115 年 國立臺灣大學工業工程學研究所碩士班產業與服務系統工程組《線性代數（C）》

這題主要在考驗對基本列運算（Elementary Row Operations）如何影響線性方程組解集的理解。一個線性方程組 $Ax=b$ 的解集是指所有滿足該方程組的向量 $x$ 的集合。基本列運算有三種：

1. 交換兩列。
2. 將一列乘以一個非零常數。
3. 將一列的倍數加到另一列上。

這三種基本列運算不會改變原方程組的解集。也就是說，經過這三種運算後得到的增廣矩陣所代表的方程組，與原方程組有相同的解集。

現在我們分析選項：
A. 交換兩列：這是一種基本列運算，不改變解集。
B. 將一列的倍數加到另一列上：這是一種基本列運算，不改變解集。
C. 將一列乘以一個非零常數：這是一種基本列運算，不改變解集。
D. 將一列乘以零：這不是一種基本列運算。如果將某一行乘以零，該行代表的方程將變成 $0x_1 + 0x_2 + \dots + 0x_n = 0$，即 $0=0$。這個方程恆成立，它並沒有提供任何關於變數的限制。

核心觀念

行列式的基本性質：

若方陣的欄向量線性相依，則其行列式等於 $0$。

設方陣的兩個欄向量為 $\mathbf{a}_i$ 與 $\mathbf{a}_j$，題目給出

因此

兩個欄向量互為倍數，必定線性相依。

解題方法

這題考驗矩陣可逆性的充要條件。對於一個 $n \times n$ 的方陣 $A$，以下條件是等價的（互為充要條件）：

1. $A$ 是可逆的 (invertible) 或非奇異的 (non-singular)。
2. $\det(A) \neq 0$。
3. $A$ 的行向量是線性獨立的 (linearly independent)。
4. $A$ 的列向量是線性獨立的 (linearly independent)。
5. $A$ 的行向量構成 $\mathbb{R}^n$ 的一組基底。
6. $A$ 的列向量構成 $\mathbb{R}^n$ 的一組基底。
7. 齊次方程組 $Ax = \mathbf{0}$ 只有零解 $x = \mathbf{0}$。
8. 非齊次方程組 $Ax = b$ 對於所有 $b \in \mathbb{R}^n$ 都有唯一解。

這題考驗行列式為零與特徵值（eigenvalue）的關係。

一個 $n \times n$ 的矩陣 $A$ 是奇異的（不可逆）的充要條件是它的行列式 $\det(A) = 0$。
矩陣 $A$ 可逆的充要條件是 $A$ 的所有特徵值都不為零。
反之，矩陣 $A$ 不可逆的充要條件是 $A$ 至少有一個特徵值為零。

題目給定 $\det(A) = 0$，這表示矩陣 $A$ 是不可逆的。
因此，矩陣 $A$ 必然存在一個特徵值為 0。

現在我們來檢驗各選項：
A. 1：特徵值不一定為 1。例如，矩陣 $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 的行列式為 0，其特徵值都是 0，不是 1。
B. $\det(A-I)$：如果 $A$ 的某個特徵值是 $\lambda$，那麼 $\det(A-\lambda I) = 0$。這裡的選項是 $\det(A-I)$，這表示如果 $1$ 是 $A$ 的一個特徵值，那麼 $\det(A-1 \cdot I) = 0$。

這題考驗實對稱矩陣（real symmetric matrix）的性質。
一個重要定理指出：所有實對稱矩陣的特徵值都是實數。

我們逐一檢驗選項：
A. Complex eigenvalues only：這是不正確的。實對稱矩陣的特徵值是實數，不是「僅複數」。
B. Real eigenvalues：這是正確的。這是實對稱矩陣的一個基本性質。

這題考驗向量空間 $\mathbb{R}^2$ 的基底（basis）的定義。
在一個 $n$ 維向量空間中，基底必須滿足兩個條件：

1. 向量必須是線性獨立的 (linearly independent)。
2. 向量必須能生成（span）整個向量空間。

對於 $\mathbb{R}^2$ 這個二維向量空間，基底必須包含恰好兩個線性獨立的向量。

我們逐一檢驗選項：
A. $\{(1,0),(2,0)\}$：這兩個向量是線性相依的，因為 $(2,0) = 2 \cdot (1,0)$。它們只能生成由 $(1,0)$ 構成的直線，無法生成整個 $\mathbb{R}^2$。所以 A 不是基底。
B. $\{(1,1),(-1,-1)\}$：這兩個向量也是線性相依的，因為 $(-1,-1) = -1 \cdot (1,1)$。它們只能生成由 $(1,1)$ 構成的直線，無法生成整個 $\mathbb{R}^2$。所以 B 不是基底。
C. $\{(1,0),(1,1)\}$：

