115 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《通訊理論》

核心觀念

本題考查理想脈衝取樣、取樣訊號的頻譜週期延拓，以及理想低通濾波器所形成的 sinc 插值公式。

採用傅立葉轉換定義：

$$M(f)=\int_{-\infty}^{\infty}m(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$$

並使用正規化 sinc 函數：

$$\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}.$$

取樣後的訊號為

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT)\delta(t-nT).$$

理想重建濾波器的頻率響應為通帶增益 $T$、截止頻率 $1/(2T)$ 的低通濾波器。

---

解題方法

重建濾波器輸出等於取樣訊號與濾波器脈衝響應的卷積：

$$\tilde m(t)=x(t)*h(t).$$

先由 $H(f)$ 求出 $h(t)$，再利用脈衝函數的平移與取樣性質，即可得到時域插值公式。

---

(a) 重建訊號的表示式

由反傅立葉轉換，

$$h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{j2\pi ft}\,df.$$

代入題目給定的 $H(f)$：

$$h(t) = T\int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}e^{j2\pi ft}\,df.$$

計算得

$$\begin{aligned} h(t) &= T\left[ \frac{e^{j2\pi ft}}{j2\pi t} \right]_{-1/(2T)}^{1/(2T)}\\ &= T\frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t}\\ &= \frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}\\ &= \operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right). \end{aligned}$$

因此，

$$\tilde m(t) = x(t)*h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT)\delta(t-nT) * \operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right).$$

利用

$$\delta(t-nT)*h(t)=h(t-nT),$$

可得

$$\boxed{ \tilde m(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT) \operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right) }$$

也可寫成

$$\boxed{ \tilde m(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT) \frac{\sin\left[\pi\left(\frac{t}{T}-n\right)\right]} {\pi\left(\frac{t}{T}-n\right)} }.$$

這就是 Shannon sampling interpolation formula。每一個樣本值 $m(nT)$ 都乘上一個以 $t=nT$ 為中心的 sinc 函數，再將所有 sinc 函數相加。

---

(b) 是否能完美重建 $m(t)$？

頻域分析

脈衝取樣器的頻域結果為

$$X(f)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}M\left(f-\frac{k}{T}\right).$$

這表示原始訊號頻譜 $M(f)$ 會以 $1/T$ Hz 為週期重複出現，且每個頻譜副本的振幅乘上 $1/T$。

輸出頻譜為

$$\tilde M(f)=H(f)X(f).$$

由於

$$H(f)=T,\qquad |f|\le \frac{1}{2T},$$

在重建濾波器通帶內，

$$\tilde M(f) = T\cdot \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M\left(f-\frac{k}{T}\right).$$

題目給定

$$M(f)=0,\qquad |f|>B,$$

且

$$B<\frac{1}{2T}.$$

核心觀念

本題探討數位通訊與隨機程序中的經典模型——隨機脈衝序列（Random Pulse Train / PAM Signal） 的統計特性分析。核心觀念與定理包含：

1. 隨機時延與廣義平穩性（WSS）：一般的脈衝序列具有週期平穩性（Cyclostationary）。引入均勻分佈於 $[0, T)$ 的隨機時延 $\delta$（Random Time Offset / Jitter）後，可將週期非平穩過程轉化為嚴格的廣義平穩過程（Wide-Sense Stationary, WSS）。
2. 全期望公式與區間拼接（Conditioning and Variable Substitution）：計算隨機程序的平均值 $E[n(t)]$ 與自相關函數 $R_n(t, t+\tau) = E[n(t)n(t+\tau)]$，透過條件期望值 $E[\cdot \mid \delta]$ 與變數變換 $\theta = t - iT + \delta$，將離散級數和拼接為全實數軸連續積分。
3. 白雜訊（White Noise）極限行為：當脈衝寬度 $T \to 0$ 且能量正規化時，自相關函數 $R_n(\tau)$ 趨近於狄拉克函數（Dirac Delta Function）$\delta(\tau)$，其功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）$S_n(f)$ 趨近於全頻帶均勻分佈之常數。
4. 線性時不變（LTI）系統之輸出特性：
   • 功率譜密度關係：$S_w(f) = S_n(f)|H(f)|^2$
   • 輸出方差（Variance）：$\operatorname{Var}(w(t)) = R_w(0) = \int_{-\infty}^{\infty} S_w(f) \, df$
5. 高斯程序（Gaussian Process）之線性不變性：高斯隨機程序通過任意穩定 LTI 系統後，其輸出仍為高斯隨機程序；若輸入為 WSS，則輸出亦必為 WSS。

