108 年 國立臺南大學材料科學系碩士班《材料科學導論》

本題主要在於利用原子半徑 $r$ 與晶格常數 $a_0$ 的關係，判斷金屬的結構。對於單一原子位於晶格點的情形，其原子在晶格中的堆積方式決定了結構。我們通常假設原子為硬球模型，且相鄰原子會互相接觸。

(a)
首先，我們需要判斷原子在晶格點上是如何堆積的。題目提到「one atom per lattice point」，這表示每個晶格點上只有一個原子。對於常見的金屬結構，其原子間的關係式如下：

• 體心立方 (BCC)：原子在立方體的八個頂點及一個中心，沿體對角線方向原子接觸。關係式為 $4r = a_0\sqrt{3}$。
• 面心立方 (FCC)：原子在立方體的八個頂點及六個面的中心，沿面體對角線方向原子接觸。關係式為 $4r = a_0\sqrt{2}$。
• 簡單立方 (SC)：原子僅在八個頂點，每個原子被其他八個原子共享。關係式為 $2r = a_0$。

將給定的數值代入檢驗：
$a_0 = 4.9489$ Å
$r = 1.75$ Å
$4r = 4 \times 1.75 \text{ Å} = 7.00$ Å
$a_0\sqrt{3} \approx 4.9489 \times 1.732 \approx 8.567$ Å

核心觀念

FCC 晶格的主要滑移系統為：

• 滑移面：最密排的 $\{111\}$ 面
• 滑移方向：位於 $\{111\}$ 面內的最密排 $\langle 110\rangle$ 方向

滑移方向 $[uvw]$ 位於滑移面 $(hkl)$ 內的判定條件為：

$$hu+kv+lw=0$$

其中，晶面 $(hkl)$ 與其反向晶面 $(-h,-k,-l)$ 為同一組幾何晶面，因此 $\{111\}$ 共有 $4$ 個不重複的滑移面方向。

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解題方法

$\{111\}$ 晶面族共有 $8$ 種指數表示：

$$(111),\ (1\bar{1}1),\ (\bar{1}11),\ (11\bar{1}),$$

以及上述各晶面的反向表示。由於反向晶面代表相同的幾何平面，因此只需取下列 $4$ 個獨立滑移面：

$$(111),\quad (1\bar{1}1),\quad (\bar{1}11),\quad (11\bar{1})$$

每一個 $\{111\}$ 面內有 $3$ 個獨立的 $\langle110\rangle$ 滑移方向。以 $(111)$ 面為例：

$$1u+1v+1w=0$$

符合 $\langle110\rangle$ 型式的方向為：

$$[1\bar{1}0],\quad [10\bar{1}],\quad [01\bar{1}]$$

因此，FCC 的等價滑移系統總數為：

$$4\times 3=12$$

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各滑移系統

以下列出 $4$ 個獨立滑移面及其面內的 $3$ 個滑移方向：

滑移面	面內滑移方向
$(111)$	$[1\bar{1}0]$、$[10\bar{1}]$、$[01\bar{1}]$
$(1\bar{1}1)$	$[110]$、$[10\bar{1}]$、$[01\bar{1}]$
$(\bar{1}11)$	$[110]$、$[101]$、$[01\bar{1}]$

本題考查相律 (Gibbs' Phase Rule)，即 $F = C - P + 1$。其中 $F$ 是自由度 (degrees of freedom)，$C$ 是組分數 (number of components)，$P$ 是相數 (number of phases)。

由圖 1 的 Mg-Al 相圖可知，此系統的組成為 Mg 和 Al 兩種金屬，因此組數 $C = 2$。

(a) Mg-5wt% Al at 400°C：
由圖 1 可知，在 400°C 且 Al 重量百分比為 5% 的點，位於 $\alpha$ 相區。
在此相區內，只有一個單一的固態相 ($\alpha$ 相)。
因此，相數 $P = 1$。
根據相律：$F = C - P + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$。
此時的自由度為 2，表示可以獨立改變溫度和組成，但仍保持在 $\alpha$ 相。

