114 年 國立嘉義大學應用數學系碩士班乙：機率統計組《機率統計》

核心觀念

本題考查：

• 條件機率密度函數與聯合機率密度函數：
  $f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=f_{X_2\mid X_1}(x_2\mid x_1)f_{X_1}(x_1)。$
• 期望值的二重積分：
  $E[g(X_1,X_2)]=\iint g(x_1,x_2)f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\,dx_1dx_2。$
• 二維變數變換及 Jacobian：

$$f_{W_1,W_2}(w_1,w_2) =f_{X_1,X_2}(x_1,w_2) \left|\frac{\partial(x_1,x_2)}{\partial(w_1,w_2)}\right|。$$

• 隨機變數獨立的判定：
  $f_{W_1,W_2}(w_1,w_2)=f_{W_1}(w_1)f_{W_2}(w_2)。$

---

i. 求 $X_1$ 與 $X_2$ 的聯合機率密度函數

由 $X_1\sim U(0,1)$，

$$f_{X_1}(x_1)= \begin{cases} 1, & 0<x_1<1,\\ 0, & \text{其他情況。} \end{cases}$$

又因為

$$X_2\mid X_1=x_1\sim U(0,x_1),$$

所以條件機率密度函數為

$$f_{X_2\mid X_1}(x_2\mid x_1) = \begin{cases} \dfrac{1}{x_1}, & 0<x_2<x_1,\\ 0, & \text{其他情況。} \end{cases}$$

因此聯合機率密度函數為

$$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) =f_{X_2\mid X_1}(x_2\mid x_1)f_{X_1}(x_1)。$$

故

$$\boxed{ f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \begin{cases} \dfrac{1}{x_1}, & 0<x_2<x_1<1,\\ 0, & \text{其他情況。} \end{cases} }$$

其支持區域是 $x_1$ 軸與直線 $x_2=x_1$、$x_1=1$ 所圍成的三角形區域。

---

ii. 計算 $E(X_1X_2)$

利用二維期望值公式：

$$E(X_1X_2) = \int_0^1\int_0^{x_1} x_1x_2\cdot \frac{1}{x_1}\,dx_2\,dx_1。$$

化簡被積分式：

$$E(X_1X_2) = \int_0^1\int_0^{x_1}x_2\,dx_2\,dx_1。$$

先對 $x_2$ 積分：

$$\begin{aligned} E(X_1X_2) &= \int_0^1 \left[\frac{x_2^2}{2}\right]_{0}^{x_1} dx_1\\ &= \int_0^1\frac{x_1^2}{2}\,dx_1\\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{x_1^3}{3}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{6}. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{E(X_1X_2)=\frac{1}{6}}。$$

---

iii. 求 $W_1$ 與 $W_2$ 的聯合機率密度函數

第一步：建立反變換

題目給定

$$W_1=\frac{X_1}{X_2},\qquad W_2=X_2。$$

由此得到

$$X_2=W_2, \qquad X_1=W_1W_2。$$

第二步：求 Jacobian

反變換的 Jacobian 為

$$\frac{\partial(x_1,x_2)}{\partial(w_1,w_2)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial w_1} & \dfrac{\partial x_1}{\partial w_2}\\[6pt] \dfrac{\partial x_2}{\partial w_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial w_2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} w_2&w_1\\ 0&1 \end{vmatrix} =w_2。$$

由於 $w_2>0$，因此

$$\left| \frac{\partial(x_1,x_2)}{\partial(w_1,w_2)} \right| =w_2。$$

第三步：轉換支持區域

原本的支持區域為

$$0<x_2<x_1<1。$$

代入

$$x_1=w_1w_2,\qquad x_2=w_2，$$

得到：

$$0<w_2<w_1w_2<1。$$

因為 $w_2>0$，可除以 $w_2$，得

$$w_1>1。$$

另外，由 $w_1w_2<1$ 可得

此題考驗對隨機變數函數（Transformation of Random Variables）機率密度函數的求法，特別是當變數轉換不是單調時，需要考慮多個反向映射。

核心觀念：設 $Y = g(X)$，則 $Y$ 的機率密度函數 $f_Y(y)$ 可以通過 $X$ 的機率密度函數 $f_X(x)$ 和轉換函數 $g(x)$ 來求得。若 $g(x)$ 不是單調函數，則需要將 $y$ 的取值域分解成 $x$ 的單調區間，然後逐一計算並合併。

給定 $X$ 的機率密度函數為 $f_X(x) = \frac{1}{2\pi}$，for $0 \le x \le 2\pi$，否則為 0。
我們要求 $Y = X^2 + 2X + 1$ 的機率密度函數。
注意到 $Y = (X+1)^2$。