---

詳細解題步驟與推導

(a) 判斷 $n(t)$ 是否為廣義平穩過程（WSS）

Step 1：檢驗平均值 $E[n(t)]$
由於 $n_i$ 與 $\delta$ 相互獨立，且 $E[n_i] = 0$，根據全期望公式：
$E[n(t)] = E_{\delta}\left[ \sum_{i=-\infty}^{\infty} E[n_i] \cdot p(t - iT + \delta) \right] = E_{\delta}\left[ \sum_{i=-\infty}^{\infty} 0 \cdot p(t - iT + \delta) \right] = 0$
平均值為與時間 $t$ 無關的常數 $0$。

Step 2：計算自相關函數 $R_n(t, t+\tau) = E[n(t)n(t+\tau)]$
給定隨機變數 $\delta$ 的條件下，由於 $n_i$ 彼此獨立且同分佈（i.i.d.），其二階互相關滿足 $E[n_i n_j] = \sigma_n^2 \delta_{ij}$（其中 $\delta_{ij}$ 為 Kronecker delta）：
$E[n(t)n(t+\tau) \mid \delta] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} \sum_{j=-\infty}^{\infty} E[n_i n_j] \cdot p(t - iT + \delta) p(t + \tau - jT + \delta)$
$= \sigma_n^2 \sum_{i=-\infty}^{\infty} p(t - iT + \delta) p(t + \tau - iT + \delta)$

對 $\delta \sim \text{Uniform}[0, T)$ 取期望值（其機率密度函數為 $f_\delta(\delta) = \frac{1}{T}, \, \delta \in [0, T)$）：
$R_n(t, t+\tau) = \frac{\sigma_n^2}{T} \int_{0}^{T} \sum_{i=-\infty}^{\infty} p(t - iT + \delta) p(t + \tau - iT + \delta) \, d\delta$

令變數變換 $\theta = t - iT + \delta$，則 $d\theta = d\delta$。當 $\delta$ 從 $0$ 積分到 $T$ 時，$\theta$ 的積分區間為 $[t - iT, \, t - (i-1)T)$。將所有 $i \in \mathbb{Z}$ 的區間無縫拼接後，覆蓋整個實數軸 $(-\infty, \infty)$：
$R_n(t, t+\tau) = \frac{\sigma_n^2}{T} \sum_{i=-\infty}^{\infty} \int_{t-iT}^{t-(i-1)T} p(\theta) p(\theta + \tau) \, d\theta = \frac{\sigma_n^2}{T} \int_{-\infty}^{\infty} p(\theta) p(\theta + \tau) \, d\theta$

定義脈衝 $p(t)$ 自身的自相關函數為 $R_p(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} p(\theta) p(\theta + \tau) \, d\theta$。
已知 $p(t) = \frac{1}{\sqrt{T}} \text{rect}\left(\frac{t - T/2}{T}\right)$，為寬度 $T$、高度 $1/\sqrt{T}$ 之矩形脈衝，其自身卷積與積分結果為對稱三角脈衝：
$R_p(\tau) = \begin{cases} 1 - \frac{|\tau|}{T}, & |\tau| \le T \\ 0, & |\tau| > T \end{cases} = \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right)$

代入得自相關函數為：
$R_n(\tau) = \frac{\sigma_n^2}{T} \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right) = \begin{cases} \frac{\sigma_n^2}{T} \left(1 - \frac{|\tau|}{T}\right), & |\tau| \le T \\ 0, & |\tau| > T \end{cases}$

結論：
因為 $E[n(t)] = 0$（常數）且 $R_n(t, t+\tau) = R_n(\tau)$ 僅取決於時間差 $\tau$，與絕對時間 $t$ 無關，故雜訊程序 $n(t)$ 是廣義平穩程序（WSS）。

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(b) 當 $T \rightarrow 0$ 時，$R_n(\tau)$ 與 $S_n(f)$ 的極限行為

