112 年 國立中正大學地球與環境科學系地震研究所《微積分》

本題考驗極限的計算，尤其是處理根號形式的極限。

本題考驗多元函數的連鎖法則 (Chain Rule)。

我們需要計算 $z$ 對 $u$ 和 $v$ 的偏導數。根據連鎖法則，
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$
$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

首先，計算各項偏導數：
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$
$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$

$x = \sin u + \cos v \implies \frac{\partial x}{\partial u} = \cos u, \frac{\partial x}{\partial v} = -\sin v$
$y = \sin u - \cos v \implies \frac{\partial y}{\partial u} = \cos u, \frac{\partial y}{\partial v} = \sin v$

將上述結果代入連鎖法則公式：

本題考驗定積分的計算，其中包含對數函數的對數，可能需要用到分部積分法。

首先觀察被積函數 $x \ln(\ln x)$。當 $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$, $\ln(\ln x)$ 趨近於 $\ln(-\infty)$，這是不存在的。
然而，題目給定的積分範圍是 $[0, 1]$。當 $x=0$ 時，$\ln x$ 無定義。當 $x \to 0^+$ 時，$\ln x \to -\infty$。
這裡的 $\ln(\ln x)$ 使得積分在 $x=0$ 附近有問題。

我們檢查一下 OCR 掃描是否有誤。題目是否應為 $\int_1^e$ 或其他範圍？
假設題目是正確的，我們嘗試處理 $x \to 0^+$ 的情況。
當 $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$. 這裡 $\ln(\ln x)$ 的定義域是 $\ln x > 0$, 即 $x > 1$.
因此，積分 $\int_0^1 x \ln(\ln x) dx$ 在 $x \in (0,1)$ 上是無意義的，因為 $\ln x < 0$。
如果題目是 $\int_1^e x \ln(\ln x) dx$，則 $\ln x$ 在 $[1, e]$ 上是 $[0, 1]$，$\ln(\ln x)$ 在 $[1, e]$ 上是 $(-\infty, 0]$。
即使如此，在 $x=1$ 時 $\ln(\ln 1) = \ln(0)$ 也是無定義的。

假設題目確實是 $\int_0^1 x \ln(\ln x) dx$，且為瑕積分 (improper integral)。
當 $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$. $\ln(\ln x)$ 則為複數。
如果我們假設題目有誤，例如積分範圍是 $[e, e^2]$：
$\int_e^{e^2} x \ln(\ln x) dx$
令 $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x} dx$. 當 $x=e, u=1$; 當 $x=e^2, u=2$.
$\int_1^2 (e^u) u \frac{du}{e^u} = \int_1^2 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_1^2 = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
但這只是猜測。

回到原題目 $\int_0^1 x \ln(\ln x) dx$。
在 $x \in (0, 1)$ 時, $\ln x < 0$. 因此 $\ln(\ln x)$ 是對負數取對數，在實數域上無定義。
因此，此積分在實數域上無意義。

如果題目是 $\int_0^1 x \ln|\ln x| dx$，則在 $x \to 0^+$ 時，$\ln x \to -\infty$，

核心觀念

本題考查二重積分的積分區域判讀，以及依照指定順序 $dx\,dy$ 設定積分上下限。

區域 $R$ 由

• $y=0$
• $y=1$
• $x=y^2$
• $x=1$

所圍成。對固定的 $y$ 而言，$x$ 從拋物線 $x=y^2$ 到直線 $x=1$，因此

解題方法

依題目給定的積分順序 $dx\,dy$，將二重積分寫成疊代積分：

先對 $x$ 積分：

第一項為

處理第二項時，利用

將 $y^2e^{y^2}$ 寫成

因此由分部積分，

代回原式：

本題考驗極座標下區域面積的計算。我們需要找出兩個曲線的交點，並確定積分範圍。

曲線 $r = 1 + \sin\theta$ 是一個心臟線 (cardioid)，而 $r = 3\sin\theta$ 是一個圓。
首先，找出兩曲線的交點：
$1 + \sin\theta = 3\sin\theta$
$1 = 2\sin\theta$
$\sin\theta = \frac{1}{2}$
在 $0 \le \theta < 2\pi$ 的範圍內，$\theta = \frac{\pi}{6}$ 和 $\theta = \frac{5\pi}{6}$。

圓 $r = 3\sin\theta$ 的圖形是以 $(0, 1.5)$ 為圓心，半徑為 $1.5$ 的圓，它通過原點。
心臟線 $r = 1 + \sin\theta$ 在 $\theta = \frac{3\pi}{2}$ 時 $r=0$，在 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 時 $r=2$。

我們需要計算的是，在 $r = 3\sin\theta$ 的「內側」與 $r = 1 + \sin\theta$ 的「外側」所圍成的區域面積。
這表示我們考慮的區域是在圓 $r=3\sin\theta$ 內部，但同時在心臟線 $r=1+\sin\theta$ 外部。

觀察兩個圖形：
圓 $r = 3\sin\theta$ 在 $\theta = 0$ 到 $\theta = \pi$ 的範圍內 $r \ge 0$。當 $\theta$ 超過 $\pi$ 時，$r$ 會變成負值，這在極座標面積計算中需要小心處理。通常我們考慮 $r \ge 0$ 的區域。
$r = 3\sin\theta$ 在 $0 \le \theta \le \pi$ 的範圍內畫出一個完整的圓。
$r = 1 + \sin\theta$ 在 $0 \le \theta < 2\pi$ 的範圍內畫出一個完整的心臟線。

交點 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 和 $\theta = \frac{5\pi}{6}$ 是兩個曲線相交的點。
在這兩個角度之間，我們需要比較 $r$ 的大小。
例如，當 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 時：
$r = 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1+1 = 2$
$r = 3\sin(\frac{\pi}{2}) = 3(1) = 3$
此時，圓的半徑 ($3$) 大於心臟線的半徑 ($2$)。這表示在 $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ 的範圍內，圓 $r=3\sin\theta$ 在外側。

因此，所求的面積是從 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 到 $\theta = \frac{5\pi}{6}$，由圓 $r=3\sin\theta$ 的面積減去心臟線 $r=1+\sin\theta$ 的面積。
面積公式為 $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$。

$A = \frac{1}{2} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (3\sin\theta)^2 d\theta - \frac{1}{2} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (1+\sin\theta)^2 d\theta$

核心觀念

本題考查數值積分法：

• 梯形法以每個小區間端點的函數值形成梯形近似面積。
• 辛普森法以二次多項式近似函數，通常可得到比梯形法更高的準確度。
• 積分區間為 $[1,2]$，分成 $5$ 等份，因此步長為

令

各分點與函數值如下：

解題方法一：梯形法

複合梯形法公式為

代入 $n=5$、$h=0.2$：

因此，梯形法所得近似值為

解題方法二：辛普森法

標準複合辛普森 $1/3$ 法要求分割數為偶數，但本題分成 $5$ 等份，因此不能直接對全部 $5$ 個小區間套用辛普森 $1/3$ 法。

本題採用混合辛普森法：

• 前 $3$ 個小區間使用辛普森 $3/8$ 法；
• 後 $2$ 個小區間使用辛普森 $1/3$ 法。

這樣正好使用全部 $5$ 等份。

辛普森 $3/8$ 法：

對區間 $[1,1.6]$：

辛普森 $1/3$ 法：