首先確定 $Y$ 的取值範圍。
當 $X=0$ 時，$Y = (0+1)^2 = 1$。
當 $X=2\pi$ 時，$Y = (2\pi+1)^2$。
所以，$Y$ 的取值範圍是 $[1, (2\pi+1)^2]$。

接下來，我們需要找到 $X$ 與 $Y$ 之間的關係，並解出 $X$ 表示為 $Y$ 的函數。
$y = (x+1)^2$
$\sqrt{y} = |x+1|$
由於 $x \in [0, 2\pi]$，所以 $x+1 \in [1, 2\pi+1]$，這意味著 $x+1$ 始終為正。
因此，$\sqrt{y} = x+1$。
解出 $x$：$x = \sqrt{y} - 1$。

此轉換 $x = \sqrt{y} - 1$ 是單調的（嚴格遞增）。
對於 $Y$ 的每一個取值，只有一個對應的 $X$ 值。

我們可以使用累積分佈函數法（CDF method）或直接使用機率密度函數的轉換公式。

方法一：使用累積分佈函數法。
$F_Y(y) = P(Y \le y) = P((X+1)^2 \le y)$
由於 $X+1 \ge 1$，所以 $(X+1)^2 \ge 1$。因此，如果 $y < 1$，則 $F_Y(y) = 0$。
對於 $y \ge 1$：
$P((X+1)^2 \le y) = P(X+1 \le \sqrt{y})$ (因為 $X+1$ 為正)
$P(X+1 \le \sqrt{y}) = P(X \le \sqrt{y} - 1)$

現在我們需要將 $P(X \le \sqrt{y} - 1)$ 轉換為 $X$ 的機率密度函數 $f_X(x)$。
$P(X \le \sqrt{y} - 1) = \int_{-\infty}^{\sqrt{y}-1} f_X(x) dx$

我們要考慮 $X$ 的定義域 $0 \le x \le 2\pi$。
所以，積分的上限 $\sqrt{y} - 1$ 必須在 $X$ 的定義域內。
$0 \le \sqrt{y} - 1 \le 2\pi$
$1 \le \sqrt{y} \le 2\pi + 1$
$1 \le y \le (2\pi+1)^2$

此題考驗對指數分佈（Exponential Distribution）的性質、條件機率密度函數、條件期望值及條件變異數的計算。

指數分佈的機率密度函數為 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，for $x > 0$。
其累積分佈函數為 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，for $x > 0$。
期望值為 $E[X] = \frac{1}{\lambda}$，變異數為 $Var[X] = \frac{1}{\lambda^2}$。

i. 求 $X|X > 2$ 的條件機率密度函數 $f_{X|X>2}(x|X>2)$。
條件機率密度函數的定義為：
$f_{X|A}(x|A) = \frac{f(x)}{P(A)}$，for $x$ in the event $A$，否則為 0。
在這裡，事件 $A$ 是 $X > 2$。
首先計算 $P(X > 2)$。
$P(X > 2) = \int_{2}^{\infty} f(x) dx = \int_{2}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx$
$P(X > 2) = [-e^{-\lambda x}]_{2}^{\infty} = 0 - (-e^{-2\lambda}) = e^{-2\lambda}$。

現在，計算條件機率密度函數 $f_{X|X>2}(x|X>2)$。
對於 $x > 2$：
$f_{X|X>2}(x|X>2) = \frac{f(x)}{P(X>2)} = \frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-2\lambda}} = \lambda e^{-\lambda x + 2\lambda} = \lambda e^{-\lambda(x-2)}$。
這個函數適用於 $x > 2$。
對於 $x \le 2$，條件機率密度函數為 0。

我們可以驗證這個條件機率密度函數是否歸一化：
$\int_{2}^{\infty} \lambda e^{-\lambda(x-2)} dx$
令 $u = x-2$，則 $du = dx$。當 $x=2$ 時，$u=0$；當 $x \to \infty$ 時，$u \to \infty$。
$\int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda u} du = [-e^{-\lambda u}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$。
所以，條件機率密度函數是正確的。

ii. 計算條件期望值 $E[X|X > 2]$。
$E[X|X > 2] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X|X>2}(x|X>2) dx$
$E[X|X > 2] = \int_{2}^{\infty} x \left(\lambda e^{-\lambda(x-2)}\right) dx$
$E[X|X > 2] = \lambda \int_{2}^{\infty} x e^{-\lambda x} e^{2\lambda} dx$
$E[X|X > 2] = \lambda e^{2\lambda} \int_{2}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx$

