109 年 國立中山大學離岸風電碩士學位學程《工程力學》

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第 1 題25 分

一海上浮式構造的錨碇繫纜系統受力如圖1所示,其錨碇在水平之海床上,分別有A,B,C三個錨碇點,此三個錨碇點與座標原點之距離皆為15公尺,其目前的受力分別在A纜線上是60公噸、B纜線上是80公噸、C纜線上是50公噸,假設三個纜線本身重量忽略,受力後呈現直線狀態,且交會於D點(距海床面60公尺),請以卡氏座標向量方式(即ai^+bj^+ck^a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k},其中a,b,ca,b,c為常數,i^,j^,k^\hat{i},\hat{j},\hat{k}分別為卡氏座標x,y,z之單位方向向量)表示此三個力,並計算此三力之最後合力大小與方向。(25%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖1 包含 A, B, C 三個錨碇點，距離原點 (O) 皆為 r=15m。
錨碇點 A 位於 x-y 平面，與 x 軸夾角 45°。
錨碇點 B 位於 x-y 平面，與 y 軸夾角 30°。
錨碇點 C 位於 x-z 平面，與 x 軸夾角 45°。
力 FA=60F_A = 60 ton，方向沿著 OA。
力 FB=80F_B = 80 ton，方向沿著 OB。
力 FC=50F_C = 50 ton，方向沿著 OC。
點 D 位於 z 軸上，高度為 60m。

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這一題的完整詳解

此題考驗向量的分解與合成。首先需要將各個力的向量表示式求出，再將它們相加得到合力向量，最後計算合力的大小與方向。

核心觀念：

  1. 向量在三維空間中的分解：將一個向量分解為其在 x, y, z 方向上的分量。
  2. 向量的合成：將多個向量相加，得到合力向量。
  3. 向量的大小與方向：由向量的分量計算其大小，並利用反正切函數計算方向角。

解題步驟：

1. 建立座標系與定義向量方向：
題目中已給定卡氏座標系 (x, y, z) 及單位向量 i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}。
錨碇點 A, B, C 與原點 O 的距離皆為 r=15r=15 m。
點 D 在 z 軸上，高度為 60m，即 D 點座標為 (0,0,60)(0, 0, 60)。
由於纜線受力方向沿著從 O 到 A, O 到 B, O 到 C 的方向，我們可以利用這些方向向量來表示力的方向。

2. 分解各個力向量：

  • 力 FAF_A：
    作用在 A 點，大小為 60 ton，方向沿著 OA。
    A 點在 x-y 平面，與 x 軸夾角 45°。
    A 點的座標可表示為 (15cos⁡45∘,15sin⁡45∘,0)(15 \cos 45^\circ, 15 \sin 45^\circ, 0)。
    A 點的單位向量 u^A=OA⃗∣OA⃗∣=(15cos⁡45∘)i^+(15sin⁡45∘)j^+0k^15\hat{u}_A = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{(15 \cos 45^\circ)\hat{i} + (15 \sin 45^\circ)\hat{j} + 0\hat{k}}{15}
    u^A=cos⁡45∘i^+sin⁡45∘j^=22i^+22j^\hat{u}_A = \cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j} = \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{j}
    所以，力向量 F⃗A=∣F⃗A∣u^A=60(22i^+22j^)=302i^+302j^\vec{F}_A = |\vec{F}_A| \hat{u}_A = 60 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{j} \right) = 30\sqrt{2}\hat{i} + 30\sqrt{2}\hat{j} (ton)

