112 年 國立臺灣大學商學研究所乙組《統計學（H）》

本題考驗貝氏定理的應用。我們希望計算在答對題目的條件下，你確實知道答案的機率。

令 $K$ 為「知道答案」的事件，令 $C$ 為「答對題目」的事件。
已知條件：

• 總共有 $c$ 個選項。
• 知道答案的機率為 $p$。
• 不知道答案的機率為 $1-p$。
• 若不知道答案，隨機選一個，答對的機率為 $\frac{1}{c}$。

我們要求的是 $P(K|C)$。
根據貝氏定理，
$P(K|C) = \frac{P(C|K) P(K)}{P(C)}$

我們需要計算 $P(C|K)$ 和 $P(C)$。

1. $P(C|K)$: 如果你已經知道答案，那麼你答對的機率是 1。所以，$P(C|K) = 1$。

2. $P(C)$: 答對題目的機率可以透過全機率公式計算，考慮兩種情況：知道答案且答對，或不知道答案且答對。
   $P(C) = P(C|K)P(K) + P(C|K^c)P(K^c)$
   其中 $K^c$ 表示「不知道答案」。

本題要求計算指數分佈的 median (中位數)。

指數分佈的機率密度函數 (PDF) 為：
$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0$
其中 $\lambda > 0$ 是參數。
累積分布函數 (CDF) 為：
$F(x; \lambda) = P(X \le x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0$

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。我們需要計算一個樣本平均值超過某個值的機率。

給定資訊：

• 母體平均數 $\mu = 100$
• 母體標準差 $\sigma = 15$
• 樣本大小 $n = 100$

根據中央極限定理，當樣本大小 $n$ 足夠大時 (通常 $n \ge 30$)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈近似於常態分佈，其平均數為 $\mu_{\bar{X}} = \mu$ 且標準差為 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

計算樣本平均數的標準差 (標準誤, Standard Error)：
$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{100}} = \frac{15}{10} = 1.5$

本題考驗樣本大小的計算，用於估計比例 (proportion)。

給定資訊：

• 預期比例 $p = 0.75$ (假設至少 75% 的目標受眾偏好新流程)
• 允許的誤差範圍 (margin of error, $ME$) = 0.05
• 信賴水準 (confidence level) = 95%

對於 95% 的信賴水準，對應的 Z 值為 $z_{\alpha/2} = 1.96$。

樣本大小 $n$ 的計算公式為：
$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{ME^2}$

在這個問題中，我們有一個預期的比例 $p=0.75$。
將已知值代入公式：
$n = \frac{(1.96)^2 \cdot (0.75)(1-0.75)}{(0.05)^2}$
$n = \frac{(1.96)^2 \cdot (0.75)(0.25)}{(0.05)^2}$

本題考驗獨立樣本 t 檢定與配對樣本 t 檢定。

首先，整理原始數據：
Original (X): 13, 10, 13, 12, 14, 14, 13, 10, 11, 11
New (Y): 11, 8, 8, 12, 11, 10, 9, 9, 8, 8

A. 獨立樣本 t 檢定

假設引擎性能的測量是獨立的，且有 20 輛不同的車。這意味著 Original 和 New 的數據來自兩個獨立的樣本。
我們需要進行一個雙樣本 t 檢定。

1. 設定虛無假設與對立假設：
   我們要證明新引擎「改善」燃油效率，這意味著新引擎消耗的汽油量應該「較少」。
   令 $\mu_{orig}$ 為原始引擎的平均消耗量，$\mu_{new}$ 為新引擎的平均消耗量。
   $H_0: \mu_{orig} \le \mu_{new}$ (新引擎沒有改善燃油效率，即消耗量不小於原始引擎)
   $H_1: \mu_{orig} > \mu_{new}$ (新引擎改善了燃油效率，即消耗量小於原始引擎)
   或者，我們可以寫成：
   $H_0: \mu_{orig} - \mu_{new} \le 0$
   $H_1: \mu_{orig} - \mu_{new} > 0$
   這是一個單尾檢定。

