115 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所物理類《近代物理》考古題與詳解

Question 1

Let S and S' be two inertial frames of reference. S' moves relative to S with velocity v in the z-direction. In S, two events occur at the same location with a time separation of 4s. What is the spatial distance of these two events in S', given that they occur with a time separation of 5s in that frame?
(A) 1cs
(B) 2cs
(C) 2.42cs
(D) 3cs
(E) 4cs

Accepted Answer

核心觀念：時空間隔不變性（Spacetime Interval Invariance） 在狹義相對論中，任意兩事件在不同慣性參考系下的時空間隔平方為一不變量： $$(\Delta s)^2 = c^2 (\Delta t)^2 - (\Delta z)^2 = c^2 (\Delta t')^2 - (\Delta z')^2$$ 推導步驟： 1. 依題意，在 $S$ 參考系中兩事件發生於同一位置，且時間間隔 $\Delta t = 4	ext{ s}$：

Question 2

Two particles, each of mass m, move directly toward one another at a speed of v = 0.866c. After the head-on collision, all that remains is a new particle of mass M. What is the mass of this new particle? (At v = 0.866c, √1 – v²/c² = 0.5).
(A) M = 2.0m
(B) M = 4.0m
(C) M = m
(D) M = 1.5m
(E) M = 5.0m

Accepted Answer

核心觀念 本題考查狹義相對論中的： - 相對論性能量 $$E=\gamma mc^2$$ - 洛侖茲因子 $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ - 質能等價與四動量守恆 $$E{	ext{總}}=Mc^2$$ 兩粒子等質量、等速率且相向運動，因此碰撞前總動量為零。碰撞後只剩一個粒子，依動量守恆，此新粒子也必須靜止。 解題方法 題目給出 $$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=0.5$$ 因此洛侖茲因子為 $$\gamma=\frac{1}{0.5}=2$$ 每個粒子的相對論性能量為 $$E1=\gamma mc^2=2mc^2$$ 兩粒子碰撞前的總能量為 $$E{	ext{總}}=2E1=4mc^2$$ 由於兩粒子速度大小相同、方向相反，總動量為 $$\vec p{	ext{總}}=\vec p1+\vec p2=0$$ 所以碰撞後的新粒子靜止，其能量只有靜質能： $$E{	ext{後}}=Mc^2$$ 套用能量守恆： $$Mc^2=4mc^2$$

Question 3

The momentum of a photon is 2.000 MeV/c. What is its total energy? (A) 2.000 MeV (B) 2.200 MeV (C) 4.000 MeV (D) 0.970 MeV (E) 3.100 MeV

Accepted Answer

核心觀念 光子為無靜止質量的粒子，滿足相對論能量—動量關係： $$ E^2=p^2c^2+m^2c^4 $$ 對光子而言，靜止質量 $m=0$，因此： $$ E=pc $$ 其中 $p$ 為光子的動量，$E$ 為光子的總能量。 解題方法 題目給定光子動量： $$ p=2.000\ 	ext{MeV}/c $$ 代入光子的能量公式 $E=pc$： $$ E=\left(2.000\ 	ext{MeV}/cight)c $$ 約去 $c$ 後得到： $$ E=2.000\ 	ext{MeV} $$ 因此光子的總能量為 $2.000\ 	ext{MeV}$。 選項分析 - (A) $2.000\ 	ext{MeV}$：正確。 光子滿足 $E=pc$，所以 $$ E=(2.000\ 	ext{MeV}/c)c=2.000\ 	ext{MeV}. $$ - (B) $2.200\ 	ext{MeV}$：錯誤。 此數值不是由 $E=pc$ 得到的結果。光子沒有靜止質量，不需額外加入靜止能量項。

Question 4

Certain surface waves in a fluid travel with phase velocity up = √b/λ, where b is a constant and λ is the wavelength. Find the group velocity of a packet of surface waves, in terms of the phase velocity Up.
(A) Up
(B) 3υρ/2
(C) 3υρ/4
(D) 2υρ
(E) 5υρ/2

