108 年 國立中央大學數學系碩士班一般生《高等微積分》

本題是關於均勻連續的定義。均勻連續是比點點連續更強的條件，它要求對於任意小的 $\epsilon > 0$，都存在一個 $\delta > 0$（此 $\delta$ 不依賴於定義域中的點），使得對於定義域 $A$ 中任何兩點 $x, y$ 只要它們之間的距離 $|x-y| < \delta$，則它們的函數值之間的距離 $|f(x)-f(y)| < \epsilon$。

本題是關於 Cauchy 數列（或稱柯西數列）的定義。在實數空間 $\mathbb{R}$ 中，一個數列是 Cauchy 數列等價於它是收斂數列。Cauchy 數列的定義是，對於任意小的 $\epsilon > 0$，都存在一個正整數 $N$，使得對於所有大於等於 $N$ 的 $m, n$，數列中第 $m$ 項和第 $n$ 項之間的距離都小於 $\epsilon$。

本題是關於上確界（supremum）的定義。對於一個實數集合 $S$，如果它有上界，那麼它的上確界是所有上界中最小的那一個。上確界有兩個充要條件：

1. 它必須是 $S$ 的一個上界，即對於 $S$ 中的所有元素 $x$，都有 $x \le a$。
2. 它必須是最小的上界，即對於任何比 $a$ 小的數 $b$， $b$ 都不是 $S$ 的上界，也就是說，存在 $S$ 中的一個元素 $x'$，使得 $x' > b$。

本題是關於集合的邊界（boundary）的定義。集合的邊界是那些「靠近」集合內部和「靠近」集合外部的點的集合。更精確地說，一個點 $x$ 在集合 $A$ 的邊界上，當且僅當以 $x$ 為中心的任何一個開球都同時包含 $A$ 中的點和 $A$ 的補集中的點。

詳解：
對於一個集合 $A \subseteq \mathbb{R}^n$，其邊界 $\partial A$ 是滿足以下條件的點集：對於任何點 $x \in \partial A$，以及對於任何 $\epsilon > 0$，以 $x$ 為圓心、半徑為 $\epsilon$ 的開球 $B(x, \epsilon)$ 都同時包含 $A$ 中的點和 $A$ 的補集 $A^c$ 中的點。

本題要求陳述廣義（柯西）均值定理。這個定理是標準的拉格朗日均值定理的推廣，它涉及兩個函數。

詳解：
廣義（柯西）均值定理：
設函數 $f$ 和 $g$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，在開區間 $(a, b)$ 上可微。如果對於所有 $x \in (a, b)$，都有 $g'(x) \neq 0$，那麼存在一個點 $c \in (a, b)$，使得

本題要求陳述微積分基本定理。微積分基本定理是連接微分和積分的關鍵定理，它有兩個部分。

詳解：
微積分基本定理（第一部分）：
設函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續。定義一個函數 $F(x)$ 為 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 對於 $x \in [a, b]$。那麼，$F$ 在 $[a, b]$ 上是連續的，在 $(a, b)$ 上是可微的，並且對於所有 $x \in (a, b)$，都有 $F'(x) = f(x)$。

本題要求陳述中間值定理。中間值定理是關於連續函數性質的一個基本定理，它保證了在一個閉區間上連續的函數會取到其端點值之間的每一個值。

詳解：
中間值定理：
設函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續。

本題要求計算一個多項式的極限。當 $x \to \infty$ 時，多項式的極限由其最高次項決定。

詳解：
給定多項式 $P(x) = x^{27} + 3x^{26} - x^2 + 23$。
我們要計算 $\lim_{x \to \infty} P(x)$。
當 $x$ 趨近於無窮大時，多項式中最高次項的影響最大。我們可以將最高次項 $x^{27}$ 提出來：
$P(x) = x^{27} \left( 1 + \frac{3x^{26}}{x^{27}} - \frac{x^2}{x^{27}} + \frac{23}{x^{27}} \right)$
$P(x) = x^{27} \left( 1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{25}} + \frac{23}{x^{27}} \right)$

本題要求判斷一個由無窮級數定義的函數在整個實數域上是否連續。這個級數是指數函數 $e^x$ 的泰勒級數展開的一部分。

詳解：
給定的函數是 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。
我們知道指數函數的泰勒級數展開為 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \frac{x^0}{0!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。
因此，$f(x) = e^x - 1$。

函數 $e^x$ 在整個實數域 $\mathbb{R}$ 上是連續的。
因為 $f(x) = e^x - 1$，而常數函數 $-1$ 也是連續的，兩個連續函數的和或差仍然是連續的。
所以，$f(x)$ 在整個實數域 $\mathbb{R}$ 上是連續的。

核心觀念

本題是在球面約束下求多變數函數的絕對最大值與絕對最小值。由於約束集合

是半徑 $6$ 的封閉球面，而 $f(x,y,z)=y^2-10z$ 連續，因此依極值定理，最大值與最小值必定存在。

關鍵觀察是：函數 $f$ 不含 $x$，可利用約束式消去 $x$，研究 $y^2$ 與 $z$ 的關係。

解題方法

由約束式得

因為 $x^2\geq 0$，所以

求最小值

因為 $y^2\geq 0$ 且 $z\leq 6$，所以

當

時，由約束式可得

因此 $x=0$。此時

所以最小值為

求最大值

固定 $z$ 時，因為 $f=y^2-10z$ 隨 $y^2$ 增加而增加，所以對每個固定的 $z$，最大值在 $y^2$ 取最大值時取得，即

因此

本題要求證明，如果一個函數序列在一個閉區間上一致收斂於一個函數，並且序列中的每個函數都是 Riemann 可積的，那麼極限函數也是 Riemann 可積的，並且極限和積分可以交換順序。

