115 年國立中山大學電波聯合碩士班《工程數學甲》考古題與詳解

Question 1

Let $\mathbf{a}1,\mathbf{a}2,\mathbf{a}3,\mathbf{a}4,\mathbf{d}\in\mathbb{R}^n$. Define the matrices $$B=[\mathbf{a}1,\mathbf{a}2,\mathbf{a}3]\in\mathbb{R}^{n	imes 3},\qquad C=[\mathbf{a}1,\mathbf{a}2,\mathbf{a}3,\mathbf{a}4]\in\mathbb{R}^{n	imes 4}.$$ Assume that the linear system $B\mathbf{x}=\mathbf{d}$ has no solution for $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$, and the linear system $C\mathbf{y}=\mathbf{d}$ has at least one solution for $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^4$. Let $$[B,\mathbf{d}]=[\mathbf{a}1,\mathbf{a}2,\mathbf{a}3,\mathbf{d}]\in\mathbb{R}^{n	imes 4}.$$ Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) The set $\{\mathbf{a}4,\mathbf{d}\}$ is linearly dependent. (B) The set $\{\mathbf{a}1,\mathbf{a}2,\mathbf{a}3,\mathbf{d}\}$ is linearly dependent. (C) The set $\{\…

Accepted Answer

核心觀念 - 線性系統 $B\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 有解，等價於 $\mathbf{d}\in\operatorname{Col}(B)$；無解則表示 $\mathbf{d}
otin\operatorname{Col}(B)$。 - 矩陣的秩是其欄向量所張成空間的維度。若加入一個不在原欄空間中的向量，秩會增加 $1$。 - 欄向量集合線性獨立，等價於欄數等於矩陣的秩。 解題方法 由 $C\mathbf{y}=\mathbf{d}$ 有解，可將解寫成 $$ \mathbf{d} =x1\mathbf{a}1+x2\mathbf{a}2+x3\mathbf{a}3+t\mathbf{a}4. $$ 若 $t=0$，則 $\mathbf{d}\in\operatorname{Col}(B)$，與 $B\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 無解矛盾。因此 $t
eq 0$，整理得 $$ \mathbf{a}4 =\frac{1}{t}\left(\mathbf{d}-x1\mathbf{a}1-x2\mathbf{a}2-x3\mathbf{a}3ight). $$ 所以 $\mathbf{a}4
otin\operatorname{Col}(B)$，且 $\mathbf{a}4$ 可由 $\mathbf{a}1,\mathbf{a}2,\mathbf{a}3,\mathbf{d}$ 線性表示。因而 $$ \operatorname{Col}(C)=\operatorname{Col}([B,\mathbf{d}]), $$ 且 $\mathbf{a}4$ 不在 $B$ 的欄空間中，故 $$ \operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(B)+1 =\operatorname{rank}([B,\mathbf{d}]). $$ 選項分析 - (A) 錯誤。 題目無法保證 $\mathbf{a}4$ 與 $\mathbf{d}$ 線性相關。例如令 $\mathbf{a}1=\mathbf{a}2=\mathbf{a}3=\mathbf{0}$、$\mathbf{d}=\mathbf{e}1$、$\mathbf{a}4=\mathbf{e}2$，則

Question 2

Let $A\in\mathbb{R}^{m	imes n}$. For any matrix $M$, let $R(M)$ denote the column space and $N(M)$ denote the null space. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) If $\mathbf{y}\in R(AA^T)$ and $\mathbf{y}
e\mathbf{0}$, then $A^T\mathbf{y}
e\mathbf{0}$. (B) If $\mathbf{y}\in R(A)$, then $A^T\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (C) If $m=n$, then $R(A)=R(A^T)$. (D) If $m=n$, then $N(A)=N(A^T)$. (E) If $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ and $A\mathbf{x}
e\mathbf{0}$, then $\mathbf{x}\in R(A^T)$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是矩陣的欄空間、零空間及其正交補關係。對任意 $A\in\mathbb{R}^{m	imes n}$，有 $$ R(A)^\perp=N(A^T),\qquad R(A^T)^\perp=N(A). $$ 也就是說，若 $A^T\mathbf{y}=\mathbf{0}$，則 $\mathbf{y}$ 與 $A$ 的每一個欄向量正交，因此 $\mathbf{y}\perp R(A)$。另外，$R(AA^T)\subseteq R(A)$，因為 $AA^T\mathbf{z}=A(A^T\mathbf{z})$ 是 $A$ 的欄向量線性組合。 解題方法 逐一檢查選項是否能由上述空間關係推出；遇到聲稱「一定相等」或「一定屬於」的敘述，可用小型矩陣反例驗證。 選項分析 (A) 正確。 已知 $\mathbf{y}\in R(AA^T)$，所以 $\mathbf{y}\in R(A)$。若 $A^T\mathbf{y}=\mathbf{0}$，由 $R(A)^\perp=N(A^T)$ 可知 $\mathbf{y}\perp R(A)$。但 $\mathbf{y}\in R(A)$，因此 $\mathbf{y}$ 也與自身正交： $$ \mathbf{y}^T\mathbf{y}=0. $$ 這會推出 $\mathbf{y}=\mathbf{0}$，與題設 $\mathbf{y}
e\mathbf{0}$ 矛盾。因此 $A^T\mathbf{y}
e\mathbf{0}$。 (B) 錯誤。 $\mathbf{y}\in R(A)$ 不代表 $\mathbf{y}\in N(A^T)$。例如取 $A=I2$、$\mathbf{y}=(1,0)^T$，則 $\mathbf{y}\in R(A)$，但 $$ A^T\mathbf{y}=\mathbf{y}
e\mathbf{0}. $$