  • 力 FBF_B：
    作用在 B 點，大小為 80 ton，方向沿著 OB。
    B 點在 x-y 平面，與 y 軸夾角 30°。這表示 B 點與 x 軸的夾角為 90∘−30∘=60∘90^\circ - 30^\circ = 60^\circ。
    B 點的座標可表示為 (15cos⁡60∘,15sin⁡60∘,0)(15 \cos 60^\circ, 15 \sin 60^\circ, 0)。
    B 點的單位向量 u^B=OB⃗∣OB⃗∣=(15cos⁡60∘)i^+(15sin⁡60∘)j^+0k^15\hat{u}_B = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{(15 \cos 60^\circ)\hat{i} + (15 \sin 60^\circ)\hat{j} + 0\hat{k}}{15}
    u^B=cos⁡60∘i^+sin⁡60∘j^=12i^+32j^\hat{u}_B = \cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}
    所以，力向量 F⃗B=∣F⃗B∣u^B=80(12i^+32j^)=40i^+403j^\vec{F}_B = |\vec{F}_B| \hat{u}_B = 80 \left( \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j} \right) = 40\hat{i} + 40\sqrt{3}\hat{j} (ton)

  • 力 FCF_C：
    作用在 C 點，大小為 50 ton，方向沿著 OC。
    C 點在 x-z 平面，與 x 軸夾角 45°。
    C 點的座標可表示為 (15cos⁡45∘,0,15sin⁡45∘)(15 \cos 45^\circ, 0, 15 \sin 45^\circ)。
    C 點的單位向量 u^C=OC⃗∣OC⃗∣=(15cos⁡45∘)i^+0j^+(15sin⁡45∘)k^15\hat{u}_C = \frac{\vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \frac{(15 \cos 45^\circ)\hat{i} + 0\hat{j} + (15 \sin 45^\circ)\hat{k}}{15}
    u^C=cos⁡45∘i^+sin⁡45∘k^=22i^+22k^\hat{u}_C = \cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{k} = \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{k}
    所以，力向量 F⃗C=∣F⃗C∣u^C=50(22i^+22k^)=252i^+252k^\vec{F}_C = |\vec{F}_C| \hat{u}_C = 50 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{k} \right) = 25\sqrt{2}\hat{i} + 25\sqrt{2}\hat{k} (ton)

3. 計算合力向量 F⃗total\vec{F}_{total}：
F⃗total=F⃗A+F⃗B+F⃗C\vec{F}_{total} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C

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第 2 題

呈上題,已知此處之錨碇採用重力式錨碇法,即是靠著其本身重量以及其重量與海床面產生之摩擦力作為錨碇力來源之錨碇法,已知利用100公斤重之錨碇塊進行海床摩擦力試驗如圖2所示,則A, B, C三處錨碇塊,在上題之受力狀況下,若此受力並不使其發生位移(處於即將移動的邊界),則A, B, C三個錨碇塊所需的水中最小重量分別為何?(20%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖2 為摩擦力(公斤重)與水平拉力(公斤重)的關係圖。
圖中顯示一條曲線，從原點 (0,0) 開始，先是上升，在水平拉力約 22 時，摩擦力約為 22。
之後，當水平拉力繼續增加到約 30 時，摩擦力達到最大值約 30。
在水平拉力超過 30 後，曲線進入 Motion 區域，摩擦力隨水平拉力增加而變化，但圖中僅顯示到約 30 的水平拉力。
圖中標示了 "No motion" 和 "Motion" 兩個區域。
在 "No motion" 區域，靜摩擦力會隨著外力增加而增加，最大值為 30。
在 "Motion" 區域，動摩擦力通常是恆定的，或是略小於最大靜摩擦力。
題目提到 100 公斤重的錨碇塊進行試驗，但是圖中橫軸是水平拉力(公斤重)，縱軸是摩擦力(公斤重)。
此處的 "公斤重" 應理解為力的單位，與 "公噸" 單位一致。

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原卷第 2 頁原卷第 3 頁

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這一題的完整詳解

此題考驗摩擦力的基本概念，特別是靜摩擦力的最大值以及動摩擦力。題目要求在「即將移動的邊界」情況下，計算錨碇塊所需的最小水中重量。

核心觀念：

  1. 靜摩擦力 (Static Friction)： 當物體處於靜止狀態時，所受到的摩擦力。其大小會隨著外力而變化，但有最大值。
  2. 最大靜摩擦力 (fs,maxf_{s,max})： 物體即將開始運動時的最大靜摩擦力，此時物體處於平衡的邊界狀態。fs,max=μsNf_{s,max} = \mu_s N，其中 μs\mu_s 是靜摩擦係數，NN 是正向力。
  3. 動摩擦力 (Kinetic Friction)： 當物體運動時，所受到的摩擦力。通常 fk=μkNf_k = \mu_k N，且 μk≤μs\mu_k \le \mu_s。
  4. 平衡條件： 當物體處於靜止或等速運動時，所受合力為零 (∑F=0\sum F = 0)。