計算積分 $\int x e^{-\lambda x} dx$。可以使用分部積分法，令 $u=x$, $dv=e^{-\lambda x} dx$。
則 $du=dx$, $v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}$。
$\int x e^{-\lambda x} dx = uv - \int v du = x \left(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right) - \int \left(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right) dx$
$= -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} + \frac{1}{\lambda} \int e^{-\lambda x} dx$
$= -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} + \frac{1}{\lambda} \left(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right)$
$= -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda x} = -e^{-\lambda x} \left(\frac{x}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)$

現在計算定積分：
$\int_{2}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx = \left[-e^{-\lambda x} \left(\frac{x}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)\right]_{2}^{\infty}$
$= \lim_{x \to \infty} \left(-e^{-\lambda x} \left(\frac{x}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)\right) - \left(-e^{-2\lambda} \left(\frac{2}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)\right)$
對於極限項，當 $x \to \infty$， $e^{-\lambda x} \to 0$ 且 $\frac{x}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \to \infty$。這是 $\infty \times 0$ 的形式。
使用 L'Hopital's rule：$\lim_{x \to \infty} -\frac{\frac{x}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}}{e^{\lambda x}} = \lim_{x \to \infty} -\frac{\frac{1}{\lambda}}{\lambda e^{\lambda x}} = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{\lambda^2 e^{\lambda x}} = 0$。
所以，極限項為 0。
定積分的值為 $0 - \left(-e^{-2\lambda} \left(\frac{2}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)\right) = e^{-2\lambda} \left(\frac{2}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)$。

將此結果代回 $E[X|X > 2]$：
$E[X|X > 2] = \lambda e^{2\lambda} \times e^{-2\lambda} \left(\frac{2}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right)$
$E[X|X > 2] = \lambda \left(\frac{2}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}\right) = 2 + \frac{1}{\lambda}$。

另一種更簡潔的方法是利用指數分佈的「無記憶性」（memoryless property）。
對於一個服從指數分佈的隨機變數 $X$，對於任何 $s, t > 0$，有 $P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$。

核心觀念

本題考查：

1. 獨立常態隨機變數和的分布。
2. 樣本平均數的分布。
3. 依分布收斂的定義與中央極限定理。

由於 $X_1,\dots,X_n$ 皆服從常態分布，且彼此獨立，因此其線性組合仍服從常態分布。題目所定義的 $S_n^2$ 在本題證明中不會用到；它通常用於研究樣本變異數、$t$ 分布或學生化統計量。

---

解題方法

將每個隨機變數標準化：

$$X_i-\mu \sim N(0,\sigma^2).$$

因為 $X_1,\dots,X_n$ 相互獨立，所以

$$\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) \sim N(0,n\sigma^2).$$

另一方面，

$$\sqrt{n}(\bar X_n-\mu) = \sqrt{n} \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i-\mu \right).$$

整理得

$$\sqrt{n}(\bar X_n-\mu) = \frac{1}{\sqrt n} \sum_{i=1}^n(X_i-\mu).$$

若隨機變數 $Y$ 服從 $N(0,\tau^2)$，則對常數 $a$ 而言，

$$aY\sim N(0,a^2\tau^2).$$

因此，取

$$Y=\sum_{i=1}^n(X_i-\mu), \qquad a=\frac{1}{\sqrt n},$$

可得

$$\sqrt{n}(\bar X_n-\mu) = \frac{1}{\sqrt n} \sum_{i=1}^n(X_i-\mu) \sim N\left( 0, \frac{1}{n}\cdot n\sigma^2 \right).$$

所以對每一個 $n$，皆有

$$\sqrt{n}(\bar X_n-\mu)\sim N(0,\sigma^2).$$

這表示該序列的分布根本不隨 $n$ 改變。令 $F_n$ 表示 $\sqrt n(\bar X_n-\mu)$ 的累積分布函數，令 $F$ 表示 $N(0,\sigma^2)$ 的累積分布函數，則對所有 $n$ 與所有 $x\in\mathbb R$，

$$F_n(x)=F(x).$$

因此當 $n\to\infty$ 時，

$$F_n(x)\to F(x)$$

此題考驗對最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator, MLE）的求法，特別是對指數分佈的參數 $\lambda$。

核心觀念：最大概似估計量是使得樣本數據出現機率（或機率密度）最大的參數值。其求解步驟通常包括：

1. 寫出樣本的聯合機率密度函數（概似函數, Likelihood Function）。
2. 對概似函數取對數（對數概似函數, Log-Likelihood Function），以簡化計算。
3. 對對數概似函數對參數求偏導數。
4. 令偏導數等於零，解出參數值。