【答案】(a) 2

本題考查不同晶體結構金屬在低溫下的力學行為，特別是對於衝擊載荷的抵抗能力。

核心觀念：
金屬的延性 (ductility) 和韌性 (toughness) 與其晶體結構密切相關。在低溫下，許多金屬會發生由延性轉向脆性 (ductile-to-brittle transition) 的現象。FCC 結構的延展性通常比 BCC 和 HCP 結構好，尤其是在低溫下。

解釋：
在 BCC, FCC, 和 HCP 三種金屬晶體結構中，FCC (面心立方) 結構的金屬通常在低溫下，特別是承受突然載荷時，表現出較好的韌性，因此較常被推薦使用。

原因如下：

1. 延展性 (Ductility) 和韌性 (Toughness)：FCC 結構擁有較多的滑移系統（12 個主要的 $\{111\}\langle110\rangle$ 滑移系統），且滑移面的堆積密度較高，原子移動所需的能量較低。這使得 FCC 金屬在變形時，能夠發生較大的塑性變形，進而吸收能量，表現出較好的韌性。

本題考查對金屬固化過程中冷卻曲線的理解，並從曲線中讀取關鍵溫度點與時間參數。

核心觀念：
冷卻曲線記錄了物質在冷卻過程中溫度隨時間的變化。純金屬或形成固溶體的合金，其冷卻曲線的斜率變化（或平台出現）代表了相變的發生。

• 過冷 (Supercooling/Superheat)：液體溫度低於其凝固點，但尚未開始凝固的現象。題目中的 "superheat" 實際上是指 "supercooling"（過冷）的程度，或者是指從液相線到實際開始凝固的溫度差。在題目中，通常是指從液相線溫度到實際開始凝固溫度的溫度差。
• 液相線溫度 (Liquidus Temperature)：開始凝固時的溫度，即從液態轉變為固液混合態的最高溫度。
• 固相線溫度 (Solidus Temperature)：完全凝固時的溫度，即從固液混合態轉變為固態的最低溫度。
• 共晶溫度 (Eutectic Temperature)：在共晶反應中，液相直接轉變為兩種固相的溫度。
• 凝固範圍 (Freezing Range)：從開始凝固到完全凝固的溫度範圍，即液相線溫度與固相線溫度之差。
• 局部凝固時間 (Local Solidification Time)：指固化過程中，從開始凝固到完全凝固所經歷的時間。

由圖 2 的冷卻曲線可知，該 Pb-Sn 合金在冷卻過程中出現了明顯的平台，這表明它是一個共晶合金或形成共晶結構。

(a) 過冷 (Superheat)：
題目中的 "superheat" 在此情境下通常是指從液相線溫度到實際開始凝固溫度的溫度差，也就是過冷度 (supercooling)。
從圖 2 中可以看出，液態的溫度一直下降，直到大約 300°C 時，冷卻曲線開始出現一個斜率的變化，然後在約 183°C 處出現一個較長的平台。
液相線溫度（開始凝固的最高溫度）約為 300°C。
實際開始凝固的溫度（平台開始的溫度）約為 183°C。

本題考查在立方晶胞中繪製晶體方向和晶面。

核心觀念：

• 晶體方向 (Crystal Direction)：用指數 [uvw] 表示，表示從晶胞原點 (0,0,0) 出發，沿著 x, y, z 軸的位移向量。位移向量為 $u\mathbf{a} + v\mathbf{b} + w\mathbf{c}$，其中 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 是晶格向量。在立方晶胞中，$\mathbf{a}=\mathbf{b}=\mathbf{c}=a_0$ 且互相垂直。
• 晶面 (Crystal Plane)：用指數 (hkl) 表示，表示由三個非共線的點所決定的平面。繪製時通常採用截距法：先取倒數得到 (1/h, 1/k, 1/l)，然後找到該平面與 x, y, z 軸的截距（比例）。

