108 年 國立中央大學資訊管理學系碩士班丙組《統計學》

本題在考量離散程度的衡量指標。離散程度的衡量是指資料點與其平均值之間的偏離程度。

選項 A (the range) 是最大值與最小值之差，只考慮兩極端值，未考慮所有資料點與平均值的偏離。
選項 B (the interquartile range) 是第三四分位數與第一四分位數之差，主要用於衡量中間 50% 資料的離散程度，並未直接基於資料點與平均值的偏離概念。

本題在考量描述統計學中的基本概念。題目詢問「最大資料值與最小資料值之差」所代表的意義。

選項 A (variance) 是衡量資料點相對於平均值離散程度的指標，是偏差平方的平均值。
選項 B (interquartile range) 是衡量中間 50% 資料分散程度的指標，即 $Q_3 - Q_1$。

本題在考量描述統計學中衡量「集中趨勢」的指標。集中趨勢的衡量旨在描述資料集的中間值或典型值。

選項 A (mean) 是所有資料值的總和除以資料值的個數，是常用的集中趨勢指標。

本題在考量中位數 (median) 的定義，特別是當資料筆數為偶數時。

中位數的定義是將一組資料由小到大（或由大到小）排序後，位於最中間的那個值。
若資料筆數 $n$ 為奇數，中位數就是排序後第 $(n+1)/2$ 個位置的值。

本題考驗對平均數性質的理解。題目問的是所有資料點與其平均值之間的偏差（deviation）總和。

對於任何一組資料，其偏差的定義是 $x_i - \bar{x}$，其中 $x_i$ 是第 $i$ 個資料點，$\bar{x}$ 是該組資料的平均數。
根據平均數的定義，平均數是所有資料點的總和除以資料點的個數：
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
重新整理後可得：
$n \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i$
接著，我們來計算偏差的總和：

本題考量的是集中趨勢的另一種衡量指標。題目描述了一個數值，它使得一半的觀察值在此數值之上，另一半在此數值之下。

選項 A (range) 是最大值與最小值之差，代表資料的總範圍，與此描述不符。
選項 B (median) 是將資料排序後，位於中間位置的值。當資料筆數為奇數時，中位數剛好將資料分成上下兩半；

本題考量的是集中趨勢的指標定義。題目詢問「資料集中出現頻率最高的值」是什麼。

本題在考量統計學中的兩種主要分支：敘述統計 (descriptive statistics) 與推論統計 (statistical inference)。

題目提到「從 800 名學生的樣本中，有 160 位（20%）是商學院主修。」這是對樣本數據的描述。
接著，學校報紙報導「全大學 20% 的學生是商學院主修。」這個報導是對「全大學的學生」（即母體）的陳述。

敘述統計是整理、描述和呈現資料的特性，例如計算樣本的平均數、標準差、比例等。
推論統計是利用樣本的資訊來推斷母體的特性。

在這個情境中，我們知道樣本的比例是 20%。學校報紙的報導「全大學 20% 的學生是商學院主修」很可能是基於這個樣本比例所做出的推論，也就是用樣本的資訊來推斷母體的比例。

本題考量統計學中的研究方法。題目描述一位統計學教授詢問某班級學生的年齡，並基於這些資訊，推斷出「全大學學生的平均年齡是 21 歲」。

選項 A (a census) 是指對母體中每一個成員都進行調查。教授只調查了「某班級」的學生，這是一個樣本，而不是對全大學的每一個學生進行調查，所以不是普查。
選項 B (descriptive statistics) 是指描述樣本或母體的特徵，例如計算樣本的平均年齡。

本題考量資料整理與呈現的統計圖表類型。題目詢問的是一種「表格摘要」，它顯示了「總數項目在不同類別中的比例 (fraction of the total number of items in several classes)」。

選項 A (frequency distribution) 是顯示各類別中資料的「個數」或「頻率」。

本題考量標準差 (standard deviation) 與變異數 (variance) 的關係。
標準差是變異數的平方根，而變異數是標準差的平方。
題目給定樣本的標準差 $s = 64$。
樣本變異數 $s^2$ 等於標準差的平方。

本題考量標準差 (standard deviation) 與變異數 (variance) 的關係。
標準差是變異數的平方根。

本題考量描述統計學中衡量「離散程度」的指標。離散程度衡量的是資料點的分散程度或變異性。

選項 A (the range) 是最大值與最小值之差，衡量資料的總範圍，是離散程度的指標。
選項 C (the standard deviation) 是衡量資料點與平均值平均偏離程度的指標，是重要的離散程度指標。

