115 年 國立臺灣大學數學系碩士班《高等微積分》

核心觀念

本題旨在考驗多變數函數在原點 $(0,0)$ 處的可微性定義（Differentiability），以及對含參數瑕積分（Parametric Improper Integral）的界限估計（Bounds & Estimates）。

1. 多變數函數在點 $a$ 可微的定義：
   函數 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 在 $(0,0)$ 處可微，若且唯若存在線性變換 $L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$（即向量 $\nabla f(0,0) = (A, B)$）使得：
   $\lim_{(x_1, x_2) \to (0,0)} \frac{f(x_1, x_2) - f(0,0) - (A x_1 + B x_2)}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} = 0$
   其中偏微分 $A = \frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0)$，$B = \frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)$。
2. 夾擠定理（Squeeze Theorem）與積分估計：
   對於極限的估計，當函數包含複雜積分時，常利用被積函數在積分區域上的上界估計，將積分項界定在足夠快的衰減速率（衰減速度快於 $\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$）內。

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解題方法

首先將 $f(x_1, x_2)$ 拆解為兩部分：
$f(x_1, x_2) = g(x_1, x_2) + h(x_1, x_2)$
其中：
$g(x_1, x_2) = \begin{cases} \frac{1}{x_1^2 + x_2^2} \int_{\mathbb{R}^2} e^{-\frac{\eta_1^4 + \eta_2^6}{x_1^2 + x_2^2}} \chi(\eta) d\eta, & (x_1, x_2) \neq (0,0) \\ 0, & (x_1, x_2) = (0,0) \end{cases}$
$h(x_1, x_2) = x_1^2 x_2 \cos x_2$

第一步：分析多項式與三角函數項 $h(x_1, x_2)$

$h(x_1, x_2)$ 為平滑函數 $C^\infty(\mathbb{R}^2)$。
在 $(0,0)$ 處計算其偏微分：
$\frac{\partial h}{\partial x_1}(0,0) = \lim_{x_1 \to 0} \frac{h(x_1, 0) - h(0,0)}{x_1} = \lim_{x_1 \to 0} \frac{0}{x_1} = 0$
$\frac{\partial h}{\partial x_2}(0,0) = \lim_{x_2 \to 0} \frac{h(0, x_2) - h(0,0)}{x_2} = \lim_{x_2 \to 0} \frac{0}{x_2} = 0$
因此 $\nabla h(0,0) = (0,0)$。

檢查 $h$ 的可微極限：
$\lim_{(x_1, x_2) \to (0,0)} \frac{h(x_1, x_2) - h(0,0) - 0}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} = \lim_{(x_1, x_2) \to (0,0)} \frac{x_1^2 x_2 \cos x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}$
令 $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$，因為 $|x_1| \le r$ 且 $|x_2| \le r$，故：
$\left| \frac{x_1^2 x_2 \cos x_2}{r} \right| \le \frac{r^3 \cdot 1}{r} = r^2 \to 0 \quad \text{as } r \to 0$
故 $h$ 在 $(0,0)$ 可微，且全微分為 $Dh(0,0) = 0$。

第二步：分析積分項 $g(x_1, x_2)$ 的估計

令 $r^2 = x_1^2 + x_2^2 > 0$。
題目給定截斷函數 $\chi(\eta) \in C^\infty_c(\mathbb{R}^2)$，滿足：
當 $0 \le |\eta| \le 1$ 時，$\chi(\eta) = 0$。
且因為 $\chi$ 是緊支集函數（Compactly supported），存在常數 $R > 1$ 與 $M > 0$，使得當 $|\eta| > R$ 時 $\chi(\eta) = 0$，且對所有 $\eta \in \mathbb{R}^2$ 有 $|\chi(\eta)| \le M$。

因此，積分區域實際上被限制在環形區域 $K = \{\eta \in \mathbb{R}^2 ; 1 \le |\eta| \le R\}$ 上。

在區域 $K$ 上，因為 $|\eta| \ge 1$，可知：
$\eta_1^2 + \eta_2^2 \ge 1$
注意對於 $\eta_1^4 + \eta_2^6$，在最小化問題下，當 $\eta_1^2 + \eta_2^2 \ge 1$ 時，必存在某一正常數 $c > 0$ 使得：
$\eta_1^4 + \eta_2^6 \ge c > 0 \quad \forall \eta \in K$

