108 年 國立中央大學天文研究所碩士班一般生《天文學》

本題主要考驗對天體光變曲線的理解，包含小行星自轉、食變雙星系統、以及系外行星凌星現象。

核心觀念：

• 光變曲線 (Light Curve)：天體亮度隨時間變化的圖。
• 小行星自轉與光變曲線：不規則形狀的天體自轉時，其面向觀測者的表面積會隨之改變，導致亮度變化。
• 食變雙星 (Eclipsing Binary)：兩顆恆星互相繞行，當其中一顆遮擋另一顆時，會造成亮度下降。
• 凌星 (Transit)：系外行星從其主星前方經過時，會遮擋部分星光，造成亮度下降。
• 重力透鏡 (Gravitational Lensing)：大質量天體彎曲時空，使經過其附近的光線路徑改變，如同透鏡般放大或扭曲背景天體。
• 標準燭光 (Standard Candle)：亮度已知的恆星或天體，可用來測量距離。

解題過程：

(A) 小行星光變曲線

• 兩個最低點的原因：如圖所示，小行星的光變曲線有兩個亮度最低點（標示為 1 和 2）。這表示在一個週期內，有兩個時刻天體的亮度降至最低。這通常是由於小行星的自轉造成的。當小行星的某個較暗或表面積較小的區域面向地球時，觀測到的總亮度會降低。如果小行星的形狀不規則，例如有突起或凹陷，那麼在自轉過程中，面向地球的總表面積會有週期性的變化。最低點對應於面向地球的較暗區域最大化，或較亮區域最小化。
• 推測小行星形狀：出現兩個亮度最低點，且兩個最低點的亮度相同，這暗示著小行星的形狀呈現一種對稱性。最簡單的解釋是，這顆小行星的形狀並非球形，而是類似「啞鈴」或「紡錘形」的長條狀，其兩端較細（或較暗），中間較粗（或較亮）。當它自轉時，尖端（較暗或面積小）面向地球會造成最低點，而較寬（或面積大）的部分面向地球時則亮度較高。
• 光滑球形小行星的光變曲線：如果小行星是一個光滑的球體，那麼無論它如何自轉，面向地球的表面積和反照率（反射陽光的能力）都是均勻的。因此，它的光變曲線將是一條幾乎平坦的直線，沒有明顯的亮度變化。

(B) 食變星光變曲線

• 兩個最低點的原因：圖 (B) 顯示了食變星的光變曲線。有兩個亮度最低點（標示為 3 和 4）。這代表系統中有兩個天體（恆星）互相繞行，並且會發生互相遮蔽（食）。這兩個最低點分別對應於一次「外來食」（較小的恆星經過較大的恆星前方）和一次「內來食」（較大的恆星經過較小的恆星前方）。
• 兩個最低點振幅不同的原因：最低點 3 的深度（亮度下降幅度）較小，而最低點 4 的深度較大。這表示兩次食造成的亮度損失不同。通常，這與兩顆恆星的相對大小和溫度有關。
  • 如果一次食（例如外來食）遮蔽的面積比例較小，則亮度下降較少（振幅較小）。
  • 如果另一次食（例如內來食）遮蔽的面積比例較大，則亮度下降較多（振幅較大）。
  • 此外，如果兩顆恆星的溫度差異很大，那麼被遮蔽恆星的亮度貢獻也不同。例如，如果較亮的恆星被較暗的恆星遮蔽，造成的亮度下降會比反過來的情況更明顯。

