109 年 國立聯合大學光電工程學系碩士班《電子學》

核心觀念

本題考查二極體定電壓模型與基爾霍夫電流定律（KCL）。

由圖可知：

• $D_1$ 與 $R_2=1\,\text{k}\Omega$ 並聯，因此兩者端電壓皆為 $V_o=0.6\,\text{V}$。
• $D_2$ 的電流在輸出節點分流為 $I_{D1}$ 與 $R_2$ 電流。
• 每顆導通二極體的壓降皆為 $0.6\,\text{V}$。

解題方法

輸出節點套用 KCL：

$$I_{D2}=I_{D1}+I_{R_2}$$

題目給定：

$$I_{D2}=3I_{D1}$$

因此：

$$I_{R_2}=I_{D2}-I_{D1}=2I_{D1}$$

由於 $R_2$ 兩端電壓為 $0.6\,\text{V}$：

$$I_{R_2}=\frac{0.6\,\text{V}}{1\,\text{k}\Omega} =0.6\,\text{mA}$$

所以：

$$2I_{D1}=0.6\,\text{mA}$$ $$I_{D1}=0.3\,\text{mA}$$

進而得到：

核心觀念

本題考查 MOSFET 的：

• 飽和區電流公式
• 二極體接法 MOSFET 的特性
• 串聯 MOSFET 的相同電流條件
• MOSFET 工作區域判斷

採用題目常用定義：

$$I_D=\frac{K}{2}(V_{GS}-V_{th})^2$$

其中 $K=1\,\text{mA/V}^2$、$V_{th}=1\,\text{V}$，且 $\lambda=0$，因此忽略通道長度調變效應。

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(a) 電路

兩顆 NMOS 皆為閘極與汲極相接的二極體接法，且兩顆串聯。因此兩顆電晶體的電流相同。

由於兩顆 MOSFET 參數相同，故其 $V_{GS}$ 相同，兩顆電晶體所承受的電壓也相同。

設每顆 MOSFET 的 $V_{GS}$ 為 $V_X$，則：

$$2V_X=V_{DD}=5\,\text{V}$$

所以：

$$V_X=2.5\,\text{V}$$

下方 M2 的 source 接地，因此：

$$V_{GS2}=V_O=2.5\,\text{V}$$

故輸出電壓為：

$$\boxed{V_O=2.5\,\text{V}}$$

驗算電流：

$$I_D=\frac{1}{2}(2.5-1)^2 =1.125\,\text{mA}$$

此電流可同時流過兩顆串聯 MOSFET，符合電路條件。

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(b) 電路

三顆相同的二極體接法 NMOS 串聯，三顆電晶體電流相同，且因參數相同，所以每顆的 $V_{GS}$ 相同。

三顆 MOSFET 的總電壓為 $10\,\text{V}$，因此每顆承受：

$$V_{GS}=\frac{10}{3}\,\text{V}$$

由下而上計算節點電壓。

最下方 M3 的 source 接地，因此：

$$V_1=V_{GS3}=\frac{10}{3}\,\text{V}$$

中間 M2 的 source 接在 $V_1$，所以：

$$V_2-V_1=\frac{10}{3}\,\text{V}$$

因此：

$$V_2=\frac{10}{3}+\frac{10}{3} =\frac{20}{3}\,\text{V}$$

所以：

$$\boxed{V_1=\frac{10}{3}\,\text{V}\approx3.33\,\text{V}}$$ $$\boxed{V_2=\frac{20}{3}\,\text{V}\approx6.67\,\text{V}}$$

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(c) 電路

圖中兩顆為 NMOS。上方 M1 的汲極接 $+12\,\text{V}$、閘極接 $+6\,\text{V}$；下方 M2 的閘極接地，source 接至 $V_4$，而 $V_4$ 經 $1\,\text{k}\Omega$ 電阻接到 $-5\,\text{V}$。

兩顆 MOSFET 串聯，因此電阻電流即為兩顆 MOSFET 的汲極電流。

先求 $V_4$

對下方 M2：

核心觀念

本題考查 PMOS 源極隨耦器的：

• 直流偏壓分析
• $g_m$、$r_o$ 的計算
• 中頻小訊號等效電路
• 電壓增益與輸出阻抗

圖三為 PMOS，閘極經由 $R_G$ 接地，因此直流時

$$V_{GQ}=0$$

耦合電容 $C_{C1}$、$C_{C2}$ 在直流分析時視為開路；中頻小訊號分析時視為短路。

採用 MOSFET 飽和區公式

$$I_D=\frac{1}{2}K_p(V_{SG}-|V_{TP}|)^2$$

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(a) 計算 $V_{GSQ}$ 與 $V_{DSQ}$