這題考驗「orthonormal」（正規正交）向量的定義。
如果向量 $u$ 和 $v$ 是正規正交的，則它們滿足兩個條件：

1. 它們是正交的 (orthogonal)：$u \cdot v = 0$ （內積為零）。
2. 它們是正規的 (normal)：它們的範數（長度）都等於 1，即 $\|u\| = 1$ 且 $\|v\| = 1$。

我們逐一檢驗選項：
A. $uv = 1$：這裡的 $uv$ 通常表示內積 $u \cdot v$。如果 $u$ 和 $v$ 是正交的，則 $u \cdot v = 0$，而不是 1。如果 $u$ 和 $v$ 是單位向量，它們的內積可能為 1 (如果 $u=v$)，但題目說的是 "orthonormal"，這包含了正交性，所以 $u \cdot v = 0$。因此 A 不正確。

這題考驗正定矩陣（positive definite matrix）的性質。
一個實對稱矩陣 $A$ 被稱為正定的，如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。
正定矩陣的性質包括：

1. 正定矩陣一定是實對稱矩陣。
2. 正定矩陣一定是可逆的（非奇異）。
3. 正定矩陣的所有特徵值都必須是正數。
4. 正定矩陣的行列式 $\det(A) > 0$。
5. 正定矩陣一定是對角占優（diagonally dominant）的，但對角占優不一定是正定。
6. 一個對角矩陣是正定的，當且僅當其所有對角元素都是正數。

我們逐一檢驗選項：
A. Diagonal：一個對角矩陣，如果所有對角元素都是正數，則它是正定的。例如 $D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$。所以正定矩陣可以是 Diagonal。
B. Symmetric：根據定義，正定矩陣必須是實對稱矩陣。所以正定矩陣一定是 Symmetric。

這題考驗基本列運算（elementary row operations）對行列式值變化的影響。
基本列運算有三種：

1. 交換兩列（Swap two rows）：這個操作會使行列式的值變號。
   例如，若 $A = [c_1, c_2]$，則 $\det(A)$。若交換兩列得到 $A' = [c_2, c_1]$，則 $\det(A') = -\det(A)$。
2. 將一列乘以一個非零常數 $k$（Multiply a row by a nonzero scalar $k$）：這個操作會使行列式的值乘以 $k$。
   例如，若 $A = [c_1, c_2]$，則 $\det(A)$。若將第一列乘以 $k$ 得到 $A' = [kc_1, c_2]$，則 $\det(A') = k \det(A)$。

這題考驗線性方程組 $Ax=b$ 解的唯一性條件。
對於一個 $m \times n$ 的矩陣 $A$，方程組 $Ax=b$ 有唯一解的條件與矩陣 $A$ 的性質有關。

首先，為了使方程組 $Ax=b$ 對「每一個」$b \in \mathbb{R}^m$ 都有解（存在性），矩陣 $A$ 的列空間（column space）必須等於 $\mathbb{R}^m$。這意味著 $A$ 的秩（rank）必須等於 $m$。也就是說，$\text{rank}(A) = m$。

其次，為了使方程組 $Ax=b$ 對「每一個」$b \in \mathbb{R}^m$ 都有「唯一」解，矩陣 $A$ 的零空間（null space）必須只包含零向量。這意味著矩陣 $A$ 的核（kernel）維度為 0。根據秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem），$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$。所以，這要求 $\text{nullity}(A) = 0$，進而要求 $\text{rank}(A) = n$。

綜合以上兩點，為了使 $Ax=b$ 對「每一個」$b \in \mathbb{R}^m$ 都有「唯一」解，必須同時滿足 $\text{rank}(A) = m$ 且 $\text{rank}(A) = n$。這意味著 $m=n$ 且 $\text{rank}(A) = n$。
也就是說，矩陣 $A$ 必須是一個 $n \times n$ 的可逆（非奇異）矩陣。

當 $A$ 是一個 $n \times n$ 的可逆矩陣時，對於任何 $b \in \mathbb{R}^n$，方程組 $Ax=b$ 都有唯一解 $x = A^{-1}b$。

現在我們來看題目給出的條件，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣。題目問的是「確保 $Ax=b$ 對每一個 $b \in \mathbb{R}^m$ 都有唯一解」。

