111 年 國立中央大學能源工程研究所《熱力學》

這題考驗對熱力學第一定律（能量守恆）以及冰箱運作原理的理解。冰箱雖然是將熱量從內部移到外部，但其運作過程會消耗電能並產生額外的熱量。

解題思路：
冰箱的目的是將其內部低溫區的熱量移除，並將這些熱量（加上壓縮機消耗的功）釋放到周圍的環境（即房間）。當冰箱門打開時，其內部產生的冷空氣會直接與房間內的空氣混合，同時冰箱的運作過程（壓縮機、散熱器等）也會產生熱量。

詳細說明：

1. 冰箱的運作原理：冰箱是一個熱泵系統，它將熱量從低溫熱源（冰箱內部）轉移到高溫熱源（房間）。這個過程需要消耗功（來自壓縮機）。根據熱力學第一定律，能量守恆，冰箱系統吸收的熱量 $Q_L$ 加上輸入的功 $W$ 會被排放到高溫熱源（房間），即 $Q_H = Q_L + W$。
2. 冰箱門打開的影響：當冰箱門打開時，原本要被排到冰箱外部（通常是廚房或房間）的熱量 $Q_H$ 會直接散逸到房間內。同時，冰箱內部製冷的過程（移走 $Q_L$）也會持續進行。

這題考驗對壓縮液體（compressed liquid）性質估算方法的理解，特別是在沒有專門的壓縮液體性質表時。

解題思路：
壓縮液體的性質，特別是比體積，對壓力變化較不敏感，但對溫度變化較敏感。因此，在沒有壓縮液體表時，可以利用飽和液體（saturated liquid）在相同溫度下的性質來近似。

詳細說明：
當我們沒有壓縮液體性質表（compressed liquid tables）時，要估算一個在給定壓力 $P$ 和溫度 $T$ 下的壓縮液體，我們可以利用飽和液體性質（saturated liquid properties）作為近似。

假設我們要找的狀態點是 $(P, T)$，且該點位於壓縮液體區。

1. 溫度近似：壓縮液體的比體積 $v$ 對溫度的變化比對壓力的變化更敏感。因此，我們可以首先找到在給定溫度 $T$ 下的飽和液體狀態。

這題考驗對卡諾循環（Carnot cycle）的理解，包括其在 P-v 圖和 T-s 圖上的表示，以及循環中四個過程的獨特性質。

解題思路：
卡諾循環是一個理想化的熱力學循環，由四個可逆過程組成：兩個等溫過程（isothermal）和兩個絕熱過程（adiabatic）。其獨特性在於它是效率最高的循環，且其效率僅取決於兩個熱源的溫度。

詳細說明：
卡諾循環（Carnot cycle）是一個由四個可逆過程組成的理想熱力學循環，用於將熱能轉換為功。這四個過程是：

1. 等溫膨脹 (Isothermal Expansion)
2. 絕熱膨脹 (Adiabatic Expansion)
3. 等溫壓縮 (Isothermal Compression)
4. 絕熱壓縮 (Adiabatic Compression)

1. 壓力-體積 (P-v) 圖

• 過程 1-2：等溫膨脹：系統從狀態 1 膨脹到狀態 2。在這個過程中，系統從高溫熱源 $T_H$ 吸熱，溫度保持恆定。壓力下降，體積增加。在 P-v 圖上，這是一個向右下方傾斜的曲線。對於理想氣體，此過程遵循 $Pv = \text{constant}$。
• 過程 2-3：絕熱膨脹：系統從狀態 2 絕熱膨脹到狀態 3。在這個過程中，系統沒有與外界進行熱量交換 ($Q=0$)。由於膨脹，系統對外做功，內能降低，溫度隨之下降。在 P-v 圖上，這是一個比等溫線更陡峭的曲線，斜率更大。
• 過程 3-4：等溫壓縮：系統從狀態 3 被壓縮到狀態 4。在這個過程中，系統向低溫熱源 $T_L$ 放熱，溫度保持恆定。壓力升高，體積減小。在 P-v 圖上，這是一個向右上方傾斜的曲線，與過程 1-2 的方向相反。對於理想氣體，此過程遵循 $Pv = \text{constant}$。
• 過程 4-1：絕熱壓縮：系統從狀態 4 絕熱壓縮到狀態 1。在這個過程中，系統沒有與外界進行熱量交換 ($Q=0$)。由於壓縮，外界對系統做功，內能升高，溫度隨之升高，回到初始狀態 1 的溫度 $T_H$。在 P-v 圖上，這是一個比等溫線更陡峭的曲線，斜率更大，與過程 2-3 方向相反。

