108 年 國立臺灣大學流行病學研究所甲：流行病組《生物醫學統計學》

本題主要在釐清標準差、標準誤與變異係數這三個描述資料離散程度的重要統計量。

核心觀念：

1. 標準差 (Standard Deviation, SD)：衡量資料點相對於其平均值的離散程度。樣本標準差的公式為 $s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$。
2. 標準誤 (Standard Error, SE)：衡量樣本統計量（如樣本平均值）的抽樣變異程度。樣本平均值的標準誤為 $SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$。它反映了我們從母體中抽取不同樣本時，樣本平均值會變動的程度。
3. 變異係數 (Coefficient of Variation, CV)：為標準差除以平均值，再乘以100% (或僅表示為比值)，即 $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$。它是一個無單位的值，用於比較不同組別（具有不同平均值和單位）資料的相對離散程度。

逐一分析選項：
(A) 標準誤越大，表示樣本平均值越不穩定，也就是說，如果我們重複抽樣，得到的樣本平均值差異會比較大。這確實反映了資料（或更精確地說，樣本平均值）的變異程度，但標準誤衡量的是「樣本平均值」的變異，而非「原始資料點」的散佈。然而，在比較不同樣本大小的研究時，標準誤的大小與樣本平均值代表母體平均值的可靠性直接相關。如果標準誤大，表示樣本平均值代表母體平均值的信心較低，從這個角度看，可以說資料的變異程度（透過樣本平均值來體現）較大。但更精確地說，它是樣本統計量的變異。

(B) 變異係數 $CV = \frac{s}{\bar{x}}$。如果變異係數越大，表示標準差相對於平均值越大。這表示資料的離散程度相對於其平均值而言是較大的。

核心觀念

本題考查假說檢定中的四個重要概念：

1. 顯著水準（significance level）
   顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假說 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的機率：

   $\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})$

2. 檢力（power）
   當對立假說 $H_1$ 為真時，正確拒絕 $H_0$ 的機率：

   $\text{Power}=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_1\text{ 為真})$

   檢力與第二類錯誤機率 $\beta$ 的關係為：

   $\text{Power}=1-\beta$

3. 樣本數對檢定的影響
   在其他條件固定下，樣本數增加通常會降低標準誤、提高檢定統計量辨識實際差異的能力，使檢力增加；但樣本數不會自動改變預先設定的顯著水準 $\alpha$。

4. 不偏檢定（unbiased test）
   不偏檢定的要求是：在對立假說為真時，拒絕 $H_0$ 的機率至少不低於顯著水準：

   $P(\text{拒絕 }H_0\mid H_1\text{ 為真})\geq \alpha$

   這並不表示某兩個機率必須相等。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合顯著水準、檢力與不偏檢定的定義。

判斷時要特別區分：

• $\alpha$ 是在 $H_0$ 為真時的拒絕機率；
• 檢力是當 $H_1$ 為真時的拒絕機率；
• 檢力的最大值是 $1$，不可能趨近無限大；
• 樣本數增加會影響檢定的辨識能力，但不會直接改變 $\alpha$。

