108 年 國立中央大學通訊工程學系碩士班甲組《工程數學》

核心觀念

• 行列式（determinant）的乘法性質：對任意同型方陣 $X,Y$，有
  $\det(XY)=\det(X)\det(Y).$
• 行列式的比例性質：若 $c$ 為純量，則 $c$ 乘以 $n\times n$ 方陣 $X$ 的每一列（或每一行）會使行列式乘上 $c$，因此
  $\det(cX)=c^{n}\det(X),\qquad n=\text{矩陣的階數}.$
• 可逆矩陣的行列式與其逆矩陣的關係：
  $\det(X^{-1})=\frac{1}{\det(X)}\quad(\det(X)\neq0).$

解題方法
本題給定 $3\times3$ 方陣 $A$、$B$，且已知 $\det(A)=5,\ \det(B)=-6$。
利用上述三個性質即可直接求得題目所問的兩個行列式。

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(1) 計算 $\det(3AB)$

先將比例因子 $3$ 拆成對 $3\times3$ 方陣的乘法影響：

$$\det(3AB)=\det\bigl((3I_3)AB\bigr) =\det(3I_3)\,\det(A)\,\det(B)$$

其中 $I_3$ 為 $3\times3$ 單位矩陣，$\det(3I_3)=3^{3}=27$（因為 $3I_3$ 的每一列皆乘以 3，階數 $n=3$）。

代入已知 $\det(A)=5,\ \det(B)=-6$：

$\det(3AB)=27\cdot5\cdot(-6)=27\cdot(-30)=-810.$

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(2) 計算 $\det(A^{-1}B)$

利用乘法性質與逆矩陣行列式公式：

$\det(A^{-1}B)=\det(A^{-1})\det(B)=\frac{1}{\det(A)}\det(B).$

將已知值代入：

核心觀念

• 線性獨立：向量組 $\{v_1,\dots ,v_k\}$ 若唯一的使 $c_1v_1+\cdots +c_kv_k=0$ 的係數組合為 $c_1=\cdots =c_k=0$，則稱為線性獨立；否則稱為線性相依。
• 向量的線性組合：若 $\{x_1,x_2,x_3\}$ 已知線性獨立，任何 $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ 必須導致 $a_1=a_2=a_3=0$。
• 利用基底的獨立性：把待驗證的向量寫成 $x_1,x_2,x_3$ 的線性組合，再把係數分離，利用基底的獨立性得到係數方程式。

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解題方法

1. 寫出 $y_1,y_2,y_3$ 的 $x_i$ 展開

$$\begin{aligned} y_1 &= x_1+x_2,\\ y_2 &= 2x_3-2x_1=2(x_3-x_1),\\ y_3 &= 3x_2+3x_3=3(x_2+x_3). \end{aligned}$$

2. 設一般線性組合等於零

$a\,y_1+b\,y_2+c\,y_3=0 .$

3. 代入展開式，整理成 $x_1,x_2,x_3$ 的組合

$$\begin{aligned} a(x_1+x_2)&+b(2x_3-2x_1)+c(3x_2+3x_3)=0\\ \Longrightarrow\;&(a-2b)\,x_1+(a+3c)\,x_2+(2b+3c)\,x_3=0 . \end{aligned}$$

4. 利用 $x_1,x_2,x_3$ 線性獨立，係數必全部為零：

$$\begin{cases} a-2b=0,\\ a+3c=0,\\ 2b+3c=0 . \end{cases}$$

5. 求解係數方程組
   • 從第一式得 $a=2b$。
   • 把 $a=2b$ 代入第二式：$2b+3c=0$，恰與第三式相同。
   • 因此只剩兩個獨立方程，解空間為一維。取參數 $c=t$，則

核心觀念

• 矩陣的秩 (rank)：對於 $m \times n$ 矩陣 $A$，$\operatorname{rank}(A)=n$ 表示其所有 $n$ 個欄向量線性獨立，亦即 $A$ 的欄空間維度為 $n$。
• 零空間 (null space)：$\mathcal N(A)=\{x\in\mathbb R^{n}\mid Ax=0\}$。若 $\operatorname{rank}(A)=n$，則 $\dim\mathcal N(A)=n-\operatorname{rank}(A)=0$，故 $\mathcal N(A)=\{0\}$。
• 線性映射的單射性：若 $\mathcal N(A)=\{0\}$，則映射 $x\mapsto Ax$ 為單射 (injective)，滿足 $Ax=Ay\iff x=y$。

