108 年 國立成功大學工業設計學系碩士班丙組《工程力學》

核心觀念

本題考查複合鉗具的靜力平衡與力矩平衡。連接 $A$、$C$ 的構件 $AC$ 為二力構件，因此其所受作用力必沿著 $AC$ 方向。由圖可得其方向比例為水平：垂直 $=2.8:1$，故

$$\sqrt{2.8^2+1^2}=\sqrt{8.84}$$

力 $A$ 的分量為

$$A_x=\frac{2.8}{\sqrt{8.84}}A,\qquad A_y=\frac{1}{\sqrt{8.84}}A$$

兩個鉗口對被夾物的作用力大小相等、方向相反，設每一側的夾持力為 $F$。

解題方法

先對下方鉗柄 $CD$ 取 $D$ 點力矩。下方施力點至 $D$ 的水平距離為

$$96+30=126\ \text{mm}$$

因此

$$\sum M_D=0$$ $$-(126)(300) -6\left(\frac{2.8}{\sqrt{8.84}}A\right) +30\left(\frac{1}{\sqrt{8.84}}A\right)=0$$

整理得

$$\frac{A}{\sqrt{8.84}}(30-6\times2.8)=126(300)$$

核心觀念

本題使用：

1. 相對加速度
   $a_{C/B}=a_C-a_B,\qquad a_{D/A}=a_D-a_A$
2. 不可伸長鋼索的長度約束。
3. 由靜止、等加速度運動公式：
   $v=v_0+at,\qquad \Delta y=v_0t+\frac12at^2$

取鉛直向下為正方向，令各物體加速度分別為 $a_A,a_B,a_C,a_D$。

鋼索約束

圖中通過 $A、B$ 兩個活動滑輪、末端連接 $C$ 的鋼索，其可變長度為

$2y_A+2y_B+y_C=\text{常數}$

微分兩次得

$$2a_A+2a_B+a_C=0 \tag{1}$$

支承 $D$ 活動滑輪的鋼索，一端連接於 $A$、另一端固定，因此

$2y_D-y_A=\text{常數}$

微分兩次得

$$2a_D-a_A=0 \tag{2}$$

固定滑輪只改變鋼索方向，不影響長度約束中的係數。

利用相對加速度條件

$C$ 相對於 $B$ 的加速度向上 $60\ \text{mm/s}^2$，向下為正，故

$$a_C-a_B=-60 \tag{3}$$

$D$ 相對於 $A$ 的加速度向下 $110\ \text{mm/s}^2$，故

$$a_D-a_A=110 \tag{4}$$

由式 $(2)$：

$a_A=2a_D$

代入式 $(4)$：

$a_D-2a_D=110$

$a_D=-110\ \text{mm/s}^2,\qquad a_A=-220\ \text{mm/s}^2$

負號表示 $A、D$ 實際上皆向上加速。

由式 $(3)$：

$a_C=a_B-60$

代入鋼索約束式 $(1)$：

核心觀念

本題是三根垂直鋼棒支承剛性構件，未知力有三個，但剛性構件的平衡方程只有兩個，因此需再配合「變形相容條件」。

由圖得各點位置：

• $A$：$x=0$
• $15\ \text{kN}$ 載重：距 $A$ 為 $0.2\ \text{m}$
• $C$：距 $A$ 為 $0.4\ \text{m}$
• $E$：距 $A$ 為 $0.8\ \text{m}$

三根棒長度皆為 $0.5\ \text{m}$，材料相同，故

$$\delta=\frac{NL}{AE}$$

其中 $N$ 為棒內力。

解題方法

令三根棒的拉力分別為 $N_{AB}$、$N_{CD}$、$N_{EF}$，方向皆為向上。

剛性構件可平移及轉動，但不會彎曲，因此各點的垂直位移呈線性分布。因為 $C$ 位於 $A$、$E$ 的中點：

$$\delta_C=\frac{\delta_A+\delta_E}{2}$$

又因為

$$A_{AB}=A_{EF}=25\ \text{mm}^2,\qquad A_{CD}=15\ \text{mm}^2$$

代入伸長公式：

$$\frac{N_{CD}L}{15E} = \frac{1}{2} \left( \frac{N_{AB}L}{25E} + \frac{N_{EF}L}{25E} \right)$$

消去共同的 $L$、$E$：

$$\frac{N_{CD}}{15} = \frac{N_{AB}+N_{EF}}{50}$$

因此

$$N_{CD}=0.3(N_{AB}+N_{EF})$$

對剛性構件列垂直力平衡：

核心觀念

A、B、C 三個支承的垂直反力共有三個，但整體平衡方程式只有兩個，因此本題為一次靜不定梁。利用：

1. 靜力平衡方程式；
2. B 點的變形相容條件；
3. 單位荷載法計算 B 點撓度。

依圖取 $AB=BC=4\,\text{m}$，均布載重 $24\,\text{kN/m}$ 作用於 $AB$，且 B 支承向下沉陷 $12\,\text{mm}$。

解題方法

取 B 點反力 $R_B$ 為冗餘力，先將梁視為 A、C 兩端簡支的 $8\,\text{m}$ 梁。

1. 梁的剛度

$$E=200\,\text{GPa}=2.0\times10^8\,\text{kN/m}^2$$ $$I=80\times10^6\,\text{mm}^4 =8.0\times10^{-5}\,\text{m}^4$$

因此

$$EI=(2.0\times10^8)(8.0\times10^{-5}) =1.6\times10^4\,\text{kN}\cdot\text{m}^2$$

2. 均布載重造成的 B 點撓度

均布載重總合力為

$$W=24(4)=96\,\text{kN}$$

作用於距 A 點 $2\,\text{m}$ 處。簡支梁 A、C 的反力為

$$A_y^{(w)}=\frac{96(6)}{8}=72\,\text{kN}, \qquad C_y^{(w)}=\frac{96(2)}{8}=24\,\text{kN}$$

令 $x$ 自 A 點向右量，彎矩為

$$M_w(x)= \begin{cases} 72x-12x^2, & 0\le x\le4,\\[4pt] 192-24x, & 4\le x\le8. \end{cases}$$

在 B 點施加向下的單位力，所得單位荷載彎矩為

$$m(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0\le x\le4,\\[6pt] 4-\dfrac{x}{2}, & 4\le x\le8. \end{cases}$$

由單位荷載法，

$$\delta_{B,w} =\frac{1}{EI}\int_0^8M_wm\,dx$$