2. 計算樣本統計量：
   Original 樣本 (n1 = 10):
   $\bar{X} = \frac{13+10+13+12+14+14+13+10+11+11}{10} = \frac{121}{10} = 12.1$
   $s_1^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{X})^2}{n_1-1}$
   $\sum(x_i - \bar{X})^2 = (13-12.1)^2 + (10-12.1)^2 + (13-12.1)^2 + (12-12.1)^2 + (14-12.1)^2 + (14-12.1)^2 + (13-12.1)^2 + (10-12.1)^2 + (11-12.1)^2 + (11-12.1)^2$
   $= (0.9)^2 + (-2.1)^2 + (0.9)^2 + (-0.1)^2 + (1.9)^2 + (1.9)^2 + (0.9)^2 + (-2.1)^2 + (-1.1)^2 + (-1.1)^2$
   $= 0.81 + 4.41 + 0.81 + 0.01 + 3.61 + 3.61 + 0.81 + 4.41 + 1.21 + 1.21 = 20.9$
   $s_1^2 = \frac{20.9}{10-1} = \frac{20.9}{9} \approx 2.322$
   $s_1 = \sqrt{2.322} \approx 1.524$

   New 樣本 (n2 = 10):
   $\bar{Y} = \frac{11+8+8+12+11+10+9+9+8+8}{10} = \frac{94}{10} = 9.4$
   $s_2^2 = \frac{\sum(y_i - \bar{Y})^2}{n_2-1}$
   $\sum(y_i - \bar{Y})^2 = (11-9.4)^2 + (8-9.4)^2 + (8-9.4)^2 + (12-9.4)^2 + (11-9.4)^2 + (10-9.4)^2 + (9-9.4)^2 + (9-9.4)^2 + (8-9.4)^2 + (8-9.4)^2$
   $= (1.6)^2 + (-1.4)^2 + (-1.4)^2 + (2.6)^2 + (1.6)^2 + (0.6)^2 + (-0.4)^2 + (-0.4)^2 + (-1.4)^2 + (-1.4)^2$
   $= 2.56 + 1.96 + 1.96 + 6.76 + 2.56 + 0.36 + 0.16 + 0.16 + 1.96 + 1.96 = 20.44$
   $s_2^2 = \frac{20.44}{10-1} = \frac{20.44}{9} \approx 2.271$
   $s_2 = \sqrt{2.271} \approx 1.507$

3. 計算檢定統計量 t：
   對於獨立樣本 t 檢定，我們通常假設兩種情況：變異數相等 (pooled variance) 或變異數不等 (Welch's t-test)。題目沒有明確說明，但通常若樣本大小相等，且變異數看起來也接近，可以考慮合併變異數。然而，為了保守起見，且題目未指定，我們使用變異數不相等的 Welch's t-test，其自由度計算較複雜。
   若假設變異數相等 (pooled variance):
   $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{9(2.322) + 9(2.271)}{10+10-2} = \frac{20.898 + 20.439}{18} = \frac{41.337}{18} \approx 2.2965$
   $t = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{orig} - \mu_{new})}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
   $t = \frac{(12.1 - 9.4) - 0}{\sqrt{2.2965} \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}} = \frac{2.7}{\sqrt{2.2965} \sqrt{0.2}} = \frac{2.7}{\sqrt{0.4593}} = \frac{2.7}{0.6777} \approx 3.984$
   自由度 $df = n_1 + n_2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18$。

   若假設變異數不等 (Welch's t-test):
   $t = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} = \frac{12.1 - 9.4}{\sqrt{\frac{2.322}{10} + \frac{2.271}{10}}} = \frac{2.7}{\sqrt{0.2322 + 0.2271}} = \frac{2.7}{\sqrt{0.4593}} = \frac{2.7}{0.6777} \approx 3.984$
   自由度 $df$ 的計算較複雜，但大致會比 18 小。使用 Welch-Satterthwaite 方程式：