這題考驗正定矩陣（positive definite matrix）的定義。
一個實對稱矩陣 $A$ 被稱為正定的，如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。
一個實對稱矩陣 $A$ 被稱為負定的，如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x < 0$。

題目給定條件是 $x^T A x > 0$ 對於所有非零向量 $x$ 都成立。
這正是正定矩陣的定義。
因此，矩陣 $A$ 是正定的。

我們來檢驗選項：
A. Negative definite：負定矩陣的條件是 $x^T A x < 0$。所以 A 不正確。
B. Positive definite：這是定義本身。所以 B 正確。

核心觀念

本題考查「線性獨立」的定義，以及向量組所張成空間的維度。

向量 $v_1,v_2$ 線性獨立，表示方程

只有平凡解

在 $\mathbb{R}^3$ 中，兩個線性獨立向量會張成一個二維平面，因此其張成空間的維度為 $2$，不可能僅靠兩個向量張成三維空間 $\mathbb{R}^3$。

解題方法

直接依據線性獨立的定義判斷：

• 若一個向量是另一個向量的純量倍數，則兩向量線性相依。
• 線性獨立只代表兩向量在方向上不互相重複，並不代表兩者必須垂直。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，兩個線性獨立向量最多只能張成二維平面。

例如取

若

則

由第二個分量得 $c_2=0$，再由第一個分量得 $c_1=0$，所以 $v_1,v_2$ 線性獨立。

但其內積為

因此兩者不正交；它們也只張成 $xy$ 平面，不能張成 $\mathbb{R}^3$。

選項分析

• A. They are orthogonal

這題考驗不同特徵值對應的特徵向量的性質。
一個重要的定理指出：若一個 $n \times n$ 矩陣 $A$ 有 $n$ 個不同的特徵值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，則對應於這些不同特徵值的特徵向量 $v_1, v_2, \dots, v_n$ 是線性獨立的。
更一般地，即使矩陣不對稱，對應於不同特徵值的特徵向量集合也必定是線性獨立的。

這題考驗正定矩陣（positive definite matrix）的性質，特別是其行列式。
一個實對稱矩陣 $A$ 被稱為正定的，如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。
正定矩陣的幾個重要性質包括：

1. 正定矩陣一定是實對稱矩陣。
2. 正定矩陣的所有特徵值都必須是正數。
3. 正定矩陣的行列式 $\det(A)$ 必須大於零。

這題考驗如何判斷一個矩陣是否為正定矩陣（positive definite matrix）。
一個實對稱矩陣 $A$ 是正定的，若且唯若對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。
判斷正定矩陣的常用方法有：

1. 檢查所有特徵值是否都為正。
2. 檢查所有主子式（leading principal minors）是否都為正。
3. 使用定義 $x^T A x > 0$。

首先，我們需要確定矩陣是否為實對稱矩陣。只有實對稱矩陣才可能為正定矩陣。
對於 $2 \times 2$ 矩陣 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，它是實對稱矩陣若且唯若 $b=c$。

我們逐一檢驗選項：
A. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
* 此矩陣是對稱的。
* 特徵值：對角矩陣的特徵值就是對角元素，即 $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$。因為其中一個特徵值是負數，所以它不是正定的。
* 主子式：$M_1 = 1 > 0$。$M_2 = \det(A) = 1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0 = -1 < 0$。因為第二個主子式（行列式）為負，所以它不是正定的。

B. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
* 此矩陣是對稱的。
* 特徵值：計算特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$\det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1^2 = (2-\lambda-1)(2-\lambda+1) = (1-\lambda)(3-\lambda) = 0$。

這題考驗實對稱矩陣（real symmetric matrix）的可對角化性。
一個重要的定理（譜定理，Spectral Theorem）指出：任何一個實對稱矩陣都可以被一個正交矩陣（orthogonal matrix）對角化。
也就是說，如果 $A$ 是一個實對稱矩陣，那麼存在一個正交矩陣 $P$（滿足 $P^T P = P P^T = I$）和一個對角矩陣 $D$，使得 $A = PDP^T$。
這個等價於 $P^T A P = D$。

我們逐一分析選項：
A. Arbitrary invertible matrix：雖然實對稱矩陣是可對角化的，但它不一定能被「任意」可逆矩陣對角化。例如，如果 $P$ 不是由 $A$ 的正規正交特徵向量組成的，那麼 $P^{-1} A P$ 不一定是對角矩陣。
B. Lower-triangular matrix：實對稱矩陣不一定能被下三角矩陣對角化。