解題步驟：

1. 分析圖2：
圖2 顯示了摩擦力與水平拉力的關係。
在 "No motion" 區域，表示物體尚未移動。此時的摩擦力是靜摩擦力，其大小等於外加的水平拉力，直到達到最大靜摩擦力。
從圖中可以看出，當水平拉力增加到約 30 公斤重時，物體即將開始移動 (進入 "Motion" 區域)。因此，最大靜摩擦力 fs,max=30f_{s,max} = 30 公斤重。
題目提到「100公斤重之錨碇塊進行海床摩擦力試驗」。這表示在該試驗中，錨碇塊的「水中重量」為 100 公斤重。
在水平面上，若沒有其他垂直方向的外力，則正向力 NN 等於錨碇塊的重量 WW (在水中)。
所以，對於這個 100 公斤重的錨碇塊，其正向力 N=100N = 100 公斤重。
由此可計算出靜摩擦係數 μs=fs,maxN=30 kgf100 kgf=0.3\mu_s = \frac{f_{s,max}}{N} = \frac{30 \text{ kgf}}{100 \text{ kgf}} = 0.3。
此摩擦係數 μs=0.3\mu_s = 0.3 是海床與錨碇塊之間的摩擦係數，適用於所有錨碇塊。

2. 分析題組一的受力狀況 (即題號 1 的結果)：
我們需要知道 A, B, C 三個錨碇點所受的「水平」拉力分量。
從題號 1 的計算結果，我們得到合力向量 F⃗total=(40+552)i^+(302+403)j^+(252)k^\vec{F}_{total} = (40 + 55\sqrt{2})\hat{i} + (30\sqrt{2} + 40\sqrt{3})\hat{j} + (25\sqrt{2})\hat{k} ton。
然而，題目問的是 A, B, C 三處「錨碇塊」的受力，這應該是指作用在 A, B, C 點的「纜線張力」在水平方向上的分量。
我們需要將題號 1 中計算的 F⃗A,F⃗B,F⃗C\vec{F}_A, \vec{F}_B, \vec{F}_C 向量，取出其在 x-y 平面上的投影（也就是水平分量）。

  • A 纜線的水平拉力分量：
    F⃗A=(302)i^+(302)j^\vec{F}_A = (30\sqrt{2})\hat{i} + (30\sqrt{2})\hat{j} ton
    水平拉力分量 ∣F⃗A,xy∣=(302)2+(302)2=1800+1800=3600=60|\vec{F}_{A,xy}| = \sqrt{(30\sqrt{2})^2 + (30\sqrt{2})^2} = \sqrt{1800 + 1800} = \sqrt{3600} = 60 ton。
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第 3 題20 分

如圖3所示,有一裝載著海上構造物構件之無動力平台由兩艘拖船共同拖拉在海上緩慢等速移動,已知A拖船提供20公噸的拉力,且與其前進方向(x軸方向)夾30度角:(1)若兩艘拖船之合力最終為30公噸,請問B拖船須提供多少拉力,與x軸方向夾角為何?(2)若B拖船提供30公噸的拉力,且與x軸夾45度角,請問最終合力會對此無動力平台造成甚麼影響(20%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖3 描繪一個平台被兩艘拖船 A 和 B 拖曳。
向量 F⃗A\vec{F}_A 代表 A 拖船的拉力，大小為 20 ton，與水平方向 (x 軸) 夾角 30°。
向量 F⃗B\vec{F}_B 代表 B 拖船的拉力，大小未知，角度未知。
向量 F⃗total\vec{F}_{total} 代表兩艘拖船的合力，大小為 30 ton，方向沿著 x 軸。