1. 自相關函數 $R_n(\tau)$ 的極限行為：
自相關函數為 $R_n(\tau) = \sigma_n^2 \cdot \left[ \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right) \right]$。
函數 $g_T(\tau) = \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right)$ 具備以下性質：

• 寬度為 $2T \xrightarrow{T \to 0} 0$
• 峰值高度為 $\frac{1}{T} \xrightarrow{T \to 0} \infty$
• 總面積為 $\int_{-\infty}^{\infty} g_T(\tau) \, d\tau = \frac{1}{T} \cdot \left(\frac{1}{2} \times 2T \times 1\right) = 1$

依據廣義函數（Delta Sequences）定義，當 $T \to 0$ 時，$g_T(\tau) \to \delta(\tau)$。
因此：

核心觀念

本題考查：

1. 利用和差公式將上下邊頻分解成同相（in-phase）與正交（quadrature）分量。
2. 由上下邊頻的相對振幅判斷調變種類。
3. 包絡檢波器實際量測的是射頻訊號的包絡：
   $e(t)=\sqrt{x_I^2(t)+x_Q^2(t)}$
4. 正交分量無法直接以線性方式通過包絡檢波器，會以平方項形式造成包絡失真。

令

$$\omega_c=2\pi f_c,\qquad \omega_m=2\pi f_m$$

並將 attenuation factor 統一記為 $A_m$。

---

（a）同相與正交分量

原訊號為

$$s(t)=\frac{1}{2}A_mA_c\cos[(\omega_c+\omega_m)t] +\frac{1}{2}(1-A_m)A_c\cos[(\omega_c-\omega_m)t].$$

利用

$$\cos(\omega_c+\omega_m)t =\cos\omega_ct\cos\omega_mt-\sin\omega_ct\sin\omega_mt$$

以及

$$\cos(\omega_c-\omega_m)t =\cos\omega_ct\cos\omega_mt+\sin\omega_ct\sin\omega_mt,$$

可得

$$\begin{aligned} s(t) ={}&\frac{A_c}{2}A_m \left(\cos\omega_ct\cos\omega_mt-\sin\omega_ct\sin\omega_mt\right)\\ &+\frac{A_c}{2}(1-A_m) \left(\cos\omega_ct\cos\omega_mt+\sin\omega_ct\sin\omega_mt\right). \end{aligned}$$

整理 $\cos\omega_ct$ 與 $\sin\omega_ct$ 的係數：

$$s(t)=\frac{A_c}{2}\cos\omega_mt\cos\omega_ct +\frac{A_c}{2}(1-2A_m)\sin\omega_mt\sin\omega_ct.$$

採用通訊系統常見表示式

$$s(t)=A_c\left[I(t)\cos\omega_ct-Q(t)\sin\omega_ct\right],$$

因此

$$I(t)=\frac{1}{2}\cos\omega_mt$$

且

$$Q(t)=\frac{2A_m-1}{2}\sin\omega_mt.$$

所以：

• 同相分量：

$$\boxed{I(t)=\frac{1}{2}\cos(2\pi f_mt)}$$

• 正交分量：

$$\boxed{Q(t)=\frac{2A_m-1}{2}\sin(2\pi f_mt)}$$

若採用 $s(t)=A_c[I(t)\cos\omega_ct+Q(t)\sin\omega_ct]$ 的符號慣例，正交分量會寫成 $\frac{1-2A_m}{2}\sin\omega_mt$；物理結果完全相同。