本題涵蓋了宇宙學中的幾個重要概念：普通物質、暗物質、暗能量、以及觀測證據（星系自轉曲線、重力透鏡、Ia型超新星）。

核心觀念：

• 宇宙組成：宇宙總能量密度約由 68% 暗能量、27% 暗物質、5% 普通物質組成。
• 星系自轉曲線 (Galaxy Rotation Curve)：恆星繞行星系中心的軌道速度隨距離變化的曲線。
• 暗物質 (Dark Matter)：不與電磁波作用，但具有引力效應的物質。
• 重力透鏡 (Gravitational Lensing)：大質量天體彎曲時空，使經過其附近的光線路徑改變，如同透鏡般放大或扭曲背景天體。
• 超新星 (Supernova)：恆星演化末期發生的大規模爆炸。
• Ia型超新星 (Type Ia Supernova)：白矮星吸積伴星物質達到錢卓西卡蘭極限後發生的熱核爆炸，亮度極高且一致。
• 標準燭光 (Standard Candle)：亮度已知的天體，可用來測量距離。
• 暗能量 (Dark Energy)：一種未知的能量形式，具有負壓，導致宇宙加速膨脹。
• 宇宙常數 (Cosmological Constant)：愛因斯坦在廣義相對論中引入的項，代表真空的能量密度。

解題過程：

(A) 剩下的 5% 是什麼？
根據當前宇宙學模型，宇宙的總能量密度約由三種成分組成：

• 暗能量 (Dark Energy)：約佔 68%。
• 暗物質 (Dark Matter)：約佔 27%。
• 普通物質 (Baryonic Matter)：約佔 5%。

普通物質包括我們日常所見的一切物質，如質子、中子、電子等構成的原子，以及光子、中微子等。這些物質發光或與電磁波相互作用，因此可以被觀測到。

【答案】剩下的 5% 是由質子、中子、電子等構成的「普通物質」（或稱重子物質），以及輻射（如光子）和中微子等。

(B) 星系自轉曲線佐證暗物質

• 觀測現象：觀測發現，在漩渦星系的外圍，恆星繞著星系中心旋轉的速度 $v$ 幾乎不隨其到星系中心的距離 $r$ 變化，即 $v \approx \text{constant}$。這與只考慮可見物質（普通物質）的預期不同。
• 理論預期（僅考慮普通物質）：如果星系中的質量僅由可見的恆星和氣體組成，那麼大部分質量集中在星系中心。根據牛頓萬有引力定律，一個距離中心 $r$ 的物體受到的引力 $F_g = \frac{GMm}{r^2}$，其中 $M$ 是中心總質量。若假設質量集中在中心，且 $M$ 隨 $r$ 增加而增加（例如，考慮到所有內部質量），則在星系外圍，質量分佈會趨於恆定（認為大部分質量已在內）。在這種情況下，恆星運動的向心力 $F_c = \frac{mv^2}{r}$ 由引力提供，即 $\frac{mv^2}{r} = \frac{GM_{enc}(r)m}{r^2}$，其中 $M_{enc}(r)$ 是包圍半徑 $r$ 的總質量。如果 $M_{enc}(r)$ 隨 $r$ 增加而增加，但速度 $v$ 保持恆定，則 $M_{enc}(r) \propto r$，這意味著質量密度隨 $1/r^2$ 衰減。然而，如果質量主要集中在中心，則在 $r$ 遠大於質量分佈範圍時，$M_{enc}(r)$ 趨於恆定，則 $v^2 \propto 1/r$，即 $v \propto 1/\sqrt{r}$。
• 佐證暗物質：實際觀測到的星系自轉曲線顯示，在星系外圍，$v$ 幾乎不隨 $r$ 變化（平坦曲線），而不是像預期的那樣隨 $1/\sqrt{r}$ 下降。這表明，在星系外圍，存在著大量我們看不見的質量，其引力效應足以維持恆星的高速運動。這些看不見的質量就是暗物質。暗物質的球狀暈（halo）分佈，其質量隨半徑的增加而增加，且密度下降較慢，可以解釋這種平坦的自轉曲線。