【題目】
國立臺灣大學數學系碩士班（民國 115 年研究所入學考試《高等微積分》第 II 題）

Let $a_{j,\ell} \in \mathbb{R}$, $j, \ell = 0, 1, 2, \dots$. For every $N \in \mathbb{N}$, put
$P_N(x_1, x_2) = \sum_{j,\ell \in \mathbb{N}\cup\{0\}, j+\ell \le N} a_{j,\ell} x_1^j x_2^\ell.$
For every $n \in \mathbb{N}$, put $b_n := \sum_{j,\ell \in \mathbb{N}\cup\{0\}, j+\ell=n} |a_{j,\ell}|$. Let
$\rho = \frac{1}{\limsup_{n\to +\infty} |b_n|^{1/n}}.$
Suppose $0 < \rho < +\infty$. Show that there is a continuous function $P(x) \in C^0(D_\rho)$ such that
$\lim_{N\to +\infty} P_N(x) = P(x) \text{ uniformly on } B_\delta,$
for every $0 < \delta < \rho$, where $D_\rho = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2; \sqrt{x_1^2 + x_2^2} < \rho\}$ and $B_\delta = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2; \sqrt{x_1^2 + x_2^2} \le \delta\}$.

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核心觀念

1. 二元多項式級數的絕對控制 (Absolute Control)：
   對於點 $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$，令 $\|x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ 為歐氏範數。由於 $|x_1| \le \|x\|$ 且 $|x_2| \le \|x\|$，當 $j+\ell = n$ 時，有：
   $|x_1^j x_2^\ell| = |x_1|^j |x_2|^\ell \le \|x\|^j \|x\|^\ell = \|x\|^n$
   因此，多項式級數的項可以用一元級數 $\sum_{n=0}^\infty b_n \|x\|^n$ 來進行控制。

2. Cauchy-Hadamard 定理與收斂半徑：
   一元冪級數 $\sum_{n=0}^\infty b_n t^n$ 的收斂半徑由 Cauchy-Hadamard 定理給出：
   $R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |b_n|^{1/n}} = \rho$
   當 $|t| \le \delta < \rho$ 時，此冪級數絕對收斂且一致收斂。

3. Weierstrass M-測試 (Weierstrass M-Test)：
   若函數序列 $u_n(x)$ 在集合 $E$ 上滿足 $|u_n(x)| \le M_n$，且常數級數 $\sum_{n=0}^\infty M_n < \infty$，則級數 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 在 $E$ 上一致收斂（且絕對收斂）。

4. 極限函數的連續性 (Uniform Limit of Continuous Functions)：
   若連續函數序列（或多項式部分和序列）在封閉區域 $B_\delta$ 上一致收斂，則其極限函數在 $B_\delta$ 上必定連續。

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解題方法與完整推導

第一步：建立單一階項的控制不等式

對於任意 $x = (x_1, x_2) \in B_\delta$，根據 $B_\delta$ 的定義，有 $\|x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} \le \delta$。
由於 $|x_1| \le \|x\|$ 且 $|x_2| \le \|x\|$，對任意滿足 $j + \ell = n$ 的非負整數 $j, \ell$，皆滿足：
$|x_1^j x_2^\ell| \le \delta^j \delta^\ell = \delta^n$
因此，將同階（$j+\ell=n$）的項歸併後，可估算其絕對值總和：
$\sum_{j+\ell = n} |a_{j,\ell} x_1^j x_2^\ell| \le \sum_{j+\ell = n} |a_{j,\ell}| \cdot \delta^n = b_n \delta^n$

第二步：利用 Cauchy-Hadamard 定理證明常數級數收斂

考慮正項級數 $\sum_{n=0}^\infty b_n \delta^n$。
對其一般項取 $n$ 次方根上極限：

核心觀念

本題考查多變數函數在臨界點的二階泰勒公式。由於

$$f(0)=0,\qquad Df(0)=0,$$

函數在原點的零階與一階項皆消失，因此 $f(x)$ 可完全表示成二次項，且二次項的係數可由 Hessian 矩陣沿著線段 $tx$ 的積分取得。

所使用的公式為一維函數的積分型泰勒公式：

$$h(1)=h(0)+h'(0)+\int_0^1(1-t)h''(t)\,dt.$$

解題方法

固定 $x\in\mathbb{R}^n$，考慮一維函數

$$h(t)=f(tx),\qquad 0\leq t\leq 1.$$

將原本的多變數問題轉化為一維問題，再將 $h''(t)$ 用 Hessian 矩陣表示，即可得到所需的二次型分解。

詳細推導

由鏈鎖律，

$$h'(t)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(tx)x_j.$$

再微分一次，得到

$$h''(t) = \sum_{j,\ell=1}^n x_jx_\ell \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_\ell}(tx).$$