---

（b）調變種類判斷

上下邊頻的振幅分別為

$$A_{\mathrm{USB}}=\frac{1}{2}A_mA_c$$

以及

$$A_{\mathrm{LSB}}=\frac{1}{2}(1-A_m)A_c.$$

題目中的訊號沒有獨立載波，因此屬於 suppressed-carrier 類型。

$A_m=0$

此時

$$A_{\mathrm{USB}}=0,\qquad A_{\mathrm{LSB}}=\frac{1}{2}A_c.$$

只剩下低側頻，因此為：

$$\boxed{\text{下邊帶抑制載波調變（LSB-SC）}}$$

$A_m=0.5$

此時

$$A_{\mathrm{USB}}=A_{\mathrm{LSB}}=\frac{1}{4}A_c.$$

上下邊頻振幅相等，且沒有載波，因此為：

$$\boxed{\text{雙邊帶抑制載波調變（DSB-SC）}}$$

此時由（a）可見 $Q(t)=0$，訊號完全是同相分量。

$A_m=1$

此時

$$A_{\mathrm{USB}}=\frac{1}{2}A_c,\qquad A_{\mathrm{LSB}}=0.$$

只剩下高側頻，因此為：

$$\boxed{\text{上邊帶抑制載波調變（USB-SC）}}$$

其他情況

當

$$0<A_m<1,\qquad A_m\neq 0.5,$$

上下邊頻同時存在，但振幅不相等，故為：

$$\boxed{\text{非對稱雙邊帶抑制載波調變}}$$

也可稱為 asymmetric DSB-SC。

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（c）包絡檢波器造成的失真

題目指定將載波

$$A_c\cos\omega_ct$$

與 $s(t)$ 相加，因此總訊號為

$$x(t)=A_c\cos\omega_ct+s(t).$$

代入（a）的結果：

核心觀念

本題綜合考查：

• 線性卷積的矩陣表示。
• AWGN 通道下的最大概似決策。
• 高訊噪比下，以訊號集合間最小歐氏距離近似錯誤率。
• Moore–Penrose 線性左逆矩陣。
• 高斯雜訊經線性轉換後的分布。
• 雜訊增強與充分統計量的概念。

令

$$h=[1,-1,1],\qquad x=[x_1,x_2]^T.$$

採用完整線性卷積並補零，因此輸出長度為 $3+2-1=4$。

---

(a) 矩陣形式

完整卷積為

$$\begin{aligned} y_1&=x_1+n_1,\\ y_2&=-x_1+x_2+n_2,\\ y_3&=x_1-x_2+n_3,\\ y_4&=x_2+n_4. \end{aligned}$$

因此

$$y=Hx+n,$$

其中

$$H= \begin{bmatrix} 1&0\\ -1&1\\ 1&-1\\ 0&1 \end{bmatrix}.$$

令 $H$ 的兩個 column vector 為

$$a= \begin{bmatrix} 1\\-1\\1\\0 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\\1 \end{bmatrix},$$

則

$$y=ax_1+bx_2+n.$$

---

(b) $x_1$ 的最大概似決策規則

解題方法

因為 $x_2$ 是未知干擾訊號，估計 $x_1$ 時必須將 $x_2$ 邊際化。由於 $x_1,x_2$ 獨立且等機率，最大概似規則為

$$\hat{x}_1 = \arg\max_{s\in\{+1,-1\}}p(y\mid x_1=s),$$

其中

$$p(y\mid x_1=s) = \frac{1}{2} \sum_{t\in\{+1,-1\}} p(y\mid x_1=s,x_2=t).$$

AWGN 的條件機率密度為

$$p(y\mid x_1=s,x_2=t) \propto \exp\left( -\frac{\|y-sa-tb\|^2}{2\sigma_n^2} \right).$$

因此可寫成

$$\hat{x}_1 = \arg\max_{s\in\{+1,-1\}} \sum_{t=\pm1} \exp\left( -\frac{\|y-sa-tb\|^2}{2\sigma_n^2} \right).$$

計算所需內積：

$$a^Ta=3,\qquad b^Tb=3,\qquad a^Tb=-2.$$

令

$$A=a^Ty,\qquad B=b^Ty.$$

則

$$\|y-sa-tb\|^2 = \|y\|^2+6+2st-2sA-2tB.$$

去除與 $s$ 無關的共同項後，

$$p(y\mid x_1=s) \propto \exp\left(\frac{sA}{\sigma_n^2}\right) \sum_{t=\pm1} \exp\left(\frac{t(B+2s)}{\sigma_n^2}\right).$$

利用

$$e^z+e^{-z}=2\cosh z,$$

得到

$$p(y\mid x_1=s) \propto \exp\left(\frac{sA}{\sigma_n^2}\right) \cosh\left(\frac{B+2s}{\sigma_n^2}\right).$$

所以決策規則為

$$\hat{x}_1=+1$$

若且唯若

$$\frac{2A}{\sigma_n^2} + \ln \frac{ \cosh\left(\frac{B+2}{\sigma_n^2}\right) }{ \cosh\left(\frac{B-2}{\sigma_n^2}\right) } >0;$$