選項分析

(A) 樣本數增加,顯著水準亦增加。

錯誤。

顯著水準 $\alpha$ 是研究者在檢定前所設定的第一類錯誤容許機率，例如 $0.05$ 或 $0.01$。樣本數增加並不會使 $\alpha$ 自動增加。

樣本數增加主要影響標準誤與檢力。若顯著水準原本設定為 $0.05$，即使樣本數由 $100$ 增加至 $1{,}000$，顯著水準仍是 $0.05$。

(B) 樣本數趨近無限大,拒絕虛無假說的機率趨近1。

錯誤。

這個敘述缺少「對立假說為真」的條件。

若 $H_0$ 為真，則在檢定維持顯著水準 $\alpha$ 的情況下：

$P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})=\alpha$

核心觀念

1. 母體平均數 $\mu$ 之雙尾信賴區間（Two-sided Confidence Interval）公式：
   在常態分佈假設下（或由中央極限定理），當母體標準差 $\sigma$ 已知或由樣本標準差 $s$ 估計時，$(1-\alpha)$ 雙尾信賴區間為： $$\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{或} \quad \bar{X} \pm t_{1-\alpha/2, \, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中：
   • 誤差邊際（Margin of Error, $ME$）：$ME = z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
   • 雙尾信賴區間寬度（Width, $W$）： $$W = 2 \times ME = 2 \times z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
2. 區間寬度的決定因素：
   • 與臨界值（信賴水準 $1-\alpha$）成正比：信賴水準越高，臨界值越大，區間越寬。
   • 與標準誤（Standard Error, $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$）成正比。
   • 與樣本數的平方根（$\sqrt{n}$）成反比：$n$ 增加時，區間寬度縮小。
3. 單尾信賴區間（One-sided Confidence Bound）：
   單尾信賴區間只具有單一界限（僅有上限或僅有下限），例如信賴下限為 $(\bar{X} - z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \infty)$，其「區間長度」或「寬度」為無限大（$\infty$），並不存在「寬度為雙尾之一半」的性質。

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解題方法

本題考查信賴區間的基本數學性質與定義，可直接利用區間寬度公式進行各選項之對照與邏輯判斷：

1. 寬度與樣本數的關係：
   由公式可知 $W = 2 z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$，明確呈現「寬度與 $\sqrt{n}$ 成反比」。
2. 極限性質檢視：
   當 $n \to \infty$ 時，$W \to 0$；但在有限樣本（如 $n > 30$）下，$W$ 依然大於 0 且依賴於資料的變異程度，不會趨近於 0。
3. 不同信心水準比較：
   $90\%$ 信賴區間對應之標準常態臨界值為 $z_{0.95} \approx 1.645$；

本題考查對三種重要離散機率分佈（伯努立、二項式、布阿松）的性質、參數及其特徵的理解。

核心觀念：

1. 伯努立分佈 (Bernoulli distribution)：描述單次獨立的二元試驗（成功/失敗）。參數為成功機率 $p$。
   • 期望值 $E(X) = p$
   • 變異數 $Var(X) = p(1-p)$
   • PMF: $P(X=1) = p$, $P(X=0) = 1-p$。
2. 二項式分佈 (Binomial distribution)：描述 $n$ 次獨立的伯努立試驗中成功的次數。參數為試驗次數 $n$ 和單次成功機率 $p$。記為 $B(n, p)$。
   • 期望值 $E(X) = np$
   • 變異數 $Var(X) = np(1-p)$
   • PMF: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, for $k = 0, 1, \dots, n$。
3. 布阿松分佈 (Poisson distribution)：描述在固定時間或空間間隔內，某事件發生的次數。參數為平均發生率 $\lambda$。記為 $Poisson(\lambda)$。
   • 期望值 $E(X) = \lambda$
   • 變異數 $Var(X) = \lambda$
   • PMF: $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$, for $k = 0, 1, 2, \dots$。

本題考查對無母數統計方法 (Non-parametric methods) 的理解，包括其適用條件、優勢以及計算方法。

核心觀念：
無母數方法 (Non-parametric methods)，又稱分佈自由方法 (distribution-free methods)，不假設母體資料服從特定的機率分佈（如常態分佈）。它們通常基於資料的排序 (ranks) 或符號 (signs) 進行推論。

逐一分析選項：
(A) 樣本數極小時(比如n<5),不可使用。
無母數方法通常對小樣本數比母數方法更具優勢，因為它們不依賴常態假設。許多無母數檢定（如 Wilcoxon rank-sum test, Sign test）在小樣本數下是適用的，甚至可以計算確切的 P 值。例如，Wilcoxon rank-sum test 可以用於 $n$ 很小的情況。此敘述錯誤。