由一維積分型泰勒公式，

$$f(x)=h(1) = h(0)+h'(0)+\int_0^1(1-t)h''(t)\,dt.$$

題設給出 $f(0)=0$，且

$$h'(0) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(0)x_j =0.$$

因此

$$f(x) = \int_0^1(1-t) \sum_{j,\ell=1}^n x_jx_\ell \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_\ell}(tx)\,dt.$$

將有限和移出積分號：

$$f(x) = \sum_{j,\ell=1}^n x_jx_\ell \int_0^1(1-t) \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_\ell}(tx)\,dt.$$

定義

$$g_{j,\ell}(x) := 2\int_0^1(1-t) \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_\ell}(tx)\,dt.$$

則

$$\int_0^1(1-t) \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_\ell}(tx)\,dt = \frac12 g_{j,\ell}(x),$$

故

$$f(x) = \frac12 \sum_{j,\ell=1}^n x_jx_\ell g_{j,\ell}(x).$$

取

$$U=\mathbb{R}^n,$$

其為包含原點的開集；若只需局部結論，也可取原點的任意開鄰域。

驗證 $g_{j,\ell}$ 的性質

因為 $f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，所以每個二階偏導數

核心觀念

本題屬於高等微積分與微分幾何的核心考題，主要考察**隱函數定理（Implicit Function Theorem, IFT）或反函數定理（Inverse Function Theorem）**在光滑流形／李群（Lie Group）與對稱矩陣空間中的應用。

題目要求尋找一個光滑矩陣值函數 $A(x)$，使得度量矩陣（或對稱矩陣）$G(x)$ 在原點附近的局部坐標下可以拉回（Pullback）轉化成 $A(x)^T G(0) A(x)$ 的標準形式。

1. 歐幾里得空間與矩陣空間的流形結構：
   • 設 $\text{Sym}(n)$ 為所有 $n \times n$ 實對稱矩陣構成的向量空間，維度為 $\frac{n(n+1)}{2}$。
   • 設 $GL(n, \mathbb{R})$ 為所有 $n \times n$ 可逆實矩陣構成的李群，維度為 $n^2$。
2. 隱函數定理 / 雅可比矩陣之滿射性（Surjectivity of Differential）：
   • 考慮對映 $F: A \mapsto A^T G(0) A$，其在單位矩陣 $I$ 處的微分（Linearization）為：
     $DF(I)(H) = H^T G(0) + G(0) H$
   • 由於 $G(0)$ 為對稱且正定（或可逆對稱）矩陣，微分對映 $DF(I)$ 從 $M_{n \times n}(\mathbb{R})$ 映至 $\text{Sym}(n)$ 是滿射（Surjective）。
   • 根據隱函數定理（或微分幾何中的局部截面定理 Local Section Theorem / Submersion Theorem），可保證局部解 $A(x)$ 的光滑存在性。

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解題方法

步驟一：設定對應的函數與幾何結構

設 $G(x) = (g_{j,\ell}(x))_{j,\ell=1}^n$ 是定義在 $U \subset \mathbb{R}^n$ 上的光滑對稱矩陣值函數（即 $G(x) \in \text{Sym}(n)$ 且每個分量 $g_{j,\ell}(x) \in C^\infty(U)$）。

不失一般性，設 $G(0)$ 為可逆對稱矩陣（通常在度量矩陣中為正定對稱矩陣）。

我們定義一個取值於對稱矩陣空間的多元光滑映射：
$F: GL(n, \mathbb{R}) \to \text{Sym}(n)$
$F(M) = M^T G(0) M$

注意：

• 源空間 $GL(n, \mathbb{R})$ 為維度 $n^2$ 的開流形。
• 目標空間 $\text{Sym}(n)$ 為維度 $m = \frac{n(n+1)}{2}$ 的歐幾里得向量空間。
• 在單位矩陣 $M = I$ 處，顯然有 $F(I) = I^T G(0) I = G(0)$。

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步驟二：計算 $F$ 在單位矩陣 $I$ 處的切映射（Fréchet Differential）