P-v 圖特徵：

• 循環形成一個封閉的區域。
• 等溫過程的曲線斜率較小（近似為 $-P/v$）。
• 絕熱過程的曲線斜率較大（對於理想氣體，斜率為 $-\gamma P/v$，其中 $\gamma$ 是絕熱指數）。
• 絕熱過程的終點溫度與等溫過程的終點溫度不同。

2. 溫度-熵 (T-s) 圖

• 過程 1-2：等溫膨脹：系統從狀態 1 膨脹到狀態 2。系統從高溫熱源 $T_H$ 吸熱，溫度保持恆定。熵增加（因為吸熱）。在 T-s 圖上，這是一條水平線，代表溫度 $T_H$ 恆定，熵從 $s_1$ 增加到 $s_2$。
• 過程 2-3：絕熱膨脹：系統從狀態 2 絕熱膨脹到狀態 3。系統沒有熱量交換 ($Q=0$)，因此熵的變化為零 ($ds = \delta Q_{rev}/T = 0$)。溫度從 $T_H$ 下降到 $T_L$。

這題考驗對熱機（heat engine）和熱泵（heat pump）基本概念和目的的理解。兩者都是利用熱力學循環，但目的不同。

解題思路：
熱機是將熱能轉換為機械功的裝置，而熱泵是將熱量從低溫處轉移到高溫處的裝置。兩者的運作原理類似，都涉及熱量在兩個溫度不同的熱源之間轉移，但它們的目標是相反的。

詳細說明：
1. 熱機 (Heat Engine)

• 目的：熱機的主要目的是將來自高溫熱源的熱能轉換為有用的機械功。
• 運作原理：熱機從一個高溫熱源（溫度 $T_H$）吸收熱量 $Q_H$，將一部分熱量轉換為淨功 $W_{net}$，並將剩餘的熱量 $Q_L$ 排放到一個低溫熱源（溫度 $T_L$）。
• 能量守恆 (熱力學第一定律)：$W_{net} = Q_H - Q_L$。
• 效率：熱機的效率定義為輸出的淨功與輸入的熱量之比：$\eta_{HE} = \frac{W_{net}}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$。對於理想的卡諾熱機，效率為 $\eta_{Carnot, HE} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$。
• 例子：蒸汽輪機、內燃機、汽輪機發電廠等。

2. 熱泵 (Heat Pump)

核心觀念

本題評量工程熱力學中常見穩態流動裝置（Steady-flow engineering devices）與動力／冷凍循環元件之能量轉換特性及功的定義。

根據開放系統（控制容積，Control Volume）之熱力學第一定律能量平衡方程式：

裝置之做功分類定義如下：

1. 產功裝置（Work-producing, $\dot{W}_{\text{out}} > 0$）：流體或燃燒過程推動機械構件對外界輸出淨機械功／軸功。
2. 耗功裝置（Work-consuming, $\dot{W}_{\text{in}} > 0$）：必須由外界輸入軸功或電功，以推動流體提升壓力，或驅動反向熱機循環（移熱）。
3. 無功／功中性裝置（Work-neutral, $\dot{W} = 0$）：控制容積邊界無旋轉軸、可動邊界或向外輸出的電功／軸功（純靠焓、動能或熱交換進行能量轉換）。

解題方法

依據各裝置在熱力學系統中的運作原理與邊界能量傳遞形式，判定邊界是否存在輸出功（$\dot{W}_{\text{out}}$）、輸入功（$\dot{W}_{\text{in}}$）或不涉及任何功傳遞（$\dot{W} = 0$），進行逐項歸類。

選項分析

• (a) steam turbine（蒸汽渦輪機／汽輪機）：產功（Work-producing）
  高溫高壓蒸汽流經渦輪葉片膨脹做功，帶動軸旋轉並向外輸出軸功（$\dot{W}_{\text{out}} > 0$）。

• (b) pump（泵／水泵）：耗功（Work-consuming）
  用於輸送或加壓液體，必須由外界馬達輸入軸功驅動（$\dot{W}_{\text{in}} > 0$）。

• (c) nozzle（噴嘴）：無功／功中性（Work-neutral）
  固定管道截面積收縮裝置，使流體壓力降轉化為動能增加，內部無可動構件，邊界功 $\dot{W} = 0$。

• (d) diffuser（擴壓管）：無功／功中性（Work-neutral）
  固定管道截面積擴大裝置，使流體動能減速轉化為壓力增加，內部無可動構件，邊界功 $\dot{W} = 0$。

• (e) mixing chamber（混合室）：無功／功中性（Work-neutral）
  讓多股流體直接混合達到均勻狀態之管道室，通常視為絕熱且無任何軸旋轉或移動邊界，$\dot{W} = 0$。