【答案】觀測到的星系外圍恆星繞行速度恆定，與僅考慮可見物質預期速度下降的結果不符。這表明星系外圍存在大量不可見的質量，即暗物質，其額外引力維持了恆星的高速繞行。

(C) 重力透鏡現象

• 定義：重力透鏡現象是指大質量天體（如星系、星系團）其強大的引力場會彎曲其周圍的時空，進而彎曲經過附近的光線路徑，就像一個光學透鏡一樣。
• 現象：當一個遙遠的光源（如背景星系）位於一個大質量前景天體（如前景星系團）的後方時，前景天體的引力會將背景光源發出的光線彎曲，使其匯聚。這可能導致背景光源的影像被放大、扭曲、甚至形成多個影像（如愛因斯坦環、愛因斯坦十字）。
• 應用：重力透鏡效應是研究暗物質分佈的重要工具。由於暗物質也具有引力，它會對光線產生彎曲。透過分析背景星系影像的變形程度和模式，天文學家可以推斷出前景星系團中暗物質的質量分佈。
• 輔助圖示：

本題主要考驗對 LIGO 偵測重力波原理的理解，以及黑洞與中子星的區別。

核心觀念：

• 重力波 (Gravitational Wave)：時空曲率的漣漪，由加速運動的大質量天體產生，以光速傳播。
• LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory)：一種利用雷射干涉儀偵測重力波的裝置。
• 干涉儀 (Interferometer)：利用光波的干涉現象來測量微小變化的儀器。
• 黑洞 (Black Hole)：引力極強，時空曲率極大，連光都無法逃脫的區域。
• 中子星 (Neutron Star)：由超新星爆炸後恆星核心塌縮形成，主要由中子構成的極緻密天體。
• 事件視界 (Event Horizon)：黑洞的邊界，一旦越過此界，任何事物（包括光）都無法逃脫。
• 恆星演化：大質量恆星的生命終結。

解題過程：

(A) LIGO 偵測重力波的原理
LIGO 是一種龐大的雷射干涉儀，用於偵測極微小的時空擾動，即重力波。其原理如下：

1. 干涉儀結構：LIGO 包含兩個互相垂直的長臂（長度約 4 公里），臂的末端各有一個反射鏡。
2. 雷射光源：一個高功率的穩定雷射束被分成兩半，分別沿著兩個臂傳播。
3. 臂內往返：雷射光在每個臂中會往返多次（透過多個反射鏡），以增加光程。
4. 光路總長度：在沒有重力波的情況下，由於兩個臂的長度相等，兩束雷射光在匯合點會發生建設性或破壞性干涉，取決於設計。通常設計成破壞性干涉，使得光束到達偵測器的總光程差導致其相互抵消，偵測器接收到的光強度極低。
5. 重力波通過：當重力波經過 LIGO 時，它會沿著一個方向壓縮時空，同時沿著垂直方向拉伸時空。這會導致 LIGO 的兩個臂的長度發生極微小的、但互相垂直的變化。例如，如果重力波沿垂直於 LIGO 平面的方向傳播，它會使一個臂變長，另一個臂變短。
6. 光程差產生：由於兩個臂的長度發生了不同的微小變化，原本在臂內往返的光束，其總光程就會產生差異。
7. 干涉條紋改變：當這兩束光重新匯合時，由於光程差的存在，它們之間的干涉關係會從原先的破壞性干涉轉變為部分建設性干涉，導致偵測器接收到的光強度發生微小的、週期性的變化。
8. 訊號分析：偵測器記錄下這種光強度變化，這就是重力波的訊號。透過分析訊號的波形、頻率和振幅，可以推斷出重力波的來源（例如，兩個黑洞或中子星的合併）以及它們的性質（質量、距離等）。
   LIGO 的靈敏度極高，能夠偵測到比質子直徑小千分之一的長度變化。

【答案】LIGO 利用雷射干涉原理偵測重力波。它將雷射光分成兩束，沿著互相垂直的長臂傳播並往返多次。重力波通過時會改變兩個臂的相對長度，造成兩束雷射光的光程差，進而改變其干涉結果，在偵測器上產生可被記錄的訊號。