(B) 樣本數大於30,不可使用。
無母數方法不僅適用於小樣本，也適用於大樣本。事實上，對於大樣本，許多無母數檢定的漸近理論 (asymptotic theory) 使得它們的計算變得可行，並且在某些情況下，它們的表現甚至優於依賴常態假設的母數方法，尤其是在母體分佈嚴重偏離常態時。此敘述錯誤。

核心觀念

本題要比較北部、中部、南部、東部四個彼此獨立地區居民的膽固醇「平均濃度」是否相同。

比較多個獨立群體平均數的標準方法是單因子變異數分析（ANOVA）。其假設為：

$$H_0:\mu_{\text{北}}=\mu_{\text{中}}=\mu_{\text{南}}=\mu_{\text{東}}$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

ANOVA 的基本思想是將總變異分解為「組間變異」與「組內變異」：

$$SS_{\text{total}}=SS_{\text{between}}+SS_{\text{within}}$$

再以均方比值形成 $F$ 統計量：

$$F=\frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}$$

若各組平均數確實不同，組間變異通常會相對於組內變異較大，使 $F$ 值變大。

本題共有四組，且每組抽樣 $30$ 人，樣本數相同。雖然膽固醇濃度呈右偏分佈，但在各組樣本數達到約 $30$ 且設計平衡時，ANOVA 對常態性偏離具有一定的穩健性；題目又明確詢問「平均濃度」是否不同，因此在所給選項中應選用 ANOVA。

解題方法

先依研究設計判斷：

1. 研究對象分為北、中、南、東四個獨立地區。
2. 依變項為連續型膽固醇濃度。
3. 研究問題是比較四組平均數。
4. 每組樣本數為 $30$，總樣本數為 $120$。

因此符合單因子 ANOVA 的典型使用情境。

ANOVA 的自由度為：

$$df_{\text{between}}=k-1=4-1=3$$ $$df_{\text{within}}=N-k=120-4=116$$

其檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}$$

其中 $k=4$ 為組數，$N=120$ 為總樣本數。

右偏分佈代表資料未完全符合常態假設，但不會因此直接改用任意一種非參數方法。若選項中有 Kruskal–Wallis test，且研究重點改為比較分布位置或順位，才會考慮該方法；本題沒有此選項。就現有選項而言，ANOVA 是正確答案。

選項分析

(A) Student t test：錯誤

Student $t$ 檢定主要用於比較兩個群體的平均數，例如：

本題考查對布阿松迴歸 (Poisson Regression) 的理解，包括其應變項、自變項、參數以及適用情境。

核心觀念：
布阿松迴歸是一種廣義線性模型 (Generalized Linear Model, GLM)，用於對應變項服從布阿松分佈的計數資料進行迴歸分析。
模型形式為：$E(Y) = \mu = e^{X\beta}$，其中 $Y$ 是應變項（計數值），$X$ 是自變項矩陣，$\beta$ 是迴歸係數向量。
連結函數 (link function) 通常是自然對數 (natural logarithm)，即 $\ln(E(Y)) = X\beta$。

逐一分析選項：
(A) 死亡率及發生率的迴歸分析,一般皆使用布阿松迴歸。
死亡率和發生率通常是「率」(rates)，它們可以表示為「事件數 / 時間」或「事件數 / 暴露人時」。
當我們對這些「率」進行迴歸分析時，如果我們將「事件數」作為應變項，而「時間」或「暴露量」作為自變項（或者作為 log(時間) 或 log(暴露量) 的補償項），則布阿松迴歸是適用的。
例如，研究某疾病的發生率如何隨年齡、性別等因素變化，可以將發生次數作為應變項，年齡、性別等作為自變項，並將 log(暴露時間) 作為補償項。
因此，這個說法是正確的。