對於任意矩陣 $H \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$，計算 $F$ 在 $I$ 處沿 $H$ 方向的方向導數：
$DF(I)(H) = \left. \frac{d}{dt} F(I + tH) \right|_{t=0}$

$$\begin{aligned} F(I + tH) &= (I + tH)^T G(0) (I + tH) \\ &= (I + t H^T) G(0) (I + tH) \\ &= G(0) + t \left( H^T G(0) + G(0) H \right) + t^2 H^T G(0) H \end{aligned}$$

因此，微分映射 $DF(I): M_{n \times n}(\mathbb{R}) \to \text{Sym}(n)$ 為：
$DF(I)(H) = H^T G(0) + G(0) H$

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步驟三：驗證微分映射 $DF(I)$ 為滿射（Surjective）

要證明對任意對稱矩陣 $S \in \text{Sym}(n)$（即 $S^T = S$），都存在 $H \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ 使得 $DF(I)(H) = S$。

設 $H = \frac{1}{2} G(0)^{-1} S$，將其代入 $DF(I)(H)$ 中計算：

核心觀念

本題是 Morse 引理的局部座標變換。核心思想是：若 $0$ 是 $f$ 的非退化臨界點，則 $f$ 在 $0$ 附近雖然不一定本身是二次式，但可藉由局部微分同胚 $H$ 改變座標，使其化為在 $0$ 的二階 Taylor 項。

沿用題目前文的記號，設

$$f(x)=\frac12 x^{T}A(x)^{T}G(0)A(x)x,$$

其中 $A(x)$ 為連續可微的矩陣函數，且

$$G(x)=A(x)^{-1}.$$

由於 $0$ 為非退化臨界點，$A(0)$ 可逆，因此 $G(0)$ 存在。題目所定義的映射為

$$H(x)=A(x)x.$$

目標是證明 $H$ 在 $0$ 附近可逆，並將 $f$ 化成固定的二次型。

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解題方法：對 $H$ 使用反函數定理

首先計算 $H$ 在 $0$ 的導數。

對任意 $x\in\mathbb R^n$ 與 $v\in\mathbb R^n$，由乘法法則，

$$DH(x)v = DA(x)[v]\,x+A(x)v.$$

因此

$$DH(0)v = DA(0)[v]\cdot 0+A(0)v = A(0)v.$$

所以

$$DH(0)=A(0).$$

因為 $A(0)$ 可逆，故

$$\det DH(0)=\det A(0)\neq 0.$$

由反函數定理，存在包含 $0$ 的開集合 $\Omega_1,\Omega_2\subset\mathbb R^n$，使得

$$H:\Omega_1\to\Omega_2$$

為一對一且滿射，並且其反函數

$$H^{-1}:\Omega_2\to\Omega_1$$

存在且為連續可微。換言之，$H$ 在 $0$ 附近是局部微分同胚。

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計算 $f\circ H^{-1}$

令

$$y=H(x)=A(x)x.$$

由 $G(x)=A(x)^{-1}$，可得

$$x=G(x)y.$$

依照 $f$ 的矩陣表示，

$$f(x) = \frac12 x^T A(x)^T G(0)A(x)x.$$

而 $A(x)x=y$，因此

$$f(x) = \frac12 y^T G(0)y.$$

現在令 $x=H^{-1}(y)$，便得到

核心觀念

本題旨在考察**參數積分的微分法（Leibniz Rule for Differentiation under the Integral Sign）與緊緻支撐函數（Compactly Supported Functions）**的性質。

1. 緊緻支撐函數性質：若 $f \in C^0_c(U)$，則其支撐集 $K_f = \text{supp } f \subset U$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的緊緻集。因次，$f$ 在 $U$ 外恆為 $0$，故積分區域可從整個開集 $U$ 縮小至緊緻集 $K_f$：
   $(T_K f)(x) = \int_U K(x,y) f(y) dy = \int_{K_f} K(x,y) f(y) dy$
2. 參數微分定理：若被積函數 $g(x,y) = K(x,y)f(y)$ 及其對 $x$ 的任意階偏導數 $\partial_x^\alpha K(x,y) f(y)$ 在緊緻集 $K_f$ 上對 $(x,y)$ 連續，則可以將偏微分算子移入積分號內：
   $\partial_x^\alpha (T_K f)(x) = \int_{K_f} \partial_x^\alpha K(x,y) f(y) dy$
   因為緊緻集上的連續函數必一致連續且界限有界，這保證了導數的微分與積分交換運算的合法性。

