115 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《線性代數與機率》

核心觀念

本題考察含參數線性方程組的解之分類：

• 唯一解：每個未知數都能被唯一決定。
• 無解：化簡後出現矛盾，例如 $0=c$，其中 $c\neq 0$。
• 無限多解：化簡後出現至少一個自由變數，且沒有矛盾。

此方程組呈現階梯形式，前兩式可依序解出 $x_1,x_2$；因此關鍵在第三式：

$$(a^2-9)x_3=a-2.$$

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解題方法與推導

由第三式開始分類討論。

情況一：$a^2-9\neq 0$

此時可直接除以 $a^2-9$，得到

$$x_3=\frac{a-2}{a^2-9}.$$

接著由第二式：

$$x_2+2x_3=1$$

可得

$$x_2=1-2x_3.$$

再由第一式：

$$x_1+x_2+x_3=2$$

可得

$$x_1=2-x_2-x_3.$$

因此三個未知數皆能被唯一決定，系統具有唯一解。

條件為

$$a^2-9\neq 0$$

即

$$(a-3)(a+3)\neq 0,$$

所以

$$a\neq 3,\,-3.$$

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情況二：$a^2-9=0$

由

$$a^2-9=0$$

可得

$$a=3\quad\text{或}\quad a=-3.$$

本題考查向量空間的基底、正交投影矩陣的求解與應用，以及點到平面的距離。

平面 $W$ 的方程為 $x + 2y - 3z = 0$。這個方程可以寫成向量形式：
$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$。
這表示向量 $\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ 是平面 $W$ 的一個法向量。

(a) 尋找 $W$ 的一個基底：
平面 $W$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間，其維度為 2 (因為是平面)。我們要找兩個線性獨立的向量，它們屬於 $W$ 且線性組合能生成 $W$。
我們可以從方程 $x + 2y - 3z = 0$ 出發。令 $y$ 和 $z$ 為自由變數，則 $x = -2y + 3z$。
向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ 可以寫成：
$\begin{bmatrix} -2y + 3z \\ y \\ z \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
因此，向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是 $W$ 的一個基底。這兩個向量顯然線性獨立。

【答案】$\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。

(b) 尋找 $W$ 上的標準正交投影矩陣：
設 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一個 $k$ 維子空間，其基底為 $\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k\}$。
如果 $\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k\}$ 是正交基底，則投影矩陣為 $P_W = U(U^T U)^{-1} U^T$，其中 $U$ 的列向量是基底向量。
如果 $\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k\}$ 是標準正交基底，則 $P_W = UU^T$。

在本題中，我們找到的基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ 並非標準正交基底。
首先，我們需要將基底向量標準化，或者直接使用投影矩陣公式。
設 $U$ 的列向量是 $W$ 的基底，即 $U = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。
則投影矩陣 $P_W$ 為 $P_W = U(U^T U)^{-1} U^T$。

計算 $U^T U$:
$U^T = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$U^T U = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-2)(-2)+1(1)+0(0) & (-2)(3)+1(0)+0(1) \\ 3(-2)+0(1)+1(0) & 3(3)+0(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -6 \\ -6 & 10 \end{bmatrix}$

計算 $(U^T U)^{-1}$:
$\det(U^T U) = 5(10) - (-6)(-6) = 50 - 36 = 14$
$(U^T U)^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}$

計算 $P_W = U(U^T U)^{-1} U^T$:
$P_W = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$P_W = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10(-2)+6(3) & 10(1)+6(0) & 10(0)+6(1) \\ 6(-2)+5(3) & 6(1)+5(0) & 6(0)+5(1) \end{bmatrix}$
$P_W = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 10 & 6 \\ 3 & 6 & 5 \end{bmatrix}$
$P_W = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} (-2)(-2)+3(3) & (-2)(10)+3(6) & (-2)(6)+3(5) \\ 1(-2)+0(3) & 1(10)+0(6) & 1(6)+0(5) \\ 0(-2)+1(3) & 0(10)+1(6) & 0(6)+1(5) \end{bmatrix}$
$P_W = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4+9 & -20+18 & -12+15 \\ -2 & 10 & 6 \\ 3 & 6 & 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 13 & -2 & 3 \\ -2 & 10 & 6 \\ 3 & 6 & 5 \end{bmatrix}$

