113 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所物理類《應用數學》

一個矩陣 A 被稱為 Hermite 矩陣，是指該矩陣等於其共軛轉置（Hermitian conjugate）的矩陣。共軛轉置記為 $A^{\dagger}$，定義為將矩陣 A 的轉置矩陣再取其複數共軛。

數學上，矩陣 A 是 Hermite 矩陣的條件為：
$A^{\dagger} = A$

一個矩陣 U 被稱為么正矩陣（unitary matrix），是指該矩陣的共軛轉置（Hermitian conjugate）的倒置矩陣等於其自身，或者說，該矩陣的共軛轉置等於其倒置矩陣。

數學上，矩陣 U 是么正矩陣的條件為：
$U^{\dagger}U = I$ （其中 I 是單位矩陣）
或者等價地：
$UU^{\dagger} = I$
或者：
$U^{\dagger} = U^{-1}$

一個重要的數學性質是，任何 Hermite 矩陣的特徵值（eigenvalue）都是實數。

證明：
設 A 是一個 Hermite 矩陣，即 $A^{\dagger} = A$。
設 $\lambda$ 是 A 的一個特徵值，對應的特徵向量為 $v \neq 0$。
則根據特徵值定義，$Av = \lambda v$。

考慮等式 $v^{\dagger}Av = v^{\dagger}(\lambda v) = \lambda (v^{\dagger}v)$。
另一方面，我們也可以計算 $(Av)^{\dagger}v$。
$(Av)^{\dagger}v = (\lambda v)^{\dagger}v = \bar{\lambda} v^{\dagger} v$。
由於 $A^{\dagger} = A$，我們有 $(Av)^{\dagger} = v^{\dagger}A^{\dagger} = v^{\dagger}A$。
所以，$(Av)^{\dagger}v = (v^{\dagger}A)v = v^{\dagger}Av$。

一個重要的數學性質是，任何么正矩陣（unitary matrix）的特徵值（eigenvalue）的絕對值為 1。

證明：
設 U 是一個么正矩陣，即 $U^{\dagger}U = I$。
設 $\lambda$ 是 U 的一個特徵值，對應的特徵向量為 $v \neq 0$。
則根據特徵值定義，$Uv = \lambda v$。

考慮等式 $\|Uv\|^2 = v^{\dagger}U^{\dagger}Uv$。
由於 U 是么正矩陣， $U^{\dagger}U = I$，所以 $\|Uv\|^2 = v^{\dagger}Iv = v^{\dagger}v = \|v\|^2$。
另一方面，$\|Uv\|^2 = \|\lambda v\|^2 = |\lambda|^2 \|v\|^2$。

本題要求找出將給定的 Hermite 矩陣 A 進行么正對角化（unitary diagonalization）所需的么正矩陣 U 和對角矩陣 D。對於 Hermite 矩陣，存在一個么正矩陣 U，使得 $U^{\dagger}AU = D$，其中 D 是對角矩陣，其對角元素為 A 的特徵值。

步驟 1：計算矩陣 A 的特徵值。
特徵值 $\lambda$ 滿足特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
$A - \lambda I = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} - \lambda & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} - \lambda \end{pmatrix}$
$\det(A - \lambda I) = (\frac{1}{\sqrt{2}} - \lambda)^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$
$(\frac{1}{\sqrt{2}} - \lambda)^2 - \frac{1}{2} = 0$
$\frac{1}{2} - \frac{2\lambda}{\sqrt{2}} + \lambda^2 - \frac{1}{2} = 0$
$\lambda^2 - \sqrt{2}\lambda = 0$
$\lambda(\lambda - \sqrt{2}) = 0$
所以，特徵值為 $\lambda_1 = \sqrt{2}$ 和 $\lambda_2 = 0$。
對角矩陣 D 的對角元素就是這些特徵值。因此，$D = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 或 $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$。

步驟 2：計算對應於特徵值的特徵向量。
對於 $\lambda_1 = \sqrt{2}$：
$(A - \sqrt{2}I)v_1 = 0$
$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
這給出方程 $-\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = 0$，即 $x = y$。
我們可以選擇 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
正規化特徵向量：$u_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