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解題方法

步驟一：縮小積分區域至緊緻集

已知 $f \in C^0_c(U)$，定義 $K_f = \text{supp } f$。由定義，$K_f$ 是 $U$ 的緊緻子集。
對於任意 $y \notin K_f$，有 $f(y) = 0$。因此對任意 $x \in U$，積分可改寫為：
$(T_K f)(x) = \int_{K_f} K(x,y) f(y) dy$

步驟二：證明偏導數存在且可積分號內微分

設 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ 為多重指標（multi-index），其階數 $|\alpha| = \alpha_1 + \dots + \alpha_n$。
對任意固定的點 $x_0 \in U$，取 $x_0$ 的一個閉球鄰域 $B = \overline{B(x_0, r)} \subset U$。則 $B \times K_f$ 為 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ 中的緊緻集。

由於 $K \in C^\infty(U \times U)$ 且 $f \in C^0(U)$，函數
$(x,y) \mapsto \partial_x^\alpha K(x,y) f(y)$
在緊緻集 $B \times K_f$ 上為連續函數，因而一致連續且一致有界。

核心觀念
本題為高等微積分（實分析／泛函分析前置）中關於積分算子（Integral Operator）與緊緻性（Compactness）的典型考題。考查的核心概念如下：

1. 積分算子（Integral Operator）與分部積分（Integration by Parts）：
   定義在 $U$ 上的積分算子 $(T_K f)(x) := \int_U K(x, y) f(y) \, dy$。當 $f_k = \Delta g_k = \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} g_k$ 且 $g_k \in C^2_c(U)$ 時，利用分部積分可將拉普拉斯算子（Laplacian）$\Delta$ 轉移到光滑核函數 $K(x,y)$ 的二階偏微分上：
   $(T_K f_k)(x) = \int_U K(x,y) \Delta_y g_k(y) \, dy = \int_U (\Delta_y K(x,y)) g_k(y) \, dy$
2. 微分與積分符號交換（Leibniz Integral Rule）：
   由於 $K(x,y) \in C^\infty(U \times U)$ 且 $g_k$ 的對應緊支集（Compact support）位於 $U$ 內，可以對 $x$ 的任意多重指標（Multi-index） $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ 自由取微分並與積分符號交換：
   $D_x^\alpha (T_K f_k)(x) = \int_U D_x^\alpha \Delta_y K(x,y) g_k(y) \, dy$
3. Arzelà-Ascoli 定理與對角線法（Diagonal Argument）：
   • 藉由上式與條件 $\sup_{x \in U} |g_k(x)| \le C$，可證明對任意緊緻子集 $K \subset U$ 及任何多重指標 $\alpha$，函數序列 $\{D_x^\alpha (T_K f_k)\}$ 在 $K$ 上為均勻有界（Uniformly Bounded）且同等連續（Equicontinuous）。
   • 配合 $C^\infty(U)$ 上由緊緻集族與多重指標族所誘導的半範數拓撲，利用Arzelà-Ascoli 定理結合對角線萃取法，可萃取出一子序列 $f_{k_j}$，使其所有階數的偏導數在 $U$ 的任意緊緻子集上均勻收斂至某個 $h \in C^\infty(U)$。

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解題方法

步驟一：運用分部積分簡化算子作用
設 $f_k(y) = \Delta g_k(y)$，其中 $g_k \in C^2_c(U)$。根據積分算子的定義：
$(T_K f_k)(x) = \int_U K(x,y) \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial y_j^2} g_k(y) \right) dy$
由於 $g_k$ 具有緊支集 $\text{supp } g_k \Subset U$，在邊界處及其一階導數皆為零（無邊界項），利用兩次分部積分，可將導數轉移至 $K(x,y)$ 上：
$(T_K f_k)(x) = \int_U \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 K}{\partial y_j^2}(x,y) \right) g_k(y) \, dy = \int_U (\Delta_y K(x,y)) g_k(y) \, dy$

步驟二：微分與高階估計
對任意多重指標 $\alpha \in (\mathbb{N}\cup\{0\})^n$，記 $D_x^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \dots \partial x_n^{\alpha_n}}$。
對任意緊緻集 $K_0 \subset U$，考慮其緊緊包覆集（Compact Neighborhood） $K_0' \Subset U$。由於 $K(x,y) \in C^\infty(U \times U)$，對任意 $\alpha$，導數 $D_x^\alpha \Delta_y K(x,y)$ 與 $D_x^{\alpha + e_m} \Delta_y K(x,y)$ 在緊緻集 $K_0 \times \overline{\text{supp } g_k}$ 上皆為連續函數，故均勻有界：