113 年 國立中山大學電波聯合碩士班《電子學》

核心觀念

連續時間線性系統的轉移函數可寫成

$$T(s)=K\frac{\text{分子多項式}}{\text{分母多項式}}$$

其中：

• 自然模態即為系統的極點，因此題目給出的 $s=-1$ 與 $s=-0.5\pm j0.8$ 為分母的根。
• 實係數系統的複數零點必須成共軛對出現。
• 三階低通濾波器在 $\omega=2$ rad/s 有傳輸零點，表示零點位於
  $s=\pm j2$
• 題目指出在 $\infty$ 有傳輸零點，代表分母階數比分子階數高一階，符合三階分母、二階分子的形式。
• dc gain 為單位，即
  $T(0)=1$

解題方法

1. 建立分母

由極點 $s=-1$，得到因子

$$s+1$$

由共軛複數極點 $s=-0.5\pm j0.8$，得到二階因子

$$(s+0.5-j0.8)(s+0.5+j0.8)$$

利用平方差公式：

$$(s+0.5)^2+(0.8)^2$$

因此分母為

$$D(s)=(s+1)\left[(s+0.5)^2+0.8^2\right]$$

先展開二階部分：

$$(s+0.5)^2+0.8^2 =s^2+s+0.25+0.64 =s^2+s+0.89$$

所以

$$D(s)=(s+1)(s^2+s+0.89)$$

進一步展開：

$$D(s)=s^3+2s^2+1.89s+0.89$$

2. 建立分子

由傳輸零點 $s=\pm j2$，分子包含

$$(s-j2)(s+j2)=s^2+4$$

由於這是三階系統，且在無限遠處有一個零點，因此分子為二階、分母為三階，形式為

核心觀念

本題考查共基極（common-base）BJT 放大器的：

1. 中頻電壓增益。
2. 低頻耦合／旁路電容造成的低頻極點。
3. 高頻 $C_{\pi}$、$C_{\mu}$ 所造成的高頻極點。
4. 短路時間常數法（short-circuit time-constants method）。

由圖可得：

• 集極電阻：$R_C=2\,\text{k}\Omega$
• 負載：$R_L=1\,\text{k}\Omega$
• 基極與集極間電阻：$R_B=47\,\text{k}\Omega$
• 輸入源電阻：$R_s=100\,\Omega$
• 輸出耦合電容：$C_O=10\,\mu\text{F}$
• 基極旁路電容：$C_1=1\,\mu\text{F}$
• $r_e=25\,\Omega,\ \beta=100$
• $C_\mu=0.5\,\text{pF},\ f_T=1000\,\text{MHz}$

取

$$g_m\simeq \frac{1}{r_e}=\frac{1}{25}=0.04\,\text{S}$$

且

$$r_\pi\simeq \beta r_e=100(25)=2.5\,\text{k}\Omega$$

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(a) 中頻增益 $V_o/V_s$

中頻時兩個耦合電容視為短路，基極由 $C_1$ 視為交流接地。

集極端的等效負載為

$$R_C'=2\,\text{k}\Omega\parallel 1\,\text{k}\Omega\parallel 47\,\text{k}\Omega$$

因此

$$R_C' =\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{47000}\right)^{-1} \simeq 657\,\Omega$$

共基極級由射極電壓至輸出電壓的增益約為

$$\frac{v_o}{v_e}\simeq g_mR_C' =0.04(657)\simeq 26.3$$

輸入端受到 $100\,\Omega$ 與 $r_e$ 分壓，因此

$$\frac{v_e}{v_s} =\frac{r_e}{R_s+r_e} =\frac{25}{100+25} =0.2$$

故

$$\boxed{ \frac{V_o}{V_s} \simeq g_mR_C'\frac{r_e}{R_s+r_e} }$$ $$\frac{V_o}{V_s} \simeq 0.04(657)(0.2) \simeq 5.26$$

若使用 $\alpha=\beta/(\beta+1)=100/101$ 修正，結果約為 $5.2$，因此中頻增益為正值。

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(b) 低頻 3-dB 頻率 $f_L$

低頻時分別計算兩個電容造成的極點，再取其中較大的頻率作為主導低頻截止頻率。

1. 輸出耦合電容 $10\,\mu\text{F}$

將獨立電壓源設為零，電容左側看到的電阻為

$$R_{\text{左}} =2\,\text{k}\Omega\parallel 47\,\text{k}\Omega \simeq 1.918\,\text{k}\Omega$$

電容右側為負載 $1\,\text{k}\Omega$，所以

$$R_{C_O}=R_{\text{左}}+R_L =1.918\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega \simeq 2.918\,\text{k}\Omega$$

因此

$$f_{C_O} =\frac{1}{2\pi R_{C_O}C_O}$$ $$f_{C_O} =\frac{1}{2\pi(2.918\times10^3)(10\,\mu\text{F})} \simeq 5.5\,\text{Hz}$$

2. 基極旁路電容 $C_1=1\,\mu\text{F}$

從基極往電晶體射極看，輸入源歸零後，$100\,\Omega$ 會被 $\beta+1$ 倍反映到基極，因此

$$R_{\text{base,transistor}} =r_\pi+(\beta+1)R_s$$ $$R_{\text{base,transistor}} =2.5\,\text{k}\Omega+101(100\,\Omega) =12.6\,\text{k}\Omega$$