(B) 應變項(dependent variable)為二元性變項(binary variable)。

核心觀念

變異數分析（ANOVA）的主要目的，是檢定「三個或以上群體的平均數是否相同」，而不是直接檢定各群體的變異數。

以單因子 ANOVA 為例，假設有 $k$ 組資料：

$$Y_{ij}=\mu_i+\varepsilon_{ij}, \qquad i=1,\ldots,k$$

其中：

• $\mu_i$：第 $i$ 組的母體平均數
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差

其假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

ANOVA 將總變異分解為：

$$SS_{\text{Total}}=SS_{\text{Between}}+SS_{\text{Within}}$$

再利用

$$F=\frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}}$$

判斷組間平均差異是否大於組內隨機變異所能解釋的程度。

單因子 ANOVA 也可寫成多元線性迴歸形式：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\cdots+\beta_{k-1}X_{i,k-1}+\varepsilon_i$$

其中 $X_{ij}$ 是代表群組的虛擬變數。因此，ANOVA 是一般線性模型與 multiple linear regression 的特殊應用。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合 ANOVA 的目的、適用組數、理論基礎、與 $t$ 檢定的關係，以及前提假設，即可判斷答案。

傳統單因子 ANOVA 的主要前提包括：

1. 各觀察值彼此獨立。

2. 每一組內的資料近似服從常態分配：

   $Y_{ij}\sim N(\mu_i,\sigma^2)$

3. 各組母體變異數相等，即變異數同質性：

   $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma_k^2$

選項分析

(A) 用來檢定不同群體的變異數是否有差異。

錯誤。

ANOVA 主要檢定的是不同群體的「平均數」是否相同：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$

題目中的「變異數分析」名稱容易造成誤解；它是分析資料變異的來源，並非主要用來檢定各群體變異數是否相等。

檢定多組變異數是否相等，常使用 Levene’s test 或 Bartlett’s test。

(B) 只能用在組數大於等於 3 的情況。

錯誤。

本題考查對 P 值 (p-value) 的正確理解，這是統計假設檢定中的核心概念。

核心觀念：
P 值是「在虛無假說 (H₀) 為真的前提下，觀察到當前樣本數據或比當前樣本數據更極端（更不支持 H₀）的數據的機率」。

逐一分析選項：
(A) 一個固定的數值,並沒有隨機性涉入其計算中。
P 值是根據樣本數據計算出來的。由於樣本數據本身是隨機抽樣得到的，因此 P 值本身也具有隨機性。不同的樣本會得出不同的 P 值。它不是一個固定的值。此敘述錯誤。

(B) 其可能的數值介於0和0.1之間。
P 值的定義是機率，其範圍是 [0, 1]。P 值可以大於 0.1，甚至接近 1。例如，當樣本數據非常支持 H₀ 時，P 值可能很高。此敘述錯誤。

(C) 一般來說,在虛無假設成立下會服從 Uniform(0,1)分配。
這是 P 值的關鍵性質之一。如果虛無假說 H₀ 確實為真，那麼 P 值在理論上應該是服從 [0, 1] 上的均勻分佈 (Uniform distribution)。這意味著，在反覆進行實驗時，P 值會隨機地分佈在 0 到 1 之間，任何一個區間的長度對應的 P 值出現機率都與該區間的長度成正比（例如，P 值落在 [0, 0.5] 的機率是 0.5）。此敘述正確。

核心觀念

本題考查線性迴歸中的：

• 判定係數 $R^2$ 與校正判定係數 adjusted $R^2$
• 解釋變數變異程度對迴歸係數估計變異數的影響
• 解釋變數間相關性與多重共線性
• 迴歸係數的正確解釋

多元線性迴歸模型可寫為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\cdots+\beta_pX_p+\varepsilon$$

