114 年 國立中正大學數學系統計科學研究所《機率與統計》

本題考驗機率密度函數 (PDF) 的定義與動差生成函數 (MGF) 的計算。

給定隨機變數 $X$ 的機率密度函數為 $f(x) = e^{-x}$，定義域為 $0 < x < \infty$。
動差生成函數 (Moment Generating Function, MGF) $M_X(t)$ 的定義為：
$M_X(t) = E[e^{tX}]$
根據期望值的定義，我們可以將其表示為積分：
$M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx$
將給定的 $f(x)$ 代入：
$M_X(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx} e^{-x} dx$
$M_X(t) = \int_{0}^{\infty} e^{(t-1)x} dx$

核心觀念

本題考查：

• 條件期望的定義；
• 全期望法則 $E(X)=E[E(X\mid Y)]$ 的使用條件；
• 隨機變數期望存在的必要條件：通常需先確認 $E(|X|)<\infty$。

由條件分配

$$X\mid Y=y\sim N\left(0,\frac{1}{y}\right),$$

可知在固定 $Y=y$ 時，$X$ 的條件平均數為 $0$。但僅由此不能直接斷定 $E(X)=0$，因為必須先確認 $X$ 的期望確實存在。

解題方法

對於常態分配 $N(0,\sigma^2)$，其絕對值期望為

$$E(|X|)=\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}.$$

本題中 $\sigma^2=Y^{-1}$，故

$$E(|X|\mid Y=y) =\sqrt{\frac{1}{y}}\sqrt{\frac{2}{\pi}} =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,y^{-1/2}.$$

利用全期望公式計算 $E(|X|)$：

$$E(|X|) =E\left[E(|X|\mid Y)\right].$$

代入 $Y$ 的機率密度函數：

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用，特別是將二項分佈逼近常態分佈。

題目要求計算極限：
$L = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{2n} \binom{4n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{4n}$
我們注意到 $\binom{4n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{4n} \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{4n-k} = \binom{4n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{4n}$。
這表示 $\binom{4n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{4n}$ 是從一個參數為 $p = \frac{1}{2}$ 的二項分佈 $B(N, p)$ 中抽取 $k$ 次成功的機率，其中 $N = 4n$。
令 $S_N$ 為 $N$ 次獨立伯努利試驗中成功的次數，則 $S_N \sim B(N, p)$。
因此，原式可以寫成：
$L = \lim_{n\to\infty} P(S_{4n} \le 2n)$
其中 $S_{4n} \sim B(4n, \frac{1}{2})$。

當 $n$ 很大時，我們可以利用中央極限定理來逼近二項分佈。
對於 $S_N \sim B(N, p)$，其平均數為 $E[S_N] = Np$，變異數為 $Var(S_N) = Np(1-p)$。
在這裡，$N = 4n$ 且 $p = \frac{1}{2}$。

核心觀念

本題考查「離散型參數的最大概似估計法」。參數 $\theta$ 只有兩個可能值：

$$\theta\in\{1,2\}.$$

因此，只需分別計算 $\theta=1$ 與 $\theta=2$ 時的概似函數，再比較大小。

對隨機樣本 $X_1,\ldots,X_n$，概似函數為

$$L(\theta\mid x_1,\ldots,x_n) =\prod_{i=1}^n f_\theta(x_i).$$

最大概似估計量定義為使概似函數最大的參數值：

$$\widehat{\theta}_{\mathrm{MLE}} =\arg\max_{\theta\in\{1,2\}}L(\theta).$$

解題方法與推導

由於樣本來自 $(0,1)$ 上的母體，所以以機率 $1$ 可得

$$0<X_i<1,\qquad i=1,\ldots,n.$$

情況一：$\theta=1$

此時

$$f_1(x)=1,$$

所以概似函數為

$$L(1) =\prod_{i=1}^n f_1(x_i) =\prod_{i=1}^n 1 =1.$$

情況二：$\theta=2$

此時

$$f_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$

因此

$$L(2) =\prod_{i=1}^n\frac{1}{2\sqrt{x_i}} =\frac{1}{2^n\sqrt{x_1x_2\cdots x_n}}.$$

接著比較 $L(2)$ 與 $L(1)$：

$$L(2)>L(1) \iff \frac{1}{2^n\sqrt{x_1x_2\cdots x_n}}>1.$$

由於兩邊皆為正數，整理得

$$\sqrt{x_1x_2\cdots x_n}<\frac{1}{2^n},$$

再平方可得

$$x_1x_2\cdots x_n<\frac{1}{4^n}.$$

因此：

• 若 $x_1x_2\cdots x_n<4^{-n}$，則 $L(2)>L(1)$，選擇 $\widehat{\theta}=2$。
• 若 $x_1x_2\cdots x_n>4^{-n}$，則 $L(1)>L(2)$，選擇 $\widehat{\theta}=1$。

本題考驗假設檢定中，單樣本均值檢定的類型一錯誤 (Type I Error) 的大小 (size)。

題目描述了一個對常態分佈母體的均值 $\theta$ 的雙邊檢定：
虛無假設 $H_0: \theta = \theta_0$
對立假設 $H_1: \theta \ne \theta_0$
其中 $\sigma^2$ 未知。
檢定統計量為 $\bar{X}$，樣本變異數為 $S^2$。
拒絕域為 $|\bar{X} - \theta_0| > t_{n-1, 0.05}\sqrt{S^2/n}$。
我們需要證明這個檢定的 size 是 0.1。

檢定的 size 定義為在虛無假設為真的條件下，拒絕虛無假設的機率。
$\text{size} = P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is true})$
在 $H_0$ 為真的條件下，我們有 $\theta = \theta_0$。
因此，我們要計算：
$P(|\bar{X} - \theta_0| > t_{n-1, 0.05}\sqrt{S^2/n} | \theta = \theta_0)$
當母體為 $N(\theta, \sigma^2)$，並且我們考慮 $H_0: \theta = \theta_0$ 為真時，我們知道統計量：
$T = \frac{\bar{X} - \theta_0}{\sqrt{S^2/n}}$
服從自由度為 $n-1$ 的 t-分佈，即 $T \sim t_{n-1}$。