Question 3

Let $A\in\mathbb{R}^{m	imes n}$, $B\in\mathbb{R}^{m	imes k}$, and $C\in\mathbb{R}^{k	imes n}$ such that $A=BC$. For any matrix $M$, let $R(M)$ denote the column space and $N(M)$ denote the null space. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $R(B)$ is a subset of $R(A)$. (B) $N(A)$ is a subset of $N(C)$. (C) $k\ge\operatorname{rank}(A)$. (D) If $k\operatorname{rank}(A)$, then $\operatorname{rank}(B)=\operatorname{rank}(C)$. (E) If $k=\operatorname{rank}(A)$, then $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣等式 $A=BC$ 表示線性映射先由 $C$ 將向量送入 $k$ 維空間，再由 $B$ 映至 $A$ 的輸出空間。由此可得： - $A$ 的每個欄向量都是 $B$ 的欄向量的線性組合，因此 $R(A)\subseteq R(B)$。 - 若 $Cx=0$，則 $Ax=BCx=0$，因此 $N(C)\subseteq N(A)$。 - 秩的基本不等式為 $$ \operatorname{rank}(BC)\leq \min\{\operatorname{rank}(B),\operatorname{rank}(C)\} \leq k. $$ 解題方法 逐一由 $A=BC$ 推出值域、零空間與秩的包含關係，再對照選項。判斷包含關係時，須注意矩陣乘積的作用順序：$B$ 把 $C$ 的輸出轉成 $A$ 的輸出，所以 $A$ 的值域包含在 $B$ 的值域；而先由 $C$ 造成的零向量，也必定使 $A$ 為零。 選項分析 (A) 錯誤。 正確的包含關係是 $R(A)\subseteq R(B)$，方向與選項相反。 例如取 $B=I2$、$C=\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}$，則 $A=BC=0$。此時 $R(B)=\mathbb{R}^2$，而 $R(A)=\{0\}$，故 $R(B)
subseteq R(A)$。 (B) 錯誤。 由 $Cx=0$ 可推出 $Ax=BCx=0$，所以正確關係是 $N(C)\subseteq N(A)$，不是 $N(A)\subseteq N(C)$。 例如取 $B=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$、$C=\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}$，則 $A=BC=0$。因此 $N(A)=\mathbb{R}$，但 $N(C)=\{0\}$，故 $N(A)
subseteq N(C)$。 (C) 正確。

Question 4

Let $$A=\begin{bmatrix} 3&0&3&0&3\ 0&2&0&2&0\ 3&0&3&0&3\ 0&2&0&2&0\ 3&0&3&0&3 \end{bmatrix}.$$ Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $A$ is diagonalizable (over $\mathbb{R}$). (B) $\operatorname{rank}(A)=2$. (C) $2$ is an eigenvalue of $A$. (D) $3$ is an eigenvalue of $A$. (E) The number of positive eigenvalues of $A$ is $2$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的秩、特徵值與可對角化性。實對稱矩陣一定可以在實數範圍內對角化；矩陣的秩則等於非零特徵值的個數（按重數計）。正特徵值的個數可由特徵值直接判斷。 解題方法 令 $$ u=\begin{bmatrix}1\0\1\0\1\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}0\1\0\1\0\end{bmatrix}. $$ 矩陣可寫成 $$ A=3uu^{T}+2vv^{T}. $$ 其中 $u^{T}v=0$，且 $u^{T}u=3$、$v^{T}v=2$。因此 $$ Au=3u(u^{T}u)+2v(v^{T}u)=9u, $$ $$ Av=3u(u^{T}v)+2v(v^{T}v)=4v. $$ 所以 $u$、$v$ 分別是特徵值 $9$、$4$ 的特徵向量。對任何同時與 $u$、$v$ 正交的向量 $x$，有 $u^{T}x=v^{T}x=0$，故