其中，迴歸係數 $\beta_j$ 的意義是：在其他解釋變數固定下，$X_j$ 增加一單位時，反應變數的「條件平均值」改變 $\beta_j$ 單位。

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解題方法

逐一檢查各選項是否符合迴歸分析的定義與公式。

判定係數為：

$$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$$

表示模型所解釋的總變異比例。加入新的解釋變數後，$SSE$ 不會增加，因此 $R^2$ 不會下降，但不一定嚴格增加。

校正判定係數為：

$$\bar R^2 =1-\frac{SSE/(n-p-1)}{SST/(n-1)}$$

其中 $n$ 為樣本數，$p$ 為解釋變數個數。它在衡量模型解釋變異的能力時，進一步考慮了解釋變數數量與自由度，因此通常稱為「校正後的變異解釋比例」。

對於多元迴歸中的迴歸係數估計量，其變異數可表示為：

$$\operatorname{Var}(\hat\beta_j) = \frac{\sigma^2}{S_{jj}(1-R_j^2)}$$

其中：

• $S_{jj}=\sum_{i=1}^n(X_{ij}-\bar X_j)^2$，反映第 $j$ 個解釋變數的變異程度；
• $R_j^2$ 是以其他解釋變數解釋 $X_j$ 的判定係數；
• $1/(1-R_j^2)$ 即與變異膨脹因子相關的部分。

因此，解釋變數本身變異越大，通常會使 $\hat\beta_j$ 的變異數降低；解釋變數彼此相關越高，則多重共線性越嚴重，迴歸係數變異數越大。

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選項分析

(A) 增加解釋變數，則判定係數 $R$-square 一定會增加。

錯誤。

增加解釋變數後，$R^2$ 只會「不下降」，但不一定增加。

若新增的解釋變數對反應變數沒有額外解釋力，殘差平方和 $SSE$ 可能維持不變，因此：

$$R^2_{\text{new}}=R^2_{\text{old}}$$

所以正確說法應是「增加解釋變數時，$R^2$ 不會下降」，而不是一定增加。

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(B) 校正的判定係數 adjusted $R$-square 的意義是變異解釋的比例。

正確。

adjusted $R^2$ 是考慮樣本數與解釋變數個數後，對模型變異解釋能力的校正指標，其公式為：

本題考查對羅吉斯迴歸 (Logistic Regression) 的理解，包括其應變項、解釋變數、模型估計方法、模型性質以及係數的解釋。

核心觀念：
羅吉斯迴歸是一種廣義線性模型 (GLM)，用於分析應變項為二元類別變數 (binary outcome) 的情況。
模型形式：$\ln\left(\frac{P(Y=1|X)}{1-P(Y=1|X)}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_k X_k$
其中 $\frac{P(Y=1|X)}{1-P(Y=1|X)}$ 是發生事件的優勢比 (odds)，$\ln(\text{odds})$ 是 log-odds。
估計方法通常是最大概似估計 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)。

逐一分析選項：
(A) 專門用來分析二元解釋變數的資料。
羅吉斯迴歸的應變項是二元類別變數。但是，解釋變數 (independent variables) 可以是連續變數、類別變數（經過適當編碼，如虛擬變數），或兩者的組合。它並非「專門用來分析二元解釋變數的資料」。此敘述錯誤。

(B) 使用最小平方法(least squares estimate)估計迴歸係數。
最小平方法 (OLS) 是線性迴歸估計迴歸係數的方法。
羅吉斯迴歸由於其應變項的二元性質和連結函數，其參數通常使用最大概似估計 (MLE) 來求解，而不是最小平方法。此敘述錯誤。