Accepted Answer

核心觀念 本題考查相速度與群速度的關係。相速度為 $$ vp=\frac{\omega}{k}, $$ 群速度定義為 $$ vg=\frac{d\omega}{dk}, $$ 其中 $k=2\pi/\lambda$ 為波數。 題目給定 $$ vp=\sqrt{\frac{b}{\lambda}}, $$ 因此相速度與波長的關係為 $$ vp\propto \lambda^{-1/2}. $$ --- 解題方法 由 $$ \omega=kvp $$ 可得群速度 $$ vg=\frac{d\omega}{dk} =\frac{d(kvp)}{dk} =vp+k\frac{dvp}{dk}. $$ 也可使用波長形式： $$ vg=vp-\lambda\frac{dvp}{d\lambda}. $$ 由題目條件 $$ vp=\sqrt{\frac{b}{\lambda}} =\sqrt{b}\,\lambda^{-1/2}, $$ 微分得 $$ \frac{dvp}{d\lambda} =-\frac{1}{2}\sqrt{b}\,\lambda^{-3/2} =-\frac{vp}{2\lambda}. $$ 代入群速度公式： $$ vg=vp-\lambda\left(-\frac{vp}{2\lambda}\right) =vp+\frac{vp}{2} =\frac{3}{2}vp. $$ 因此群速度為相速度的 $3/2$ 倍。 --- 選項分析

Question 5

Including the electron spin, what is the degeneracy of the n = 5 energy level of hydrogen? (A) 25 (B) 16 (C) 24 (D) 50 (E) 60

Accepted Answer

核心觀念 氫原子的能量在忽略精細結構、外加電場與磁場時，只由主量子數 $n$ 決定。因此，固定 $n$ 的所有量子態具有相同能量，這些量子態的總數就是能階的簡併度。 氫原子量子態由下列量子數描述： - 軌道量子數：$\ell=0,1,\ldots,n-1$ - 磁量子數：$m\ell=-\ell,\ldots,\ell$，共有 $2\ell+1$ 種 - 電子自旋磁量子數：$ms=\pm \frac12$，共有 $2$ 種 解題方法 固定主量子數 $n=5$，不考慮電子自旋時，軌道態數為 $$ \sum{\ell=0}^{n-1}(2\ell+1) =1+3+5+\cdots+(2n-1) =n^2. $$ 因此，不包含自旋時， $$ g{	ext{orbital}}=5^2=25. $$ 電子自旋有兩種可能狀態，每一個軌道態都可搭配兩種自旋，因此 $$ g=2n^2=2(5^2)=2(25)=50. $$ 故 $n=5$ 能階包含自旋後的簡併度為 $$ \boxed{50}. $$ 選項分析

Question 6

In a certain region of space, a particle of mass m is described by the wave function ψ(x) = Cxe-bx where C and b are real constants. The potential V(x) in this region is proportional to 1/x, with no constant term (V(x) ∝ 1/x). By substituting this into the time-independent Schrödinger equation, find the energy of the particle, assuming the energy is constant throughout the region and independent of x.
(A) ħ²b²/m
(B) –ħ²b²/m
(C) ħ²b/m
(D) –ħ²b²/2m
(E) ħb/2m

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一維時間獨立薛丁格方程式： $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi $$ 其中： - $\psi(x)$ 為波函數； - $V(x)$ 為位能； - $E$ 為粒子能量，題目指定其與 $x$ 無關； - 題目給定 $V(x)\propto 1/x$，且沒有常數項。 關鍵在於先求出 $\psi''(x)$，再代入薛丁格方程式，將含 $1/x$ 的項視為位能貢獻，剩下的常數項即為能量 $E$。 解題方法 已知 $$ \psi(x)=Cxe^{-bx} $$ 其中 $C,b$ 為實常數。 先求一階導數： $$ \frac{d\psi}{dx} =C\frac{d}{dx}\left(xe^{-bx}\right) =C e^{-bx}(1-bx) $$ 再求二階導數： $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} =C\frac{d}{dx}\left[e^{-bx}(1-bx)\right] $$ $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} =C e^{-bx}\left[-b(1-bx)-b\right] $$ 整理得： $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} =C e^{-bx}(b^2x-2b) $$ 由於 $\psi=Cxe^{-bx}$，因此 $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} =\left(b^2-\frac{2b}{x}\right)\psi $$ 代入時間獨立薛丁格方程式： $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \left(b^2-\frac{2b}{x}\right)\psi +V(x)\psi =E\psi $$ 除以 $\psi$： $$ -\frac{\hbar^2b^2}{2m} +\frac{\hbar^2b}{mx} +V(x) =E $$ 因為 $E$ 必須與 $x$ 無關，而式中有 $1/x$ 項，所以位能必須抵消該項： $$ V(x)=-\frac{\hbar^2b}{mx} $$ 這確實符合題目所給的 $V(x)\propto 1/x$，且沒有常數項。剩下的常數項即為：

