112 年 國立成功大學人工智慧科技碩士學位學程《計算機數學（含線性代數、離散數學）》

核心觀念

1. 迴文數（Palindrome）的代數表示：
   三位數迴文數的特徵為「百位數字」與「個位數字」相同。設百位數字為 $a$，十位數字為 $b$，則個位數字亦為 $a$。該數的數值可展開表示為：
   $N = 100a + 10b + a = 101a + 10b$

2. 乘法原理（Rule of Product）與變數範圍：

   • 百位數字 $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$，共有 $9$ 種取值選擇（三位數的最高位不可為 $0$）。
   • 十位數字 $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$，共有 $10$ 種取值選擇。
   • 三位數迴文數的總個數為 $9 \times 10 = 90$ 個。

3. 雙重求和與線性運算（Double Summation & Linearity）：
   將所有迴文數的代數式進行雙重求和，利用求和的線性性質分項計算百位／個位貢獻與十位貢獻。

4. 算術對稱性（Symmetry in Summation）：
   有限等差集或對稱構造集合的總和，等於「集合元素個數」乘以「極值對稱平均數」或「對稱配對求和」。

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解題方法

第一步：建立迴文數模型與個數分析

三位數迴文數的形式可寫為 $101a + 10b$，其中 $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$，$b \in \{0, 1, \dots, 9\}$。
總個數為 $9 \times 10 = 90$ 個。

第二步：位值拆解與求和推導（主解法）

所有三位數迴文數的總和 $S$ 可表示為：
$S = \sum_{a=1}^{9} \sum_{b=0}^{9} (101a + 10b)$

利用求和分配律將式子拆為兩部分獨立計算：
$S = \sum_{a=1}^{9} \sum_{b=0}^{9} 101a + \sum_{a=1}^{9} \sum_{b=0}^{9} 10b$

1. 計算第一項（百位與個位的總貢獻）：
   對於每一個固定的 $a$，$b$ 有 $10$ 種可能取值，故 $101a$ 共出現 $10$ 次：
   $\sum_{a=1}^{9} \sum_{b=0}^{9} 101a = 10 \times 101 \times \sum_{a=1}^{9} a = 1010 \times \frac{9 \times (1 + 9)}{2} = 1010 \times 45 = 45450$

2. 計算第二項（十位的總貢獻）：
   對於每一個固定的 $b$，$a$ 有 $9$ 種可能取值，故 $10b$ 共出現 $9$ 次：

核心觀念

本題考查離散數學中的普通生成函數（Ordinary Generating Function, OGF）與有限等比級數求和。

1. 普通生成函數定義：
   對任意數列 $\{a_k\}_{k=0}^{\infty} = (a_0, a_1, a_2, \dots)$，其普通生成函數定義為形式冪級數：
   $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots$

2. 有限等比級數求和公式：
   對於首項為 $1$、公比為 $x$（當 $x \neq 1$）且共有 $m$ 項的有限等比級數，其求和公式為：
   $\sum_{k=0}^{m-1} x^k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{m-1} = \frac{1 - x^m}{1 - x}$

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解題方法

1. 確立數列對應項與數值：
   題目給定的數列為 $1, 1, 1, \dots, 1, 0, 0, 0, \dots$，其中前 $n+1$ 項為 $1$。
   由於生成函數的下標由 $k=0$ 開始，前 $n+1$ 項對應的索引為 $k = 0, 1, 2, \dots, n$。因此數列各項數值為：

   • $a_k = 1$，當 $0 \le k \le n$
   • $a_k = 0$，當 $k \ge n+1$

2. 建立生成函數多項式：
   將數列代入普通生成函數定義式：
   $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot x^k + \sum_{k=n+1}^{\infty} 0 \cdot x^k = 1 + x + x^2 + \dots + x^n$

3. 推導封閉形式（Closed Form）：
   上述多項式為首項為 $1$、公比為 $x$ 的有限等比級數，共有 $n+1$ 項。
   套用有限等比級數求和公式（當 $x \neq 1$ 時）：
   $f(x) = \frac{1 - x^{(n+1)}}{1 - x} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$

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選項分析

核心觀念

• 雙射函數（Bijective Function）：設 $f: A \to B$ 為一函數。若 $f$ 同時滿足單射（Injective / One-to-one）與滿射（Surjective / Onto），則稱 $f$ 為雙射函數。
  • 單射：對任意 $x_1, x_2 \in A$，若 $x_1 \neq x_2$，則 $f(x_1) \neq f(x_2)$。
  • 滿射：對任意 $y \in B$，均存在 $x \in A$ 使得 $f(x) = y$。
• 有限集合基數相等下的特徵：當 $A$ 與 $B$ 為有限集合且元素個數相同（$|A| = |B| = n$）時，函數 $f: A \to B$ 為雙射、單射、滿射三者完全等價。
• 乘法原理（Multiplication Principle）：若完成某任務需經過 $n$ 個步驟，第一步有 $k_1$ 種選擇，第二步有 $k_2$ 種選擇，……，第 $n$ 步有 $k_n$ 種選擇，則總選擇數為 $k_1 \times k_2 \times \dots \times k_n$。