核心觀念

設事件發生時間為非負隨機變數 $T$，存活函數定義為

$$S(t)=P(T>t)$$

因此，$S(t)$ 表示「事件發生時間超過 $t$」的機率。

存活曲線具有以下性質：

1. $S(t)$ 隨時間增加而不增加，因此是單調遞減或持平。
2. 若以連續型模型表示，則

$$S'(t)=-h(t)S(t)\leq 0$$

其中 $h(t)$ 為 hazard function。
3. 非負隨機變數的期望值可由存活函數表示：

$$E(T)=\int_0^\infty S(t)\,dt$$

也就是存活曲線下方的總面積。
4. 事件發生時間的中位數，是使存活機率降至 $0.5$ 的時間點。

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解題方法

逐一檢查各選項是否符合存活函數的定義與性質。

本題的關鍵在於區分：

• 存活曲線的斜率「不大於」$0$；
• 存活曲線的斜率「一定小於」$0$。

存活曲線可能在某些時間區間保持水平，因此斜率可以等於 $0$，不能說一定小於 $0$。

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選項分析

(A) 存活曲線越高，代表事件越不容易發生。

正確。

在相同時間 $t$ 下，若某組的存活函數較高，表示

$$S(t)=P(T>t)$$

較大，也就是事件尚未發生的機率較高，因此截至時間 $t$ 發生事件的機率較低。

所以存活曲線越高，代表事件越不容易在該時間以前發生。

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(B) 存活曲線的斜率一定小於 0。

錯誤。

存活函數是單調不增加函數，因此斜率只能滿足

$$S'(t)\leq 0$$

而不是一定滿足 $S'(t)<0$。

在連續型模型中，

$$S'(t)=-h(t)S(t)$$

當某段時間的 hazard 為 $0$ 時，便有

$$S'(t)=0$$

此外，Kaplan–Meier 存活曲線是階梯狀曲線，在兩次事件發生時間之間通常保持水平，該區間的斜率就是 $0$。

因此，「一定小於 $0$」過於嚴格，正確說法應為「斜率不大於 $0$」。

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本題考查對假說檢定 (Hypothesis Testing) 中型一錯誤、型二錯誤、顯著水準、檢力以及樣本數之間關係的理解。

核心觀念：

• 型一錯誤 (Type I error)：當虛無假說 (H₀) 為真時，錯誤地拒絕 H₀。其機率用 $\alpha$ 表示，即顯著水準。
• 型二錯誤 (Type II error)：當對立假說 (H₁) 為真時，錯誤地未能拒絕 H₀。其機率用 $\beta$ 表示。
• 檢力 (Power)：在 H₁ 為真時，正確拒絕 H₀ 的機率，即 $1 - \beta$。
• 信賴區間 (Confidence Interval, CI)：與假設檢定密切相關。對於一個顯著水準 $\alpha$ 的雙尾檢定，對應的信賴區間是 $(1-\alpha) \times 100\%$ 的信賴區間。如果 H₀ 的參數值落在 CI 內，則不拒絕 H₀；如果落在 CI 外，則拒絕 H₀。
• 樣本數 (n)：影響檢定的檢力。

逐一分析選項：
(A) 可以用信賴區間執行。
這是正確的。對於一個雙尾檢定，如果虛無假說的參數值落在對應顯著水準的信賴區間之外，則我們拒絕虛無假說。反之，如果落在區間內，則不拒絕虛無假說。此敘述正確。

(B) 一般來說,型一誤差越大,則型二誤差會越小。
型一錯誤 ($\alpha$) 和型二錯誤 ($\beta$) 之間存在一種權衡關係。

本題為是非題，考查對多重比較 (Multiple Comparisons) 必要性的理解。

核心觀念：
多重比較是指在一次研究中，進行了多次統計檢定，而這些檢定之間可能存在關聯。當進行多次檢定時，即使所有虛無假說 (H₀) 都是真實的，我們仍然有較高的機率至少犯一次型一錯誤 (Type I error)。
例如，如果進行一次檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$，犯型一錯誤的機率是 5%。如果進行 $k$ 次獨立的檢定，並且每次都以 $\alpha$ 作為顯著水準，那麼至少犯一次型一錯誤的機率 (Family-wise error rate, FWER) 會增加。對於 $k$ 次獨立檢定，FWER $\approx 1 - (1-\alpha)^k$。