Question 7

Which of the following physical quantities has the same dimension as the Planck constant? (A) momentum (B) angular momentum (C) energy (D) power (E) photon frequency

Accepted Answer

核心觀念 普朗克常數 $h$ 的量綱可由普朗克—愛因斯坦關係式求得： $$ E=h
u $$ 其中 $E$ 是能量，$
u$ 是頻率，且 $$ [
u]=T^{-1} $$ 因此 $$ [h]=\frac{[E]}{[
u]} =ML^2T^{-2}\cdot T =ML^2T^{-1} $$ 這個量綱也稱為「作用量」的量綱，與角動量完全相同。事實上，量子力學中的約化普朗克常數 $\hbar=h/(2\pi)$，也具有相同量綱。 解題方法 以基本物理量的量綱表示各選項： - 動量： $$[p]=MLT^{-1}$$ - 角動量： $$[L]=[\mathbf r	imes\mathbf p]=L\cdot MLT^{-1}=ML^2T^{-1}$$ - 能量： $$[E]=ML^2T^{-2}$$ - 功率： $$[P]=\frac{E}{t}=ML^2T^{-3}$$ - 光子頻率： $$[
u]=T^{-1}$$ 由上方推導可知： $$ [h]=ML^2T^{-1} $$ 所以與普朗克常數具有相同量綱的是角動量。 選項分析 (A) momentum（動量） 動量為 $$ p=mv $$ 其量綱為 $$ [p]=M\cdot LT^{-1}=MLT^{-1} $$ 缺少一個長度因子 $L$，與 $h$ 的量綱不同，錯誤。 (B) angular momentum（角動量） 角動量為

Question 8

Which of the following physical quantities has the same dimension as √ħ(mw)-1? (m: mass, w: angular frequency) (A) momentum (B) time (C) energy (D) speed (E) distance

Accepted Answer

核心觀念 本題考查量綱分析，以及約化普朗克常數 $\hbar$、質量 $m$ 與角頻率 $\omega$ 的量綱： $$ [\hbar]=	ext{能量}\cdot	ext{時間} =ML^2T^{-1} $$ $$ [m]=M,\qquad [\omega]=T^{-1} $$ 題目中的量應理解為 $$ \sqrt{\hbar(m\omega)^{-1}} =\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}. $$ 解題方法 先求根號內的量綱： $$ \left[\frac{\hbar}{m\omega}ight] = \frac{ML^2T^{-1}}{M\cdot T^{-1}} =L^2. $$ 因此 $$ \left[\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}ight] =\sqrt{L^2}=L. $$ 量綱 $L$ 代表長度，因此正確選項為距離。 此量也正是量子簡諧振子的特徵長度尺度，常寫為 $$ \ell=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}, $$ 其物理意義是粒子波函數在空間中的典型延伸尺度。 選項分析

Question 9

A particle of mass $m$ is subject to a one-dimensional attractive delta potential given by $V(x) = -\alpha\,\delta(x)$ , where $\alpha > 0$ . This potential supports exactly one bound state. Determine the energy eigenvalue $E$ and the normalized eigenfunction $\psi(x)$ for this state. We define $\kappa = \sqrt{-2mE}/\hbar$ .
(A) $E = -m\alpha^2/(2\hbar^2)$ ; $\psi(x) = \sqrt{\kappa}\, e^{-\kappa|x|}$
(B) $E = -m\alpha^2/(2\hbar^2)$ ; $\psi(x) = \sqrt{\kappa}\, e^{\kappa|x|}$
(C) $E = -m\alpha^2/(2\hbar^2)$ ; $\psi(x) = \sqrt{\kappa}\, e^{-\kappa x^2}$
(D) $E = +m\alpha^2/(2\hbar^2)$ ; $\psi(x) = \sqrt{\kappa}\, e^{-\kappa x^2}$
(E) $E = -\hbar^2/(2m\alpha^2)$ ; $\psi(x) = \sqrt{\kappa}\, e^{+\kappa|x|}$