本題考量樣本變異數與母體變異數的計算公式差異。

當我們計算變異數時，分母使用 $n-1$ 是為了得到母體變異數的「不偏估計量」(unbiased estimator)。這種情況通常發生在我們從母體中抽取一個樣本，並試圖估計母體的變異數時。因此，分母為 $n-1$ 的變異數公式是用於樣本的。

如果分母是 $n$，則計算的是母體變異數 $\sigma^2$。
$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}$
如果分母是 $n-1$，則計算的是樣本變異數 $s^2$，作為母體變異數的估計值：
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

核心觀念
在統計學中，對「分組資料」(grouped data) 進行描述性統計時，常以每個組別的 組中點 (midpoint) 代表該組所有觀測值。這是因為原始資料已被區間化，只保留了各組的頻次 (frequency)。利用組中點 $x_i^*$ 與對應頻次 $f_i$，可計算近似的樣本平均、變異數、標準差等統計量：

此近似方法 不等同 於對原始未分組資料直接計算，僅在資料量龐大且保留個別值不切實際時使用。

解題方法
本題屬於概念性選擇題，重點在於判斷以下敘述的正確性：

1. A：「data values are treated as if they occur at the midpoint of a class」
   → 判斷是否為分組統計的慣例。
2. B：「the grouped data result is more accurate than the ungrouped result」
   → 檢視「精確度」的比較，以「分組」必然較「未分組」更精確為假設，驗證其合理性。
3. C：「the grouped data computations are used only when a population is being analyzed」
   → 檢查「使用情境」是否受限於「母體」分析。

依序驗證每一敘述，最後決定是否「全部皆正」或「皆錯」或「只有部分正確」。

選項分析

本題考量不同離散程度指標對極端值 (extreme values) 的敏感度。

選項 A (variance) 和 B (standard deviation) 雖然會受極端值影響，因為它們是基於資料點與平均值的偏差來計算的，而平均值本身就受極端值影響。

本題考量何時適合使用分組資料 (grouped data) 來計算集中趨勢和離散程度的衡量指標，而非使用個別資料值 (individual data values)。

選項 A：雖然分組資料計算可能較容易，但這並不是決定性因素。如果個別資料可用，且計算工具（如電腦）方便，通常會選擇使用個別資料以獲得更精確的結果。

本題考量偏態分布 (skewed distribution) 的平均數、中位數和眾數之間的關係。

對於一個「正偏態」(positively skewed) 或右偏態的分布，其尾部向右延伸。在這種分布中，通常的關係是：
眾數 (Mode) < 中位數 (Median) < 平均數 (Mean)

本題需要根據長條圖 (histogram) 來估計中位數 (median)。中位數是將資料排序後，處於中間位置的值。在長條圖中，中位數是使得累積頻率 (cumulative frequency) 達到總數一半的那個類別的上限或組中點。

首先，我們需要計算每個長條的高度，這代表了各組的頻率 (frequency)。
從圖中讀取各組的頻率（高度）：
Class 1 (15-20): 36
Class 2 (20-25): 54
Class 3 (25-30): 82
Class 4 (30-35): 69
Class 5 (35-40): 55
Class 6 (40-45): 43
Class 7 (45-50): 25
Class 8 (50-55): 22
Class 9 (55-60): 17

接下來，計算總資料筆數 (Total Frequency, N)：
$N = 36 + 54 + 82 + 69 + 55 + 43 + 25 + 22 + 17 = 403$

中位數位於第 $N/2 = 403/2 = 201.5$ 個位置。我們需要找到哪個類別包含第 201.5 個資料點。
計算累積頻率 (cumulative frequency)：
Class 1 (15-20): 36
Class 2 (20-25): $36 + 54 = 90$
Class 3 (25-30): $90 + 82 = 172$

核心觀念

計算樣本標準差時，常見兩種分母：

• 描述手上這組樣本資料的離散程度：
  $s_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}}$
• 用樣本估計母體變異數時，使用貝塞爾修正：
  $s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數。因為樣本平均數也是從資料估計而來，偏差平方和會因先用資料估計中心位置而偏小；除以 $n-1$ 可使樣本變異數成為母體變異數的不偏估計量。

貝塞爾修正針對的是變異數估計。開根號後的修正標準差一般仍不是嚴格的不偏估計量，但相較於分母用 $n$ 的標準差估計，通常可減少向下偏差。

解題方法

逐一判斷三個敘述的適用情境：

本題考量變異數計算分母為 $n-1$ 的意義。

當計算變異數的分母使用 $n-1$ 時，這表示我們正在計算的是「樣本變異數」(sample variance)，其目的是為了提供母體變異數 (population variance) 的一個不偏估計。因此，這個計算是基於一個「樣本」(sample) 資料集。

