109 年 國立臺南大學機電系統工程研究所碩士班《微積分》

本題在考驗函數連續性的定義。一個函數 $f(x)$ 在點 $x=a$ 處連續，必須滿足三個條件：

1. $f(a)$ 有定義。
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在。
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

在本題中，我們希望函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 處連續。
條件 1：$f(0) = c$，這是由函數定義給定的，有定義。
條件 2：我們需要計算 $\lim_{x \to 0} f(x)$。

本題考驗處理無窮遠處的極限，特別是含有根號且呈現 $\infty - \infty$ 型不定式的問題。
當 $x \to +\infty$ 時，$\sqrt{x^2+x} \to +\infty$ 且 $x \to +\infty$，所以這是 $\infty - \infty$ 型的不定式。
處理這類問題的標準方法是乘以其共軛式。
$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x) \times \frac{\sqrt{x^2+x} + x}{\sqrt{x^2+x} + x}$
$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x})^2 - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}$
$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}$

本題考驗隱函數微分法 (Implicit Differentiation)。給定一個方程式，我們需要求出 $\frac{dy}{dx}$。
給定的方程式為 $x+y+\sin(xy^2) = 1$。
我們將方程式兩邊對 $x$微分。在微分過程中，將 $y$ 視為 $x$ 的函數，並使用連鎖法則。

對 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(\sin(xy^2)) = \frac{d}{dx}(1)$

1. $\frac{d}{dx}(x) = 1$。
2. $\frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$。
3. 對 $\sin(xy^2)$ 微分，我們使用鏈鎖法則。令 $u = xy^2$。則 $\frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \cdot \frac{du}{dx}$。
   現在我們需要計算 $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(xy^2)$。這裡 $x$ 和 $y^2$ 都是 $x$ 的函數（$y$ 是 $x$ 的函數，所以 $y^2$ 也是），我們需要使用乘積法則。
   $\frac{d}{dx}(xy^2) = \frac{d}{dx}(x) \cdot y^2 + x \cdot \frac{d}{dx}(y^2)$
   $\frac{d}{dx}(x) = 1$。
   $\frac{d}{dx}(y^2)$ 使用鏈鎖法則：令 $v=y$，則 $\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dy}(y^2) \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$。

本題考驗微積分基本定理中的均值定理 (Mean Value Theorem for Integrals)。
均值定理指出，若函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則存在一點 $c \in (a, b)$ 使得
$\int_a^b f(x) dx = f(c)(b-a)$
在這個問題中，函數是 $f(x) = x^2+1$，區間是 $[1, 3]$。函數 $f(x) = x^2+1$ 是一個多項式函數，在任何區間上都是連續的，所以均值定理適用。

首先，我們計算定積分 $\int_1^3 f(x) dx$：
$\int_1^3 (x^2+1) dx$
對 $x^2+1$ 積分，得到 $\frac{x^3}{3} + x$。
$\int_1^3 (x^2+1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_1^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} + 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right)$
$= \left( \frac{27}{3} + 3 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$
$= (9 + 3) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right)$
$= 12 - \frac{4}{3}$
$= \frac{36}{3} - \frac{4}{3}$
$= \frac{32}{3}$

本題是題目三的變形，考驗隱函數微分法，但這次要求的是 $\frac{dx}{dy}$ 而非 $\frac{dy}{dx}$。
給定的方程式為 $x+y+\sin(xy^2) = 1$。
我們將方程式兩邊對 $y$ 微分。在微分過程中，將 $x$ 視為 $y$ 的函數，並使用連鎖法則。

對 $y$ 微分：
$\frac{d}{dy}(x) + \frac{d}{dy}(y) + \frac{d}{dy}(\sin(xy^2)) = \frac{d}{dy}(1)$

1. $\frac{d}{dy}(x) = \frac{dx}{dy}$。
2. $\frac{d}{dy}(y) = 1$。
3. 對 $\sin(xy^2)$ 微分，我們使用鏈鎖法則。令 $u = xy^2$。則 $\frac{d}{dy}(\sin u) = \cos u \cdot \frac{du}{dy}$。
   現在我們需要計算 $\frac{du}{dy} = \frac{d}{dy}(xy^2)$。這裡 $y^2$ 和 $x$ 都是 $y$ 的函數（$x$ 是 $y$ 的函數），我們需要使用乘積法則。
   $\frac{d}{dy}(xy^2) = \frac{d}{dy}(x) \cdot y^2 + x \cdot \frac{d}{dy}(y^2)$
   $\frac{d}{dy}(x) = \frac{dx}{dy}$。
   $\frac{d}{dy}(y^2) = 2y$。
   所以，$\frac{d}{dy}(xy^2) = \frac{dx}{dy} \cdot y^2 + x \cdot (2y) = y^2 \frac{dx}{dy} + 2xy$。
   因此，$\frac{d}{dy}(\sin(xy^2)) = \cos(xy^2) \cdot (y^2 \frac{dx}{dy} + 2xy)$。

核心觀念

本題考查：

• 絕對值函數的分段概念；
• 連續函數的極值判定；
• 一階導數判斷函數的增減；
• 無窮遠處的極限，用來確認全域最大值。

由於分母恆為正，且分子為 $|x|$，所以 $f(x)\geq 0$。函數定義域為全體實數。

解題方法

將函數平方以消除絕對值：

因為 $f(x)\geq 0$，使 $f(x)^2$ 最大的 $x$，也會使 $f(x)$ 最大。令

分母整理為

利用商數法則：

整理分子：

因此

分母恆正，所以導數符號由 $x(25-4x)$ 決定：

• 當 $x<0$ 時，$g'(x)<0$；
• 當 $0<x<\dfrac{25}{4}$ 時，$g'(x)>0$；
• 當 $x>\dfrac{25}{4}$ 時，$g'(x)<0$。

因此 $g(x)$ 在 $x=\dfrac{25}{4}$ 達到全域最大值。