Accepted Answer

核心觀念 一維 delta 位能 $V(x) = -\alpha\delta(x)$ 的束縛態，由兩個條件決定：波函數在 $x=0$ 連續，且一階導數在 $x=0$ 有跳躍。束縛態的能量必須為負。 解題方法 1. 束縛態的形式：在 $x 
eq 0$ 處 $V=0$，方程式為 $-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' = E\psi$。令 $\kappa = \sqrt{-2mE}/\hbar 0$，解為 $\psi(x) = A e^{-\kappa|x|}$。指數必須是 $-\kappa|x|$，才能在 $|x|	o\infty$ 時保持有限、可歸一化。 2. 導數跳躍條件：將 Schrödinger 方程式在 $[-\epsilon, \epsilon]$ 積分，得 $-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\psi'(0^+) - \psi'(0^-)ight] - \alpha\psi(0) = 0$。由 $\psi'(0^+) = -\kappa A$、$\psi'(0^-) = \kappa A$，代入得 $\frac{\hbar^2}{m}\kappa A = \alpha A$，故 $\kappa = \frac{m\alpha}{\hbar^2}$。

Question 10

In quantum mechanics, which of the following pairs of operators share simultaneous eigenstates?
(A) Position along the x-axis (x) and linear momentum along the x-axis (px).
(B) The x-component of angular momentum (Lx) and the y-component of angular momentum (Ly).
(C) Position along the x-axis (x) and the z-component of angular momentum (Îz).
(D) The squared magnitude of orbital angular momentum (L²) and the z-component of orbital angular momentum (Îz).
(E) The x-component of spin angular momentum (Sx) and the z-component of spin angular momentum (Ŝz).

Accepted Answer

核心觀念 兩個可觀測量能否具有共同的本徵態，判斷重點是算符的對易關係： $$ [\hat A,\hat B]\equiv \hat A\hat B-\hat B\hat A. $$ 若兩個厄米算符滿足 $$ [\hat A,\hat B]=0, $$ 則它們彼此相容，能選取一組共同本徵態，亦即可以同時具有確定的測量值。反之，若對易子不為零，兩者通常不能共享一組完整的同時本徵態。 本題會用到： $$ [\hat x,\hat px]=i\hbar, $$ $$ [\hat Li,\hat Lj]=i\hbar\varepsilon{ijk}\hat Lk, $$ 以及 $$ [\hat L^2,\hat Li]=0. $$ --- 解題方法 逐一計算各選項兩個算符的對易子。唯一對易的算符組，即為能共享同時本徵態的組合。 --- 選項分析 (A) $x$ 與 $px$ 由基本正則對易關係： $$ [\hat x,\hat px]=i\hbar
eq 0. $$ 因此位置與同方向的線性動量不能具有共同的完整本徵態。這也反映了位置與動量之間的不確定性原理： $$ \Delta x\,\Delta px\geq \frac{\hbar}{2}. $$ 故 (A) 錯誤。 --- (B) $\hat Lx$ 與 $\hat Ly$ 角動量分量滿足： $$ [\hat Lx,\hat Ly]=i\hbar\hat Lz
eq 0. $$ 因此不同方向的角動量分量彼此不相容，不能同時具有確定值。故 (B) 錯誤。 --- (C) $x$ 與 $\hat Lz$ 題目中的符號「Îz」應為 $Lz$。軌道角動量的 $z$ 分量為： $$ \hat Lz=\hat x\hat py-\hat y\hat px. $$ 計算對易子： $$ [\hat x,\hat Lz] = [\hat x,\hat x\hat py-\hat y\hat px]. $$ 由於 $[\hat x,\hat py]=0$、$[\hat x,\hat y]=0$，因此 $$ [\hat x,\hat x\hat py]=0. $$ 另一方面，