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解題方法

設有限集合 $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ 與 $B = \{b_1, b_2, \dots, b_n\}$，其基數皆為 $|A| = |B| = n$。

要建立一個雙射函數 $f: A \to B$，需依序決定 $A$ 中每個元素的對映目標：

1. 決定 $f(a_1)$ 的對映值：$a_1$ 可以對映到集合 $B$ 中的任意元素，共有 $n$ 種選擇。
2. 決定 $f(a_2)$ 的對映值：因為 $f$ 必須是單射，$f(a_2)$ 不能選取已被 $f(a_1)$ 佔用的元素，故共有 $n-1$ 種選擇。
3. 決定 $f(a_3)$ 的對映值：同理，$f(a_3)$ 不能選取已被 $f(a_1), f(a_2)$ 佔用的元素，共有 $n-2$ 種選擇。

核心觀念

本題考查離散數學中**二階非齊次常係數線性遞迴關係（Second-order Non-homogeneous Linear Recurrence Relation with Constant Coefficients）**的求解。

通解結構由兩部分組成：

1. 齊次解（Homogeneous Solution, $a_n^{(h)}$）：對應齊次方程式 $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ 的通解，透過**特徵方程式（Characteristic Equation）**求出特徵根決定。
2. 特解（Particular Solution, $a_n^{(p)}$）：滿足非齊次項 $f(n) = 2$ 的任意一特解，利用**待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）**求得。

完整通解表示為：
$a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$
最後代入初始條件 $a_0 = 3$ 與 $a_1 = 7$ 求出未定常數。

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解題方法

步驟一：求齊次解 $a_n^{(h)}$

考慮齊次部分方程式：
$a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$

寫出其特徵方程式：
$r^2 - 5r + 6 = 0$

因式分解：
$(r - 2)(r - 3) = 0 \implies r_1 = 2, \; r_2 = 3$

由於特徵根為兩個相異實根，故齊次解形式為：
$a_n^{(h)} = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 3^n \quad (c_1, c_2 \text{ 為常數})$

步驟二：求特解 $a_n^{(p)}$

非齊次項為常數 $f(n) = 2 = 2 \cdot 1^n$。
因為底數 $1$ 不是特徵方程式的根（即 $r_1 \neq 1, r_2 \neq 1$），故可設特解為一常數：
$a_n^{(p)} = d$

將 $a_n^{(p)} = d$ 代回原遞迴關係式 $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 2$：
$d - 5d + 6d = 2 \implies 2d = 2 \implies d = 1$

得特解為：
$a_n^{(p)} = 1$

步驟三：建立通解 $a_n$

將齊次解與特解相加得到一般通解：
$a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 3^n + 1$

步驟四：利用初始條件求解常數 $c_1, c_2$

代入初始條件 $a_0 = 3$ 與 $a_1 = 7$：

核心觀念

本題考查離散數學與數論中的同餘（Congruence）與整除性（Divisibility）。核心定義與定理如下：

1. 整除與同餘的定義：
   對任意整數 $x, y$ 與正整數 $m$，若 $m$ 能整除 $x - y$（記作 $m \mid (x - y)$），則稱 $x$ 與 $y$ 模 $m$ 同餘，記作 $x \equiv y \pmod m$。特別地，若 $m \mid x$，則 $x \equiv 0 \pmod m$。

2. 同餘式的線性組合性質：
   若 $m \mid A$ 且 $m \mid B$，則對任意整數 $c_1, c_2$，均有 $m \mid (c_1 A + c_2 B)$。

3. 模算術的乘法逆元（Modular Inverse）：
   若 $\gcd(a, m) = 1$，則存在整數 $a^{-1}$ 使得 $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod m$。在質數模數 $p$ 下，所有非 0 餘數皆存在乘法逆元。

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解題方法

已知 $2a + 3b \equiv 0 \pmod{17}$，欲判斷 $9a + 5b \equiv 0 \pmod{17}$ 是否成立。以下提供兩種嚴謹的證明推導：

方法一：線性組合法（構造法）

尋找適當的倍數 $k \in \mathbb{Z}$，使得 $k(2a + 3b)$ 的 $a$ 係數在模 17 下等於 9：
$2k \equiv 9 \pmod{17}$
由於 $9 \equiv 26 \pmod{17}$，故 $2k \equiv 26 \pmod{17}$。因為 $\gcd(2, 17) = 1$，兩邊同除以 2 得：
$k \equiv 13 \pmod{17}$