本題考量標準差 (standard deviation) 的性質。

標準差的定義是變異數 (variance) 的平方根。
變異數的定義是偏差平方的平均值。由於任何實數的平方都是非負數（大於或等於零），因此變異數一定是個非負數。
標準差是變異數的平方根。

本題考量標準差 (standard deviation) 對極端值 (outliers) 的敏感度。

標準差的計算公式是 $s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$。
這個公式的計算涉及到：

1. 資料點與平均數的差 ($x_i - \bar{x}$)
2. 將這個差值平方 ($(x_i - \bar{x})^2$)
3. 將這些平方差加總 ($\sum(x_i - \bar{x})^2$)
4. 取平均（除以 $n-1$）

本題考量常態分布 (normal distribution) 的標準差對曲線形狀的影響。

常態分布的曲線形狀主要由兩個參數決定：平均數 ($\mu$) 和標準差 ($\sigma$)。
平均數決定了曲線的中心位置（峰值在哪裡）。
標準差決定了曲線的「離散程度」或「分散程度」。

• 標準差越大 ($\sigma$ 越大)，曲線越平坦、越寬廣，表示資料點分散得越開。
• 標準差越小 ($\sigma$ 越小)，曲線越尖銳、越窄，表示資料點越集中在平均數附近。

本題考量標準常態分布 (standard normal distribution) 的臨界值 (critical values)，以用於建立信賴區間 (confidence interval)。

對於一個雙尾檢定 (two-tailed test) 和 98% 的信賴水準，我們需要在標準常態分布的兩側各留出 $(1 - 0.98) / 2 = 0.02 / 2 = 0.01$ 的機率。
也就是說，我們需要尋找一個 Z 值，使得標準常態分布曲線下，兩側尾部各包含 0.01 的面積，中間區域的面積為 0.98。

本題考量標準常態分布 (standard normal distribution) 的基本性質。

標準常態分布的機率密度函數為 $\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$。

1. 對稱性 (Symmetry)：標準常態分布的平均數為 0。

本題考量統計檢定中的虛無假說 (null hypothesis, $H_0$) 的設定。虛無假說代表「沒有效應」或「沒有差異」的狀態，通常是我們試圖推翻的假設。

研究的目的是要「證明」聽音樂能「改善」記憶。因此，我們想要檢定的研究假說 (alternative hypothesis, $H_a$) 是「聽音樂能改善記憶」。

虛無假說 ($H_0$) 則是與研究假說相反，並且代表「沒有改變」或「沒有影響」的狀態。
在這個情境下，「沒有影響」意味著聽音樂不會改善記憶，也不會使記憶變差，也就是沒有任何影響。

選項 A：Listening to music while studying will not impact memory.
這句話的意思是聽音樂對記憶「沒有影響」。這包括了不改善也不變差。這符合虛無假說的定義，即沒有觀察到的效應。

核心觀念

• 假設檢定 (Hypothesis Testing)：在統計推論中，我們先設定虛無假設 $H_0$（沒有效果）與備擇假設 $H_1$（有正向效果）。
• 第一類錯誤 (Type I error)：在虛無假設為真（$H_0$ 正確）時，錯誤地拒絕 $H_0$，也就是「在沒有真正差異或效果的情況下，宣稱有差異」的錯誤。
• 顯著水準 $\alpha$：第一類錯誤的容許機率，常設為 $0.05$（5%）。

解題方法
透過題目敘述，先辨識哪一個選項描述了「在 $H_0$ 為真（實際上音樂不會提升記憶）時，卻錯誤地接受 $H_1$（認為音樂提升記憶）」。

• 若 $H_0$: 「聽音樂不會提升記憶」為真，則接受 $H_1$ 即是 第一類錯誤。
• 若 $H_0$ 為假（實際上音樂真的提升記憶），接受 $H_0$ 即是 第二類錯誤 (Type II error)。

選項分析

本題考量 Z-test 的結果解讀。題目提供了樣本數據：

• 樣本數 $n = 36$
• 無音樂時平均分數 $\bar{x}_0 = 25$，標準差 $\sigma_0 = 6$
• 有音樂時平均分數 $\bar{x}_1 = 28$

虛無假說 ($H_0$)：聽音樂對記憶沒有影響，即 $\mu_1 = \mu_0$。
研究假說 ($H_a$)：聽音樂能改善記憶，即 $\mu_1 > \mu_0$。