(B) 黑洞、中子星及其區分

• 黑洞 (Black Hole)：
  • 定義：黑洞是大質量恆星演化末期的產物。

本題主要考驗對望遠鏡角分辨率的理解，以及影響和提高角分辨率的方法。

核心觀念：

• 角分辨率 (Angular Resolution)：望遠鏡分辨兩個靠近物體之間最小角距離的能力。
• 繞射極限 (Diffraction Limit)：由望遠鏡光學系統的繞射效應所決定的理論上的最佳角分辨率。
• 瑞利準則 (Rayleigh Criterion)：描述兩個點光源影像何時可被視為可分辨的準則，通常指第一暗紋中心對第二點光源第一亮紋中心。
• 大氣閃爍 (Atmospheric Seeing)：地球大氣湍流導致望遠鏡接收到的光線相位和振幅不穩定，使得地面望遠鏡的實際角分辨率遠差於繞射極限。
• 光學望遠鏡：觀測可見光或近紅外線的望遠鏡。
• 電波望遠鏡：觀測無線電波的望遠鏡。
• 口徑 (Aperture/Diameter)：望遠鏡收集光線的有效面積（通常指直徑）。
• 干涉儀 (Interferometer)：將來自不同望遠鏡的訊號疊加，以獲得相當於一個大望遠鏡的角分辨率。

解題過程：

(A) 鹿林一米與凱克十米望遠鏡的角分辨率比較
望遠鏡的繞射極限角分辨率 $\theta$（以弧度為單位）與觀測波長 $\lambda$ 成正比，與望遠鏡的口徑 $D$ 成反比。根據瑞利準則，一個常見的估計公式為：
$\theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{D}$

假設我們在可見光波段觀測，例如取平均波長 $\lambda \approx 500 \text{ nm} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$。

• 鹿林一米望遠鏡 (Lulin 1m Telescope)：口徑 $D_1 = 1 \text{ m}$。
  理論繞射極限角分辨率 $\theta_1 \approx 1.22 \frac{5 \times 10^{-7} \text{ m}}{1 \text{ m}} \approx 6.1 \times 10^{-7} \text{ radians}$。
• 凱克十米望遠鏡 (Keck 10m Telescope)：口徑 $D_2 = 10 \text{ m}$。
  理論繞射極限角分辨率 $\theta_2 \approx 1.22 \frac{5 \times 10^{-7} \text{ m}}{10 \text{ m}} \approx 6.1 \times 10^{-8} \text{ radians}$。

比較：
凱克望遠鏡的口徑是鹿林望遠鏡的 10 倍，因此在相同波長下，凱克望遠鏡的理論繞射極限角分辨率大約是鹿林望遠鏡的 $\frac{1}{10}$。這意味著凱克望遠鏡能夠分辨更精細的天體細節，其分辨能力更強。

注意：這裡討論的是理論繞射極限。在地面上，大氣閃爍效應通常會限制實際的角分辨率，使得地面望遠鏡的實際分辨率遠差於其繞射極限，尤其是在可見光波段。然而，問題要求比較的是「角分辨率」，通常指繞射極限。

【答案】在相同可見光波長下，凱克十米望遠鏡的口徑是鹿林一米望遠鏡的 10 倍，因此其理論繞射極限角分辨率是鹿林望遠鏡的十分之一，分辨能力更強。

(B) 電波望遠鏡口徑計算
我們要讓一台電波望遠鏡觀測 21 cm 氫譜線（$\lambda_{radio} = 21 \text{ cm} = 0.21 \text{ m}$）的角分辨率，達到與一台 1 米紅外望遠鏡觀測 2.1 µm 譜線（$\lambda_{IR} = 2.1 \text{ µm} = 2.1 \times 10^{-6} \text{ m}$）相同的分辨率。
設電波望遠鏡的口徑為 $D_{radio}$，紅外望遠鏡的口徑 $D_{IR} = 1 \text{ m}$。
根據繞射極限公式 $\theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{D}$，我們希望：
$\theta_{radio} = \theta_{IR}$
$1.22 \frac{\lambda_{radio}}{D_{radio}} = 1.22 \frac{\lambda_{IR}}{D_{IR}}$
$\frac{\lambda_{radio}}{D_{radio}} = \frac{\lambda_{IR}}{D_{IR}}$

代入數值：
$\frac{0.21 \text{ m}}{D_{radio}} = \frac{2.1 \times 10^{-6} \text{ m}}{1 \text{ m}}$