Question 11

Consider a quantum particle in a one-dimensional infinite square well with potential $V(x) = 0$ for $-L < x < L$ and $V(x) = \infty$ for $|x| \ge L$. The particle has an initial wave function $\psi(x, t = 0) = \frac{1}{\sqrt{3}}\psi1(x) + \sqrt{\frac{2}{3}}\psi2(x)$, where $\psi1$ and $\psi2$ are the ground state and the first excited state of the system with eigenenergies $E1$ and $E2$, respectively. $\psi{1,2}$ are real functions. What are the probability density $|\psi(x,t)|^2$ and the expectation value of energy $\langle H \rangle$ at later times $t 0$? (A) $\langle H \rangle = \frac{1}{3}E1 + \frac{2}{3}E2$ ; $|\Psi(x,t)|^2 = \frac{1}{3}\psi1^2 + \frac{2}{3}\psi2^2 + \frac{2\sqrt{2}}{3}\psi1\psi2\cos\left(\frac{(E2-E1)t}{\hbar}\right)$ (B) $\langle H \rangle = \frac{1}{2}(E1 + E2)$ ;…

Accepted Answer

核心觀念

能量本徵態在時間演化下只會累積相位。若初態是能量本徵態的疊加，則各分量的機率權重不隨時間改變，但不同分量間的相對相位會改變，因此機率密度會出現干涉項。

能量本徵態滿足正交歸一關係：

\langle \psi_i \mid \psi_j\rangle=\delta_{ij}

能量期望值為：

\langle H\rangle=\langle\Psi(t)\mid H\mid\Psi(t)\rangle

解題方法

初態可寫為：

\Psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1(x)+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_2(x)

能量本徵態的時間演化因子為 $e^{-iE_nt/\hbar}$ ，因此

\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar} +\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}

取模平方，並利用 $\psi_1,\psi_2$ 為實函數：

\begin{aligned} |\Psi(x,t)|^2 ={}&\frac{1}{3}\psi_1^2(x)+\frac{2}{3}\psi_2^2(x)\\ &+\frac{2\sqrt{2}}{3}\psi_1(x)\psi_2(x) \cos\left(\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}\right) \end{aligned}

交叉項來自兩態之間的相對相位；其振盪角頻率為 $(E_2-E_1)/\hbar$ 。

能量期望值則為

Question 12

The Pauli-X matrix, denoted by $\hat{\sigma}_x$ , is represented as
$\hat{\sigma}_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$
Find the expectation value $\langle\hat{\sigma}_x\rangle$ in the spin state:
$|\psi\rangle = \alpha_+ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_- \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},$
where $\alpha_+$ and $\alpha_-$ are complex numbers.

(A) $0$
(B) $2\text{Re}(\alpha_+^* \alpha_-)$
(C) $2\text{Im}(\alpha_+^* \alpha_-)$
(D) $|\alpha_+|^2 - |\alpha_-|^2$
(E) $|\alpha_+|^2 + |\alpha_-|^2$

Accepted Answer

核心觀念 期望值由狀態向量與算符定義。若 $|\psiangle$ 已正規化，則 $$ \langle \hat{\sigma}xangle = \langle\psi|\hat{\sigma}x|\psiangle. $$ 若狀態尚未正規化，則應使用 $$ \langle \hat{\sigma}xangle = \frac{\langle\psi|\hat{\sigma}x|\psiangle} {\langle\psi|\psiangle}. $$ 題目中的自旋態以 $\{|+angle,|-angle\}$ 為基底，寫成欄向量為 $$ |\psiangle = \begin{pmatrix} \alpha+\ \alpha- \end{pmatrix}, \qquad \langle\psi| = \begin{pmatrix} \alpha+^ & \alpha-^ \end{pmatrix}. $$ 解題方法 先將 $\hat{\sigma}x$ 作用在狀態上： $$ \hat{\sigma}x|\psiangle = \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha+\ \alpha- \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha-\ \alpha+ \end{pmatrix}. $$ 再與 $\langle\psi|$ 取內積： $$ \langle\psi|\hat{\sigma}x|\psiangle = \begin{pmatrix} \alpha+^ & \alpha-^ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha-\ \alpha+ \end{pmatrix} = \alpha+^\alpha-+\alpha-^\alpha+. $$

Question 13

Consider a free electron gas in $d$ spatial dimensions. Let $n$ be the electron number density (defined as the number of electrons per unit length, area, or volume, depending on the dimension). Which of the following correctly describes the dependence of the Fermi energy $E_F$ on the density $n$ ?