解題方法

1. 滿秩情況 ($\operatorname{rank}(A)=n$)
   • 由 $\operatorname{rank}(A)=n$ 可得 $\mathcal N(A)=\{0\}$。
   • 設 $Ac=Ad$。兩側同減得到
     $A(c-d)=0.$
   • 因 $c-d\in\mathcal N(A)$ 且唯一零向量在 $\mathcal N(A)$ 中，必有 $c-d=0$，即 $c=d$。

核心觀念

• 奇異矩陣 (singular matrix)：方陣 $A$ 的行列式 $\det A =0$，等價於 $A$ 不是可逆的。
• 特徵值 (eigenvalue)：若存在非零向量 $x\neq0$ 使得 $Ax=\lambda x$，則 $\lambda$ 為 $A$ 的特徵值。
• 零向量的特徵值：若 $\lambda =0$，則條件變成 $Ax=0$，即 $x$ 為 $A$ 的零空間 (null space) 中的非零向量。

解題方法

1. 從「奇異」的定義出發，證明其必有非零的零空間向量。
2. 利用這個零空間向量直接構成特徵方程式，得到 $\lambda =0$ 為特徵值。

步驟推導

1. 奇異矩陣 ⇔ 零行列式

$A\text{ 為奇異} \Longleftrightarrow \det A =0 .$

2. 行列式為零 ⇔ 線性變換不可逆 ⇔ 零空間非平凡
   若 $\det A =0$，則 $A$ 有非平凡的核 (null space)：

$\exists\, v\neq0 \text{ 使得 } Av=0 .$

3. 零向量即為特徵向量，對應特徵值 0
   取上述非零向量 $v$，代入特徵值定義：

(1) 邊際機率密度函數 $f_X(x)$

當 $x \ge 0$ 時，對 $y$ 進行積分：
$f_X(x) = \int_{0}^{\infty} \lambda \mu e^{-(\lambda x + \mu y)} \, dy = \lambda e^{-\lambda x} \int_{0}^{\infty} \mu e^{-\mu y} \, dy = \lambda e^{-\lambda x}$
當 $x < 0$ 時，$f_X(x) = 0$。

【答案】
$f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

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(2) 隨機變數 $X$ 的平均值 $E[X]$

由邊際機率密度函數可知 $X$ 服從參數為 $\lambda$ 的指數分佈 ($X \sim \text{Exp}(\lambda)$)：
$E[X] = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda}$

【答案】
$E[X] = \frac{1}{\lambda}$

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(3) $X$ 與 $Y$ 是否獨立？

同理可求得 $Y$ 的邊際機率密度函數為：
$f_Y(y) = \begin{cases} \mu e^{-\mu y}, & y \ge 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
對所有 $x, y \in \mathbb{R}$，聯合機率密度函數皆滿足：
$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$
因為聯合機率密度函數可完全分解為邊際機率密度函數的乘積，故 $X$ 與 $Y$ 獨立。

【答案】
$X$ 與 $Y$ 獨立。

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(4) $X$ 與 $Y$ 是否不相關 (Uncorrelated)？

獨立的隨機變數必定不相關（其共變異數 $\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0$）。由第 (3) 小題可知 $X$ 與 $Y$ 獨立，故 $X$ 與 $Y$ 必為不相關。

【答案】
$X$ 與 $Y$ 不相關。

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核心觀念

• Poisson 隨機變數：若隨機變數 $X\sim\text{Poisson}(\alpha)$，其機率質量函數為
  $P_X(x)=\frac{\alpha^{x}e^{-\alpha}}{x!},\qquad x=0,1,2,\dots$
  $\alpha>0$ 為 參數，代表在觀測區間內的期望到達次數（即平均值 $\mathbb{E}[X]=\alpha$）。
• 泊松過程（Poisson process）：在連續時間下描述隨機事件（如封包到達）的出現情形。若其到達率為 $\lambda$（單位時間平均到達次數），則任意長度為 $t$ 的時間區間內的到達次數 $N(t)$ 服從
  $N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t).$
  因此 $\alpha=\lambda t$ 為該區間的期望到達次數。

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(a) 參數 $\alpha$ 的意義

在題目所給的 PMF 中，$\alpha$ 為單位時間內平均到達的封包數。具體而言：

• 若觀測的時間長度為 $t$（秒），且到達率為 $\lambda$（每秒平均到達數），則
  $\alpha=\lambda t.$
• $\alpha$ 同時等於 $\mathbb{E}[X]$，即 $X$ 的期望值與方差（Poisson 分布的變異數亦等於 $\alpha$）。

因此，$\alpha$ 直接描述了在所考慮的時間區間裡，「平均會有多少個封包」，它越大代表事件越頻繁，越小則表示較稀疏。

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(b) 從 $t=2$ 秒到 $t=3$ 秒之間無封包到達的機率