Question 5

Let $$\mathbf{v}1=\begin{bmatrix}1\0\1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{v}2=\begin{bmatrix}1\0\-1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}2\3\1\end{bmatrix},$$ and define the subspace $W=\operatorname{span}\{\mathbf{v}1,\mathbf{v}2\}\subseteq\mathbb{R}^3$. Let $\mathbf{p}$ be the orthogonal projection of $\mathbf{x}$ onto $W$. For any vector $\mathbf{u}$, let $\|\mathbf{u}\|$ denote the Euclidean norm: $$\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}^T\mathbf{u}}.$$ Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $\|\mathbf{p}\|=2$. (B) $\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|=3$. (C) $\mathbf{w}^T(\mathbf{x}-\mathbf{p})=0$ for every $\mathbf{w}\in W$. (D) $\mathbf{x}-\mathbf{p}\in W$. (E) $\mathbf{p}$ is orthogonal to $\mathbf{v}1$.

Accepted Answer

核心觀念

正交投影 $\mathbf{p}$ 是子空間 $W$ 中最接近 $\mathbf{x}$ 的向量。投影誤差 $\mathbf{x}-\mathbf{p}$ 與 $W$ 中每個向量都垂直，因此

\mathbf{p}\in W,\qquad \mathbf{x}-\mathbf{p}\in W^\perp.

本題的 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 彼此正交，適合直接使用正交基底的投影公式：

\mathbf{p} = \frac{\mathbf{x}^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1 + \frac{\mathbf{x}^T\mathbf{v}_2}{\mathbf{v}_2^T\mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2.

解題方法

先確認兩個生成向量互相垂直：

\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix} =1-1=0.

再計算內積與向量長度平方：

\mathbf{x}^T\mathbf{v}_1=2+1=3,\qquad \mathbf{x}^T\mathbf{v}_2=2-1=1,

\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2^T\mathbf{v}_2 =2.

代入投影公式：

\mathbf{p} = \frac{3}{2}\mathbf{v}_1+\frac{1}{2}\mathbf{v}_2 = \frac{3}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}.

因此投影誤差為

Question 6

Let $$\mathbf{b}1=\begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}2=\begin{bmatrix}1\-1\0\end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}3=\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}2\0\3\end{bmatrix}.$$ Define a linear transformation $L:\mathbb{R}^3	o\mathbb{R}^3$ satisfying $$L(\mathbf{b}1)=2\mathbf{b}1,\qquad L(\mathbf{b}2)=\mathbf{b}2,\qquad L(\mathbf{b}3)=-\mathbf{b}3.$$ Let $L^5(\mathbf{x})=L(L(L(L(L(\mathbf{x})))))$. Suppose that, in standard coordinates (with respect to the standard basis of $\mathbb{R}^3$), $$L^5(\mathbf{x})=[y1,y2,y3]^T\in\mathbb{R}^3.$$ Let $A$ be the matrix representation of $L$ with respect to the ordered basis $\{\mathbf{b}1,\mathbf{b}2,\mathbf{b}3\}$. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $y1=33$. (B) $y2…

Accepted Answer

核心觀念

向量可以用不同基底表示。同一個線性轉換在不同基底下的矩陣表示可能不同；本題給定的基底 $\{\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3\}$ 中，每個基底向量都是 $L$ 的特徵向量，因此 $L$ 在此基底下的矩陣是對角矩陣。

若 $L(\mathbf b_i)=\lambda_i\mathbf b_i$ ，則反覆作用 $L$ 五次後有

L^5(\mathbf b_i)=\lambda_i^5\mathbf b_i.

此外，矩陣的行列式等於特徵值乘積；對角矩陣的秩則是非零對角元素的個數。

解題方法

先將 $\mathbf x$ 寫成基底 $\{\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3\}$ 的線性組合：

\mathbf x=c_1\mathbf b_1+c_2\mathbf b_2+c_3\mathbf b_3.

代入題目中的向量：

\begin{bmatrix}2\\0\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1+c_2\\c_1-c_2\\c_3\end{bmatrix}.

因此

c_1+c_2=2,\qquad c_1-c_2=0,\qquad c_3=3,

解得 $c_1=1,\ c_2=1,\ c_3=3$ ，所以

\mathbf x=\mathbf b_1+\mathbf b_2+3\mathbf b_3.

由題目所給的作用方式， $L$ 在此有序基底下的矩陣為

A= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1 \end{bmatrix}.

因此

Question 7

Consider the surface $z=x^2+y^2$ at the point $P(2,-2,8)$ . Which of the following is/are correct?

Assume $t$ below is a scalar. The $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ are unit vectors along the $x$ -, $y$ -, and $z$ -axis, respectively.