圖4 描繪一個單樁風機塔身。
Mean Sea Level (平均海平面) 標示在圖中。
塔身在海平面以上受到一個 150 ton 的力，以及一個 150 ton·m 的力矩。
塔身在海平面以下受到分布載重，在海平面處為 20 ton/m，在海床面處為 2 ton/m。
海床面 (seabed) 標示在圖中。
塔身 AB 段指的是海平面以上的部分。

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
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這一題的完整詳解

此題考驗向量的合成與分解，以及力的平衡條件。題目的情境是兩艘拖船共同拖曳一個平台，要求根據已知的力與角度，求解未知力的力大小與方向，並分析合力的影響。

核心觀念：

  1. 向量的分解與合成： 將力分解到 x 和 y 方向，然後將各分量相加得到合力。
  2. 平衡條件： 物體在緩慢等速移動，表示所受合力為零（或合力為已知值，如題意所述）。
  3. 向量運算： 利用三角函數計算向量分量，並利用向量加法求解未知量。

解題步驟：

假設：

  • 平台在水平方向 (x 軸) 上等速移動。
  • 拖船 A 的拉力 F⃗A\vec{F}_A 大小為 20 ton，與 x 軸夾角 30°。
  • 拖船 B 的拉力 F⃗B\vec{F}_B 大小為 FBF_B，與 x 軸夾角 θB\theta_B。
  • 兩艘拖船的合力 F⃗total\vec{F}_{total} 大小為 30 ton，方向沿著 x 軸。

1. 分解已知力 F⃗A\vec{F}_A：
F⃗A=FAcos⁡30∘i^+FAsin⁡30∘j^\vec{F}_A = F_A \cos 30^\circ \hat{i} + F_A \sin 30^\circ \hat{j}
F⃗A=20cos⁡30∘i^+20sin⁡30∘j^\vec{F}_A = 20 \cos 30^\circ \hat{i} + 20 \sin 30^\circ \hat{j}
F⃗A=20(32)i^+20(12)j^\vec{F}_A = 20 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \hat{i} + 20 \left(\frac{1}{2}\right) \hat{j}
F⃗A=103i^+10j^\vec{F}_A = 10\sqrt{3} \hat{i} + 10 \hat{j} (ton)

2. 分解未知力 F⃗B\vec{F}_B：
F⃗B=FBcos⁡θBi^+FBsin⁡θBj^\vec{F}_B = F_B \cos \theta_B \hat{i} + F_B \sin \theta_B \hat{j}

3. 定義合力向量 F⃗total\vec{F}_{total}：
由於合力沿著 x 軸，大小為 30 ton：
F⃗total=30i^+0j^\vec{F}_{total} = 30 \hat{i} + 0 \hat{j} (ton)

4. 建立合力方程式：
F⃗total=F⃗A+F⃗B\vec{F}_{total} = \vec{F}_A + \vec{F}_B
30i^+0j^=(103i^+10j^)+(FBcos⁡θBi^+FBsin⁡θBj^)30 \hat{i} + 0 \hat{j} = (10\sqrt{3} \hat{i} + 10 \hat{j}) + (F_B \cos \theta_B \hat{i} + F_B \sin \theta_B \hat{j})
30i^+0j^=(103+FBcos⁡θB)i^+(10+FBsin⁡θB)j^30 \hat{i} + 0 \hat{j} = (10\sqrt{3} + F_B \cos \theta_B) \hat{i} + (10 + F_B \sin \theta_B) \hat{j}

5. 分別比較 i 和 j 分量，得到兩個方程式：
(a) x 分量： 30=103+FBcos⁡θB30 = 10\sqrt{3} + F_B \cos \theta_B
(b) y 分量： 0=10+FBsin⁡θB0 = 10 + F_B \sin \theta_B

