112 年 國立中正大學數學系統計科學研究所《基礎數學》

本題考查無窮級數的收斂與計算。題目要求計算一個無窮級數的和，關鍵在於將級數項進行變形，使其能夠化為伸縮級數（Telescoping Series）。

級數的通項為 $\ln(1 - n^{-2})$。
我們可以將其改寫為：
$\ln(1 - n^{-2}) = \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \ln\left(\frac{n^2 - 1}{n^2}\right) = \ln\left(\frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}\right)$
根據對數的性質，可以寫成：
$\ln\left(\frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}\right) = \ln(n-1) + \ln(n+1) - 2\ln(n)$

現在我們來計算無窮級數的部分和 $S_N = \sum_{n=2}^{N} [\ln(n-1) + \ln(n+1) - 2\ln(n)]$。
我們將級數展開：
當 $n=2$: $\ln(1) + \ln(3) - 2\ln(2)$
當 $n=3$: $\ln(2) + \ln(4) - 2\ln(3)$
當 $n=4$: $\ln(3) + \ln(5) - 2\ln(4)$
...
當 $n=N-1$: $\ln(N-2) + \ln(N) - 2\ln(N-1)$
當 $n=N$: $\ln(N-1) + \ln(N+1) - 2\ln(N)$

將這些項加總，我們可以觀察到項之間的抵銷：
$S_N = [\ln(1) + \ln(3) - 2\ln(2)] + [\ln(2) + \ln(4) - 2\ln(3)] + [\ln(3) + \ln(5) - 2\ln(4)] + \dots + [\ln(N-2) + \ln(N) - 2\ln(N-1)] + [\ln(N-1) + \ln(N+1) - 2\ln(N)]$

仔細觀察，我們可以將其重新組合：
$\ln(1) = 0$
$-2\ln(2) + \ln(2) = -\ln(2)$
$\ln(3) - 2\ln(3) + \ln(3) = 0$
$\ln(4) - 2\ln(4) + \ln(4) = 0$
...
對於 $n=3, 4, \dots, N-1$，項 $\ln(n)$ 都會出現一次來自 $\ln(n+1)$ (當 $n$ 為 $n-1$ 時) 和一次來自 $\ln(n-1)$ (當 $n$ 為 $n+1$ 時)，以及兩次來自 $-2\ln(n)$。
所以，對於 $n=3, \dots, N-1$，項 $\ln(n)$ 的係數為 $1+1-2=0$。

我們需要關注邊界項。
$S_N = \ln(1) + [\ln(3) - 2\ln(2) + \ln(2)] + [\ln(4) - 2\ln(3) + \ln(3)] + \dots + [\ln(N) - 2\ln(N-1) + \ln(N-1)] + [\ln(N+1) - 2\ln(N)]$
$S_N = 0 - \ln(2) + 0 + 0 + \dots + 0 + \ln(N+1) - \ln(N)$
$S_N = -\ln(2) + \ln(N+1) - \ln(N)$
$S_N = -\ln(2) + \ln\left(\frac{N+1}{N}\right)$
$S_N = -\ln(2) + \ln\left(1 + \frac{1}{N}\right)$

現在我們計算無窮級數的和，即當 $N \to \infty$ 時 $S_N$ 的極限：

本題考查定積分的計算，特別是涉及到階數函數（floor function）和絕對值函數的積分。處理這類積分的關鍵是根據函數的定義域將積分區間分割成若干個子區間，在每個子區間內，階數函數和絕對值函數的值都是常數，從而簡化積分。

積分區間是 $[-2, 2]$。我們需要考慮 $\lfloor x \rfloor$ 和 $|x|$ 在此區間內的變化。
階數函數 $\lfloor x \rfloor$ 在整數點改變值：
在 $[-2, -1)$ 區間，$\lfloor x \rfloor = -2$。
在 $[-1, 0)$ 區間，$\lfloor x \rfloor = -1$。
在 $[0, 1)$ 區間，$\lfloor x \rfloor = 0$。
在 $[1, 2)$ 區間，$\lfloor x \rfloor = 1$。
在 $x=2$ 時，$\lfloor x \rfloor = 2$。

絕對值函數 $|x|$ 的定義：
在 $[-2, 0)$ 區間，$|x| = -x$。
在 $[0, 2]$ 區間，$|x| = x$。

我們將積分區間 $[-2, 2]$ 分割成以下幾個子區間：$[-2, -1)$, $[-1, 0)$, $[0, 1)$, $[1, 2)$。
需要注意的是，在 $x=0$ 和 $x=2$ 這些點，積分值不受影響。

積分可以寫成：
$\int_{-2}^{2} \lfloor x \rfloor |x| \, dx = \int_{-2}^{-1} \lfloor x \rfloor |x| \, dx + \int_{-1}^{0} \lfloor x \rfloor |x| \, dx + \int_{0}^{1} \lfloor x \rfloor |x| \, dx + \int_{1}^{2} \lfloor x \rfloor |x| \, dx$

現在我們逐一計算每個積分：

1. $\int_{-2}^{-1} \lfloor x \rfloor |x| \, dx$:
   在此區間，$\lfloor x \rfloor = -2$ 且 $|x| = -x$。