(A) The gradient vector is $2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}-\mathbf{k}$ .
(B) The tangent plane equals $4x-4y-z=8$ .
(C) The normal vector to the surface at $P$ is $4\mathbf{i}-4\mathbf{j}-8\mathbf{k}$ .
(D) The greatest rate of increase in the direction of the normal vector is $\sqrt{32}$ .
(E) The parametric equations of the normal line are $x=2+4t$ , $y=-2-4t$ , $z=8-t$ .

Accepted Answer

核心觀念 將曲面寫成等位面 $F(x,y,z)=0$。曲面在一點的梯度 $
abla F$ 垂直於該點的切平面，因此可用來求切平面與法線。若沿單位方向 $\mathbf{u}$ 移動，函數的方向導數為 $
abla F\cdot\mathbf{u}$；其最大值為 $\|
abla F\|$，發生在梯度方向。 解題方法 令 $$ F(x,y,z)=x^2+y^2-z. $$ 題目給的點 $P(2,-2,8)$ 確實在曲面上，因為 $2^2+(-2)^2=8$。梯度為 $$ 
abla F=(2x,2y,-1), $$ 所以在 $P$ 點， $$ 
abla F(2,-2,8)=(4,-4,-1). $$ 此向量是 $P$ 點的法向量。切平面方程式由 $$ 
abla F(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0 $$ 給出： $$ 4(x-2)-4(y+2)-(z-8)=0, $$ 整理得 $$ 4x-4y-z=8. $$ 法線通過 $P$，方向向量為 $(4,-4,-1)$，因此可寫成 $$ (x,y,z)=(2,-2,8)+t(4,-4,-1). $$

Question 8

Consider a space curve defined by the intersection of the surface $z=\cot^{-1}(x/y)$ and the cylinder $x^2+y^2=1$ . Assume $\cot^{-1}$ denotes the principal value with range $(0,\pi)$ and restrict to the branch where $y>0$ .

The $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ are unit vectors along the $x$ -, $y$ -, and $z$ -axis, respectively. Which of the following is/are correct?

(A) The arc length between $(1,0,0)$ and $(1,0,\pi/2)$ is $\sqrt{2}\pi$ .
(B) The curvature is $2$ .
(C) The radius of curvature is $2$ .
(D) The unit tangent vector at $(0,1,\pi/2)$ is $(-\mathbf{i}+\mathbf{k})/\sqrt{2}$ .
(E) The unit normal vector at $(0,1,\pi/2)$ is $\mathbf{j}$ .

Accepted Answer

核心觀念 本題考查空間曲線的參數化，以及弧長、曲率、曲率半徑、單位切向量與主法向量的計算。主要公式為 $$ L=\inta^b \|\mathbf r'(t)\|\,dt,\qquad \kappa=\frac{\|\mathbf r'(t)	imes\mathbf r''(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|^3},\qquad ho=\frac{1}{\kappa}, $$ $$ \mathbf T(t)=\frac{\mathbf r'(t)}{\|\mathbf r'(t)\|},\qquad \mathbf N(t)=\frac{\mathbf T'(t)}{\|\mathbf T'(t)\|}. $$ 解題方法 令參數 $t=z$。由 $x^2+y^2=1$ 且 $y0$，可取 $$ x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad 0<t<\pi. $$ 此時 $x/y=\cot t$，而反餘切函數的主值範圍為 $(0,\pi)$，所以 $z=t$。曲線可參數化為 $$ \mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t),\qquad 0<t<\pi. $$ 求導得 $$ \mathbf r'(t)=(-\sin t,\cos t,1),\qquad \mathbf r''(t)=(-\cos t,-\sin t,0). $$ 因此 $\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{2}$，且 $$ \mathbf r'(t)	imes\mathbf r''(t) =(\sin t,-\cos t,1), \qquad \|\mathbf r'(t)	imes\mathbf r''(t)\|=\sqrt{2}. $$ 選項分析 (A) 錯誤。 題目所列的 $(1,0,0)$ 不在 $y0$ 的曲線上，只是 $t	o0^+$ 時的端點極限；$(1,0,\pi/2)$ 也不在此曲線上。

Question 9

Find a solution $u(x,y)$ of the differential equation (DE)
$xu_{xy}+2yu=0.$

Assume $x>0$ . The $c$ and $k$ below are constants, and $A$ , $B$ , $E$ and $F$ are integers.

Which of the following is/are INCORRECT?