這題考驗實數正交矩陣（real orthogonal matrix）的性質。
一個實數矩陣 $Q$ 是正交矩陣，如果 $Q^T Q = Q Q^T = I$。
正交矩陣的性質包括：

1. 行向量組成了 $\mathbb{R}^n$ 的一組正規正交基。
2. 列向量組成了 $\mathbb{R}^n$ 的一組正規正交基。
3. 行列式 $\det(Q) = \pm 1$。
4. 正交矩陣保持向量的長度不變，即 $\|Qx\| = \|x\|$ 對於所有向量 $x$。
5. 正交矩陣的特徵值（可能為複數）的絕對值為 1。

我們逐一分析選項：
A. All eigenvalues are positive：這是不正確的。例如，矩陣 $Q = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 是正交矩陣，但其特徵值為 $1$ 和 $-1$。

這題考驗具有 $n$ 個不同特徵值的 $n \times n$ 矩陣的性質。
一個重要的定理指出：如果一個 $n \times n$ 矩陣 $A$ 擁有 $n$ 個不同的特徵值，那麼它一定是可對角化的（diagonalizable）。
這是因為對應於不同特徵值的特徵向量必定是線性獨立的。如果一個矩陣有 $n$ 個不同的特徵值，那麼我們就可以找到 $n$ 個線性獨立的特徵向量，這些特徵向量構成 $\mathbb{R}^n$ 的一組基底，從而使矩陣可對角化。

我們逐一分析選項：
A. Defective：缺陷矩陣（defective matrix）是指不能被對角化的矩陣。由於有 $n$ 個不同特徵值的矩陣是可對角化的，所以它不是缺陷矩陣。所以 A 不正確。

這題考驗實對稱矩陣（real symmetric matrix）的特徵向量性質，特別是當特徵值不同時。
一個重要的定理（譜定理，Spectral Theorem）指出：

1. 實對稱矩陣的所有特徵值都是實數。
2. 對應於不同特徵值的特徵向量一定是線性獨立的。
3. 對於一個 $n \times n$ 的實對稱矩陣，如果它有 $n$ 個不同的特徵值，則對應的 $n$ 個特徵向量構成 $\mathbb{R}^n$ 的一組正規正交基。這意味著它們是線性獨立的、相互正交的，並且能張成 $\mathbb{R}^n$。

題目說 "eigenvectors from n different eigenvalues"。這意味著矩陣 $A$ 恰好有 $n$ 個不同的特徵值。
根據上述定理，對於實對稱矩陣，這 $n$ 個特徵向量：

• 一定是線性獨立的。
• 一定是相互正交的（因為矩陣是實對稱的）。
• 它們可以組成一個正規正交基，因此它們可以張成 $\mathbb{R}^n$。

現在我們看選項，問「can NOT be」（不能是什麼）：
A. Orthogonal：由於矩陣是實對稱的，對應於不同特徵值的特徵向量一定是正交的。所以它們「可以」是正交的。

核心觀念

題目考查實對稱正定矩陣的基本分解性質。

若 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 滿足：

1. $A^T=A$（對稱）；
2. 對所有非零向量 $x$，皆有 $x^TAx>0$（正定），

則可使用下列重要定理：

• 所有順序主子式皆為正；
• 高斯消去法不需要列交換，必可得到 $LU$ 分解；
• 必可得到 Cholesky 分解
  $A=LL^T,$
  其中 $L$ 為對角元素皆為正的下三角矩陣；
• 因為 $A$ 對稱，必可正交對角化，而非一般具有單一 Jordan block 的形式。

解題方法

直接利用「對稱正定矩陣」的特徵定理判斷各選項。

特別是，Cholesky 定理指出：

$A\text{ 為實對稱正定矩陣}\iff A=LL^T,$

其中 $L$ 為可逆下三角矩陣。因此選項 C 符合定理。

此外，對稱正定矩陣的所有主對角樞紐在消去過程中皆為正，不會遇到零樞紐，因此高斯消去法不需列交換即可完成 $LU$ 分解。故選項 A 在標準線性代數定義下也成立。

選項分析

A. LU with no row exchanges for all such A

正確。

對實對稱正定矩陣 $A$，所有順序主子式皆為正：

$\det(A_{1:k,1:k})>0,\qquad k=1,\dots,n.$

高斯消去法第 $k$ 步的樞紐為

因此每一步的樞紐都不為零，不需進行列交換，即可得到

$A=LU,$

其中 $L$ 為下三角矩陣、$U$ 為上三角矩陣。

B. QR with Q having negative diagonal

錯誤。

雖然任何實方陣都可以進行 QR 分解：

$A=QR,$

其中 $Q$ 為正交矩陣、$R$ 為上三角矩陣，但 $Q$ 的對角元素沒有「必定為負」的性質。

QR 分解常採用的規範反而是令 $R$ 的對角元素為正；此時 $Q$ 的對角元素可能為正、負或零，不能由正定性決定。因此「$Q$ having negative diagonal」不是對稱正定矩陣保證的分解特徵。

