114 年 國立成功大學交通管理科學系碩士班丙組《統計學》

核心觀念

本題考察假設檢定中的顯著水準、拒絕域、型一錯誤與型二錯誤。

設虛無假設為 $H_0$，對立假設為 $H_1$：

• 顯著水準 $\alpha$：研究者事先設定的型一錯誤機率上限。
• 拒絕域（critical region）：當檢定統計量落入此區域時，拒絕 $H_0$。
• 型一錯誤（Type I error）：$H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$。
• 型二錯誤（Type II error）：$H_0$ 為假，卻未拒絕 $H_0$。
• $p$-value：根據樣本資料計算出的觀察結果，不是事先由研究者指定。

型一錯誤的機率為

$$\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真}).$$

型二錯誤的機率則為

$$\beta=P(\text{未拒絕 }H_0\mid H_1\text{ 為真}),$$

其大小通常取決於真實參數值、樣本數、母體變異程度與檢定方法。

解題方法

判斷原則如下：

1. 研究者可以在分析前自行設定的，是「檢定規則」與「可接受的錯誤風險」。
2. 由樣本資料實際計算出的，是 $p$-value。
3. 型一錯誤與型二錯誤是根據真實狀態及研究者決策共同形成的結果，不能由研究者直接決定。
4. 型二錯誤機率涉及未知的真實狀態，因此通常不能事先唯一決定。

因此，研究者可以決定：

• $\alpha$ level；
• critical region；
• 可接受的 Type I error risk，也就是 $\alpha$。

選項分析

a. Alpha level

正確。

研究者可以在進行檢定前設定顯著水準，例如

$$\alpha=0.05$$

表示研究者願意承擔至多約 $5\%$ 的型一錯誤風險。

b. Critical region

正確。

拒絕域由研究者依據檢定方向、顯著水準及檢定統計量的分布決定。

例如右尾檢定中，若檢定統計量為 $Z$，則拒絕域可設定為

$$Z>z_{\alpha},$$

其中 $z_{\alpha}$ 為右尾面積等於 $\alpha$ 的臨界值。

c. The probability (or risk) of a Type I error

正確。

型一錯誤的機率就是顯著水準：

此題在考驗簡單線性迴歸的計算與應用。

首先，我們需要計算迴歸直線的參數。迴歸直線的方程式為 $\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$。
其中，$\beta_1 = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)}$ 且 $\beta_0 = \bar{Y} - \beta_1 \bar{X}$。

我們需要計算以下統計量：
$\sum X = 0 + 2 + 8 + 6 + 4 = 20$
$\sum Y = 4 + 1 + 10 + 9 + 6 = 30$
$\sum X^2 = 0^2 + 2^2 + 8^2 + 6^2 + 4^2 = 0 + 4 + 64 + 36 + 16 = 120$
$\sum Y^2 = 4^2 + 1^2 + 10^2 + 9^2 + 6^2 = 16 + 1 + 100 + 81 + 36 = 234$
$\sum XY = (0)(4) + (2)(1) + (8)(10) + (6)(9) + (4)(6) = 0 + 2 + 80 + 54 + 24 = 160$
$n = 5$

此題考驗統計學中假設檢定、標準差的定義與計算。

(a) 虛無假設被拒絕的意義與範例

• 意義： 當我們說一個虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）被拒絕時，表示根據我們所收集到的樣本資料，以及所設定的顯著水準（$\alpha$），我們有足夠的統計證據來推翻虛無假設。這意味著我們傾向於接受對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$）。這是一個基於機率的結論，我們並非 100% 確定虛無假設是錯的，而是說在虛無假設為真的前提下，觀察到目前樣本結果的機率非常低（通常低於我們預設的顯著水準 $\alpha$）。

• 使用時機： 在進行假設檢定時，當檢定統計量的值落在拒絕域內，或者計算出的 p-value 小於顯著水準 $\alpha$ 時，我們便會拒絕虛無假設。

• 範例：
  假設一家藥廠聲稱他們新開發的止痛藥能有效降低頭痛的平均時間，而傳統藥物的平均降低時間是 30 分鐘。

  • 虛無假設 ($H_0$)：新藥降低頭痛的平均時間 $\mu$ 等於 30 分鐘 ($\mu = 30$)。
  • 對立假設 ($H_1$)：新藥降低頭痛的平均時間 $\mu$ 大於 30 分鐘 ($\mu > 30$)。

