

$$\frac{1}{s(s+1)(s+4)} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+4}.$$

由代入 $s=0,-1,-4$ 得

$$A=\frac14,\qquad B=-\frac13,\qquad C=\frac1{12}.$$

因此

$$G(s) = \frac{1}{4s}-\frac{1}{3(s+1)}+\frac{1}{12(s+4)},$$

其反拉普拉斯轉換為

核心觀念

本題考查週期為 $2\pi$ 的 Fourier 級數。對函數 $f(x)$，其 Fourier 級數形式為

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$

其中

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$

函數滿足

$$f(-x)=-f(x),$$

因此 $f(x)$ 是奇函數。奇函數的 Fourier 級數只有正弦項，即

$$a_0=a_n=0.$$

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a. 函數圖形

在區間 $[-\pi,\pi)$ 上，

$$f(x)= \begin{cases} -k, & -\pi\le x<0,\\ k, & 0\le x<\pi. \end{cases}$$

因此圖形是階梯函數：

• $-\pi\le x<0$ 時，水平線 $y=-k$；
• $x=0$ 左側趨近 $-k$，但 $f(0)=k$，所以 $x=0$ 處取上方的實心點 $(0,k)$，下方為空心點；
• $0\le x<\pi$ 時，水平線 $y=k$；
• 若作週期延拓，週期為 $2\pi$，並且在 $x=(2m+1)\pi$ 與 $x=2m\pi$ 等位置呈現跳躍。

若 $k>0$，圖形可表示為：

 y
 k       ●────────────○
         │            │
 0 ──────┼────────────┼──── x
        -π     0      π
-k  ○────┘

其中 $x=0$ 的函數值為 $k$。若 $k<0$，整個圖形上下顛倒。

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b. 求 $f(x)$ 的 Fourier 級數

由於 $f(x)$ 是奇函數，

$$a_0=0,\qquad a_n=0.$$

只需計算 $b_n$：

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$

利用奇函數積分性質，$f(x)\sin nx$ 為偶函數，因此

$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi k\sin nx\,dx.$$

計算積分：

$$\begin{aligned} b_n &=\frac{2k}{\pi}\int_0^\pi \sin nx\,dx\\ &=\frac{2k}{\pi} \left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi\\ &=\frac{2k}{\pi} \left(\frac{1-\cos n\pi}{n}\right). \end{aligned}$$

因為 $\cos n\pi=(-1)^n$，所以

$$b_n=\frac{2k}{n\pi}\left(1-(-1)^n\right).$$

分奇偶討論：

• 若 $n$ 為偶數，$(-1)^n=1$，故 $b_n=0$；
• 若 $n$ 為奇數，$(-1)^n=-1$，故

核心觀念

本題考查：

• 絕對值函數所造成的分段表示。
• 傅立葉轉換定義
  $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt.$
• 偶函數的傅立葉轉換性質。
• 頻域振幅與相位：
  $|F(\omega)|,\qquad \angle F(\omega).$

因為 $f(t)=e^{-|t|}$ 是實偶函數，其傅立葉轉換必為實偶函數。

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a. 函數圖形

由絕對值的定義，

$$|t|= \begin{cases} t, & t\geq 0,\\ -t, & t<0. \end{cases}$$

因此

$$f(t)=e^{-|t|} = \begin{cases} e^t, & t<0,\\ e^{-t}, & t\geq 0. \end{cases}$$

函數具有以下特徵：

• $f(0)=1$，圖形最高點為 $(0,1)$。
• $f(t)$ 為偶函數，關於 $t=0$ 對稱。
• 當 $t\to\infty$ 時，$f(t)=e^{-t}\to 0$。
• 當 $t\to-\infty$ 時，$f(t)=e^t\to 0$。
• 在 $t=0$ 處連續，但左右導數不同：
  $f'(0^-)=1,\qquad f'(0^+)=-1,$
  所以原點具有尖角。

示意圖如下：

f(t)
 1 |              ● (0,1)
   |             / \
   |            /   \
   |           /     \
 0 +----------/-------\---------- t
             0

左半部為 $e^t$，右半部為 $e^{-t}$，兩側皆漸近於 $0$。

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b. 傅立葉轉換

直接依定義計算：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t|}e^{-j\omega t}\,dt.$$

利用 $f(t)$ 為偶函數，且

$$e^{-j\omega t}=\cos(\omega t)-j\sin(\omega t),$$

其中 $f(t)\sin(\omega t)$ 為奇函數，其全域積分為 $0$，因此

$$F(\omega) = 2\int_0^\infty e^{-t}\cos(\omega t)\,dt.$$

使用標準積分公式

$$\int_0^\infty e^{-at}\cos(bt)\,dt = \frac{a}{a^2+b^2}, \qquad a>0,$$

令 $a=1$、$b=\omega$，得到

核心觀念

本題考查三維向量的內積與正交向量組合。

對兩向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$：

$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$$

且兩向量皆非零時，稱為彼此正交。

若非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 兩兩正交，則任意向量 $\mathbf{x}$ 可表示為

$$\mathbf{x}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c},$$

其中係數可利用投影公式求得：

$$\alpha=\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}},\qquad \beta=\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}},\qquad \gamma=\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{c}}{\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}}.$$

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一、證明三向量彼此正交

將題目中的向量寫成分量形式：

$$\mathbf{a}=(2,-2,4),\qquad \mathbf{b}=(0,8,4),\qquad \mathbf{c}=(-5,-1,2).$$

計算 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 的內積：

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =2(0)+(-2)(8)+4(4) =0-16+16=0.$$

計算 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{c}$ 的內積：

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} =2(-5)+(-2)(-1)+4(2) =-10+2+8=0.$$

計算 $\mathbf{b}$ 與 $\mathbf{c}$ 的內積：

$$\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} =0(-5)+8(-1)+4(2) =0-8+8=0.$$

因此：

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} =\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0.$$

三個向量皆為非零向量，故三向量彼此正交。

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二、將 $\mathbf{x}$ 表示成 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 的線性組合

設

$$\mathbf{x}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c}.$$

由於 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 兩兩正交，分別與各向量取內積即可獨立求出係數。

先求 $\alpha$：