這題考驗對理想氣體熱容（specific heat capacity）的理解，包括定容比熱 $C_v$ 和定壓比熱 $C_p$ 之間的關係，以及它們的物理意義。

解題思路：
(a) 利用熱力學第一定律和理想氣體狀態方程式，在定容和定壓過程下分析能量變化，推導 $C_p$ 和 $C_v$ 的關係。
(b) 從能量傳遞和系統做功的角度，解釋為什麼在定壓過程中，系統需要吸收更多的熱量來達到相同的溫度升高。

詳細說明：

(a) 證明 $C_p = C_v + R$

對於理想氣體，其內能 $u$ 僅是溫度的函數，即 $u = u(T)$。
根據熱容的定義：

• 定容比熱：$C_v = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v$
• 定壓比熱：$C_p = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p$

焓（enthalpy）的定義為 $h = u + Pv$。
對於理想氣體，狀態方程式為 $Pv = RT$。
所以，焓可以寫成 $h = u + RT$。

現在我們來求 $C_p$：
$C_p = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p = \frac{\partial}{\partial T}(u + RT)_p$

由於 $u$ 僅是溫度的函數，即 $u=u(T)$，所以 $\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v = C_v$。
同時，對於理想氣體，R 是常數。
因此，
$C_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \frac{\partial}{\partial T}(RT)_p$
$C_p = C_v + R \left(\frac{\partial T}{\partial T}\right)_p$
$C_p = C_v + R(1)$
$C_p = C_v + R$

證明完畢。

(b) 從物理現象解釋為何 $C_p \ge C_v$

$C_v$ 是在體積恆定下，使單位質量的理想氣體溫度升高 1 度所需的熱量。
$C_p$ 是在壓力恆定下，使單位質量的理想氣體溫度升高 1 度所需的熱量。

我們考慮一個理想氣體系統，在兩種情況下都使其溫度升高 $\Delta T$：

這題考驗對布雷頓循環（Brayton cycle）中再生器（regenerator）作用的理解，特別是它對循環熱效率的影響，以及在高壓比情況下的特殊表現。

解題思路：
(a) 再生器的目的是利用燃燒室前的氣體預熱進入燃燒室的空氣，從而減少燃燒室所需的燃料量，進而提高熱效率。
(b) 當壓力比很大時，壓縮機出口的氣體溫度可能已經很高，使得再生器的預熱效果減弱，甚至可能因為熱損失或不匹配而降低效率。

詳細說明：

布雷頓循環 (Brayton Cycle)

布雷頓循環是燃氣輪機的理想熱力學循環。它包含四個過程：

1. 定壓加熱 (等同於燃燒室)
2. 絕熱膨脹 (渦輪)
3. 定壓放熱 (等同於排氣)
4. 絕熱壓縮 (壓縮機)

再生器 (Regenerator)

再生器是一種熱交換器，它利用從渦輪排出的高溫廢氣來預熱進入燃燒室的壓縮空氣。

(a) 再生器對循環熱效率的影響

• 目的：再生器的主要目的是節省燃料。它通過回收渦輪排氣的熱量來預熱進入燃燒室的空氣，從而減少燃燒室實際需要的燃料量。

• 熱量傳遞：

  • 未採用再生器時，壓縮機出口的空氣進入燃燒室，需要從燃料燃燒中吸收大量的熱量 $Q_{in}$。
  • 採用再生器後，壓縮機出口的空氣（溫度 $T_2$）會先通過再生器，從高溫的渦輪排氣（溫度 $T_3$）中預熱，溫度升高到 $T_{2r}$。然後，混合了燃料燃燒的熱量後，進入渦輪。
  • 燃燒室實際從燃料獲得的熱量 $Q_{in, actual}$ 減少了，因為一部分熱量已經由再生器預熱補償。
  • 熱力學第一定律：
    • 未用再生器：$Q_{in} = h_3 - h_2$ （假設燃燒室是定壓加熱，從狀態2到狀態3）
    • 使用再生器：$Q_{in, actual} = h_3 - h_{2r}$。
    • 再生器吸收的熱量：$Q_{regen} = h_{2r} - h_2$。
    • 渦輪排出的熱量：$Q_{out} = h_3 - h_4$ （假設排氣是定壓冷卻，從狀態3到狀態4）

• 效率影響：
  熱效率 $\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$。

  • 未用再生器：$\eta_{no\_regen} = 1 - \frac{h_4 - h_3}{h_3 - h_2}$ (注意這裡的 $Q_{in}$ 和 $Q_{out}$ 是指循環的淨吸熱和淨放熱，實際燃燒室加熱是從 $T_2$ 到 $T_3$，排氣是從 $T_3$ 到 $T_4$。更準確地說，燃燒室加熱量是 $Q_{H} = h_3 - h_2$，排氣放熱量是 $Q_{L} = h_4 - h_1$ (其中 $h_1$ 是渦輪出口的焓)。理想布雷頓循環淨吸熱 $Q_{in} = h_3-h_2$, 淨放熱 $Q_{out} = h_4-h_1$。若採用再生器，則壓縮空氣從 $T_2$ 預熱到 $T_{2r}$，熱量來自排氣 $T_4$。燃燒室加熱量變為 $Q'_{in} = h_3 - h_{2r}$。
  • 使用再生器：$\eta_{regen} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q'_{in}} = 1 - \frac{h_4 - h_1}{h_3 - h_{2r}}$。