部分 (1)：求解 FBF_B 和 θB\theta_B
由方程式 (b)：
FBsin⁡θB=−10F_B \sin \theta_B = -10

由方程式 (a)：
FBcos⁡θB=30−103F_B \cos \theta_B = 30 - 10\sqrt{3}

為了求解 FBF_B 和 θB\theta_B，我們可以將兩個方程式平方後相加：
(FBsin⁡θB)2+(FBcos⁡θB)2=(−10)2+(30−103)2(F_B \sin \theta_B)^2 + (F_B \cos \theta_B)^2 = (-10)^2 + (30 - 10\sqrt{3})^2
FB2(sin⁡2θB+cos⁡2θB)=100+(302−2×30×103+(103)2)F_B^2 (\sin^2 \theta_B + \cos^2 \theta_B) = 100 + (30^2 - 2 \times 30 \times 10\sqrt{3} + (10\sqrt{3})^2)
FB2(1)=100+(900−6003+300)F_B^2 (1) = 100 + (900 - 600\sqrt{3} + 300)
FB2=100+1200−6003F_B^2 = 100 + 1200 - 600\sqrt{3}
FB2=1300−6003F_B^2 = 1300 - 600\sqrt{3}

計算近似值：3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732
FB2≈1300−600×1.732=1300−1039.2=260.8F_B^2 \approx 1300 - 600 \times 1.732 = 1300 - 1039.2 = 260.8
FB=260.8≈16.15F_B = \sqrt{260.8} \approx 16.15 ton

為了求解 θB\theta_B，我們可以將方程式 (b) 除以方程式 (a)：
FBsin⁡θBFBcos⁡θB=−1030−103\frac{F_B \sin \theta_B}{F_B \cos \theta_B} = \frac{-10}{30 - 10\sqrt{3}}
tan⁡θB=−1030−103=−13−3\tan \theta_B = \frac{-10}{30 - 10\sqrt{3}} = \frac{-1}{3 - \sqrt{3}}
tan⁡θB=−13−1.732=−11.268≈−0.7886\tan \theta_B = \frac{-1}{3 - 1.732} = \frac{-1}{1.268} \approx -0.7886

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第 4 題25 分

如圖4所示,一單樁風機塔身在平均海平面以上所受之力為150公噸,同時有150公噸·公尺的力矩,而在平均海面以下受到分布載重之力,此力在平均海平面處為20公噸/公尺,在海床面處為2公噸/公尺,假設此單樁塔身在海床面以下為固定的狀態,忽略其自重,請繪製塔身AB段的剪應力圖(shear diagram)與彎矩圖(bending moment diagram)(需繪製自由體圖,剪應力圖中至少應明確標示剪應力最大、最小值以及零值(若有零值存在)所在位置;彎矩圖至少應明確標示彎矩最大值以及該值之位置)(25%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖4 描繪一個單樁風機塔身。
Mean Sea Level (平均海平面) 標示在圖中。
塔身在海平面以上受到一個 150 ton 的力 (應為向下壓力)，以及一個 150 ton·m 的力矩 (應為順時針)。
塔身在海平面以下受到分布載重，在海平面處為 20 ton/m，在海床面處為 2 ton/m。
海床面 (seabed) 標示在圖中。
塔身 AB 段指的是海平面以上的部分。
請注意：題目中的 "剪應力圖" 應為 "剪力圖 (shear force diagram)"，"彎矩圖 (bending moment diagram)"。

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

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這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查懸臂構件的：

  • 分布載重合力與作用位置
  • 截面剪力與彎矩
  • 剪力圖與彎矩圖的繪製
  • 集中力、集中力矩與分布載重對固定端內力的影響

依原卷圖 4，ABAB 段為由海床面 AA 至平均海平面 BB 的 20 m 單樁塔身；海平面以上的 150150 公噸力為水平向右，150150 公噸・公尺力矩為順時針。

解題方法與自由體圖

令座標 xx 自固定端 AA 向上量測，且

0≤x≤20 m0\le x\le 20\ \text{m}

分布載重由 AA 處的 22 公噸／公尺線性增加至 BB 處的 2020 公噸／公尺，因此

w(x)=2+20−220x=2+0.9x(公噸／公尺)w(x)=2+\frac{20-2}{20}x =2+0.9x \quad(\text{公噸／公尺})

