109 年 國立成功大學民航研究所《工程數學》

核心觀念

本題考查一階微分方程的：

1. 微分形式表示法。
2. 可分離變數法。
3. 恰當微分方程的判定。
4. 積分因子的尋找與使用。

一階微分方程若可寫成

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,$$

則稱為恰當微分方程的條件為

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.$$

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(a) 改寫成微分形式

原方程為

$$2xy'+y=0.$$

由

$$y'=\frac{dy}{dx},$$

代入得

$$2x\frac{dy}{dx}+y=0.$$

兩邊乘上 $dx$：

$$2x\,dy+y\,dx=0.$$

整理微分項順序後：

$$\boxed{y\,dx+2x\,dy=0}.$$

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(b) 使用可分離變數法求解

原方程可先寫成

$$2x\frac{dy}{dx}=-y.$$

在 $x\neq 0$ 時，分離 $x$ 與 $y$：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{2x},$$

因此

$$\frac{dy}{y}=-\frac{1}{2}\frac{dx}{x}.$$

兩邊積分：

$$\int\frac{1}{y}\,dy = -\frac12\int\frac{1}{x}\,dx.$$

得到

$$\ln|y| = -\frac12\ln|x|+C.$$

將常數重新整理：

$$\ln|y| = \ln\left(|x|^{-1/2}\right)+C.$$

所以

$$|y|=C|x|^{-1/2},$$

將任意常數吸收入 $C$ 中，可寫成

$$\boxed{y=\frac{C}{\sqrt{|x|}}},\qquad x\neq 0.$$

等價的隱式解為

$$\boxed{xy^2=C}.$$

其中 $C=0$ 包含特殊解 $y=0$。

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(c) 判斷是否為恰當微分方程

由 (a) 式：

$$y\,dx+2x\,dy=0.$$

比較標準形式

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,$$

可得

$$M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=2x.$$

計算偏微分：

$$\frac{\partial M}{\partial y}=1,$$

以及

$$\frac{\partial N}{\partial x}=2.$$

因為

$$\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x},$$

所以本微分方程

$$\boxed{\text{不是恰當微分方程}}.$$

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(d) 尋找積分因子並求解

由於

$$M=y,\qquad N=2x,$$

且方程不恰當，可以尋找只與 $y$ 有關的積分因子 $\mu(y)$。

若 $\mu=\mu(y)$，則可使用公式

核心觀念

本題考查二階常係數線性微分方程：

$$y''+ay'+by=g(x)$$

其完整解由兩部分組成：

$$y=y_h+y_p$$

其中：

• $y_h$：齊次解，解方程 $y''-6y'+9y=0$。
• $y_p$：非齊次特解，處理右側外力項 $e^{3x}$。
• 最後利用初始條件 $y(0)=1$、$y'(0)=1$ 求出任意常數。

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解題方法

a. 齊次解

先求齊次方程：

$$y''-6y'+9y=0$$

設解為 $y=e^{rx}$，代入可得特徵方程：

$$r^2-6r+9=0$$

因式分解：

$$(r-3)^2=0$$

因此 $r=3$ 是二重根。當特徵根為重根 $r$ 時，齊次解為：

$$y_h=(C_1+C_2x)e^{rx}$$

所以本題的齊次解為：

$$\boxed{y_h=(C_1+C_2x)e^{3x}}$$

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b. 非齊次解

原方程為：

$$y''-6y'+9y=e^{3x}$$

由於 $e^{3x}$ 已經對應到特徵根 $r=3$，且 $r=3$ 是二重根，因此直接猜測 $Ae^{3x}$ 或 $Axe^{3x}$ 都會與齊次解重複，必須乘上 $x^2$。

可設：

$$y_p=Ax^2e^{3x}$$

也可使用代換法。令：

$$y=e^{3x}u(x)$$

則

$$y'=e^{3x}(u'+3u)$$ $$y''=e^{3x}(u''+6u'+9u)$$

代入左側：

\begin{align*}
y''-6y'+9y
&=e^{3x}(u''+6u'+9u)-6e^{3x}(u'+3u)+9e^{3x}u\
&=e^{3x}u''
\end{align*}

因此原方程化為：

$$e^{3x}u''=e^{3x}$$

消去 $e^{3x}$：

$$u''=1$$

積分兩次：

$$u'=x+C$$ $$u=\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2$$

其中 $C_1x+C_2$ 所產生的部分已包含在齊次解中，因此可取特解：

$$u_p=\frac{x^2}{2}$$

故非齊次特解為：

$$\boxed{y_p=\frac{x^2}{2}e^{3x}}$$

所以通解為：

$$\boxed{y=e^{3x}\left(C_1+C_2x+\frac{x^2}{2}\right)}$$

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先假設 Frobenius 形式

$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+r},\qquad a_0\neq0$

求導

$$y'=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (n+r)x^{n+r-1},\qquad y''=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}$$

代入方程式

$x^{2}y''+(x^{2}+x)y'-y=0$

得到

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n\big[(n+r)^2-1\big]x^{n+r} +\sum_{n=0}^{\infty}a_n (n+r)x^{n+r+1}=0 .$$

把第二項改變指標 $k=n+1$ 為

$\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}(k-1+r)x^{k+r}.$

最低階次 $x^{r}$ 的係數給出特徵方程

$a_0\big(r^{2}-1\big)=0\quad\Longrightarrow\quad r=1\;\text{或}\;r=-1 .$

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1. $r=1$

遞迴式

核心觀念

本題要求利用拉普拉斯反變換求 $Y(s)$ 對應的時間函數 $y(t)$。關鍵公式為部分分式分解，以及

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}=t$$

並將二次式配方為

$$s^2+0.739s+0.921 = (s+0.3695)^2+0.78446975.$$

令

$$\omega=\sqrt{0.78446975}\approx 0.885703.$$

使用下列反變換公式：

$$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} \right\} =e^{-at}\cos(\omega t),$$ $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \right\} =e^{-at}\sin(\omega t).$$