詳解：
證明 $f$ 是 Riemann 可積的：
我們需要證明對於任意的 $\epsilon > 0$，存在一個 $\delta > 0$，使得對於任何分割 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ of $[a, b]$，我們有 $|U(f, P) - L(f, P)| < \epsilon$，其中 $U$ 是上和，$L$ 是下和。

由於 $f_k$ 一致收斂於 $f$ 在 $[a, b]$ 上，對於給定的 $\epsilon > 0$，存在一個正整數 $K$ 使得對於所有 $k \ge K$ 和所有 $x \in [a, b]$，都有 $|f_k(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$。
因此，$f(x) - \frac{\epsilon}{3(b-a)} < f_k(x) < f(x) + \frac{\epsilon}{3(b-a)}$。

又因為 $f_K$ 在 $[a, b]$ 上是 Riemann 可積的，所以存在一個分割 $P$ 使得 $U(f_K, P) - L(f_K, P) < \frac{\epsilon}{3}$。

對於這個固定的分割 $P$，我們有：
$L(f, P) = \sum_{i=1}^n m_i (x_i - x_{i-1})$，其中 $m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$。
$L(f_K, P) = \sum_{i=1}^n m_{i,K} (x_i - x_{i-1})$，其中 $m_{i,K} = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f_K(x)$。

因為 $f_K(x) - \frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x)$ 對於所有 $x \in [a, b]$，所以 $m_{i,K} - \frac{\epsilon}{3(b-a)} \le m_i$。
因此，$L(f_K, P) - \frac{\epsilon}{3} \le L(f, P)$。

同理，對於上和，有 $M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ 和 $M_{i,K} = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f_K(x)$。

核心觀念

承接 (a) 的一致極限定理：若每個 $f_k$ 都在區間上連續，且 $f_k$ 一致收斂至 $f$，則 $f$ 連續。本題要說明，只知道 $f_k$ 逐點收斂，不足以保證極限函數連續。

解題方法與證明

在 $[0,1]$ 上定義

每個 $f_k$ 都是多項式，因此在 $[0,1]$ 上連續。固定任意 $x\in[0,1]$：

• 若 $0\leq x<1$，則 $\lim_{k\to\infty}x^k=0$。
• 若 $x=1$，則 $f_k(1)=1$，所以 $\lim_{k\to\infty}f_k(1)=1$。

因此，$f_k$ 逐點收斂至

本題是一個關於多元函數可微性的判斷題。題目聲稱，如果一個函數在一個開集上，在某一點 $x_0$ 的所有方向上都是可微的，那麼它在該點就可微。需要判斷這個命題的真偽。

詳解：
命題是：設 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ 為開集， $f: X \to \mathbb{R}$， $x_0 \in X$， $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 為單位向量。如果 $f$ 在 $x_0$ 點的每一個方向 $\mathbf{v}$ 上都可微，則 $f$ 在 $x_0$ 點可微。

這個命題是錯誤的。

反例：
考慮函數 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 定義為：
$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2} & \text{if } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{if } (x, y) = (0, 0) \end{cases}$。
我們將證明這個函數在 $(0, 0)$ 點的每一個方向上都可微，但它在 $(0, 0)$ 點不可微。
令 $x_0 = (0, 0)$。 $X = \mathbb{R}^2$ 是開集。

1. 證明 $f$ 在 $(0, 0)$ 點的每一個方向上都可微：
對於任意的單位向量 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，其中 $v_1^2 + v_2^2 = 1$。
我們需要計算方向導數 $D_{\mathbf{v}}f(0, 0)$。
根據定義，方向導數是：
$D_{\mathbf{v}}f(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+hv_1, 0+hv_2) - f(0, 0)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{f(hv_1, hv_2) - 0}{h}$

如果 $h \neq 0$，則 $(hv_1, hv_2) \neq (0, 0)$。
$f(hv_1, hv_2) = \frac{(hv_1)(hv_2)^2}{(hv_1)^2 + (hv_2)^2} = \frac{h^3 v_1 v_2^2}{h^2 v_1^2 + h^2 v_2^2} = \frac{h^3 v_1 v_2^2}{h^2 (v_1^2 + v_2^2)}$
由於 $\mathbf{v}$ 是單位向量， $v_1^2 + v_2^2 = 1$。
所以，$f(hv_1, hv_2) = \frac{h^3 v_1 v_2^2}{h^2 (1)} = h v_1 v_2^2$。

因此，
$D_{\mathbf{v}}f(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{h v_1 v_2^2}{h} = \lim_{h \to 0} v_1 v_2^2 = v_1 v_2^2$。
這個極限存在。所以，$f$ 在 $(0, 0)$ 點的每一個方向 $\mathbf{v}$ 上都可微，並且方向導數是 $v_1 v_2^2$。

2. 證明 $f$ 在 $(0, 0)$ 點不可微：
一個函數 $f$ 在點 $x_0$ 可微，如果存在一個線性映射 $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 使得
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h\mathbf{v}) - f(x_0) - L(h\mathbf{v})}{h} = 0$ 對於所有 $\mathbf{v}$。
對於多元函數，這個條件等價於：
$\lim_{\mathbf{h} \to \mathbf{0}} \frac{f(x_0 + \mathbf{h}) - f(x_0) - \nabla f(x_0) \cdot \mathbf{h}}{||\mathbf{h}||} = 0$。

對於我們的函數 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$，梯度是 $\nabla f(0, 0) = \langle \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0), \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) \rangle$。
我們需要計算偏導數：
$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h \cdot 0^2}{h^2+0^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$。
$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0 \cdot k^2}{0^2+k^2} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0$。
所以，$\nabla f(0, 0) = \langle 0, 0 \rangle$。

如果 $f$ 在 $(0, 0)$ 可微，那麼線性映射 $L$ 應該是