另一種方法：
平面 $W$ 的法向量是 $\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$。
對於 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間 $W$，其法向量為 $\mathbf{n}$，則投影到 $W$ 的矩陣為 $P_W = I - P_{W^\perp}$，其中 $P_{W^\perp}$ 是投影到 $\mathbf{n}$ 所生成子空間的投影矩陣。
投影到向量 $\mathbf{v}$ 的矩陣是 $\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}}$。
在這裡，我們投影到法向量 $\mathbf{n}$。
$\mathbf{n}\mathbf{n}^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -3 & -6 & 9 \end{bmatrix}$。

核心觀念

本題考查「基底轉換矩陣」與「向量在不同基底下的座標表示」。

令

$$A=\begin{bmatrix}\mathbf v_1&\mathbf v_2&\mathbf v_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&0&2\\ 0&2&-2 \end{bmatrix}.$$

由於 $B$ 是 $\mathbb R^3$ 的標準基底，因此對任意向量 $\mathbf x$，

$$\mathbf x =A[\mathbf x]_{B'}.$$

因此有

$$[\mathbf x]_{B'}=A^{-1}[\mathbf x]_B.$$

所以

$$P_{B'\leftarrow B}=A^{-1}, \qquad P_{B\leftarrow B'}=A.$$

---

解題方法

（a）求 $P_{B'\leftarrow B}$

先求矩陣 $A$ 的反矩陣。其行列式為

$$\det(A) = 1\begin{vmatrix}0&2\\2&-2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}1&2\\0&-2\end{vmatrix} =-4-(-2)=-2\neq 0.$$

因此 $A$ 可逆。

透過高斯消去法：

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&1&0&1&0&0\\ 1&0&2&0&1&0\\ 0&2&-2&0&0&1 \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&-2&0&1&0\\ 0&1&2&1&-1&0\\ 0&0&2&2&-2&1 \end{array} \right].$$

繼續化簡得

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 2&-1&-1\\ -1&1&1\\ -1&1&\frac12 \end{bmatrix}.$$

故

$$\boxed{ P_{B'\leftarrow B} = \begin{bmatrix} 2&-1&-1\\ -1&1&1\\ -1&1&\frac12 \end{bmatrix} }.$$

其意義是：將 $B$-座標向量乘上此矩陣，即可得到同一向量的 $B'$-座標。

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（b）求 $P_{B\leftarrow B'}$

由定義，$P_{B\leftarrow B'}$ 的第 $j$ 欄就是 $\mathbf v_j$ 在基底 $B$ 下的座標。

因為 $B$ 是標準基底，所以直接將 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ 作為欄向量：

$$P_{B\leftarrow B'} = \begin{bmatrix} \mathbf v_1&\mathbf v_2&\mathbf v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&0&2\\ 0&2&-2 \end{bmatrix}.$$

因此

核心觀念

本題考查兩個重要工具：

1. 矩陣對角化
   若矩陣 $M$ 有 $3$ 個相異特徵值，則可對角化為

   $$M=PDP^{-1},$$

   其中 $D$ 的對角元素是特徵值，$P$ 的各列向量是對應的特徵向量。因此

   $$M^7=PD^7P^{-1}.$$

2. QR 分解
   將矩陣的各個列向量利用 Gram–Schmidt 正交化，可得到

   $$M=QR,$$

   其中 $Q$ 的列向量為正交單位向量，$R$ 為上三角矩陣。

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(a) 對角化與計算 $M^7$

令特徵值為 $\lambda$，則

$$M-\lambda I= \begin{bmatrix} -\lambda & 2 & 3\\ 0 & 2-\lambda & 0\\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{bmatrix}.$$

其特徵多項式為

$$\begin{aligned} \det(M-\lambda I) &=(2-\lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & 3\\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix}\\ &=(2-\lambda)\left[(-\lambda)(1-\lambda)-3\right]\\ &=(2-\lambda)(\lambda^2-\lambda-3). \end{aligned}$$

因此三個特徵值為

$$\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=\frac{1+\sqrt{13}}{2},\qquad \lambda_3=\frac{1-\sqrt{13}}{2}.$$