繪製步驟：

(a) 繪製 [121] 方向：

1. 確定原點：通常從立方晶胞的左下角後方原點 (0,0,0) 開始。

2. 確定位移向量：[121] 表示沿 x 軸移動 1 個單位長度，沿 y 軸移動 2 個單位長度，沿 z 軸移動 1 個單位長度。

3. 標示終點：在立方晶胞內，從 (0,0,0) 出發，移動到 (1,2,1)。由於這是立方晶胞，我們通常假設晶胞邊長為 1。然而，[121] 的位移向量 (1,2,1) 的長度 $\sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{6}$，超過了單個晶胞的邊長。這表示我們需要繪製一個包含該方向向量的晶胞，或者將向量縮小到晶胞內。
   通常，我們繪製一個代表性的方向線段，表示其方向。
   如果我們以晶胞邊長為 1 來繪製，則 [121] 方向的終點是 (1,2,1)。這意味著我們可能需要擴展晶胞才能完整顯示。
   一種常見的繪製方式是，從原點 (0,0,0) 出發，畫一條指向 (1,2,1) 的向量。
   為了在單個晶胞內表示，我們可以將向量縮小，例如畫成 [1/2, 1, 1/2] 或 [1/3, 2/3, 1/3]。
   但題目要求繪製 [121] 方向，最直接的方式是從原點畫一條指向 (1,2,1) 位置的線。

   繪圖說明：

   1. 畫一個立方體代表晶胞。
   2. 標示出 x, y, z 軸。
   3. 從晶胞的原點 (0,0,0) 出發。
   4. 沿 x 軸方向畫一個單位長度。
   5. 從該點沿 y 軸方向畫兩個單位長度。
   6. 從該點沿 z 軸方向畫一個單位長度。
   7. 連接原點 (0,0,0) 和最終點 (1,2,1)。這條線段就代表了 [121] 方向。
      注意：在單一晶胞內，若直接繪製 (1,2,1)，點會超出晶胞。常見的做法是將其縮小，例如畫成 [1/2, 1, 1/2] 或 [1/3, 2/3, 1/3]。但若題目無特別說明，畫出方向線段即可。為了清晰起見，我們可以畫一個較大的晶胞，或者標示出向量的比例。
      在此，我們假設繪製一個能包含此向量的代表性晶胞。

本題包含兩個部分：(a) 六方晶系晶面的 Miller-Bravais 指數轉換，(b) 位錯線方向與 Burgers 向量的相對關係。

(a) 六方晶系晶面的 Miller-Bravais 指數轉換

核心觀念：
六方晶系 (Hexagonal system) 的單位晶胞在描述晶面和晶向時，為了簡化對稱性，常使用四個指數 (hkil)，稱為 Miller-Bravais 指數。其中，i 是冗餘指數，與 h, k, l 之間存在關係：$h + k + i = 0$。
轉換關係如下：

• 平面 (hkil) 對應於平面 (hk l) (忽略 i)。
• 方向 [uvw] 對應於方向 [uvtw] (引入 t，但此題不涉及方向轉換)。

轉換方法：
對於六方晶系，我們有三個基底向量 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 在 xy 平面上，且夾角為 120°，長度相等。$\mathbf{c}$ 向量垂直於 xy 平面。
Miller-Bravais 指數 (hkil) 的平面表示法，其截距與 (hk l) 的截距有關。
一般的轉換公式是：
$h = \frac{1}{3}(2u-v)$
$k = \frac{1}{3}(2v-u)$
$i = -\frac{1}{3}(u+v)$
$l = l'$ (這裡 l' 是三指數表示法中的 l)

然而，題目給定的是三指數表示法的平面 (hk l)，要求轉換為四指數 (hkil)。
對於平面 (hk l)，其在基底向量 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 上的截距可以表示為：
$x\mathbf{a}_1 + y\mathbf{a}_2 + z\mathbf{a}_3'$ (這裡 $\mathbf{a}_3' = -\mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_2$)
或直接使用截距法，但考慮到六方晶系的特殊性。