分析：
題目情境是「比較三種降血壓藥物的藥效是否相同」。
這通常意味著我們需要進行成對的比較：

1. 藥物 A vs. 藥物 B
2. 藥物 A vs. 藥物 C
3. 藥物 B vs. 藥物 C
   如果我們對這三對比較都分別進行統計檢定（例如，使用 t-test），並且都設定顯著水準為 $\alpha$，那麼我們就進行了多次檢定。
   如果我們只關心「三種藥物的藥效是否都相同」，可以先做一個 ANOVA 檢定。如果 ANOVA 顯著，才進一步做成對比較。
   無論是直接做成對比較，還是先做 ANOVA 再做成對比較，一旦進行了多於一次的成對比較，就進入了多重比較的範疇。
   如果我們僅僅是想知道「三種藥物中，至少有一種藥物的藥效與其他藥物不同」，那麼一個單因子 ANOVA 檢定就足夠了（其虛無假說為所有組別的平均值都相等）。

本題為是非題，考查對 ANOVA (F-test) 和獨立樣本 t-test 的理解，以及它們與變異數假設的關係。

核心觀念：

1. 獨立樣本 t-test：用於比較兩組獨立樣本的平均值。它有兩種形式：一種假設兩組母體變異數相等 (pooled variance t-test)，另一種不假設變異數相等 (Welch's t-test)。
2. 單因子 ANOVA (One-way ANOVA)：用於比較三個或更多組獨立樣本的平均值。其基本假設是各組母體變異數相等 (homogeneity of variances)。當組數為兩組時，單因子 ANOVA 的結果與假設變異數相等的獨立樣本 t-test 是等價的。
3. 變異數假設：ANOVA 和標準的獨立樣本 t-test 都要求各組母體變異數相等。

分析：
題目說「檢定兩種降血壓藥物的藥效是否相同時，可以使用變異數分析的 F 檢定，也可以使用兩組獨立樣本的 t 檢定」。

• 當比較兩組時，ANOVA 和獨立樣本 t-test 的結果是等價的，所以這部分是正確的。

題目接著說「兩種進行變異數分析時，必須假設各組的母體變異數都相同」。

• 對於標準的獨立樣本 t-test（pooled variance t-test），它確實假設兩組母體變異數相同。
• 對於單因子 ANOVA，它也假設各組母體變異數相同。
• 因此，「兩種」檢定（指 ANOVA 的 F 檢定和獨立樣本 t-test）在進行時，確實有「必須假設各組母體變異數都相同」的要求（至少是標準版本）。

本題為是非題，考查對配對樣本 t-test (Paired t-test) 和獨立樣本 t-test (Independent samples t-test) 的區別。

核心觀念：

• 獨立樣本 t-test：用於比較兩組「獨立」的樣本的平均值。例如，比較男性和女性的平均身高，或兩組不同治療組的平均血壓。
• 配對樣本 t-test：用於比較來自同一組對象的兩組相關測量值，或者兩個配對樣本的差異。例如，比較同一組患者治療「前」和治療「後」的平均血壓。

本題為是非題，考查對變異數分析 (ANOVA) 前提假設的理解。

核心觀念：
單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的基本假設包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組樣本是獨立抽取的，且各樣本點也是獨立的。
2. 常態性 (Normality)：各組母體資料服從常態分佈。

本題為是非題，考查對卡方檢定 (Chi-squared test) 和二項式比例檢定 (test for proportions) 在比較兩組比例時的關係。

核心觀念：

1. 卡方檢定 (Chi-squared test)：常用於分析類別資料，特別是檢定兩個類別變項之間是否存在關聯（例如，性別與吸菸狀況）。對於 2x2 的列聯表，卡方檢定的結果（P 值）與 z-test for proportions 的平方是等價的。
2. 二項式比例檢定 (Test for proportions)：用於比較一個或兩個比例。當比較兩個獨立組的比例時，通常使用 z-test for proportions。
3. 兩者關係：對於 2x2 的列聯表，卡方檢定 (Chi-squared statistic) 的值等於基於比例差異的 z 檢定統計量 (z-statistic) 的平方。因此，它們的 P 值是相同的。