C. Cholesky $A=LL^T$

正確。

這題考驗正定矩陣（positive definite matrix）的等價條件。
一個實對稱矩陣 $A$ 是正定的，若且唯若滿足以下任一條件（這些條件是相互等價的）：

1. 對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。（定義）
2. 所有特徵值都為正。
3. 所有主子式（leading principal minors）都為正。
4. 行列式 $\det(A) > 0$ 且 $A$ 是可逆的（如果 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣）。
5. 存在一個下三角矩陣 $L$（對角元素為正）使得 $A = LL^T$ （Cholesky 分解）。

我們逐一分析選項：
A. All diagonal entries are positive：這是不正確的。

核心觀念

若矩陣 $A$ 與 $B$ 相似，表示存在可逆矩陣 $P$，使得

相似矩陣代表同一個線性變換在不同基底下的矩陣表示，因此具有許多相似不變量。最重要的定理是：相似矩陣具有相同的特徵多項式。

解題方法

設 $A$ 與 $B$ 為 $n\times n$ 矩陣，且 $A=PBP^{-1}$。則

因此 $A$ 與 $B$ 的特徵多項式相同，進而具有相同的特徵值及其代數重數。因此本題空格最標準的填法是：

• characteristic polynomial（特徵多項式）
• 若題目選項以特徵值表示，也可填 eigenvalues（特徵值）

此外，相似矩陣也必定具有相同的：

這題考驗二次型（quadratic form）$x^T A x$ 在單位向量約束下的最小值。
對於一個實對稱矩陣 $A$，其二次型 $x^T A x$ 的最小值（或最大值）與其特徵值有關。
設 $A$ 的特徵值為 $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n$。
則對於任意單位向量 $x$（即 $\|x\|=1$），二次型 $x^T A x$ 的值介於 $A$ 的最小特徵值和最大特徵值之間：
$\lambda_n \le x^T A x \le \lambda_1$。
最小值 $\lambda_n$ 在 $x$ 是對應於最小特徵值 $\lambda_n$ 的單位特徵向量時取得。
最大值 $\lambda_1$ 在 $x$ 是對應於最大特徵值 $\lambda_1$ 的單位特徵向量時取得。

這題考驗實對稱不定矩陣（real symmetric indefinite matrix）的性質。
一個實對稱矩陣 $A$ 被稱為：

• 正定的（positive definite）：如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。這等價於所有特徵值都為正。
• 負定的（negative definite）：如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x < 0$。這等價於所有特徵值都為負。
• 半正定的（positive semi-definite）：如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x \ge 0$。這等價於所有特徵值都為非負。
• 半負定的（negative semi-definite）：如果對於所有非零向量 $x$，都有 $x^T A x \le 0$。這等價於所有特徵值都為非正。
• 不定的（indefinite）：如果 $x^T A x$ 的值既可以是正的，也可以是負的。這等價於矩陣 $A$ 至少有一個正特徵值和至少一個負特徵值。

題目給定 $A$ 是實對稱不定矩陣。
根據定義，不定矩陣意味著二次型 $x^T A x$ 可以取正值，也可以取負值。
這等價於矩陣 $A$ 至少有一個正特徵值和至少一個負特徵值。

我們逐一分析選項：
A. All eigenvalues are positive：這描述的是正定矩陣。所以 A 不正確。
B. All eigenvalues are negative：這描述的是負定矩陣。所以 B 不正確。

這題考驗有重根特徵值（repeated eigenvalue）的矩陣的性質。
一個矩陣是否有重根特徵值，並不直接決定它是否可對角化（diagonalizable）。
矩陣可對角化的充要條件是：對於每一個特徵值 $\lambda$，其代數重數（algebraic multiplicity，即特徵值在特徵多項式中出現的次數）等於其幾何重數（geometric multiplicity，即對應於 $\lambda$ 的特徵向量的線性獨立向量的個數，也就是 $A - \lambda I$ 的零空間維度）。

如果一個矩陣有重根特徵值，那麼：

• 它可能可以被對角化，也可能不可以。
  • 例如，單位矩陣 $I$ 的特徵值是 $1$（重根），但它是對角矩陣，所以它是可對角化的。