對於 $\lambda_2 = 0$：
$(A - 0I)v_2 = 0$
$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
這給出方程 $\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = 0$，即 $x = -y$。
我們可以選擇 $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

梯度（gradient）是向量微積分中一個重要的概念，它描述了一個純量函數（scalar function）在空間中變化最快的方向和變化率。對於一個定義在三維空間中的純量函數 $f(x, y, z)$，其梯度是一個向量函數，記為 $\nabla f$ 或 grad $f$。

梯度的定義為：
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

在笛卡兒座標系中，通常用單位向量 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 來表示：

旋度（curl）是向量微積分中另一個重要的概念，它描述了一個向量場的旋轉程度。對於一個定義在三維空間中的向量函數 $\vec{F}(x, y, z) = F_x(x, y, z)\hat{i} + F_y(x, y, z)\hat{j} + F_z(x, y, z)\hat{k}$，其旋度是一個向量函數，記為 $\nabla \times \vec{F}$ 或 curl $\vec{F}$。

旋度的定義為：
curl $\vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$

展開這個行列式，得到：
curl $\vec{F} = (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z})\hat{i} + (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x})\hat{j} + (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y})\hat{k}$

散度（divergence）是向量微積分中的另一個重要概念，它衡量一個向量場在某一點的「源」或「匯」的強度，即從該點輻射出去或匯聚進去的向量流量。對於一個定義在三維空間中的向量函數 $\vec{P}(x, y, z) = P_x(x, y, z)\hat{i} + P_y(x, y, z)\hat{j} + P_z(x, y, z)\hat{k}$，其散度是一個純量函數，記為 $\nabla \cdot \vec{P}$ 或 div $\vec{P}$。

散度的定義為：
div $\vec{P} = \nabla \cdot \vec{P} = \frac{\partial P_x}{\partial x} + \frac{\partial P_y}{\partial y} + \frac{\partial P_z}{\partial z}$

選項分析：
(A) div

核心觀念

本題的關鍵在於區分：

1. 徑向向量 $\vec r=x\hat e_x+y\hat e_y+z\hat e_z$；
2. 徑向距離 $r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$；
3. 梯度 $\nabla r$；
4. 散度 $\nabla\cdot\vec r$。

對純量 $r$ 取梯度，有

$$\nabla r=\frac{\vec r}{r}.$$

但對向量 $\vec r$ 取散度，則有

$$\nabla\cdot\vec r=3.$$

本題選項顯示題目中的「grad $\vec r$」是依物理考試慣例，將其意指對 $\vec r$ 作散度運算。

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解題方法

由

$$\vec r=x\hat e_x+y\hat e_y+z\hat e_z$$

可得散度定義為

$$\nabla\cdot\vec r = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}.$$

逐項計算：

$$\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.$$

因此

$$\nabla\cdot\vec r=1+1+1=3.$$

所以依本題選項的預期記號，答案為

$$\boxed{3}.$$

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選項分析

• (A) $\operatorname{grad}\vec r=0$：錯誤。
  $\vec r$ 的三個分量分別為 $x,y,z$，各分量對自身座標的偏導數皆為 $1$，不會得到 $0$。

本題要求計算徑向向量 $\vec{r}$ 的旋度（curl）。徑向向量 $\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y + z\hat{e}_z$。
旋度（curl）的定義是 $\nabla \times \vec{F}$。

我們來計算 $\nabla \times \vec{r}$。
$\nabla \times \vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z \end{vmatrix}$

展開這個行列式：
$\hat{e}_x (\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z}) = \hat{e}_x (0 - 0) = 0$

本題要求計算徑向向量 $\vec{r}$ 的散度（divergence）。徑向向量 $\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y + z\hat{e}_z$。
散度（divergence）的定義是 $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$。

我們來計算 $\nabla \cdot \vec{r}$。
$\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y + z\hat{e}_z$，所以 $P_x = x$,