否則判定 $\hat{x}_1=-1$。

其中

$$A=y_1-y_2+y_3, \qquad B=y_2-y_3+y_4.$$

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(c) 小 $\sigma_n^2$ 下的 ML 錯誤率近似

解題方法

當雜訊很小時，ML 決策主要由不同 $x_1$ 類別之間距離最近的訊號向量決定。

四個可能的無雜訊接收向量如下：

$$\begin{array}{c|c} (x_1,x_2)&Hx\\ \hline (+1,+1)&[1,0,0,1]^T\\ (+1,-1)&[1,-2,2,-1]^T\\ (-1,+1)&[-1,2,-2,1]^T\\ (-1,-1)&[-1,0,0,-1]^T \end{array}$$

對於 AWGN，兩個訊號向量距離為 $d$ 時，二元近鄰錯誤率為

$$Q\left(\frac{d}{2\sigma_n}\right).$$

不同 $x_1$ 類別的最近距離為：

• $(+1,+1)$ 與 $(-1,-1)$：

$$d=2\sqrt{2},$$

因此錯誤率近似為

$$Q\left(\frac{\sqrt{2}}{\sigma_n}\right).$$

• $(+1,-1)$ 與 $(-1,-1)$，以及 $(-1,+1)$ 與 $(+1,+1)$：

$$d=2\sqrt{3},$$

因此錯誤率近似為

$$Q\left(\frac{\sqrt{3}}{\sigma_n}\right).$$

四種 $x$ 等機率出現，所以

$$\begin{aligned} P_e^{(x_1)} &\approx \frac{1}{4} \left[ 2Q\left(\frac{\sqrt{2}}{\sigma_n}\right) + 2Q\left(\frac{\sqrt{3}}{\sigma_n}\right) \right]\\ &= \frac{1}{2} Q\left(\frac{\sqrt{2}}{\sigma_n}\right) + \frac{1}{2} Q\left(\frac{\sqrt{3}}{\sigma_n}\right). \end{aligned}$$

其中第一項是主導項，因為 $\sqrt{2}<\sqrt{3}$。

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(d) 最小均方誤差的線性左逆系統

解題方法

在無雜訊時，

$$y=Hx.$$

因為 $H$ 具有滿 column rank，線性左逆可取 Moore–Penrose 偽逆：

$$W=(H^TH)^{-1}H^T.$$

先計算

$$H^TH= \begin{bmatrix} 3&-2\\ -2&3 \end{bmatrix},$$

因此

$$(H^TH)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3&2\\ 2&3 \end{bmatrix}.$$

故

此題考驗訊號取樣與重建的基本理論，包含 Nyquist 準則的應用以及取樣訊號在時域與頻域的表示。

核心觀念：取樣定理、理想低通濾波器重建、頻譜週期性。

(a) 取樣訊號 $x(t)$ 的傅立葉轉換為 $X(f) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M(f - \frac{k}{T})$，其中 $M(f)$ 是原始訊號 $m(t)$ 的傅立葉轉換。
重建濾波器的頻率響應為 $H(f)$。重建訊號 $\tilde{m}(t)$ 的傅立葉轉換為 $\tilde{M}(f) = X(f)H(f)$。
$\tilde{M}(f) = \left( \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M(f - \frac{k}{T}) \right) H(f)$
由於 $H(f) = T$ for $|f| \le 1/(2T)$ 且在其他地方為 0，
$\tilde{M}(f) = \frac{1}{T} H(f) \sum_{k=-\infty}^{\infty} M(f - \frac{k}{T}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} M(f - \frac{k}{T}) \cdot \frac{H(f)}{T}$
在 $|f| \le 1/(2T)$ 的頻率範圍內，$H(f)/T = 1$。
$\tilde{M}(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} M(f - \frac{k}{T}) \quad \text{for } |f| \le \frac{1}{2T}$
然而，為了得到以取樣值表示的 $\tilde{m}(t)$，我們需要利用濾波器的脈衝響應。理想低通濾波器 $H(f)$ 的脈衝響應為 $h(t) = T \text{sinc}(t/T)$。
重建訊號 $\tilde{m}(t)$ 是取樣訊號 $x(t)$ 通過脈衝響應為 $h(t)$ 的線性系統的輸出。
$\tilde{m}(t) = x(t) * h(t) = \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT)\delta(t - nT)\right) * (T \text{sinc}(t/T))$
$\tilde{m}(t) = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT) \text{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right)$
$\tilde{m}(t) = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT) \text{sinc}\left(\frac{t}{T} - n\right)$
其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。
【答案】$\tilde{m}(t) = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT) \text{sinc}\left(\frac{t}{T} - n\right)$。