分析：
題目情境是「檢定不同性別是否有不同的吸菸率」。
這是一個典型的比較兩組（男性、女性）比例（吸菸者比例）的問題。

• 卡方檢定：可以將數據整理成一個 2x2 列聯表：
  | | 吸菸 | 不吸菸 | 總計 |

核心觀念

本題考查單一線性迴歸分析中的：

• 迴歸係數與標準誤所形成的 $t$ 統計量。
• 迴歸斜率的假設檢定。
• $t$ 分配的自由度。
• 單一線性迴歸中的樣本相關係數與 $R^2$ 關係。
• 迴歸模式的解讀。
• 線性迴歸的常態性與等變異假設。

令：

• $X$：住院天數；
• $Y$：保險給付，單位為千元。

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(1) 計算 $(a)$ 與 $(b)$

迴歸係數的 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\text{估計迴歸係數}}{\text{該係數的標準誤}}$$

(a) 截距的 $t$ 統計量

截距估計值為 $0.63$，標準誤為 $1.85$，因此：

$$t=\frac{0.63}{1.85}=0.3405$$

所以：

$$\boxed{(a)\approx 0.34}$$

此數值與表中的 $P$ 值 $0.741$ 相符，表示截距與 $0$ 沒有顯著差異。

(b) 住院天數的 $t$ 統計量

住院天數的迴歸係數為 $3.39$，標準誤為 $0.24$，因此：

$$t=\frac{3.39}{0.24}=14.125$$

所以：

$$\boxed{(b)\approx 14.13}$$

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(2) $(b)$ 的 $t$ 統計量之假設檢定

$(b)$ 檢定的是住院天數的迴歸斜率是否為 $0$。

令母體迴歸模式為：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

其中 $\beta_1$ 表示住院天數每增加一天，平均保險給付的變化量。

虛無假設為：

$$H_0:\beta_1=0$$

表示住院天數與平均保險給付之間沒有線性關係。

對立假設為：

$$H_1:\beta_1\neq 0$$

表示住院天數與平均保險給付之間具有線性關係。這是雙尾檢定。

檢定統計量為：

$$t=\frac{\hat{\beta}_1-0}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{3.39}{0.24} \approx 14.13$$

由於 $P<0.001$，在一般顯著水準下拒絕 $H_0$，表示住院天數對保險給付具有顯著的線性影響。

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(3) 計算 $P$ 值時的 $t$ 分配自由度

本題有 $n=10$ 位病人，使用單一線性迴歸模式：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

模式估計了兩個參數：

1. 截距 $\beta_0$；
2. 斜率 $\beta_1$。

因此殘差自由度為：

$$df=n-2=10-2=8$$

所以，計算迴歸係數 $t$ 統計量的 $P$ 值時，使用：

$$\boxed{t_8\text{ 分配}}$$

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(4) 求住院天數與保險給付的樣本相關係數

在只有一個自變項的單一線性迴歸中：

$$R^2=r_{XY}^2$$

題目給出：

$$R^2=0.9611$$

因此：

$$|r_{XY}|=\sqrt{0.9611}\approx 0.9804$$

由於迴歸斜率為正：

$$\hat{\beta}_1=3.39>0$$

所以住院天數與保險給付的樣本相關係數也為正：

$$r_{XY}=+\sqrt{0.9611}\approx 0.9804$$

因此：

$$\boxed{r_{XY}\approx 0.980}$$

表示兩者具有非常強的正線性相關。

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(5) $R^2$ 的意義與用途

本題：

$$R^2=0.9611$$

$R^2$ 稱為決定係數，表示保險給付總變異中，可以由住院天數的線性迴歸模式解釋的比例。

因此：

$$0.9611\times 100\%=96.11\%$$

解釋為：