三個特徵值相異，所以 $M$ 可對角化。

求特徵向量

對應 $\lambda_1=2$

解

$$(M-2I)v=0.$$

由第三列得 $x-z=0$，第一列得 $-2x+2y+3z=0$，可取

$$v_1= \begin{bmatrix} 2\\-1\\2 \end{bmatrix}.$$

令

$$\alpha=\frac{1+\sqrt{13}}{2},\qquad \beta=\frac{1-\sqrt{13}}{2}.$$

對應 $\lambda=\alpha$ 或 $\lambda=\beta$

由第二列可得 $y=0$，第三列可得

$$x+(1-\lambda)z=0,$$

故可取特徵向量

$$v(\lambda)= \begin{bmatrix} \lambda-1\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$v_2= \begin{bmatrix} \alpha-1\\0\\1 \end{bmatrix}, \qquad v_3= \begin{bmatrix} \beta-1\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

取

$$P= \begin{bmatrix} 2 & \alpha-1 & \beta-1\\ -1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad D= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&\alpha&0\\ 0&0&\beta \end{bmatrix}.$$

其中 $\alpha-\beta=\sqrt{13}$，可得

$$P^{-1}= \begin{bmatrix} 0&-1&0\\ \dfrac{1}{\sqrt{13}}& \dfrac{3+\sqrt{13}}{\sqrt{13}}& \dfrac{1+\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}\\ -\dfrac{1}{\sqrt{13}}& \dfrac{\sqrt{13}-3}{\sqrt{13}}& \dfrac{\sqrt{13}-1}{2\sqrt{13}} \end{bmatrix}.$$

所以

$$M=PDP^{-1}.$$

利用對角化計算 $M^7$

由於

$$M^7=PD^7P^{-1},$$

且

$$D^7= \begin{bmatrix} 2^7&0&0\\ 0&\alpha^7&0\\ 0&0&\beta^7 \end{bmatrix},$$

即可直接計算。不過為了得到整數矩陣，可利用特徵多項式：

$$(M-2I)(M^2-M-3I)=0.$$

因此

$$M^3=3M^2+M-6I.$$

依此遞迴可得

$$M^7=186M^2-89M-438I.$$

先計算

$$M^2= \begin{bmatrix} 3&4&3\\ 0&4&0\\ 1&2&4 \end{bmatrix}.$$

所以

本題考查 Poisson 分佈的性質及其相關概念，包括平均值、機率計算、以及與指數分佈的關係。

Poisson 分佈的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(N=k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}$, 其中 $k = 0, 1, 2, \dots$。
$\mu$ 是平均到達數。

(a) 尋找 $t$ 秒內平均到達數 $N$ 的期望值：
Poisson 分佈的參數是平均到達率 $\lambda$ (每秒的到達數)。
在 $t$ 秒內，平均到達數 $\mu$ 是到達率 $\lambda$ 乘以時間 $t$。
所以，$\mu = \lambda t$。
對於 Poisson 分佈，期望值等於其參數 $\mu$。
因此，在 $t$ 秒內，平均到達數 $N$ 的期望值是 $E[N] = \lambda t$。

【答案】$E[N] = \lambda t$。

(b) 尋找 $t$ 秒內沒有封包到達的機率：
這相當於求 $P(N=0)$。
使用 Poisson 分佈的 PMF，令 $k=0$：
$P(N=0) = \frac{e^{-\mu} \mu^0}{0!} = \frac{e^{-\lambda t} (1)}{1} = e^{-\lambda t}$。