給定 $X_1, \dots, X_n$ 是 i.i.d. 且服從指數分佈，其 PDF 為 $f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$，for $x \ge 0, \lambda > 0$。

1. 寫出概似函數 $L(\lambda)$：
   由於樣本是 i.i.d.，聯合 PDF 是各個 PDF 的乘積。
   $L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda e^{-\lambda X_i})$
   $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i}$
   此概似函數定義在 $X_i \ge 0$ 對於所有 $i$。

2. 寫對數概似函數 $l(\lambda) = \ln L(\lambda)$：
   $l(\lambda) = \ln(\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i})$
   $l(\lambda) = \ln(\lambda^n) + \ln(e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i})$
   $l(\lambda) = n \ln(\lambda) - \lambda \sum_{i=1}^n X_i$

3. 對 $\lambda$ 求偏導數 $\frac{dl(\lambda)}{d\lambda}$：

核心觀念

本題考查常態母體下，未知母平均數 $\mu$、已知母變異數 $\sigma^2$ 時，$\mu$ 的不偏估計量與 UMVUE（均勻最小變異不偏估計量）。

使用兩個重點：

1. 樣本平均數 $\overline X$ 的期望值為 $\mu$，因此可作為 $\mu$ 的不偏估計量。
2. 由常態分配的指數族性質，$\sum_{i=1}^n X_i$ 是 $\mu$ 的完全充分統計量。依 Lehmann–Scheffé 定理，任何以完全充分統計量為函數的不偏估計量，必為 UMVUE。

---

解題方法

令樣本平均數為

$$\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$$

由於

$$X_i\sim N(\mu,\sigma^2),$$

且 $X_1,\ldots,X_n$ 為 i.i.d.，故

$$E_\mu(X_i)=\mu.$$

因此，

$$E_\mu(\overline X) = E_\mu\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E_\mu(X_i) = \frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu.$$

所以 $\overline X$ 為 $\mu$ 的不偏估計量。

接著證明其為 UMVUE。令

$$T=\sum_{i=1}^n X_i.$$

由常態隨機變數的和仍為常態分配可知，

$$T\sim N(n\mu,n\sigma^2).$$

其聯合機率密度函數為

$$f(\boldsymbol{x};\mu) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\left\{ -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \right\}.$$

展開平方項：

$$\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu\sum_{i=1}^n x_i + n\mu^2.$$

此題考驗對單一樣本 t 檢定（One-Sample t-test）的假設設定、檢定統計量計算與決策規則的應用。

背景資訊：
研究者想檢定橘子族群的平均重量是否為 150 克。
樣本大小 $n = 10$。
樣本均值 $\bar{X} = 145$ 克。
樣本標準差 $s = 10$ 克。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) 陳述虛無假設與對立假設。

單一樣本 t 檢定的目的是比較一個樣本均值與一個已知的族群均值（或一個特定的目標值）。
在這裡，研究者想檢定族群平均重量是否為 150 克。

• 虛無假設 ($H_0$)： 這是我們想要挑戰或尋找證據來反駁的陳述。通常代表「沒有效應」或「沒有差異」。在這裡，虛無假設是族群平均重量等於 150 克。
  $H_0: \mu = 150$

• 對立假設 ($H_1$ 或 $H_a$)： 這是我們希望找到證據來支持的陳述。它與虛無假設相對。根據題意，研究者只是想「檢定」平均重量是否為 150 克，並沒有特別說明是想檢定「大於」或「小於」，所以這是一個雙尾檢定（two-tailed test）。
  $H_1: \mu \neq 150$

答案 (a)：
The null hypothesis ($H_0$) is $\mu = 150$.
The alternative hypothesis ($H_1$) is $\mu \neq 150$.

(b) 進行 t 檢定，包含檢定統計量計算和決策規則。

1. 計算檢定統計量 (Test Statistic)：
對於單一樣本 t 檢定，檢定統計量為：
$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
其中：
$\bar{X}$ 是樣本均值。
$\mu_0$ 是虛無假設中的族群均值。
$s$ 是樣本標準差。
$n$ 是樣本大小。

代入給定數值：
$\bar{X} = 145$
$\mu_0 = 150$
$s = 10$
$n = 10$

$t = \frac{145 - 150}{10 / \sqrt{10}} = \frac{-5}{10 / \sqrt{10}} = \frac{-5 \sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{2}$
計算 $\sqrt{10} \approx 3.162$。
$t \approx -\frac{3.162}{2} \approx -1.581$