(A) $E_F \propto n^{2/d}$
(B) $E_F \propto n^{d/2}$
(C) $E_F \propto n$
(D) $E_F \propto n^2$
(E) $E_F \propto n^{1/d}$

Accepted Answer

核心觀念

零溫自由電子氣中，電子由低能態開始填滿動量空間中的量子態，直到費米波數 $k_F$ 。自由電子的能量與波數平方成正比：

E_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}

因此，求 $E_F$ 對密度 $n$ 的依賴關係，關鍵是先找出 $k_F$ 如何隨 $n$ 改變。

解題方法

在 $d$ 維動量空間中，半徑為 $k_F$ 的球內量子態數與 $k_F^d$ 成正比。若電子的自旋簡併度為 $g=2$ ，則

n=\frac{g}{(2\pi)^d}\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}k_F^d

其中， $\Gamma$ 為伽瑪函數；式中的係數只依賴空間維度與自旋簡併度，不影響密度的冪次。因此

k_F\propto n^{1/d}

代入自由電子的能量公式：

E_F\propto k_F^2\propto \left(n^{1/d}\right)^2 =n^{2/d}

故一般 $d$ 維自由電子氣的費米能量密度關係為 $E_F\propto n^{2/d}$ 。

選項分析

Question 14

Consider a spinless particle in a three-dimensional isotropic simple harmonic oscillator potential. The particle is in an energy eigenstate with eigenenergy:
$E = \left(99 + \frac{3}{2}\right)\hbar\omega$
What is the degeneracy of this energy level?

(A) 2500
(B) 5151
(C) 10100
(D) 100
(E) 5050

Accepted Answer

核心觀念 三維各向同性簡諧振子的能量本徵值為 $$ E{nx,ny,nz} = \left(nx+ny+nz+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega, $$ 其中 $nx,ny,nz$ 是非負整數。令主量子數 $$ N=nx+ny+nz, $$ 則能量只由 $N$ 決定。同一能階的簡併度，就是滿足 $nx+ny+nz=N$ 的非負整數組合數。題目指定粒子為無自旋粒子，因此不需再乘上自旋簡併因子。 解題方法 將題目給定的能量與能階公式比較： $$ E=\left(99+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega \quad\Longrightarrow\quad N=99. $$ 因此需要計算非負整數解 $$ nx+ny+nz=99 $$ 的數目。利用「隔板法」，將 $99$ 個相同的量子數分配到三個方向，需放置兩個隔板；總位置數為 $99+2=101$，從中選兩個位置放隔板： $$ gN=\binom{N+2}{2} =\frac{(N+1)(N+2)}{2}. $$ 代入 $N=99$：

Question 15

The total wavefunction of two electrons is written as a product of a spatial part $\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)$ and a spin part $\chi_{spin}(s_1, s_2)$ . Which of the following combinations correctly describes the symmetry of the spatial and spin parts specifically for the ground state of helium?

(A) Spatial part is symmetric; Spin part is antisymmetric.
(B) Spatial part is symmetric; Spin part is symmetric.
(C) Spatial part is antisymmetric; Spin part is symmetric.
(D) Spatial part is antisymmetric; Spin part is antisymmetric.
(E) The Pauli principle forbids two electrons from occupying the same 1s spatial orbital, regardless of spin state.

Accepted Answer

核心觀念

電子是自旋 $1/2$ 的全同費米子，因此交換兩個電子的全部座標與自旋標記後，總波函數必須反對稱：

\Psi(1,2)=\psi(\vec r_1,\vec r_2)\chi_{\text{spin}}(s_1,s_2), \qquad \Psi(2,1)=-\Psi(1,2).

因此，空間部分與自旋部分的交換對稱性必須相反：空間部分對稱時，自旋部分須反對稱；空間部分反對稱時，自旋部分須對稱。

氦原子的基態組態是 $1s^2$ ，兩個電子都在同一個 $1s$ 空間軌域。這個軌域的空間波函數乘積為對稱，因此自旋部分必須是反對稱的單重態。

解題方法

令單一電子的 $1s$ 軌域為 $\phi_{1s}(\vec r)$ 。基態的空間波函數可寫成

\psi(\vec r_1,\vec r_2) =\phi_{1s}(\vec r_1)\phi_{1s}(\vec r_2).