(A) $u=cx^{Ak}e^{(By^E)/(Fk)}$ , where $A+B=0$ .
(B) $u=cx^{Ak}e^{(By^E)/(Fk)}$ , where $E+F=3$ .
(C) This DE is parabolic.
(D) This DE is elliptic.
(E) This DE is homogeneous.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩件事：將指定形式代入偏微分方程檢驗解是否成立，以及依二階偏微分方程的主部分類型。 對線性二階方程 $$ a u{xx}+2b u{xy}+c u{yy}+	ext{低階項}=0, $$ 判別式為 $b^2-ac$：大於 $0$ 為雙曲型，等於 $0$ 為拋物型，小於 $0$ 為橢圓型。線性方程右側為零時，稱為齊次方程。 解題方法 令題目給的形式寫成 $$ u(x,y)=C x^p e^{q y^n}, \qquad p=Ak,\quad q=\frac{B}{Fk},\quad n=E, $$ 其中取 $k
e 0$、$F
e 0$。直接計算偏導數： $$ uy=qn y^{n-1}u, \qquad u{xy}=\frac{p}{x}uy =pqn x^{-1}y^{n-1}u. $$ 代回方程： $$ xu{xy}+2yu =\left(pqn y^{n-1}+2yight)u. $$ 要使此式對所有 $y$ 成立，必須有 $n-1=1$，也就是 $E=2$；再比較係數得 $$ pqn+2=0. $$ 代入 $p=Ak$、$q=B/(Fk)$、$n=2$，得到 $$ \frac{2AB}{F}+2=0, \qquad	ext{亦即}\qquad AB=-F. $$ 因此，此形式成為解的條件是 $$ E=2,\qquad AB=-F. $$

Question 10

Consider the differential equation (DE)
$y'=y^2-3y+2.$

Which of the following is/are correct?

(A) There is an attractor.
(B) $y(x)=2$ is a singular solution.
(C) $y(x)=(ce^x-2)/(ce^x+1)$ is a one-parameter family of solutions, where $c$ is an arbitrary constant.
(D) Provided $y(0)=-1$ , the largest interval is $[0,\infty)$ .
(E) Given $y(0)=4$ , there exists an interval centered at $0$ on which the DE has a unique solution.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查自治微分方程 $$ y'=f(y)=(y-1)(y-2) $$ 的平衡解、相線判斷、分離變數解法，以及初值問題的局部存在唯一性。 若 $f(y)=0$，則 $y(x)=y$ 是平衡解。若解從平衡解兩側出發，隨 $x$ 增加都趨近它，則該平衡解是吸引子。解初值問題時，還須區分「向前存在的區間」與「包含初始點的最大存在區間」。 解題方法 先令 $y'=0$，得到平衡解 $y=1$ 與 $y=2$。由 $f(y)=(y-1)(y-2)$ 的正負可判斷解的方向： - $y<1$ 時，$y'0$，解隨 $x$ 增加而上升。 - $1<y<2$ 時，$y'<0$，解隨 $x$ 增加而下降。 - $y2$ 時，$y'0$，解隨 $x$ 增加而上升。 因此，$y=1$ 附近的解會趨近 $1$；$y=2$ 附近的解則會遠離 $2$。 對非平衡解分離變數： $$ \frac{dy}{(y-1)(y-2)}=dx. $$ 部分分式分解為 $$ \frac{1}{(y-1)(y-2)} =-\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-2}. $$ 積分後得到 $$ \ln\left|\frac{y-2}{y-1}\right|=x+C. $$ 將積分常數改寫後，可得一參數解族 $$ \frac{y-2}{y-1}=ce^x, $$ 因此 $$ y(x)=\frac{ce^x-2}{ce^x-1}. $$ 其中 $c=0$ 時，$y(x)=2$。另外，平衡解 $y=1$ 需另行列出，因為它不在這個有限參數解族中。 選項分析

Question 11

If $z=3-4j$, what is $|z|$? (A) $1$ (B) $5$ (C) $7$ (D) $\sqrt{7}$

Accepted Answer

核心觀念 複數 $z=a+bj$ 的模長定義為 $$ |z|=\sqrt{a^2+b^2}, $$ 其中 $a$ 是實部，$b$ 是虛部的係數，且 $j^2=-1$。 解題方法 題目給定 $z=3-4j$，所以實部為 $3$，虛部係數為 $-4$。代入模長公式： $$ |z|=\sqrt{3^2+(-4)^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5. $$ 選項分析

Question 12

The function $f(z)=\bar{z}$ is: (A) Analytic everywhere (B) Analytic only at $z=0$ (C) Not analytic anywhere (D) Entire