【答案】$e^{-\lambda t}$。

核心觀念

本題考「隨機變數的函數轉換」：

• 累積分布函數定義：

  $F_Y(y)=P(Y\le y)$

• 若 $Y=g(X)$ 且 $g$ 為嚴格遞增函數，則可利用不等式反解。

• 若 $g$ 可微且為一對一函數，連續型隨機變數的 pdf 轉換公式為

  $f_Y(y)=f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$

本題的指數函數 $e^x$ 嚴格遞增，反函數為自然對數 $\ln y$。

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(a) 求 $Y=e^X$ 的 cdf

由於 $e^x$ 是嚴格遞增函數，且 $Y>0$，分兩種情況討論。

當 $y\le 0$ 時，$Y=e^X$ 不可能小於或等於 $y$，因此

$$F_Y(y)=P(Y\le y)=0.$$

當 $y>0$ 時，

$$\begin{aligned} F_Y(y) &=P(Y\le y)\\ &=P(e^X\le y). \end{aligned}$$

因為指數函數為遞增函數，可對不等式取自然對數：

$$e^X\le y \quad\Longleftrightarrow\quad X\le \ln y.$$

因此

$$F_Y(y)=P(X\le \ln y)=F_X(\ln y).$$

所以

$$\boxed{ F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y\le 0,\\[4pt] F_X(\ln y), & y>0. \end{cases} }$$

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(b) 以 $X$ 的 pdf 表示 $Y$ 的 pdf

對 $y>0$，由 (a) 得

$$F_Y(y)=F_X(\ln y).$$

對 $y$ 微分：

$$\begin{aligned} f_Y(y) &=\frac{d}{dy}F_Y(y)\\ &=f_X(\ln y)\cdot\frac{d}{dy}(\ln y)\\ &=f_X(\ln y)\cdot\frac{1}{y}. \end{aligned}$$

由於 $Y=e^X>0$，當 $y\le 0$ 時 pdf 為 $0$。因此

$$\boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{y}f_X(\ln y), & y>0,\\[8pt] 0, & y\le 0. \end{cases} }$$

這也符合一般變數轉換公式。令

$$y=e^x, \qquad x=\ln y,$$

則

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y},$$

故

$$f_Y(y)=f_X(\ln y)\left|\frac{1}{y}\right| =\frac{1}{y}f_X(\ln y).$$

---

(c) $X\sim N(m,\sigma^2)$ 時，求 $Y$ 的 pdf

若 $X$ 為平均數 $m$、變異數 $\sigma^2$ 的 Gaussian 隨機變數，則

$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad -\infty<x<\infty.$$

將 $x=\ln y$ 代入 (b) 的公式：

$$\begin{aligned} f_Y(y) &=\frac{1}{y}f_X(\ln y)\\ &=\frac{1}{y} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(\ln y-m)^2}{2\sigma^2}\right]. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{y\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\dfrac{(\ln y-m)^2}{2\sigma^2}\right], & y>0,\\[10pt] 0, & y\le 0. \end{cases} }$$

此時 $Y=e^X$ 服從對數常態分布：

$$\boxed{Y\sim \operatorname{Lognormal}(m,\sigma^2)}.$$

其中 $m$ 與 $\sigma^2$ 是 $\ln Y=X$ 的平均數與變異數，並非 $Y$ 本身的平均數與變異數。

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(d) $Y=e^{-X}$ 且 $X\sim\operatorname{Exponential}(\lambda)$

解題方法

指數分布的 pdf 為

$$f_X(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge 0,\\ 0, & x<0, \end{cases} \qquad \lambda>0.$$

令

$$Y=e^{-X}.$$

由於 $X\ge 0$，所以

核心觀念

特徵函數定義為隨機變數的複指數期望：

$$\varphi_X(t)=\mathbb{E}\!\left[e^{itX}\right],\qquad t\in\mathbb{R}.$$

若 $X\sim N(0,1)$，其機率密度函數為 $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$。線性轉換 $Y=\sigma X+m$ 的特徵函數可直接利用期望定義計算。

解題方法

(a) 標準常態的特徵函數

由定義，

$$\varphi_X(t) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx.$$

可對 $t$ 微分，並利用常態密度滿足 $f_X'(x)=-x f_X(x)$：

$$\begin{aligned} \varphi_X'(t) &=\mathbb{E}\!\left[iX e^{itX}\right]\\ &=i\int_{-\infty}^{\infty}x e^{itx}f_X(x)\,dx\\ &=-i\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f_X'(x)\,dx\\ &=-t\varphi_X(t). \end{aligned}$$

最後一步使用分部積分；邊界項為零，因為常態密度在無窮遠處趨近於零。配合 $\varphi_X(0)=\mathbb{E}[1]=1$，解微分方程 $\varphi_X'(t)=-t\varphi_X(t)$，得到