108 年 國立成功大學工業設計學系碩士班甲組《設計方法》

本題主要在測試考生對於標準常態分配（Z 分配）及 t 分配臨界值的掌握程度，以及 Z 檢定的基本計算。

(a) 標準常態分配曲線左側面積

標準常態分配（Z 分配）是指平均數為 0，標準差為 1 的常態分配。題目要求計算 $z=1.12$ 左側的面積，這代表 $P(Z < 1.12)$。
我們可以查閱標準常態分配表（Table A）來找到對應的面積值。在 Table A 中，找到 $z=1.12$ 的列，其 C 欄（代表累積機率，即左側面積）的值為 0.8686。

【答案】0.8686

(b) 標準常態分配曲線區間面積

題目要求計算標準常態分配曲線在 $z = -0.25$ 到 $z = 1.88$ 之間的面積，即 $P(-0.25 < Z < 1.88)$。
此面積可由兩個累積機率相減得到：$P(Z < 1.88) - P(Z < -0.25)$。
同樣查閱 Table A：
$P(Z < 1.88)$: 找到 $z=1.88$ 的列，C 欄的值為 0.9699。
$P(Z < -0.25)$: 由於標準常態分配是對稱的，所以 $P(Z < -0.25) = P(Z > 0.25) = 1 - P(Z < 0.25)$。
查閱 Table A，$z=0.25$ 的 C 欄值為 0.5987。
因此，$P(Z < -0.25) = 1 - 0.5987 = 0.4013$。
或者，可以直接查閱 Table A 中 $z=-0.25$ 的值，Table A 的設計通常是針對 $z \ge 0$，但其結構（A, B, C 欄）可以推導。若 Table A 只提供 $z \ge 0$ 的值，則需利用對稱性：$P(Z < -0.25) = P(Z > 0.25) = 1 - P(Z < 0.25)$。
在 Table A 中，找到 $z=0.25$ 的 C 欄值為 0.5987。

本題考驗對敘述統計量（平均數、中位數、眾數、標準差）的計算，以及根據這些統計量判斷資料分布形態的能力。

原始數據： 5, 12, 5, 3, 24, 7, 5, 12, 5, 6, 8, 12
樣本數 $n=12$

(a) 計算眾數、中位數、平均數與標準差

• 眾數 (Mode): 出現頻率最高的數值。
  將數據由小到大排序：3, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 12, 12, 12, 24。
  數值 5 出現 4 次，數值 12 出現 3 次。因此，眾數是 5。

• 中位數 (Median): 排序後位於中間的數值。
  由於樣本數 $n=12$ 是偶數，中位數是排序後第 $n/2$ 和第 $(n/2)+1$ 個數值的平均。
  即第 6 個和第 7 個數值的平均。
  排序後：3, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 12, 12, 12, 24。
  中位數 = $(6 + 7) / 2 = 6.5$。

• 平均數 (Mean): 所有數值的總和除以樣本數。
  總和 = $5+12+5+3+24+7+5+12+5+6+8+12 = 104$。
  平均數 $\bar{x} = \frac{104}{12} \approx 8.67$。

• 標準差 (Standard Deviation): 衡量數據離散程度的指標。我們計算樣本標準差 $s$。
  首先計算樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$。
  計算離差平方和：
  $(3-8.67)^2 \approx (-5.67)^2 \approx 32.15$
  $(5-8.67)^2 \times 4 \approx (-3.67)^2 \times 4 \approx 13.47 \times 4 \approx 53.88$
  $(6-8.67)^2 \approx (-2.67)^2 \approx 7.13$
  $(7-8.67)^2 \approx (-1.67)^2 \approx 2.79$
  $(8-8.67)^2 \approx (-0.67)^2 \approx 0.45$
  $(12-8.67)^2 \times 3 \approx (3.33)^2 \times 3 \approx 11.09 \times 3 \approx 33.27$
  $(24-8.67)^2 \approx (15.33)^2 \approx 235.01$

核心觀念

本題評量單一常態母體平均數之假說檢定（One-Sample $Z$-Test for Population Mean），適用於母體標準差 $\sigma$ 已知且母體服從常態分佈之情境。核心觀念與公式如下：

1. 抽樣分佈（Sampling Distribution）與中央極限定理：
   若母體服從常態分佈 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則由樣本數 $n$ 所計算出之樣本平均數 $\bar{X}$ 亦精確服從常態分佈：

   $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

   其標準誤（Standard Error, $SE$）為：

   $$SE = \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

2. $Z$ 檢定統計量（Test Statistic）：
   在虛無假說 $H_0: \mu = \mu_0$ 成立的條件下，標準化檢定統計量為：

   $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$$

3. 標準假說檢定常規程序（Customary Procedure）：
   依序包含：(1) 設立虛無假說與對立假說、(2) 決定顯著水準 $\alpha$ 與臨界值（或拒絕域）、(3) 計算檢定統計量之樣本實現值、(4) 統計決策判定（是否落入拒絕域）、(5) 提出實務結論。

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解題方法

步驟 1：設立假說（Hypotheses）

題目並未特別限定「重量增加」或「重量減輕」之單向研究假設，標準常規程序應採用雙尾檢定（Two-Tailed Test）：

• 虛無假說（Null Hypothesis, $H_0$）：$\mu = 525\text{ g}$（穿戴式裝置母體平均重量等於 525 公克）
• 對立假說（Alternative Hypothesis, $H_1$）：$\mu \neq 525\text{ g}$（穿戴式裝置母體平均重量不等於 525 公克）

步驟 2：確認檢定統計量與分佈

• 已知母體服從常態分佈，且母體標準差 $\sigma = 30\text{ g}$ 已知。
• 樣本數 $n = 49$。
• 選用單母體平均數 $Z$ 檢定統計量： $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$ 在 $H_0$ 成立下，$Z$ 服從標準常態分佈 $N(0, 1)$。