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解題方法

原式為

$$Y(s)=\frac{1.151s+0.1774} {s^4+0.739s^3+0.921s^2}.$$

先將分母因式分解：

$$s^4+0.739s^3+0.921s^2 =s^2(s^2+0.739s+0.921).$$

因此設

$$Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2} +\frac{Cs+D}{s^2+0.739s+0.921}.$$

兩邊同乘以 $s^2(s^2+0.739s+0.921)$，得

$$1.151s+0.1774 = As(s^2+0.739s+0.921) +B(s^2+0.739s+0.921) +(Cs+D)s^2.$$

比較各次方係數：

$$\begin{cases} A+C=0,\\ 0.739A+B+D=0,\\ 0.921A+0.739B=1.151,\\ 0.921B=0.1774. \end{cases}$$

由常數項得

$$B=\frac{0.1774}{0.921}\approx 0.192617.$$

再由一次項係數：

$$A=\frac{1.151-0.739B}{0.921} \approx 1.095175.$$

因此

$$C=-A\approx -1.095175,$$

以及

核心觀念

本題是帶有非齊次項的熱傳導型偏微分方程，適合使用：

1. 穩態解與暫態解分離
2. 分離變數法
3. 傅立葉餘弦級數
4. 混合邊界條件的特徵值問題

須特別注意：題目給定的方程式為

$$T_{xx}+T_t=-x,$$

因此可改寫為

$$T_t=-T_{xx}-x.$$

此式的時間項符號與標準熱方程相反，會導致暫態項含有 $e^{+\lambda^2t}$，形成正向時間的反向熱方程問題。

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第一步：求穩態解

令穩態解為 $T_s(x)$，其與時間無關，因此 $T_{s,t}=0$。代入原方程式：

$$T_s''(x)=-x.$$

積分兩次：

$$T_s'(x)=-\frac{x^2}{2}+C_1,$$ $$T_s(x)=-\frac{x^3}{6}+C_1x+C_2.$$

由邊界條件 $T_x(0,t)=0$，得到

$$T_s'(0)=C_1=0.$$

再利用 $T(1,t)=a$：

$$T_s(1)=a,$$

因此

$$-\frac16+C_2=a,$$ $$C_2=a+\frac16.$$

故穩態解為

$$\boxed{T_s(x)=a+\frac{1-x^3}{6}}.$$

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第二步：建立齊次方程

令

$$T(x,t)=T_s(x)+u(x,t).$$

由於 $T_s''=-x$，代入原方程式：

$$T_{xx}+T_t = T_s''+u_{xx}+u_t = -x+u_{xx}+u_t.$$

比較原方程式右側 $-x$，可得

$$u_{xx}+u_t=0.$$

因此 $u$ 滿足

$$u_t=-u_{xx}.$$

邊界條件變為

$$u_x(0,t)=0,$$

以及

$$u(1,t)=0.$$

初始條件為

$$u(x,0)=T(x,0)-T_s(x) =a-\left(a+\frac{1-x^3}{6}\right),$$

所以

$$u(x,0)=\frac{x^3-1}{6}.$$

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第三步：分離變數求特徵函數

設

$$u(x,t)=X(x)G(t).$$

代入 $u_t+u_{xx}=0$：

$$XG'+X''G=0.$$

除以 $XG$：

$$\frac{G'}{G}+\frac{X''}{X}=0.$$

令分離常數為 $\lambda^2$，得到

$$X''+\lambda^2X=0,$$ $$G'-\lambda^2G=0.$$

空間解為

$$X(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x).$$

由 $u_x(0,t)=0$，即 $X'(0)=0$：

$$X'(x)=-A\lambda\sin(\lambda x)+B\lambda\cos(\lambda x),$$ $$X'(0)=B\lambda=0.$$

因此 $B=0$，故

$$X(x)=A\cos(\lambda x).$$

再由 $u(1,t)=0$，即 $X(1)=0$：

$$\cos\lambda=0.$$

所以特徵值為

$$\lambda_n=\left(n+\frac12\right)\pi, \qquad n=0,1,2,\ldots$$

相對應的特徵函數為

$$X_n(x)=\cos\left[\left(n+\frac12\right)\pi x\right].$$

時間部分滿足

$$G'-\lambda_n^2G=0,$$

故

$$G_n(t)=e^{\lambda_n^2t}.$$

因此形式上的解為

$F_c(k)=\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(kx)\,dx\qquad(k\in\mathbb N\cup\{0\})$

a)

$$\begin{aligned} F_c(k)&=\int_{0}^{0.5}2\cos(kx)\,dx+\int_{0.5}^{\pi}(-1)\cos(kx)\,dx\\ &=\frac{2}{k}\bigl[\sin(kx)\bigr]_{0}^{0.5}-\frac{1}{k}\bigl[\sin(kx)\bigr]_{0.5}^{\pi}\\ &=\frac{2}{k}\sin\frac{k}{2}-\frac{1}{k}\bigl(0-\sin\frac{k}{2}\bigr)\\ &=\frac{3}{k}\sin\frac{k}{2},\qquad k\ge1. \end{aligned}$$

Special case $k=0$:

$F_c(0)=\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx=2\cdot0.5-1\cdot(\pi-0.5)=\tfrac32-\pi .$