Accepted Answer

核心觀念 複變函數 $f(z)=u(x,y)+jv(x,y)$ 若在某點複數可微，且偏導數連續，必須滿足柯西–黎曼方程： $$ ux=vy,\qquad uy=-vx. $$ 若函數在某點附近皆複數可微，才稱為在該點解析。全平面解析的函數稱為整函數。 解題方法 令 $z=x+jy$，則其共軛為 $\bar z=x-jy$。因此 $$ f(z)=\bar z=x-jy, \qquad u(x,y)=x,\quad v(x,y)=-y. $$ 計算偏導數： $$ ux=1,\qquad uy=0,\qquad vx=0,\qquad vy=-1. $$ 柯西–黎曼方程的第一式要求 $ux=vy$，但此處 $1
e -1$，所以方程在任何點都不成立。故 $f$ 在任何點都不複數可微，更不會在任何點解析。 也可直接用導數定義檢查。對任意 $z0$，令增量 $h$ 趨近 $0$： $$ \frac{f(z0+h)-f(z0)}{h} =\frac{\overline{z0+h}-\bar z0}{h} =\frac{\bar h}{h}. $$

Question 13

Let $f(z)=z^2$, find $f'(1+j)$. (A) $1+j$ (B) $2+2j$ (C) $2-2j$ (D) $4j$

Accepted Answer

核心觀念 複變函數 $f(z)=z^2$ 的導數可用冪次法則計算： $$ \frac{d}{dz}z^n=nz^{n-1} $$ 因此，$f'(z)=2z$。求 $f'(1+j)$ 時，將 $z=1+j$ 代入導數即可。 解題方法 $$ f'(z)=\frac{d}{dz}z^2=2z $$ 代入 $z=1+j$： $$ f'(1+j)=2(1+j)=2+2j $$ 選項分析

Question 14

Let $z=x+jy$. Which of the following functions satisfies the Cauchy–Riemann equations? (A) $f(z)=x^2+y^2$ (B) $f(z)=x^2-y^2+j(2xy)$ (C) $f(z)=x^2+jy^2$ (D) $f(z)=|z|^2$

Accepted Answer

核心觀念 若複變函數寫成 $f(z)=u(x,y)+jv(x,y)$，其中 $z=x+jy$，則柯西–黎曼方程為 $$ ux=vy,\qquad uy=-vx. $$ 題目問哪個函數滿足柯西–黎曼方程，須檢查兩個等式是否在整個定義域成立，而非只在某個點成立。 解題方法 將各選項的實部、虛部分別記為 $u$、$v$，計算偏導數後代入柯西–黎曼方程。 對選項 (B)， $$ u(x,y)=x^2-y^2,\qquad v(x,y)=2xy. $$ 因此 $$ ux=2x,\qquad vy=2x, $$ 且 $$ uy=-2y,\qquad vx=2y. $$ 兩個柯西–黎曼方程皆成立： $$ ux=vy,\qquad uy=-vx. $$ 所以 (B) 滿足柯西–黎曼方程。 選項分析

Question 15

Evaluate $$\oint{|z|=2}\frac{1}{z}\,dz.$$ (A) $0$ (B) $1$ (C) $2\pi$ (D) $2\pi j$

Accepted Answer

核心觀念

這題考複變函數的閉合曲線積分。函數 $\frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 有一個極點，而圓形路徑 $|z|=2$ 以逆時針方向繞原點一周。

由留數定理，閉合曲線積分等於 $2\pi j$ 乘上曲線所包圍的留數總和。此題在 $z=0$ 的留數為 $1$ ，因此積分為 $2\pi j$ 。

解題方法

採用留數定理計算。因為 $z=0$ 位於圓形路徑 $|z|=2$ 內，且 $\frac{1}{z}$ 在原點的留數為 $1$ ，所以

\oint_{|z|=2}\frac{1}{z}\,dz =2\pi j\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z},0\right) =2\pi j\cdot 1 =2\pi j.

也可用參數式直接驗算。令 $z=2e^{jt}$ ，其中 $0\leq t\leq 2\pi$ ，則

dz=2je^{jt}\,dt.

代入積分：

Question 16

If $f(t)=\cos(3t)+3t\sin(3t)$, then its Laplace Transform is given by? (A) $\frac{s+3}{s-3}$ (B) $\frac{27}{(s^2+9)^2}$ (C) $\frac{s(s^2+27)}{(s^2+9)^2}$ (D) Does not exist

Accepted Answer

核心觀念 單邊拉普拉斯轉換定義為 $$ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int0^\infty e^{-st}f(t)\,dt. $$ 本題會用到兩個公式： $$ \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2+a^2}, \qquad \mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}. $$ 解題方法 將 $f(t)=\cos(3t)+3t\sin(3t)$ 分成兩項，分別取拉普拉斯轉換。 第一項為 $$ \mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2+9}. $$ 對第二項，先使用 $$ \mathcal{L}\{\sin(3t)\} = \frac{3}{s^2+9}. $$ 再由 $\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}$ 得 $$ \mathcal{L}\{t\sin(3t)\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{3}{s^2+9}\right) = \frac{6s}{(s^2+9)^2}. $$ 因此 $$ \mathcal{L}\{3t\sin(3t)\} = \frac{18s}{(s^2+9)^2}. $$ 合併兩項並通分：