(b) 根據 Nyquist 取樣準則，若訊號 $m(t)$ 的頻寬為 $B$，則為了完美重建 $m(t)$，取樣頻率 $f_s = 1/T$ 必須大於或等於 $2B$，即 $B \le 1/(2T)$。
題目假設 $m(t)$ 帶限於 $B < 1/(2T)$。
重建訊號的傅立葉轉換為 $\tilde{M}(f) = X(f)H(f)$。
$X(f) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M(f - \frac{k}{T})$
由於 $B < 1/(2T)$，在 $|f| \le B$ 的頻率範圍內，原始訊號的頻譜 $M(f)$ 與其頻移後的複製 $M(f - k/T)$ (對於 $k \neq 0$) 不會重疊。
因此，在 $|f| \le B$ 的範圍內，$X(f) = \frac{1}{T} M(f)$。
重建濾波器 $H(f) = T$ 在 $|f| \le 1/(2T)$ 的範圍內，且 $B < 1/(2T)$。
所以，在 $|f| \le B$ 的範圍內，
$\tilde{M}(f) = X(f)H(f) = \left(\frac{1}{T} M(f)\right) \cdot T = M(f)$
由於 $M(f)$ 在 $|f| > B$ 時為零，且 $H(f)$ 在 $|f| > 1/(2T)$ 時為零，因此 $\tilde{M}(f)$ 在 $|f| > B$ 時也為零。

核心觀念

本題探討數位通訊與隨機程序中的經典模型——隨機脈衝序列（Random Pulse Train / PAM Signal） 的統計特性分析。核心觀念與定理包含：

1. 隨機時延與廣義平穩性（WSS）：一般的脈衝序列具有週期平穩性（Cyclostationary）。引入均勻分佈於 $[0, T)$ 的隨機時延 $\delta$（Random Time Offset / Jitter）後，可將週期非平穩過程轉化為嚴格的廣義平穩過程（Wide-Sense Stationary, WSS）。
2. 全期望公式與區間拼接（Conditioning and Variable Substitution）：計算隨機程序的平均值 $E[n(t)]$ 與自相關函數 $R_n(t, t+\tau) = E[n(t)n(t+\tau)]$，透過條件期望值 $E[\cdot \mid \delta]$ 與變數變換 $\theta = t - iT + \delta$，將離散級數和拼接為全實數軸連續積分。
3. 白雜訊（White Noise）極限行為：當脈衝寬度 $T \to 0$ 且能量正規化時，自相關函數 $R_n(\tau)$ 趨近於狄拉克函數（Dirac Delta Function）$\delta(\tau)$，其功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）$S_n(f)$ 趨近於全頻帶均勻分佈之常數。
4. 線性時不變（LTI）系統之輸出特性：
   • 功率譜密度關係：$S_w(f) = S_n(f)|H(f)|^2$
   • 輸出方差（Variance）：$\operatorname{Var}(w(t)) = R_w(0) = \int_{-\infty}^{\infty} S_w(f) \, df$
5. 高斯程序（Gaussian Process）之線性不變性：高斯隨機程序通過任意穩定 LTI 系統後，其輸出仍為高斯隨機程序；若輸入為 WSS，則輸出亦必為 WSS。

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詳細解題步驟與推導

(a) 判斷 $n(t)$ 是否為廣義平穩過程（WSS）

Step 1：檢驗平均值 $E[n(t)]$
由於 $n_i$ 與 $\delta$ 相互獨立，且 $E[n_i] = 0$，根據全期望公式：
$E[n(t)] = E_{\delta}\left[ \sum_{i=-\infty}^{\infty} E[n_i] \cdot p(t - iT + \delta) \right] = E_{\delta}\left[ \sum_{i=-\infty}^{\infty} 0 \cdot p(t - iT + \delta) \right] = 0$
平均值為與時間 $t$ 無關的常數 $0$。