最直接的方法是利用 h, k, l 與 i 的關係：$h+k+i=0$。
我們需要找到 h, k, i 的值，使得它們與給定的 (hk l) 平面相符。

1. 轉換平面 (010)：
   在三指數表示法中，(010) 指的是與 x 軸平行，y 軸截距為 1，z 軸截距為 $\infty$ 的平面。
   在六方晶系中，我們需要將其轉換為 (hkil)。
   通常，我們將 (010) 在三指數表示法中的平面，對應到 (hk l) 中的 h=0, k=1, l=0。
   然後利用 $h+k+i=0$ 來求解 i。
   $0 + 1 + i = 0 \implies i = -1$。
   所以，(010) 在 Miller-Bravais 指數表示下為 (01$\bar{1}$0)。

2. 轉換平面 (101)：
   在三指數表示法中，(101) 指的是與 y 軸平行，x 軸截距為 1，z 軸截距為 1 的平面。
   對應到 (hk l) 中的 h=1, k=0, l=1。
   利用 $h+k+i=0$ 來求解 i。
   $1 + 0 + i = 0 \implies i = -1$。
   所以，(101) 在 Miller-Bravais 指數表示下為 (10$\bar{1}$1)。

驗證：
六方晶系的 (hkil) 平面，其截距與 h, k, l 的關係為：

本題包含兩個部分：(a) 離子鍵、共價鍵和金屬鍵的主要區別，(b) 間隙擴散比空位擴散更快的兩個原因。

(a) 離子鍵、共價鍵和金屬鍵的主要區別

核心觀念：
化學鍵是原子之間結合形成化合物或材料的力量。不同的成鍵方式決定了材料的宏觀性質。

1. 離子鍵 (Ionic Bonding)：

   • 形成機制：由電負度差異較大的原子之間，電子從電負度低的原子（通常是金屬）轉移到電負度高的原子（通常是非金屬）上，形成帶相反電荷的離子（陽離子和陰離子），然後通過靜電吸引力（庫侖力）結合在一起。
   • 電子行為：電子發生了「轉移」。
   • 典型材料：無機鹽類，如 NaCl, MgO。
   • 性質：通常硬而脆，熔點高，導電性差（固態），但在熔融或溶解狀態下導電性好。

2. 共價鍵 (Covalent Bonding)：

   • 形成機制：由電負度相似的原子之間，通過共享價電子對來達到穩定的電子結構。
   • 電子行為：電子發生了「共享」。
   • 典型材料：非金屬元素及其化合物，如 H2, Cl2, H2O, CH4, 金剛石 (Diamond), 矽 (Si), 砷化鎵 (GaAs)。
   • 性質：鍵能高，通常熔點高（但共價固體如金剛石硬度極高，但非金屬分子如 Cl2 熔點低），硬度大，脆性，通常不導電（除了半導體和某些特殊結構）。

3. 金屬鍵 (Metallic Bonding)：

   • 形成機制：金屬原子最外層電子非常鬆散，容易失去，形成陽離子。這些價電子脫離原子核的束縛，在整個金屬晶體中自由移動，形成「電子海」。陽離子則排列在電子海的規則晶格中，通過陽離子與自由電子之間的靜電吸引力結合。
   • 電子行為：價電子「離域化」，形成自由電子。
   • 典型材料：所有金屬及其合金，如 Fe, Cu, Al, Au。
   • 性質：延展性好，導電性（電和熱）極佳，有金屬光澤，熔點變化範圍大。

總結比較表：

特徵	離子鍵 (Ionic)	共價鍵 (Covalent)	金屬鍵 (Metallic)
形成原因	電負度差異大，電子轉移	電負度相似，電子共享	價電子易離域，形成電子海

本題考查材料力學的兩個重要概念：(a) 0.2% 偏移降伏強度 (0.2% offset yield strength) 的測定，以及 (b) 低碳鋼中的降伏點現象 (yield point phenomenon)。

(a) 測定 0.2% 偏移降伏強度

核心觀念：
降伏強度 (Yield Strength, YS) 是材料開始發生顯著塑性變形時的應力值。對於許多金屬材料，特別是冷加工硬化的材料，應力-應變曲線並無明顯的「屈服點」，而是逐漸從彈性變形過渡到塑性變形。此時，我們定義一個「偏移降伏強度」，通常是 0.2% 的總應變。