Question 17

Consider three continuous-time periodic signals whose Fourier series representations are as follows:
$x_1(t)=\sum_{k=0}^{100}\left(\frac{1}{2}\right)^k e^{jk\frac{2\pi}{50}t},$
$x_2(t)=\sum_{k=-100}^{100}\cos(k\pi)e^{jk\frac{2\pi}{50}t},$
$x_3(t)=\sum_{k=-100}^{100}j\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)e^{jk\frac{2\pi}{50}t}.$

Which of the three signals is/are even?

(A) $x_1(t)$
(B) $x_2(t)$
(C) $x_3(t)$
(D) $x_2(t)$ and $x_3(t)$

Accepted Answer

核心觀念 若週期訊號的複數傅立葉級數為 $$ x(t)=\sum{k=-\infty}^{\infty}ck e^{jk\omega0t}, $$ 則 $x(t)$ 為偶函數的條件是 $$ x(-t)=x(t) \quad\Longleftrightarrow\quad c{-k}=ck \quad 	ext{對所有 } k. $$ 也就是說，偶訊號的傅立葉級數係數必須對 $k=0$ 左右對稱。此條件適用於實數或複數訊號。 本題的基本角頻率為 $\omega0=\frac{2\pi}{50}$。判斷各訊號是否為偶函數，只需檢查其傅立葉係數是否滿足 $c{-k}=ck$。 解題方法 對 $x1(t)$，係數在 $k=0,\ldots,100$ 時為 $(1/2)^k$，而 $k<0$ 時係數為零。對任意 $k=1,\ldots,100$， $$ ck=\left(\frac12ight)^k,\qquad c{-k}=0. $$ 兩者不相等，因此 $x1(t)$ 不是偶函數。 對 $x2(t)$，其係數為 $$ ck=\cos(k\pi)=(-1)^k. $$ 由於 $$ c{-k}=\cos(-k\pi)=\cos(k\pi)=ck, $$ 係數對稱，所以 $x2(t)$ 是偶函數。 對 $x3(t)$，其係數為

Question 18

Let $x(t)$ be a periodic signal with Fourier series coefficients defined by $$ak=\begin{cases} 2,&k=0,\ j\left(\frac{1}{2}ight)^{|k|},&k
e 0. \end{cases}$$ Which of the following statements is true? (A) $x(t)$ is real. (B) $x(t)$ is even. (C) $\frac{dx(t)}{dt}$ is even. (D) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 複數傅立葉級數寫成 $$ x(t)=\sum{k=-\infty}^{\infty}ak e^{jk\omega0t}. $$ 判斷訊號是否為實數，檢查 $a{-k}=ak^$；判斷訊號是否為偶函數，檢查 $a{-k}=ak$。微分會使每個傅立葉係數乘上 $jk\omega0$。 解題方法 依原卷第 18 題，係數為 $a0=2$，且 $k
e 0$ 時 $ak=j(1/2)^{|k|}$。對任意 $k
e0$， $$ a{-k}=j\left(\frac12ight)^{|k|}=ak, \qquad ak^=-j\left(\frac12ight)^{|k|}. $$ 因此，係數對稱，訊號為偶函數；但 $a{-k}
e ak^$，訊號不是實數。也可將級數配對寫成 $$ x(t)=2+2j\sum{k=1}^{\infty}\left(\frac12ight)^k\cos(k\omega0t), $$

Question 19

The Fourier Transform of $e^{-|t|}$ is $\frac{2}{1+\omega^2}$ . Then, what is the Fourier Transform of $e^{-2|t|}$ ?

(A) $\frac{4}{4+\omega^2}$
(B) $\frac{2}{4+\omega^2}$
(C) $\frac{2}{2+\omega^2}$
(D) $\frac{4}{2+\omega^2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考傅立葉轉換的時間縮放性質。題目給定 $$ \mathcal{F}\{e^{-|t|}\}=\frac{2}{1+\omega^2}. $$ 令 $f(t)=e^{-|t|}$，則 $e^{-2|t|}=f(2t)$。傅立葉轉換的時間縮放公式為 $$ \mathcal{F}\{f(at)\}=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}ight),\qquad a
e 0, $$ 其中 $F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}$。時間軸縮短為原來的 $1/a$ 倍時，頻域函數會展寬，並乘上振幅係數 $1/|a|$。 解題方法 在縮放公式中取 $a=2$，並代入題目提供的 $F(\omega)$：

Question 20

For each of the following Fourier transforms, use Fourier transform properties to determine which of the corresponding time-domain signals is purely imaginary and odd. Do this without evaluating the inverse of any of the given transforms.