核心觀念

本題考「假設檢定的第二類錯誤」與「樣本數設計」。

檢定目標為確認平均消費金額是否不同於 $4{,}500$ 元，因此採雙尾檢定：

$$H_0:\mu=4500$$ $$H_1:\mu\neq4500$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$，故雙尾臨界值為：

$$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$$

樣本標準差為 $s=1000$，本題以 $1000$ 作為母體標準差的估計值。

第二類錯誤是：

當真實平均數確實不等於 $4500$，卻未拒絕虛無假設。

---

A. 當真實平均消費金額為 $4000$ 時，第二類錯誤機率

解題方法

雙尾檢定不拒絕 $H_0$ 的條件為：

$$\left|\frac{\bar X-4500}{1000/\sqrt{20}}\right|\leq 1.96$$

因此，不拒絕區域為：

$$4500-1.96\left(\frac{1000}{\sqrt{20}}\right) \leq \bar X \leq 4500+1.96\left(\frac{1000}{\sqrt{20}}\right)$$

計算標準誤：

$$\frac{1000}{\sqrt{20}}\approx223.61$$

所以：

$$4500-1.96(223.61)\leq \bar X\leq4500+1.96(223.61)$$ $$4061.73\leq\bar X\leq4938.27$$

當真實平均數為 $\mu=4000$ 時：

$$\bar X\sim N\left(4000,\frac{1000}{\sqrt{20}}\right)$$

故第二類錯誤機率為：

$$\beta =P(4061.73\leq\bar X\leq4938.27\mid\mu=4000)$$

標準化：

$$\beta = P\left( \frac{4061.73-4000}{223.61} \leq Z\leq \frac{4938.27-4000}{223.61} \right)$$ $$\beta=P(0.276\leq Z\leq4.194)$$

查標準常態分配表：

本題考驗卡方獨立性檢定 (Chi-square Test of Independence)。我們需要判斷「職位等級」與「年終獎金倍數」這兩個類別變數之間是否存在關聯。

1. 設定虛無假設與對立假設：

• $H_0$: 職位等級與年終獎金倍數是獨立的 (Job level and year-end bonus are independent)。
• $H_1$: 職位等級與年終獎金倍數不是獨立的 (Job level and year-end bonus are dependent)。

2. 計算總人數與邊際次數：
首先，計算總人數，並檢查表格中的數據是否符合總數 100。

• 1.5 倍獎金：33 (Entry) + 5 (Mid) + 2 (Senior) = 40 人
• 2.5 倍獎金：10 (Entry) + 20 (Mid) + 8 (Senior) = 38 人
• 3 倍獎金：7 (Entry) + 5 (Mid) + 10 (Senior) = 22 人
  總計：40 + 38 + 22 = 100 人。數據吻合。

計算各職位等級的總人數：

• Entry Level: 33 + 10 + 7 = 50 人
• Mid Level: 5 + 20 + 5 = 30 人
• Senior Level: 2 + 8 + 10 = 20 人
  總計：50 + 30 + 20 = 100 人。

3. 計算期望次數 (Expected Frequencies)：
在虛無假設 (獨立性) 下，對於每一個儲存格 $(i, j)$，其期望次數 $E_{ij}$ 可以由以下公式計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ Total}) \times (\text{Column } j \text{ Total})}{\text{Grand Total}}$

• 儲存格 (1.5, Entry): $E_{11} = \frac{40 \times 50}{100} = 20$

• 儲存格 (1.5, Mid): $E_{12} = \frac{40 \times 30}{100} = 12$

• 儲存格 (1.5, Senior): $E_{13} = \frac{40 \times 20}{100} = 8$

• 儲存格 (2.5, Entry): $E_{21} = \frac{38 \times 50}{100} = 19$

• 儲存格 (2.5, Mid): $E_{22} = \frac{38 \times 30}{100} = 11.4$

• 儲存格 (2.5, Senior): $E_{23} = \frac{38 \times 20}{100} = 7.6$

• 儲存格 (3, Entry): $E_{31} = \frac{22 \times 50}{100} = 11$

• 儲存格 (3, Mid): $E_{32} = \frac{22 \times 30}{100} = 6.6$

• 儲存格 (3, Senior): $E_{33} = \frac{22 \times 20}{100} = 4.4$

4. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量由以下公式計算：