已知

$$I_{DQ}=I_Q=2\text{ mA}$$

因此

$$2=\frac{1}{2}(2)(V_{SGQ}-2)^2$$

整理得

$$(V_{SGQ}-2)^2=2$$

PMOS 必須取正的過驅電壓，因此

$$V_{SGQ}-2=\sqrt{2}$$ $$V_{SGQ}=2+\sqrt{2}=3.414\text{ V}$$

由於 $V_{GQ}=0$，

$$V_{GSQ}=V_{GQ}-V_{SQ}$$

且

$$V_{SGQ}=V_{SQ}-V_{GQ}$$

所以

$$V_{SQ}=3.414\text{ V}$$

圖中 PMOS 汲極接至 $V^-=-5\text{ V}$，故

$$V_{DSQ}=V_{DQ}-V_{SQ}$$ $$V_{DSQ}=-5-3.414=-8.414\text{ V}$$

若以 PMOS 常用的 $V_{SDQ}$ 表示，則

$$V_{SDQ}=8.414\text{ V}$$

飽和區條件為

$$V_{SDQ}\geq V_{SGQ}-|V_{TP}|$$ $$8.414\geq 3.414-2=1.414$$

故確實工作於飽和區。

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(b) 計算 $g_m$ 與 $r_o$

過驅電壓為

$$V_{OV}=V_{SGQ}-|V_{TP}|=\sqrt{2}=1.414\text{ V}$$

跨導為

$$g_m=K_pV_{OV}$$

因此

$$g_m=(2)(1.414)=2.828\text{ mS}$$

也可利用

$$g_m=\sqrt{2K_pI_D}$$

得到相同結果。

由於 $\lambda=0$，

$$r_o=\frac{1}{\lambda I_D}=\infty$$

因此

$$\boxed{g_m=2.828\text{ mS}},\qquad \boxed{r_o=\infty}$$

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(c) 小訊號等效電路

在中頻時：

• $C_{C1}$、$C_{C2}$ 視為短路
• $V^+$、$V^-$ 為交流接地
• 理想偏壓電流源的小訊號電阻為無限大，因此等效為開路
• $r_o=\infty$，可省略
• $R_L$ 直接接在源極輸出端

小訊號等效電路可表示為：

核心觀念

本題考查：

1. BJT 指數型集極電流關係
   $I_C=I_S e^{V_{BE}/V_T}$
2. 兩顆 BJT 的基極—射極電壓相同時，利用 $I_S$ 比值求集極電流比。
3. 基極電流不可忽略，需使用
   $I_B=\frac{I_C}{\beta}$
4. 由基極節點套用 KCL，求出 $I_{C1}$ 與 $I_{C2}$。

解題方法

由圖可知，$Q_1$、$Q_2$ 的基極相連，射極均接至 $-5\text{ V}$，因此

$V_{BE1}=V_{BE2}=V_{BE}$

又因為

$I_{S2}=2I_{S1}$

所以

$$\frac{I_{C2}}{I_{C1}} =\frac{I_{S2}e^{V_{BE}/V_T}} {I_{S1}e^{V_{BE}/V_T}} =2$$

因此

$I_{C2}=2I_{C1}$

兩顆電晶體的基極電流為

$I_{B1}=\frac{I_{C1}}{50}$

$$I_{B2}=\frac{I_{C2}}{50} =\frac{2I_{C1}}{50}$$

由圖中基極節點的 KCL，$R_1$ 與 $R_B$ 均由接地端供應電流，因此

$$\frac{0-V_B}{R_1}+\frac{0-V_B}{R_B} =I_{C1}+I_{B1}+I_{B2}$$

因為射極電壓為 $-5\text{ V}$，

$V_{BE}=V_B-(-5)=V_B+5$

所以

$-V_B=5-V_{BE}$

代入 $R_1=10\text{ k}\Omega$、$R_B=20\text{ k}\Omega$：

$$\left(5-V_{BE}\right) \left(\frac{1}{10\text{ k}\Omega} +\frac{1}{20\text{ k}\Omega}\right) =I_{C1}\left(1+\frac{1}{50}+\frac{2}{50}\right)$$

即

核心觀念

本題為共射極放大器。中頻小訊號分析時：

• 直流電源 $V^+$、$V^-$ 皆視為交流接地。
• 耦合電容 $C_{C2}$ 視為短路。
• 理想 $2\,\text{mA}$ 電流源的小訊號等效為開路。
• $V_A=\infty$，因此 $r_o=\infty$。
• 取 $V_T=25\,\text{mV}$。

直流集極電流由電流源設定為

$$I_C=2\,\text{mA}$$

其中 $V_{BE,on}=0.7\,\text{V}$ 僅用於直流工作點，因射極接於 $-5\,\text{V}$，故基極直流電壓為 $-4.3\,\text{V}$；它不直接參與小訊號參數計算。

(a) 小訊號參數 $r_{\pi}$、$r_o$

跨導為

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{2\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} =0.08\,\text{S}$$

基極輸入電阻為

$$r_{\pi}=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{0.08} =1250\,\Omega =1.25\,\text{k}\Omega$$

由 Early 電壓 $V_A=\infty$：

$$r_o=\frac{V_A}{I_C}=\infty$$

因此

$$\boxed{r_{\pi}=1.25\,\text{k}\Omega,\qquad r_o=\infty}$$

(b) 小訊號等效電路

小訊號等效電路的處理如下：

1. $V^+$、$V^-$ 接交流地。
2. 電流源 $2\,\text{mA}$ 變成開路。
3. $C_{C2}$ 變成短路，因此集極端直接接到 $R_L$。
4. 電晶體以 hybrid-$\pi$ 模型表示：
   • 基極與射極之間為 $r_{\pi}=1.25\,\text{k}\Omega$；
   • 集極至射極有受控電流源 $g_mv_{\pi}$；
   • $r_o=\infty$，可省略。
5. 射極接交流地。
6. 集極接 $R_L=2\,\text{k}\Omega$ 至交流地。
7. 輸入端由 $v_s$ 經 $R_s=10\,\text{k}\Omega$ 驅動。

因射極為交流接地，所以

$$v_{\pi}=v_b$$

(c) 小訊號電壓增益 $A_v=v_o/v_s$

先求訊號源經過 $R_s$ 後的基極電壓：

$$v_{\pi}=v_s\frac{r_{\pi}}{R_s+r_{\pi}}$$

代入數值：