(A) $X(j\omega)=u(\omega)-u(\omega-2)$
(B) $X(j\omega)=\cos(2\omega)\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)$
(C) $X(j\omega)=A(\omega)e^{jB(\omega)}$ , where $A(\omega)=(\sin 2\omega)/\omega$ and $B(\omega)=2\omega+\frac{\pi}{2}$
(D) $X(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{|k|}\delta\left(\omega-\frac{k\pi}{4}\right)$

Accepted Answer

核心觀念 採用連續時間傅立葉轉換定義 $$ X(j\omega)=\int{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt. $$ 若時域訊號 $x(t)$ 為純虛數且為奇函數，可寫成 $x(t)=j r(t)$，其中 $r(t)$ 是實數奇函數。實數奇函數的傅立葉轉換為純虛數奇函數，再乘上 $j$，便得到實數奇函數。因此： $$ x(t)	ext{ 純虛數且為奇函數} \quad\Longleftrightarrow\quad X(j\omega)	ext{ 為實數且為奇函數}. $$ 所以本題只需檢查各選項的 $X(j\omega)$ 是否為實數奇函數，不必求反傅立葉轉換。 解題方法 先分別檢查頻域函數的兩個條件： 1. 實數性：$X(j\omega)$ 不含非零虛部。 2. 奇函數性：$X(-j\omega)=-X(j\omega)$，亦即頻率反向後函數值變號。 兩個條件必須同時成立，對應的時域訊號才是純虛數奇函數。 選項分析 (A) $X(j\omega)=u(\omega)-u(\omega-2)$ 此函數只在正頻率區間 $0<\omega<2$ 取值為 $1$，其餘頻率取值為 $0$。雖然它是實數函數，但不是奇函數。例如在 $0<\omega<2$ 時， $$ X(j\omega)=1,\qquad X(-j\omega)=0, $$ 不符合 $X(-j\omega)=-X(j\omega)$。因此不符合條件。 (B) $X(j\omega)=\cos(2\omega)\sin\left(\frac{\omega}{2}ight)$ $\cos(2\omega)$ 是實數偶函數，$\sin(\omega/2)$ 是實數奇函數。偶函數與奇函數相乘仍為奇函數，因此

Question 21

Determine the inverse Laplace transform $x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}$ for $t\ge 0$ :
$X(s)=\frac{s-1}{s^2+3s+2}.$

(A) $x(t)=(3e^{-2t}-2e^{-t})u(t)$
(B) $x(t)=(2e^{-t}-3e^{-2t})u(t)$
(C) $x(t)=(3e^{-t}-2e^{-2t})u(t)$
(D) $x(t)=(3e^{-2t}+2e^{-t})u(t)$

Accepted Answer

核心觀念 利用部分分式分解，將有理函數改寫成基本拉普拉斯反變換的形式。對於 $a0$， $$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}u(t),\qquad t\ge 0. $$ 其中 $u(t)$ 是單位階躍函數。 解題方法 先將分母因式分解： $$ s^2+3s+2=(s+1)(s+2). $$ 設部分分式為 $$ \frac{s-1}{(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}. $$ 通分後比較係數： $$ s-1=A(s+2)+B(s+1) =(A+B)s+(2A+B). $$ 因此 $$ A+B=1,\qquad 2A+B=-1, $$ 解得 $A=-2$、$B=3$，所以 $$ X(s)=-\frac{2}{s+1}+\frac{3}{s+2}. $$ 逐項取反變換：

115 年 國立中山大學電波聯合碩士班《工程數學甲》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 3 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 4 題5 分

第 5 題5 分

核心觀念

解題方法

第 6 題5 分

核心觀念

解題方法

第 7 題5 分

第 8 題5 分

第 9 題5 分

第 10 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 11 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 12 題4 分

核心觀念

解題方法

第 13 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 14 題4 分

第 15 題4 分

核心觀念

解題方法

第 16 題5 分

核心觀念

解題方法

第 17 題5 分

第 18 題5 分

第 19 題5 分

第 20 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) X(jω)=u(ω)−u(ω−2)X(j\omega)=u(\omega)-u(\omega-2)X(jω)=u(ω)−u(ω−2)

(B) X(jω)=cos⁡(2ω)sin⁡(ω2)X(j\omega)=\cos(2\omega)\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)X(jω)=cos(2ω)sin(2ω​)

第 21 題5 分

其他考古題

115 年中山大學的其他科目

中山大學《工程數學甲》其他年度

115 年國立中山大學電波聯合碩士班《工程數學甲》

(A) $X(j\omega)=u(\omega)-u(\omega-2)$

(B) $X(j\omega)=\cos(2\omega)\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)$