檢驗 $b$ 的係數：
$13 \times 3 = 39 = 2 \times 17 + 5 \equiv 5 \pmod{17}$

係數完全吻合。因此展開 $13(2a + 3b)$：
$13(2a + 3b) = 26a + 39b = (17a + 9a) + (34b + 5b) = 17(a + 2b) + (9a + 5b)$

移項得：
$9a + 5b = 13(2a + 3b) - 17(a + 2b)$

由已知條件，$17 \mid (2a + 3b)$，故 $13(2a + 3b)$ 為 17 的倍數；而 $17(a + 2b)$ 項顯然亦為 17 的倍數。
兩者之差 $9a + 5b$ 必可被 17 整除，即 $17 \mid (9a + 5b)$ 恆成立。

方法二：模算術代換法

由已知條件 $2a + 3b \equiv 0 \pmod{17}$，可得：
$2a \equiv -3b \pmod{17}$

核心觀念

本題考查線性代數中的**基底與座標向量（Coordinate Vector relative to a Basis）**之定義與線性方程組求解能力。

1. 座標向量之定義：
   設 $V$ 為一向量空間，$\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 為 $V$ 的一組有序基底（Ordered Basis）。若向量 $w \in V$ 可以唯一表示為基底向量的線性組合：
   $w = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n$
   則純量組成的向量 $[w]_\beta = (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ 即稱為 $w$ 相對於有序基底 $\beta$ 的座標向量（Coordinate Vector）。

2. 轉換為矩陣方程：
   在歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 中，上述線性組合可表示為矩陣乘法：
   $A [w]_\beta = w$
   其中 $A = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}$ 為以基底向量作為各行向量（Column Vectors）所構成的轉移矩陣。

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解題方法

將給定之向量 $w = (8, -4, -12)^T$ 與基底 $\beta = \{v_1, v_2, v_3\} = \{(1, 1, 1)^T, (1, 5, -3)^T, (2, 2, 1)^T\}$ 代入定義。

步驟一：列出線性方程組
設 $w$ 相對於基底 $\beta$ 的座標向量為 $[w]_\beta = (c_1, c_2, c_3)^T$，根據座標向量定義：
$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -4 \\ -12 \end{bmatrix}$

整理成矩陣形式：
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -4 \\ -12 \end{bmatrix}$

步驟二：利用增廣矩陣進行高斯消去法（Gaussian Elimination）
寫出增廣矩陣：
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & \vert & 8 \\ 1 & 5 & 2 & \vert & -4 \\ 1 & -3 & 1 & \vert & -12 \end{bmatrix}$

核心觀念

本題考查**實內積空間（Real Inner Product Space）中正交規範基底（Orthonormal Basis）**的性質與向量範數計算。涉及的核心定理與定義如下：

1. 正交規範基底定義：
   集 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 為正交規範基底，代表其向量滿足：

   • 正交性（Orthogonality）：當 $i \neq j$ 時，內積 $(u_i, u_j) = 0$。
   • 規範性（Normalization）：長度均為 1，即 $(u_i, u_i) = \|u_i\|^2 = 1$。

2. 傅立葉係數（Fourier Coefficient）：
   若 $x = \sum_{i=1}^n c_i u_i$ 且 $\{u_1, \dots, u_n\}$ 為正交規範基底，則向量 $x$ 在 $u_i$ 方向的分量係數 $c_i$ 可直接由內積求得：
   $c_i = (u_i, x)$

3. 正交性與內積：
   兩向量正交 $x \perp u_2 \iff (u_2, x) = 0$。

4. 帕塞瓦爾等式（Parseval's Identity / 畢氏定理）：
   在正交規範基底下，向量範數的平方等於各分量係數平方和：
   $\|x\|^2 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2$

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解題方法與推導

將向量 $x = c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3$ 代入已知條件推導各係數：

步驟一：求 $c_1$ 的值

已知 $(u_1, x) = 4$，利用內積的線性展開性質：
$(u_1, x) = (u_1, c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3) = c_1 (u_1, u_1) + c_2 (u_1, u_2) + c_3 (u_1, u_3)$
由於 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 為正交規範基底：
$(u_1, u_1) = 1, \quad (u_1, u_2) = 0, \quad (u_1, u_3) = 0$
代入得：
$(u_1, x) = c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0 + c_3 \cdot 0 = c_1$
因此得到：
$c_1 = 4$