  藥廠進行了一項臨床實驗，隨機抽取 100 名病患，給予新藥，並記錄頭痛時間縮短的平均值為 35 分鐘，標準差為 10 分鐘。假設顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  經過統計檢定後，計算出 p-value 為 0.002。
  由於 p-value (0.002) < $\alpha$ (0.05)，我們有足夠的統計證據拒絕虛無假設 $H_0$。
  這意味著，我們得出結論：新藥確實比傳統藥物能更有效地降低頭痛時間。

(b) 標準差的意義

• 意義： 標準差（Standard Deviation, SD）是衡量數據離散程度（或分散程度）的一個指標。它表示樣本（或母體）中的數據點相對於其平均值的平均離散程度。標準差越大，表示數據點越分散，離平均值越遠；標準差越小，表示數據點越集中，越靠近平均值。

此題考驗單因子變異數分析（One-way ANOVA）的相關計算與概念。

題目資訊：

• 有 3 個 income groups (處理組數，k=3)。
• 每個 group 有 5 位 participant (每組樣本數，n=5)。
• 總樣本數 N = k * n = 3 * 5 = 15。
• Total Sum of Squares (SST) = 118。

ANOVA 表中的關係式：

1. Sum of Squares: $SST = SSB + SSW$ (總離差平方和 = 組間離差平方和 + 組內離差平方和)
2. Degrees of Freedom: $df_{total} = df_{between} + df_{within}$
   $df_{between} = k - 1$
   $df_{within} = N - k$
   $df_{total} = N - 1$
3. Mean Square: $MSB = \frac{SSB}{df_{between}}$, $MSW = \frac{SSW}{df_{within}}$
4. F-statistic: $F = \frac{MSB}{MSW}$

(a) 填寫 ANOVA 表的遺漏項目 (a)-(g)

• 計算 df：
  $df_{between} = k - 1 = 3 - 1 = 2$ => (c) = 2
  $df_{within} = N - k = 15 - 3 = 12$ => (d) = 12
  $df_{total} = N - 1 = 15 - 1 = 14$ => (e) = 14
  驗證：$df_{between} + df_{within} = 2 + 12 = 14 = df_{total}$。

• 計算 SS：
  已知 $SST = 118$。
  已知 $MSB = 35$。
  $SSB = MSB \times df_{between} = 35 \times 2 = 70$ => (a) = 70。
  $SST = SSB + SSW$
  $118 = 70 + SSW$
  $SSW = 118 - 70 = 48$ => (b) = 48。

• 計算 MSW：
  $MSW = \frac{SSW}{df_{within}} = \frac{48}{12} = 4$ => (f) = 4。

• 計算 F-statistic：
  $F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{35}{4} = 8.75$ => (g) = 8.75。

填寫完成的 ANOVA 表：

此題考驗獨立樣本 t 檢定（Independent Samples t-test）的計算與應用。

已知資訊：

• 兩組獨立樣本：男性 (Male) 與女性 (Female)。
• 樣本數：$n_1 = n_2 = 4$。
• 樣本平均數：$\bar{X}_1 = 52$ (Male), $\bar{X}_2 = 58$ (Female)。
• 組內離差平方和：$SS_1 = 108$ (Male), $SS_2 = 84$ (Female)。
• 總樣本數 $N = n_1 + n_2 = 4 + 4 = 8$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$，雙尾檢定。

(a) 計算各組變異數並計算合併變異數 (Pooled Variance)

• 計算各組變異數：
  樣本變異數的公式為 $s^2 = \frac{SS}{n-1}$。
  男性組變異數 $s_1^2 = \frac{SS_1}{n_1 - 1} = \frac{108}{4 - 1} = \frac{108}{3} = 36$。
  女性組變異數 $s_2^2 = \frac{SS_2}{n_2 - 1} = \frac{84}{4 - 1} = \frac{84}{3} = 28$。

• 計算合併變異數 (Pooled Variance, $s_p^2$)：
  合併變異數的公式為 $s_p^2 = \frac{SS_1 + SS_2}{df_1 + df_2} = \frac{SS_1 + SS_2}{(n_1 - 1) + (n_2 - 1)}$。
  $s_p^2 = \frac{108 + 84}{(4 - 1) + (4 - 1)} = \frac{192}{3 + 3} = \frac{192}{6} = 32$。

(b) 提供估計的標準誤和 t 值

• 估計的標準誤 (Estimated Standard Error, $SE$)：
  獨立樣本 t 檢定的標準誤公式為 $SE = \sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}$。