交換兩個電子的位置後，

\psi(\vec r_2,\vec r_1) =\phi_{1s}(\vec r_2)\phi_{1s}(\vec r_1) =\psi(\vec r_1,\vec r_2),

所以空間部分是對稱的。

兩電子的自旋單重態為

Question 16

Which of the following mathematical expressions correctly represents Planck's formula for the energy density per unit frequency $\rho(\omega)$ of a blackbody at absolute temperature $T$ ? ( $k_B$ : Boltzmann constant, $\omega$ : angular frequency of light.)

(A) $\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2 c^3}\frac{1}{e^{\hbar\omega/(k_B T)} - 1}$
(B) $\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2 c^3}k_B T$
(C) $\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2 c^3}e^{-\hbar\omega/(k_B T)}$
(D) $\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2 c^3}\frac{1}{e^{\hbar\omega/(k_B T)} + 1}$
(E) $\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(k_B T)} - 1}$

Accepted Answer

核心觀念 黑體輻射的能量密度頻譜可由兩個部分相乘得到： 1. 單位體積、單位角頻率範圍內的電磁場模態數。 2. 每個模態的平均熱能量。 電磁場的角頻率模態密度（已包含兩種偏振）為 $$ g(\omega)=\frac{\omega^2}{\pi^2c^3}. $$ 頻率為 $\omega$ 的量子化振盪模態，其平均熱能量為 $$ \langle E\rangle=\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(kBT)}-1}. $$ 解題方法 將模態密度乘上每個模態的平均能量： $$ \rho(\omega)=g(\omega)\langle E\rangle =\frac{\omega^2}{\pi^2c^3} \frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(kBT)}-1}. $$ 整理後得到 $$ \rho(\omega)= \frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3} \frac{1}{e^{\hbar\omega/(kBT)}-1}. $$ 這正是選項（A）。此處的 $\rho(\omega)$ 表示單位體積、每單位角頻率的熱輻射能量密度；公式不含零點能。 選項分析

Question 17

A harmonic oscillator with charge $q$ is initially in an eigenstate $|n\rangle$ . It is subjected to a time-dependent electric field $\mathcal{E}(t)$ along the $x$ -axis, resulting in the perturbing Hamiltonian $\hat{H}'(t) = -q\mathcal{E}(t)\hat{x}$ . Based on the properties of the position operator $\hat{x}$ , which of the following transitions are allowed in first-order perturbation theory?

(A) $n \to n + 1$
(B) $n \to n - 1$
(C) $n \to n + 2$
(D) $n \to n - 2$
(E) $n \to n$

Accepted Answer

核心觀念 第一階微擾躍遷振幅正比於微擾哈密頓量的矩陣元素： $$ c{f}^{(1)} \propto \int \langle f|\hat H'(t)|n\rangle e^{i\omega{fn}t}\,dt = -q\langle f|\hat x|n\rangle\int \mathcal E(t)e^{i\omega{fn}t}\,dt . $$ 因此，躍遷是否符合選擇定則，由位置算符矩陣元素 $\langle f|\hat x|n\rangle$ 是否為零決定。時間變化的電場會影響躍遷振幅大小，但不改變位置算符的選擇定則。 解題方法 利用簡諧振子的升降算符表示位置算符： $$ \hat x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat a+\hat a^\dagger\right), $$ 其中 $$ \hat a|n\rangle=\sqrt n\,|n-1\rangle,\qquad \hat a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle . $$ 所以 $$ \hat x|n\rangle= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left(\sqrt n\,|n-1\rangle+\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle\right). $$ 位置算符作用在 $|n\rangle$ 上，只會產生 $|n-1\rangle$ 與 $|n+1\rangle$ 分量。因此第一階允許的躍遷滿足 $\Delta n=\pm1$；當 $n=0$ 時沒有 $|n-1\rangle$ 態，故只能向上躍遷。

Question 18

In a Compton scattering experiment, the spectrum of scattered X-rays displays two distinct peaks: a modified peak at wavelength $\lambda'$ and an unmodified peak at the incident wavelength $\lambda$ . The Compton shift is defined as $\Delta\lambda = \lambda' - \lambda$ . Which of the following statements regarding this experiment are correct?
(A) The modified peak is due to scattering from loosely bound electrons.
(B) The Compton shift $\Delta\lambda$ is independent of the wavelength $\lambda$ of the incident X-ray.
(C) The Compton shift $\Delta\lambda$ is always smaller than or equal to zero ( $\Delta\lambda \le 0$ ).
(D) The Compton shift $\Delta\lambda$ depends strongly on the atomic number $Z$ of the target material.
(E) The Compton shift $\Delta\lambda$ varies with the scattering angle $\theta$ .