Step 2：計算自相關函數 $R_n(t, t+\tau) = E[n(t)n(t+\tau)]$
給定隨機變數 $\delta$ 的條件下，由於 $n_i$ 彼此獨立且同分佈（i.i.d.），其二階互相關滿足 $E[n_i n_j] = \sigma_n^2 \delta_{ij}$（其中 $\delta_{ij}$ 為 Kronecker delta）：
$E[n(t)n(t+\tau) \mid \delta] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} \sum_{j=-\infty}^{\infty} E[n_i n_j] \cdot p(t - iT + \delta) p(t + \tau - jT + \delta)$
$= \sigma_n^2 \sum_{i=-\infty}^{\infty} p(t - iT + \delta) p(t + \tau - iT + \delta)$

對 $\delta \sim \text{Uniform}[0, T)$ 取期望值（其機率密度函數為 $f_\delta(\delta) = \frac{1}{T}, \, \delta \in [0, T)$）：
$R_n(t, t+\tau) = \frac{\sigma_n^2}{T} \int_{0}^{T} \sum_{i=-\infty}^{\infty} p(t - iT + \delta) p(t + \tau - iT + \delta) \, d\delta$

令變數變換 $\theta = t - iT + \delta$，則 $d\theta = d\delta$。當 $\delta$ 從 $0$ 積分到 $T$ 時，$\theta$ 的積分區間為 $[t - iT, \, t - (i-1)T)$。將所有 $i \in \mathbb{Z}$ 的區間無縫拼接後，覆蓋整個實數軸 $(-\infty, \infty)$：
$R_n(t, t+\tau) = \frac{\sigma_n^2}{T} \sum_{i=-\infty}^{\infty} \int_{t-iT}^{t-(i-1)T} p(\theta) p(\theta + \tau) \, d\theta = \frac{\sigma_n^2}{T} \int_{-\infty}^{\infty} p(\theta) p(\theta + \tau) \, d\theta$

定義脈衝 $p(t)$ 自身的自相關函數為 $R_p(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} p(\theta) p(\theta + \tau) \, d\theta$。
已知 $p(t) = \frac{1}{\sqrt{T}} \text{rect}\left(\frac{t - T/2}{T}\right)$，為寬度 $T$、高度 $1/\sqrt{T}$ 之矩形脈衝，其自身卷積與積分結果為對稱三角脈衝：
$R_p(\tau) = \begin{cases} 1 - \frac{|\tau|}{T}, & |\tau| \le T \\ 0, & |\tau| > T \end{cases} = \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right)$

代入得自相關函數為：
$R_n(\tau) = \frac{\sigma_n^2}{T} \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right) = \begin{cases} \frac{\sigma_n^2}{T} \left(1 - \frac{|\tau|}{T}\right), & |\tau| \le T \\ 0, & |\tau| > T \end{cases}$

結論：
因為 $E[n(t)] = 0$（常數）且 $R_n(t, t+\tau) = R_n(\tau)$ 僅取決於時間差 $\tau$，與絕對時間 $t$ 無關，故雜訊程序 $n(t)$ 是廣義平穩程序（WSS）。

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(b) 當 $T \rightarrow 0$ 時，$R_n(\tau)$ 與 $S_n(f)$ 的極限行為

1. 自相關函數 $R_n(\tau)$ 的極限行為：
自相關函數為 $R_n(\tau) = \sigma_n^2 \cdot \left[ \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right) \right]$。
函數 $g_T(\tau) = \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right)$ 具備以下性質：

• 寬度為 $2T \xrightarrow{T \to 0} 0$
• 峰值高度為 $\frac{1}{T} \xrightarrow{T \to 0} \infty$
• 總面積為 $\int_{-\infty}^{\infty} g_T(\tau) \, d\tau = \frac{1}{T} \cdot \left(\frac{1}{2} \times 2T \times 1\right) = 1$

依據廣義函數（Delta Sequences）定義，當 $T \to 0$ 時，$g_T(\tau) \to \delta(\tau)$。
因此：