步驟 3：設定顯著水準與拒絕域（Rejection Region）

• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
• 雙尾檢定之臨界值（Critical Value）為 $\pm Z_{\alpha/2} = \pm Z_{0.025} = \pm 1.96$。
• 拒絕域判定準則（Decision Rule）： $$\text{若 } |Z| > 1.96 \text{（即 } Z > 1.96 \text{ 或 } Z < -1.96\text{），則拒絕 } H_0$$

步驟 4：計算檢定統計量數值

將已知樣本數據帶入計算：

• 母體平均設定值 $\mu_0 = 525$
• 樣本平均數 $\bar{X} = 532$
• 母體標準差 $\sigma = 30$
• 樣本數 $n = 49$

計算標準誤：

$$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{30}{\sqrt{49}} = \frac{30}{7} \approx 4.2857\text{ g}$$

計算 $Z$ 統計量數值：

本題考驗單一樣本平均數的信賴區間計算。題目給定樣本平均數、樣本大小、母體標準差，以及所需的信賴水準，要求計算信賴區間。

1. 識別已知資訊

• 樣本平均數 $\bar{x} = 18$ 天
• 樣本大小 $n = 64$
• 母體標準差 $\sigma = 2$ 天 (題目中提到 "standard deviation of the population mean is 2 days"，此處應理解為母體標準差 $\sigma=2$)
• 信賴水準 = 95%

2. 選擇信賴區間公式
由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 Z 分配來計算信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\text{C.I.} = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. 找出臨界值 $Z_{\alpha/2}$
對於 95% 的信賴水準，顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
因此，$\alpha/2 = 0.025$。

本題考驗線性迴歸分析的相關概念，包括繪製散佈圖、計算相關係數、迴歸方程式，以及進行預測。

原始數據：

DRIVERS (X)	CARS (Y)
5	4
5	3
3	2
2	2
1	1
樣本數 $n=5$。

(a) 繪製散佈圖 (Scatterplot)

繪製散佈圖的步驟是將 (X, Y) 數據對描繪在二維座標平面上。X 軸代表駕駛人數，Y 軸代表汽車數量。

• 點 1: (5, 4)
• 點 2: (5, 3)
• 點 3: (3, 2)
• 點 4: (2, 2)
• 點 5: (1, 1)

在繪製散佈圖時，觀察點的分布趨勢。如果點大致沿著一條直線分布，則表示線性關係；如果呈現曲線趨勢，則表示非線性關係。如果點散亂無章，則表示無明顯關係。

觀察：
從這些點來看，當駕駛人數增加時，汽車數量也傾向於增加，但有幾個點 (5,4) 和 (5,3) 在 X=5 時 Y 值不同，顯示存在一些變異性。整體趨勢似乎是線性的，沒有明顯的彎曲（curvilinearity）。

【答案】繪製散佈圖（此處無法直接繪製，但描述其繪製方式與觀察結果）。

(b) 計算最小平方法迴歸方程式

目標是找到迴歸直線 $Y = b_0 + b_1 X$，其中 $b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$ 且 $b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$。
我們需要計算 $\bar{x}$, $\bar{y}$, $S_{xx}$, $S_{xy}$, $S_{yy}$ (或 $SS_y$)。

• 計算平均數：
  $\sum X = 5+5+3+2+1 = 16$
  $\bar{x} = \frac{16}{5} = 3.2$
  $\sum Y = 4+3+2+2+1 = 12$
  $\bar{y} = \frac{12}{5} = 2.4$

• 計算離差平方和與交叉離差積：

  X	Y	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i - \bar{x})^2$ ($S_{xx}$ 相關)	$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ ($S_{xy}$ 相關)	$(y_i - \bar{y})^2$ ($S_{yy}$ 相關)
  5	4	1.8	1.6	3.24	2.88	2.56

本題為配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)，用於比較兩組配對觀察值的平均數差異。在此實驗設計中，同一個家庭的兩名兒童被配對，分別給予維他命 C（處理組）和安慰劑（對照組），目的是檢定維他命 C 是否能減少生病天數。

1. 準備資料：計算差異值 (d)
由於是配對樣本，我們計算每一對兒童生病天數的差異。題目假設維他命 C 能「減少」生病天數，所以我們計算：
$d_i = X_1 - X_2$ (維他命 C 組天數 -Fake 維他命 C 組天數)。
如果維他命 C 有效，則 $d_i$ 的值應為負數，表示維他命 C 組生病天數較少。

PAIR NUMBER	VITAMIN C (X₁)	FAKE VITAMIN C (X₂)	$d_i = X_1 - X_2$
1	3	2	1
2	2	3	-1
3	3	5	-2
4	2	4	-2
5	4	8	-4
6	4	7	-3
7	5	9	-4
8	6	2	4
9	7	6	1
10	3	3	0

樣本數 $n=10$ (共 10 對兒童)。

2. 計算差異值的平均數 ($\bar{d}$) 和標準差 ($s_d$)

• 計算差異值總和 ($\sum d_i$)：
  $\sum d_i = 1 + (-1) + (-2) + (-2) + (-4) + (-3) + (-4) + 4 + 1 + 0 = -10$

• 計算差異值的平均數 ($\bar{d}$)：
  $\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{-10}{10} = -1$

• 計算差異值的標準差 ($s_d$)：
  首先計算差異值的平方和 ($\sum d_i^2$)：
  $\sum d_i^2 = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + (-4)^2 + 4^2 + 1^2 + 0^2$
  $= 1 + 1 + 4 + 4 + 16 + 9 + 16 + 16 + 1 + 0 = 68$