另一條路徑經過 $47\,\text{k}\Omega$ 到集極，而集極交流接地電阻為

$$R_C\parallel R_L =2\,\text{k}\Omega\parallel1\,\text{k}\Omega =666.7\,\Omega$$

故此路徑為

核心觀念

此題考察 BJT emitter follower（射極跟隨器） 的直流偏壓、輸入電阻與中頻電壓增益。

假設：

• $V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$
• $V_T\approx 25\text{ mV}$
• 中頻時耦合電容視為短路
• 忽略 $r_o$

題目中的 $V_G$ 應為圖中標示的 $V_E$；BJT 並沒有閘極 $G$。

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(a) 求 $I_E$、$V_E$、$V_B$

直流分析時，輸入與輸出耦合電容皆視為開路，因此只有 $100\text{ k}\Omega$ 電阻提供基極偏壓。

由

$$V_B=V_E+0.7$$

且

$$V_E=I_E(1\text{ k}\Omega)$$

又因為

$$I_E=(\beta+1)I_B=101I_B$$

基極電流為

$$I_B=\frac{9-V_B}{100\text{ k}\Omega}$$

代入 $V_B=101I_B(1\text{ k}\Omega)+0.7$：

$$I_B=\frac{9-0.7}{100\text{ k}\Omega+101\text{ k}\Omega} =\frac{8.3}{201\text{ k}\Omega} \approx 41.3\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_E=101I_B \approx 101(41.3\ \mu\text{A}) \approx 4.17\text{ mA}$$ $$V_E=I_E(1\text{ k}\Omega) \approx 4.17\text{ V}$$ $$V_B=V_E+0.7 \approx 4.87\text{ V}$$

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(b) 求輸入電阻 $R_{in}$

中頻時，輸出端的 $1\text{ k}\Omega$ 負載經由耦合電容接到射極，因此射極的交流等效電阻為

$$R_E'=1\text{ k}\Omega\parallel1\text{ k}\Omega =0.5\text{ k}\Omega$$

由直流工作點計算小訊號參數：

$$r_e=\frac{V_T}{I_E} =\frac{25\text{ mV}}{4.17\text{ mA}} \approx 6.0\Omega$$ $$r_\pi=\beta r_e \approx 100(6.0\Omega) \approx 600\Omega$$

由基極看入 BJT 的電阻為

核心觀念

本題考查共射極放大器的小訊號分析：

• 中頻時，耦合電容 $C_{C1},C_{C2}$ 與旁路電容 $C_E$ 視為短路。
• 輸入電阻由偏壓電阻與晶體管小訊號輸入電阻並聯而成。
• 中頻電壓增益需考慮訊號源內阻 $R_S$ 的分壓。
• 低頻截止頻率由 $C_{C1}$、$C_{C2}$ 與 $C_E$ 所造成的高通效應決定。

以下採用 $V_T\approx25\text{ mV}$。

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(a) 輸入電阻 $R_{in}$

由

$$I_C=\frac{\beta_0}{\beta_0+1}I_E =\frac{120}{121}(0.33\text{ mA}) \approx0.327\text{ mA}$$

可得跨導

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.327\text{ mA}}{25\text{ mV}} \approx13.1\text{ mS}$$

因此

$$r_\pi=\frac{\beta_0}{g_m} =\frac{120}{13.1\text{ mS}} \approx9.16\text{ k}\Omega$$

晶體管由基極端看入的電阻為

$$r_x+r_\pi=50\Omega+9.16\text{ k}\Omega \approx9.21\text{ k}\Omega$$

所以

$$\begin{aligned} R_{in} &=R_1\parallel R_2\parallel(r_x+r_\pi)\\ &=33\text{ k}\Omega\parallel22\text{ k}\Omega \parallel9.21\text{ k}\Omega\\ &\approx5.36\text{ k}\Omega \end{aligned}$$

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(b) 中頻增益 $A_M$

中頻時 $C_E$ 短路，射極為交流接地。集極端的等效負載為

$$R_C'=R_C\parallel R_L\parallel r_o$$

因此

$$\begin{aligned} R_C' &=4.7\text{ k}\Omega\parallel5.6\text{ k}\Omega \parallel300\text{ k}\Omega\\ &\approx2.53\text{ k}\Omega \end{aligned}$$

由訊號源到輸入端的分壓為

$$\frac{v_b}{v_s} =\frac{R_{in}}{R_S+R_{in}} =\frac{5.36}{5+5.36} \approx0.518$$

考慮 $r_x$ 後，晶體管內部 $v_\pi$ 與 $v_b$ 的關係為

$$\frac{v_\pi}{v_b} =\frac{r_\pi}{r_x+r_\pi} =\frac{9.16\text{ k}\Omega}{9.21\text{ k}\Omega} \approx0.995$$

由受控電流源，

$$\frac{v_o}{v_\pi} =-g_m(R_C\parallel R_L\parallel r_o)$$

故整體中頻電壓增益

$$\begin{aligned} A_M &=\frac{v_o}{v_s}\\ &=-\frac{R_{in}}{R_S+R_{in}} \frac{r_\pi}{r_x+r_\pi} g_mR_C'\\ &\approx-(0.518)(0.995)(13.1\text{ mS})(2.53\text{ k}\Omega)\\ &\approx-17.0 \end{aligned}$$

負號表示共射極放大器輸出與輸入反相。

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(c) 低頻 $3$ dB 頻率與 $C_E$ 所造成的零點

1. 輸入耦合電容 $C_{C1}$

$C_{C1}$ 所看到的等效電阻為