本題要求計算向量場 $\vec{F} = \vec{r}/r^3$ 的散度。我們知道 $\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y + z\hat{e}_z$ 且 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
因此，$\vec{F} = \frac{x\hat{e}_x + y\hat{e}_y + z\hat{e}_z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。
$F_x = \frac{x}{r^3}$, $F_y = \frac{y}{r^3}$, $F_z = \frac{z}{r^3}$。

我們需要計算 div $\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$。

計算 $\frac{\partial F_x}{\partial x}$:
$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{1 \cdot r^3 - x \cdot 3r^2 \frac{\partial r}{\partial x}}{(r^3)^2} = \frac{r^3 - 3xr^2 \frac{x}{r}}{r^6} = \frac{r^3 - 3x^2r}{r^6} = \frac{r^2 - 3x^2}{r^4}$
因為 $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$。

同理計算 $\frac{\partial F_y}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial F_z}{\partial z}$：
$\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3y^2}{r^4}$
$\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3z^2}{r^4}$

現在將它們加起來：

本題要求在球座標系（spherical coordinates）中表達純量函數 $f(r, \theta, \phi)$ 的梯度。球座標系通常使用 $(r, \theta, \phi)$ 來表示空間中的點，其中 $r$ 是徑向距離，$\theta$ 是極角（或天頂角，與 z 軸的夾角），$\phi$ 是方位角（或經度，與 x 軸在 xy 平面上的夾角）。

梯度在不同座標系下的表達式是不同的。在球座標系中，梯度 grad $f$ 的表達式為：
grad $f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\hat{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\hat{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\hat{e}_\phi$

其中：

• $\hat{e}_r$ 是沿著徑向方向的單位向量。
• $\hat{e}_\theta$ 是沿著極角方向的單位向量。
• $\hat{e}_\phi$ 是沿著方位角方向的單位向量。
• $\frac{\partial f}{\partial r}$ 是函數 f 對 r 的偏導數。
• $\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}$ 是函數 f 對 $\theta$ 的偏導數，並乘以 $1/r$ 的尺度因子（scale factor）。
• $\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}$ 是函數 f 對 $\phi$ 的偏導數，並乘以 $1/(r\sin\theta)$ 的尺度因子。

選項分析：
(A) grad $f = \frac{\partial f}{\partial r}\hat{e}_r + \frac{\partial f}{\partial \theta}\hat{e}_\theta + \frac{\partial f}{\partial \phi}\hat{e}_\phi$：這是在笛卡兒座標系中的梯度形式，但這裡的

狄拉克 δ 函數（Dirac delta function）是一個在數學和物理學中廣泛使用的廣義函數。它在 $x=0$ 處具有無限大的值，而在 $x \neq 0$ 處為零，並且其積分為 1。

狄拉克 δ 函數有許多種積分表示法，其中一種常見的表示法是通過傅立葉變換來表達。

傅立葉變換的定義通常有兩種形式：
形式一：$F(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x} dx$
逆傅立葉變換：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)e^{i\xi x} d\xi$

形式二：$F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x} dx$
逆傅立葉變換：$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)e^{i\xi x} d\xi$

在這種傅立葉變換的定義下，狄拉克 δ 函數可以表示為：
$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} dk$

這是因為，如果我們考慮傅立葉變換的定義，讓 $f(x) = \delta(x)$，則其傅立葉變換

核心觀念

本題考查 Fourier transform 的正反變換定義，以及正規化常數與指數符號的配對。

已知 Fourier transform 定義為

$$F(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,dx.$$

採用對稱正規化（symmetric normalization）時，反變換必須使用相同的係數 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$，且指數中的符號相反。因此反變換形式為

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi.$$

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解題方法與推導

將 $F(\xi)$ 代入候選的反變換公式：

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-i\xi y}\,dy \right]e^{i\xi x}\,d\xi\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y) \left[ \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi(x-y)}\,d\xi \right]dy. \end{aligned}$$

利用 Dirac delta 函數的 Fourier 表示式

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi(x-y)}\,d\xi =\delta(x-y),$$

可得

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y) \left[ \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi(x-y)}\,d\xi \right]dy = \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\delta(x-y)\,dy =f(x).$$