這裡我們比較的是有音樂時的平均分數和無音樂時的平均分數。由於樣本數 $n=36 \ge 30$，且我們知道（或假設）母體標準差，可以使用 Z-test。
我們需要計算 Z 統計量。這裡的 $\sigma$ 可以使用題目給定的無音樂時的標準差 6 作為母體標準差 $\sigma$ 的估計值，或者使用樣本標準差（如果題意是配對樣本，則應計算差值的標準差）。
題目提到「Under normal circumstances (without music), the mean score obtained was 25 and standard deviation is 6」。這可能是指母體標準差，或者樣本標準差。
「The mean score for the sample after the experiment (i.e With music) is 28」。這是一個樣本平均數。

假設我們要檢定的是「聽音樂的平均分數是否顯著高於無音樂的平均分數」。
若視為獨立樣本 T 檢定（但題目說 Z-test），或者更可能是單一樣本 Z-test（比較樣本平均數與已知母體平均數，但這裡有兩組平均數），或配對樣本 Z-test。

本題考量統計檢定中的錯誤類型。題目描述一個研究者得出結論：「安慰劑能治癒愛滋病」。

在進行統計檢定時，我們有兩種可能的錯誤：

1. 第一型錯誤 (Type I error)：當虛無假說 ($H_0$) 為真時，我們拒絕了它。
2. 第二型錯誤 (Type II error)：當虛無假說 ($H_0$) 為假時，我們未能拒絕它。

在這個情境下：

• 安慰劑 (placebo) 的定義就是它本身沒有藥效。
• 愛滋病 (AIDS) 是一種嚴重的疾病，通常需要有效的藥物治療。

本題考量信賴區間 (confidence interval) 對極端值 (outliers) 的敏感度。

信賴區間的計算通常涉及樣本平均數、標準差（或標準誤）以及臨界值。
例如，對於平均數的信賴區間，其形式通常為：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \quad \text{或} \quad \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x}$ 是樣本平均數。
• $s$ 是樣本標準差。
• $n$ 是樣本數。
• $Z_{\alpha/2}$ 或 $t_{\alpha/2, n-1}$ 是臨界值。

極端值對這些構成項目的影響如下：

1. 樣本平均數 ($\bar{x}$)：平均數對極端值非常敏感。一個極大或極小的極端值會顯著地拉高或拉低平均數。
2. 樣本標準差 ($s$)：標準差也對極端值非常敏感，因為它基於偏差的平方。一個極端值會顯著地增加偏差的平方總和，進而顯著增加標準差。
3. 樣本數 ($n$)：如果極端值只是少數幾個，對 $n$ 的影響相對較小。
4. 臨界值 ($Z$ 或 $t$)：臨界值主要取決於信賴水準和樣本數，一般不受極端值影響。

本題考量標準誤 (standard error, SE) 的計算。標準誤是衡量樣本統計量（在此為樣本平均數）抽樣變異的指標。

題目提供了以下資訊：

• 母體平均數 $\mu = 180$ (所有病人的平均血糖值)
• 母體標準差 $\sigma = 18$ (所有病人的標準差)
• 樣本大小 $n = 9$ (開始節食的九位病人)

本題考量在已知母體參數的情況下，計算樣本平均數落在特定範圍的機率。這通常涉及 Z 分數的計算。

我們已經知道：

• 母體平均數 $\mu = 180$
• 母體標準差 $\sigma = 18$
• 樣本大小 $n = 9$
• 我們計算出的標準誤 $\text{SE} = \sigma / \sqrt{n} = 18 / \sqrt{9} = 18 / 3 = 6$。

題目問的是「得到一個平均數為 175 或更小的機率」。
我們需要計算 Z 分數，將樣本平均數 $\bar{x} = 175$ 轉換為標準常態分布下的 Z 值。

本題需要根據前兩題的計算結果來判斷。

在第 33 題中，我們計算了得到樣本平均數 $\bar{x} = 175$（或更低）的機率，其 Z 分數約為 -0.8333，對應的機率約為 20.3%。
這意味著，如果母體的真實平均數是 180，那麼隨機抽取 9 人，得到平均數為 175 或更低的機率是 20.3%。