測定步驟：

1. 進行單軸拉伸試驗 (Tensile Test)：

   • 準備標準的拉伸試驗試件。
   • 將試件置於萬能試驗機 (Universal Testing Machine, UTM) 中。
   • 以恆定的速率施加拉伸載荷，並同時記錄載荷 (Load) 和伸長量 (Elongation) 或應變 (Strain)。

2. 計算工程應力 (Engineering Stress) 和工程應變 (Engineering Strain)：

   • 工程應力 $\sigma = \frac{\text{Load}}{A_0}$，其中 $A_0$ 是試件的初始截面積。
   • 工程應變 $\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$，其中 $\Delta L$ 是試件的伸長量，$L_0$ 是試件的標距長度 (gauge length)。

3. 繪製應力-應變曲線 (Stress-Strain Curve)：

   • 以工程應變為橫座標，工程應力為縱座標，繪製出試件的應力-應變曲線。
   • 在曲線的初始階段，應力與應變近似呈線性關係（彈性變形區），其斜率為材料的楊氏模數 (Young's Modulus, E)。

4. 確定 0.2% 偏移線 (0.2% Offset Line)：

   • 在應變軸上，從原點 (0,0) 開始，向右標示出 0.2% 的應變值，即 $\epsilon = 0.002$。
   • 從這個點 ($\epsilon = 0.002$)，畫一條與曲線初始彈性段（楊氏模數 E 所決定的直線）平行的直線。這條直線稱為「0.2% 偏移線」。

5. 確定 0.2% 偏移降伏強度：

   • 找到 0.2% 偏移線與應力-應變曲線的交點。
   • 該交點對應的縱座標（應力值）即為該材料的 0.2% 偏移降伏強度。

本題考查二元鐵碳 (Fe-C) 或鐵碳化物 (Fe-Fe3C) 系統中的兩種重要相變反應：共晶反應 (eutectic reaction) 和共析反應 (eutectoid reaction)。

核心觀念：

• 共晶反應 (Eutectic Reaction)：在高於共晶溫度時，液相 (Liquid, L) 穩定存在。當溫度降低到共晶溫度時，液相會直接轉變為兩種不同的固相。這是發生在液相和固相之間的反應。
• 共析反應 (Eutectoid Reaction)：在高於共析溫度時，一種固相 (Solid Phase) 穩定存在。當溫度降低到共析溫度時，該固相會直接轉變為兩種不同的固相。這是發生在固相之間的反應。

Fe-C 系統的相：
在 Fe-C 系統中，我們需要了解幾個關鍵的相：

• 液相 (Liquid, L)：熔融的鐵碳混合物。
• 奧氏體 (Austenite, γ)：FCC 結構的固溶體，是碳在鐵中的固溶度較高的相 (最高約 2.14 wt% C)。
• 鐵素體 (Ferrite, α)：BCC 結構的固溶體，是碳在鐵中的固溶度非常低的相 (最高約 0.022 wt% C)。
• 碳化鐵 (Cementite, Fe3C)：一種化合物，含碳量為 6.67 wt% C。它是一種硬而脆的相。
• δ-鐵素體 (δ-ferrite)：BCC 結構的固溶體，存在於高溫，碳在其中固溶度較低。

Fe-C 系統中的反應：
Fe-C 相圖中有幾個重要的溫度點和反應：

• 共晶點 (Eutectic Point)：約 1147°C，4.3 wt% C。在此點發生共晶反應。
• 共析點 (Eutectoid Point)：約 727°C，0.76 wt% C。在此點發生共析反應。
• 固相線 (Solidus Line)：表示固液共存的最低溫度。
• 液相線 (Liquidus Line)：表示液固共存的最高溫度。

1. 共晶反應 (Eutectic Reaction)

• 發生溫度：約 1147°C
• 發生位置：在 Fe-C 相圖的共晶點 (約 4.3 wt% C)。
• 反應描述：在高於 1147°C 時，液相 (L) 穩定存在。