因此正確的反變換為

$$\boxed{ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi }.$$

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選項分析

（A）錯誤

本題要求計算函數 $f(x)$ 的導數 $\frac{df(x)}{dx}$ 的傅立葉變換。
我們使用題目中給定的傅立葉變換定義：
$F(\xi) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x} dx$

傅立葉變換的一個重要性質是，對函數求導數的傅立葉變換等於其傅立葉變換乘以 $i\xi$（或 $-i\xi$，取決於定義）。
$\mathcal{F}\left\{\frac{df(x)}{dx}\right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{df(x)}{dx}e^{-i\xi x} dx$

我們對積分進行分部積分（integration by parts）：
令 $u = e^{-i\xi x}$， $dv = \frac{df(x)}{dx}dx$。
則 $du = -i\xi e^{-i\xi x}dx$， $v = f(x)$。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{df(x)}{dx}e^{-i\xi x} dx = \left[ f(x)e^{-i\xi x} \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f(x)(-i\xi e^{-i\xi x}) dx$

假設 $f(x)$ 及其導數在 $\pm \infty$ 處趨於零（這是進行傅立葉變換的常見假設）。則第一項 $\left[ f(x)e^{-i\xi x} \right]_{-\infty}^{\infty} = 0$。
所以，

核心觀念

本題考查複指數函數的 Fourier transform，以及 Dirac delta 函數的基本性質。

依本題選項所採用的 Fourier transform 定義為

$$\mathcal{F}\{f(x)\}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{i\xi x}\,dx.$$

關鍵公式是

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\,dx = 2\pi\delta(k),$$

其中等式需以廣義函數的意義理解。

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解題方法

令

$$f(x)=e^{iax}.$$

代入 Fourier transform 定義：

$$\mathcal{F}\{e^{iax}\}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{iax}e^{i\xi x}\,dx.$$

合併指數後得到

$$\mathcal{F}\{e^{iax}\}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(a+\xi)x}\,dx.$$

利用

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\,dx = 2\pi\delta(k),$$

可得

$$\mathcal{F}\{e^{iax}\}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\pi\delta(a+\xi).$$

由於

$$\frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}}=\sqrt{2\pi},$$

因此

$$\boxed{ \mathcal{F}\{e^{iax}\}(\xi) = \sqrt{2\pi}\,\delta(\xi+a) }.$$

所以正確選項為 $(D)$。

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選項分析

• (A) $2\sqrt{\pi}\delta(\xi)$：錯誤。
  此結果的 delta 集中在 $\xi=0$，只適用於常數函數的 Fourier transform 型式，無法反映 $e^{iax}$ 所對應的頻率位置。

核心觀念

本題考查高斯函數的 Fourier transform。採用本題選項所對應的定義：

$$\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}\,dx.$$

高斯積分公式為

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.$$

高斯函數經 Fourier transform 後仍為高斯函數，僅係數與指數中的尺度發生變化。

解題方法

令

$$F(\xi)=\mathcal{F}\{e^{-x^2}\}(\xi) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}e^{-i\xi x}\,dx.$$

合併指數：

$$-x^2-i\xi x = -\left(x+\frac{i\xi}{2}\right)^2-\frac{\xi^2}{4}.$$

因此

$$e^{-x^2-i\xi x} = e^{-\left(x+\frac{i\xi}{2}\right)^2} e^{-\xi^2/4}.$$

高斯積分在平移後的積分值仍為 $\sqrt{\pi}$，故

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-i\xi x}\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-\xi^2/4}.$$

代回 Fourier transform 定義：

$$F(\xi) = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\pi}\,e^{-\xi^2/4} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\xi^2/4}.$$

所以正確選項為 (B)。

選項分析

• (A) $2\pi\delta(\xi)$：錯誤。
  $\delta(\xi)$ 通常是常數函數 $1$ 的 Fourier transform，並非 $e^{-x^2}$ 的 Fourier transform。由於 $e^{-x^2}$ 是可積分且平滑的函數，其 Fourier transform 也應是平滑的高斯函數，不會是 Dirac delta 函數。