Accepted Answer

核心觀念

康普頓散射是 X 光光子與電子碰撞後，光子把部分能量與動量交給電子，散射光的波長變長。由能量與動量守恆可得
$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$
其中 $\frac{h}{m_e c} \approx 2.43\times10^{-3}\ \text{nm}$ 稱為康普頓波長， $\theta$ 為散射角。

解題方法

由光子與電子的能量、動量守恆（電子反衝）推得上式。位移量只取決於散射角 $\theta$ 與電子質量，與入射波長與靶材料無關。
兩個峰的來源：X 光與被緊密束縛的內層電子碰撞時，等效於整個原子參與，質量很大，反衝可忽略，波長幾乎不變，形成未變峰（ $\lambda$ ）。與較鬆束縛的外層電子（準自由電子）碰撞時，電子質量為 $m_e$ ，形成變峰（ $\lambda'$ ）。

選項分析

Question 19

A Light Emitting Diode (LED) is a p-n junction diode that emits light when activated. Which of the following statements correctly describe the physics and operation of a standard LED?
(A) The device must be forward-biased to function properly.
(B) The wavelength (color) of the emitted light is primarily determined by the band gap energy ( $E_g$ ) of the semiconductor material.
(C) The emission process relies on the spontaneous recombination of electron-hole pairs.
(D) Indirect band gap semiconductors, such as pure Silicon (Si) or Germanium (Ge), are the most efficient materials for manufacturing visible light LEDs.
(E) The intensity of the emitted light decreases as the forward current increases.

Accepted Answer

核心觀念

LED 是 p-n 接面二極體。順向偏壓下，n 區電子與 p 區電洞注入接面附近並發生復合；若復合為輻射性的，每次復合會釋放一個光子。光子能量約等於半導體的能隙 $E_g$ ，因此發光波長（顏色）由能隙決定：
$\lambda \approx \frac{hc}{E_g}$

解題方法

逐一對照 LED 的基本物理與操作條件判斷各選項。關鍵在於三點：偏壓方向、發光機制（自發輻射復合）、以及材料的能隙類型（直接能隙才有效率發光）。

選項分析

(A) 正確。LED 必須順向偏壓，才能把載子注入接面附近；逆向偏壓下幾乎無電流，也不會發光。
(B) 正確。

Question 20

Which of the following statements regarding the Stern-Gerlach experiment are correct?
(A) A non-uniform magnetic field (field gradient) is essential to exert a net force on the particles.
(B) The experiment results in a continuous distribution of particles on the detector, as predicted by classical mechanics.
(C) The experiment provides direct evidence for the quantization of angular momentum (spin).
(D) A beam of neutral silver atoms in their ground state sent through a Stern-Gerlach apparatus will split into two discrete beams.
(E) Silver atoms were ideal for the Stern-Gerlach experiment because they possess a single, unpaired valence electron.

Accepted Answer

核心觀念 史登-蓋拉赫實驗讓中性原子束通過非均勻磁場。原子的磁偶極矩受到的淨力為 $\vec F = 
abla(\vec\mu\cdot\vec B)$，只有磁場具有空間梯度時才有淨力；磁矩方向的量子化使得束流分裂成離散的幾束。 解題方法 - 銀原子基態為 $[	ext{Kr}]4d^{10}5s^1$，$L=0$，總角動量 $J=S=1/2$，磁矩主要來自最外層 5s 電子的自旋。沿磁場方向，$mJ$ 只有 $\pm 1/2$ 兩個值。 - 因此在非均勻磁場中，銀原子束應分裂為兩束，而非古典預期的連續分布。 選項分析

115 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所物理類《近代物理》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

核心觀念

解題方法

第 7 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 8 題

第 9 題

核心觀念

解題方法

第 10 題

第 11 題5 分

核心觀念

解題方法

第 12 題5 分

核心觀念

解題方法

第 13 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 14 題5 分

核心觀念

解題方法

第 15 題5 分

核心觀念

解題方法

第 16 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 17 題5 分

第 18 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 19 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 20 題

核心觀念

解題方法

選項分析

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