現在我們來評估醫生的決策。醫生觀察到樣本平均數是 175，他正在考慮是否要推薦所有病人節食。
為了做出這個決定，醫生通常會進行假設檢定。

• 虛無假說 ($H_0$)：節食對血糖沒有影響，即母體平均血糖值仍為 180。
• 研究假說 ($H_a$)：節食能降低血糖，即母體平均血糖值小於 180。

我們計算的 P 值（在 $H_0$ 為真的情況下，得到目前觀察到的樣本結果或更極端的結果的機率）大約是 20.3%。
通常，我們設定顯著水準 $\alpha$ 為 0.05 或 0.01。
因為 P 值 (0.203) 遠大於常用的顯著水準 $\alpha$ (例如 0.05)，所以我們無法拒絕虛無假說。
這意味著，僅憑這 9 位病人的數據，我們沒有足夠的統計證據來斷定節食確實能降低血糖。觀察到的 175 這個平均值，在母體平均值為 180 的情況下，是有可能隨機出現的。

本題考量獨立樣本 t 檢定 (independent samples t-test) 的 t 統計量計算。

題目提供了以下資訊：

• 樣本數：總共 20 名學生，分成兩組，每組 $n_1 = n_2 = 10$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$，雙尾檢定。
• 兩組的平均分數：$\bar{x}_1 = 10$，$\bar{x}_2 = 7$。
• 標準誤 (Standard error) = 0.94。

對於獨立樣本 t 檢定，t 統計量的計算公式為：

本題需要根據 t 統計量和顯著水準來判斷是否有顯著差異。

在第 35 題中，我們計算出 t 統計量約為 3.191。
題目給定：

• 顯著水準 $\alpha = 0.05$
• 檢定為雙尾檢定 (two-tailed)
• 樣本數 $n_1 = 10$, $n_2 = 10$。因此，自由度 (degrees of freedom, df) 為 $n_1 + n_2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18$。

本題考量解釋變異量 (explained variability)，這通常與決定係數 ($R^2$) 的概念相關，尤其是在 ANOVA 或迴歸分析的背景下。在比較兩組平均數的 t 檢定或 ANOVA 中，我們可以計算一個類似於 $R^2$ 的指標來衡量實驗因子（教學方法）對結果變異的貢獻比例。

這個指標通常稱為 eta-squared ($\eta^2$)，計算公式為：
$\eta^2 = \frac{SS_{between}}{SS_{total}}$
其中 $SS_{between}$ 是組間平方和 (sum of squares between groups)，代表教學方法造成的變異；$SS_{total}$ 是總平方和 (total sum of squares)，代表總的變異。

雖然題目沒有直接給出平方和 (SS) 的值，但我們可以從 t 檢定的結果推導。
t 檢定的平方值 ($t^2$) 與 F 檢定的值 (在只有兩組時) 是相關的。
對於只有兩組的情況，F 統計量等於 $t^2$。
$F = t^2 = (3.191)^2 \approx 10.184$
在 ANOVA 中，F 統計量與 $SS_{between}$ 和 $SS_{within}$ (組內平方和) 有關：
$F = \frac{SS_{between}/df_{between}}{SS_{within}/df_{within}}$
其中 $df_{between} = k-1$ (k為組數)，$df_{within} = N-k$ (N為總樣本數)。
在這裡，$k=2$, $N=20$。
$df_{between} = 2-1 = 1$
$df_{within} = 20-2 = 18$

所以，$10.184 = \frac{SS_{between}/1}{SS_{within}/18}$
$SS_{between} = 10.184 \times \frac{SS_{within}}{18}$

本題考量 F 統計量的性質。

F 統計量通常用於變異數分析 (ANOVA) 或 F 檢定，其計算公式一般形式為：
$F = \frac{\text{Variance between groups}}{\text{Variance within groups}} = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$
其中 $MS$ 代表均方 (mean square)，即平方和除以自由度。
$MS_{between} = \frac{SS_{between}}{df_{between}}$

本題考量散佈圖 (scatter plot) 與相關係數 (correlation coefficient) 的關係。相關係數衡量兩個變數之間線性關係的強度與方向。

• 正相關 (Positive Correlation)：當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加。在散佈圖上，點的趨勢傾向於從左下方延伸到右上方。
• 負相關 (Negative Correlation)：當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。在散佈圖上，點的趨勢傾向於從左上方延伸到右下方。
• 強相關 (Strong Correlation)：點緊密地聚集在一個假想的直線周圍。

本題考量對變數進行線性轉換（加常數）時，相關係數的變化。

相關係數 (Pearson correlation coefficient, $r$) 的計算公式為：
$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$
其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分別是兩個變數的值。

當我們對一個變數（例如 Var1，即 $x$）的所有值都加上一個常數 $c$（在這裡 $c=2$）時，新的變數值為 $x'_i = x_i + c$。
這對變數的平均數和變異數有什麼影響？

• 新的平均數 $\bar{x}' = \overline{x+c} = \bar{x} + c$。