  由於 $h_{2r} > h_2$（預熱了），所以 $h_3 - h_{2r} < h_3 - h_2$。
  這表示，在相同的渦輪出口溫度 $T_3$ 和壓縮機出口溫度 $T_2$ 下，使用再生器時，所需的淨吸熱量 $Q'_{in}$ 減少了。
  因此，熱效率 $\eta_{regen} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q'_{in}}$ 會增加。

  為什麼？ 再生器提高了熱循環的有效利用率。它將原本要被排入大氣的廢熱回收利用，減少了對外部燃料的依賴，相當於提高了循環的熱效率。

(b) 壓力比很大時，再生器反而會降低熱效率嗎？

這題考驗對冰箱（refrigerator）工作原理的理解，特別是其冷凝壓力與環境溫度的關係，以及如何利用給定的飽和溫度表來找出答案。

解題思路：
冰箱的目的是將熱量從低溫內部移到高溫環境。為了有效地將熱量排放到環境中，冰箱的冷凝器（高壓端）必須將冷媒的溫度設定在略高於環境溫度。這樣才能透過對流或輻射將熱量傳遞給環境。

詳細說明：
冰箱的循環包含蒸發（低壓，吸收熱量）、壓縮、冷凝（高壓，排放熱量）和膨脹四個過程。

• 冷凝過程：在冷凝器中，高壓的液態或氣態冷媒將熱量排放到周圍環境。為了讓熱量能夠自發地從冷媒傳遞到環境，冷媒的溫度必須高於環境溫度。
• 環境溫度：題目給定環境溫度為 $T_{env} = 26^\circ C$。
• 冷媒：使用 R-134a。
• 最低壓縮壓力：冰箱的壓縮機將低壓的氣態冷媒壓縮成高壓的氣態冷媒。這個高壓端（冷凝壓力）的溫度必須高於環境溫度，以便將熱量散發出去。為了達到最低的壓縮壓力，我們需要讓冷媒的冷凝溫度僅僅略高於環境溫度。
• 從表格查找：我們需要找到 R-134a 在哪個飽和溫度下的飽和壓力最接近且高於環境溫度 $26^\circ C$。
  • 從提供的「Saturated refrigerant-134a—Temperature table」中，我們可以看到當溫度為 $26^\circ C$ 時，飽和壓力 $P_{sat}$ 為 $685.84 \text{ kPa}$。
  • 在 $26^\circ C$ 時，冷媒處於飽和狀態。如果我們將其壓縮到略高於 $26^\circ C$ 的溫度，那麼它將處於過熱蒸汽或壓力更高的飽和狀態。
  • 為了使冷媒能將熱量排到 $26^\circ C$ 的環境中，冷媒的冷凝溫度必須高於 $26^\circ C$。
  • 因此，我們需要尋找表中溫度大於 $26^\circ C$ 的情況。
  • 表中下一個溫度是 $28^\circ C$，其飽和壓力為 $727.31 \text{ kPa}$。
  • 如果冷媒的冷凝溫度設定為 $28^\circ C$，那麼其飽和壓力就是 $727.31 \text{ kPa}$。這個壓力足以讓冷媒將熱量排到 $26^\circ C$ 的環境中。
  • 如果我們設定的壓縮壓力低於 $685.84 \text{ kPa}$ (即對應 $26^\circ C$ 的飽和壓力)，那麼冷媒的溫度會低於 $26^\circ C$，它就無法將熱量排放到環境中，冰箱就無法工作。
  • 因此，為了確保冷媒能將熱量排放到 $26^\circ C$ 的環境中，冷媒的冷凝溫度必須至少為 $26^\circ C$。而為了實現有效散熱，通常會稍微高於環境溫度。這裡的「minimum pressure」是指為了有效散熱所需要的最低冷凝壓力。
  • 當冷媒在冷凝器中冷凝時，其壓力與溫度是相對應的。若環境溫度是 $26^\circ C$，則冷媒的冷凝溫度至少要略高於 $26^\circ C$ 才能散熱。
  • 表格顯示 $26^\circ C$ 對應的飽和壓力是 $685.84 \text{ kPa}$。若壓縮到此壓力，冷媒溫度是 $26^\circ C$。