本題考查函數的高階導數在某一點的值，特別是對於指數函數與多項式的複合函數 $f(x) = e^{-x^2}$。計算高階導數通常比較繁瑣，對於此類函數，利用泰勒級數（Maclaurin series）展開是更有效的方法。

函數 $f(x) = e^{-x^2}$。
我們知道指數函數 $e^u$ 的 Maclaurin 級數為：
$e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!} = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$

將 $u = -x^2$ 代入，得到 $f(x)$ 的 Maclaurin 級數：
$f(x) = e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{k!}$
$f(x) = 1 + (-x^2) + \frac{(-x^2)^2}{2!} + \frac{(-x^2)^3}{3!} + \frac{(-x^2)^4}{4!} + \dots$
$f(x) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!} - \dots$

Maclaurin 級數的一般形式為：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

我們將 $f(x) = e^{-x^2}$ 的級數展開與 Maclaurin 級數的一般形式進行比較。
$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{2k}$

觀察 $x^n$ 的項：
如果 $n$ 是奇數，那麼在 $f(x)$ 的級數展開中，不存在 $x^n$ 的項，也就是說，對應於奇數次方的係數為 0。
因此，對於奇數 $n \in \mathbb{N}$，$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = 0$，所以 $f^{(n)}(0) = 0$。

如果 $n$ 是偶數，令 $n = 2k$，其中 $k$ 為非負整數。
在 $f(x)$ 的級數展開中，$x^{2k}$ 項的係數是 $\frac{(-1)^k}{k!}$。
根據 Maclaurin 級數的定義，該係數也等於 $\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}$。
所以，我們有：
$\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!} = \frac{(-1)^k}{k!}$

本題考查矩陣的特徵值、行列式與跡（trace）之間的關係。題目給定一個 $2 \times 2$ 矩陣 $X$，其行列式為 13，且所有特徵值均為正整數，要求計算其跡。

對於一個 $n \times n$ 的矩陣 $X$，設其特徵值為 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。
我們有以下兩個重要性質：

1. 行列式等於所有特徵值的乘積：$\det(X) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$。
2. 跡等於所有特徵值的和：$\text{tr}(X) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$。

在這個問題中，矩陣 $X$ 是 $2 \times 2$ 的，所以它有兩個特徵值，我們稱之為 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$。
根據題目給定的信息：

本題考查矩陣的對角化性質以及特徵值與矩陣冪次之間的關係。題目給定一個 $n \times n$ 的矩陣 $X$，已知它是可對角化的，並且只有兩個特徵值 $2$ 和 $-2$。要求計算 $X^2$。

一個矩陣是可對角化的，意味著存在一個可逆矩陣 $P$ 和一個對角矩陣 $D$，使得 $X = PDP^{-1}$。
對角矩陣 $D$ 的對角線元素就是矩陣 $X$ 的特徵值。
題目說明 $X$ 的特徵值只有 $2$ 和 $-2$。這意味著對角矩陣 $D$ 的對角線元素只能是 $2$ 或 $-2$。

我們需要計算 $X^2$：
$X^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1})$
$X^2 = PD(P^{-1}P)DP^{-1}$
$X^2 = PD I D P^{-1}$
$X^2 = PD^2P^{-1}$

現在我們需要確定對角矩陣 $D$ 的形式。
由於 $X$ 是 $n \times n$ 的矩陣，所以 $D$ 也是 $n \times n$ 的對角矩陣。
$D$ 的對角線元素是 $X$ 的特徵值，這些特徵值只能是 $2$ 或 $-2$。
令 $k$ 為特徵值為 $2$ 的個數，則 $n-k$ 為特徵值為 $-2$ 的個數。
因此，對角矩陣 $D$ 的形式為：
$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix}$
其中每個 $\lambda_i \in \{2, -2\}$。

本題考查矩陣的特徵向量、交換子 $(XY - YX)$ 的行列式性質。題目要求證明，如果兩個 $n \times n$ 矩陣 $X$ 和 $Y$ 有一個共同的特徵向量 $v$，那麼它們的交換子 $XY - YX$ 的行列式為零。

設 $v$ 是矩陣 $X$ 和 $Y$ 的一個共同特徵向量。
根據特徵向量的定義，存在兩個標量（特徵值） $\lambda$ 和 $\mu$，使得：
$Xv = \lambda v$
$Yv = \mu v$

其中 $v$ 是非零向量。

現在我們考慮交換子矩陣 $XY - YX$ 作用在向量 $v$ 上：
$(XY - YX)v = (XY)v - (YX)v$

首先計算 $(XY)v$：
$(XY)v = X(Yv)$
由於 $Yv = \mu v$，我們代入得：
$X(Yv) = X(\mu v)$
根據標量乘法的性質，可以將 $\mu$ 提出：
$X(\mu v) = \mu (Xv)$
由於 $Xv = \lambda v$，我們代入得：
$\mu (Xv) = \mu (\lambda v) = (\mu \lambda) v = (\lambda \mu) v$。