自由體圖可用文字表示如下：

  • BB 點有水平向右集中力 150150 公噸。
  • BB 點有順時針力矩 150150 公噸・公尺。
  • ABAB 上有向右三角形分布載重，AA 處為 22 公噸／公尺，BB 處為 2020 公噸／公尺。
  • AA 為固定端，產生水平反力與固定端反力矩。

分布載重合力為

W=2+202(20)=220 公噸W=\frac{2+20}{2}(20)=220\ \text{公噸}

其作用位置距離 AA 為

xˉ=∫020xw(x) dx220=2800220=12.727 m\bar{x} =\frac{\displaystyle\int_0^{20}xw(x)\,dx}{220} =\frac{2800}{220} =12.727\ \text{m}

因此合力作用位置距離 BB 為

20−12.727=7.273 m20-12.727=7.273\ \text{m}

固定端水平反力大小為

RA=150+220=370 公噸R_A=150+220=370\ \text{公噸}

固定端反力矩大小為

MA=150(20)+220(12.727)+150=5950 公噸・公尺M_A =150(20)+220(12.727)+150 =5950\ \text{公噸・公尺}

剪力圖

以下採用「本題外力造成的剪力取負」的符號約定。

在距離 AA 為 xx 的截面，截面以上的外力總和為

V(x)=−[150+∫x20(2+0.9s) ds]V(x) =-\left[ 150+\int_x^{20}(2+0.9s)\,ds \right]

計算得

V(x)=−[150+220−2x−0.45x2]V(x) =-\left[150+220-2x-0.45x^2\right]

所以剪力函數為

V(x)=−370+2x+0.45x2(公噸)\boxed{V(x)=-370+2x+0.45x^2} \quad(\text{公噸})

重要位置：

在固定端 AA：

V(0)=−370 公噸V(0)=-370\ \text{公噸}

在海平面 BB 左側：

V(20−)=−370+2(20)+0.45(20)2=−150 公噸V(20^-) =-370+2(20)+0.45(20)^2 =-150\ \text{公噸}

因此剪力圖由 AA 的 −370-370 公噸，以曲線形式逐漸上升至 BB 的 −150-150 公噸。

剪力為零時：

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第 5 題10 分

如圖5所示，請計算此幾何形狀之重心位置，並說明甚麼情況下形心與重心位置會有所不同。(10%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖5：底邊落在 x 軸上的組合圖形，由左至右為 x = −6 m 至 −4 m、高 2 m 的矩形；x = −4 m 至 0（y 軸）、高 6 m 的矩形；以及頂點為 (0, 0)、(0, 6 m)、(6 m, 0) 的直角三角形。

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁

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這一題的完整詳解

核心觀念

組合平面圖形的形心座標，可由各部分面積及其形心座標加權平均求得：

xˉ=∑Aixi∑Ai,yˉ=∑Aiyi∑Ai\bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}

本題將圖形分成兩個矩形與一個直角三角形。座標原點在三角形的直角頂點，xx 軸沿底邊，yy 軸沿三角形左側。

解題方法

各部分的面積與形心座標如下：

部分面積 AiA_i形心座標 (xi,yi)(x_i,y_i)
左側矩形：−6≤x≤−4-6\le x\le-4，0≤y≤20\le y\le22×2=42\times2=4(−5,1)(-5,1)
中間矩形：−4≤x≤0-4\le x\le0，0≤y≤60\le y\le64×6=244\times6=24(−2,3)(-2,3)
右側直角三角形，頂點為 (0,0),(0,6),(6,0)(0,0),(0,6),(6,0)12(6)(6)=18\frac12(6)(6)=18(2,2)(2,2)

直角三角形的形心，距離直角頂點沿兩股各為其長度的三分之一，因此座標為 (6/3,6/3)=(2,2)(6/3,6/3)=(2,2)。

總面積為

A=4+24+18=46A=4+24+18=46

代入形心公式：

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