步驟二：求 $c_2$ 的值

已知 $x \perp u_2$，依據正交定義，兩者內積為 $0$：
$(u_2, x) = 0$
同理展開 $(u_2, x)$：

核心觀念

本題主要考查線性代數中的矩陣維度定理與線性系統的可解性（Consistency）：

1. 秩與零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：
   對於任意 $m \times n$ 的矩陣 $A$（代表線性映射 $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$），矩陣的行數（列數，即變數個數）$n$ 等於其秩 $\text{rank}(A)$ 與零化度 $\text{nullity}(A)$ 之和：
   $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$
   齊次線性系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解空間即為矩陣 $A$ 的零空間 $\text{Null}(A)$，其維度定義為零化度 $\text{nullity}(A) = \dim(\text{Null}(A))$。

2. 非齊次系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的可解性（Consistency）：

   • 若 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，則對任意 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$A\mathbf{x}$ 產生的向量屬於對應域 $\mathbb{R}^m$。
   • 系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有解（Consistent）當且僅當向量 $\mathbf{b}$ 落在 $A$ 的行空間（Column Space, $\text{Col}(A)$）中。
   • 若要對對應域中的「所有」向量 $\mathbf{b}$ 均能使 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 一致有解，必須滿足 $\text{Col}(A) = \mathbb{R}^m$，即矩陣 $A$ 必須達到滿列秩（Full Row Rank）：$\text{rank}(A) = m$。

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解題方法

(a) 求 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 解空間的維度

已知矩陣 $A$ 為 $5 \times 7$ 矩陣，其變數維度（行數）$n = 7$，矩陣的秩 $\text{rank}(A) = 4$。
根據秩與零化度定理：
$\text{rank}(A) + \dim(\text{Null}(A)) = n$

代入已知數據推導：
$4 + \dim(\text{Null}(A)) = 7$
$\dim(\text{Null}(A)) = 7 - 4 = 3$

故 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解空間維度為 $3$。

(b) 判斷 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 是否對所有向量 $\mathbf{b}$ 皆一致（Consistent）

判斷結果為否（No），理由如下：

1. 空間維度匹配分析：
   矩陣 $A$ 的尺寸為 $5 \times 7$，作用於向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^7$ 時，輸出向量 $A\mathbf{x}$ 屬於 $\mathbb{R}^5$。

核心觀念

1. 特徵多項式與特徵值（Eigenvalues）：
   對於 $n$ 階方陣 $A$，其特徵多項式 $p(\lambda)$ 的根即為 $A$ 的特徵值。重根的次數代表該特徵值的代數重數（Algebraic Multiplicity）。
2. 行列式與特徵值的關係：
   矩陣 $A$ 的行列式等於其所有特徵值（包含代數重數）之乘積：
   $\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$
   亦可由特徵多項式的定義 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 出發，令 $\lambda = 0$，得到：
   $p(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$
3. 反矩陣的行列式性質：
   若矩陣 $A$ 可逆（即 $\det(A) \neq 0$），則其反矩陣 $A^{-1}$ 的行列式為：
   $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

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解題方法

步驟一：確定矩陣階數與特徵值

已知特徵多項式為：
$p(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda - 2)^2(\lambda + 3)^2$
特徵多項式的次數（Degree）為 $1 + 2 + 2 = 5$，代表 $A$ 為一個 $5 \times 5$ 的 $5$ 階方陣（即 $n = 5$）。

令 $p(\lambda) = 0$，解出矩陣 $A$ 的所有特徵值及其代數重數：

• $\lambda_1 = -1$（代數重數為 $1$）
• $\lambda_2 = 2$（代數重數為 $2$）
• $\lambda_3 = -3$（代數重數為 $2$）

步驟二：計算矩陣 $A$ 的行列式 $\det(A)$

將所有特徵值依其代數重數相乘：
$\det(A) = (-1)^1 \times (2)^2 \times (-3)^2$
代入計算：
$\det(A) = (-1) \times 4 \times 9 = -36$

步驟三：計算反矩陣的行列式 $\det(A^{-1})$

由於 $\det(A) = -36 \neq 0$，矩陣 $A$ 可逆。套用反矩陣行列式公式：
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{-36} = -\frac{1}{36}$

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選項分析

(a) True

• 理由：矩陣 $A$ 的行列式等於其所有特徵值的乘積（$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$）。因為 $A$ 的特徵值皆不為零，所以 $\det(A) \neq 0$，由可逆矩陣定理可知 $A$ 為非奇異矩陣（nonsingular / invertible）。

(b) False

• 理由：已知 $A$ 為 $5 \times 5$ 矩陣且 $\text{rank}(A) = 1$，由秩－零度定理可知零空間維度為 $\text{nullity}(A) = 5 - 1 = 4$。這代表特徵值 $\lambda = 0$ 對應的幾何重數（geometric multiplicity）為 $\dim(E_0) = 4$。因為唯一非零特徵值的代數重數必為 $1$（且幾何重數亦為 $1$），故 $A$ 的所有特徵值之幾何重數和等於 $4 + 1 = 5$，與矩陣階數相同，因此矩陣 $A$ 必定可對角化（diagonalizable）。