108 年 國立中央大學通訊工程學系碩士班甲組《通訊系統》

核心觀念

本題考查取樣脈衝列的頻譜複製、發射與接收濾波器的等效脈衝響應、AWGN 通過線性濾波器後的雜訊變異數，以及等概多階 PAM 的最佳判決。

令 $f_s=1/T_s$。取樣脈衝列的傅立葉轉換會使原頻譜以 $f_s$ 為間隔重複；濾波器輸出雜訊的變異數則為

$$\sigma_n^2=\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|^2\,dt.$$

解題方法與推導

(a) 繪出 $A_s(f)$

題目中的取樣信號為

$$a_s(t)=a(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s).$$

因此

$$A_s(f)=f_s\sum_{m=-\infty}^{\infty}A(f-mf_s).$$

原頻譜在 $|f|\le 0.4f_s$ 時為 1，所以每個頻譜複本的高度為 $f_s$、寬度為 $0.8f_s$，中心位於 $mf_s$。在題目指定的範圍 $|f|\le 2f_s$ 內：

頻率區間	$A_s(f)$
$[-2,-1.6]f_s$	$f_s$
$[-1.4,-0.6]f_s$	$f_s$
$[-0.4,0.4]f_s$	$f_s$
$[0.6,1.4]f_s$	$f_s$
$[1.6,2]f_s$	$f_s$
其餘區間	$0$

每個區間都是高度 $f_s$ 的矩形頻譜；各複本之間有頻譜空隙。

(b) 求 $f_{pass}$ 與 $f_{stop}$

題目要求 $s(t)=K a(t)$，因此在原信號頻帶 $|f|\le 0.4f_s$ 內，發射濾波器必須保留信號頻譜；又因為取樣造成的第一個相鄰頻譜複本從 $|f|=0.6f_s$ 開始，該處起必須進入阻帶，才能避免複本出現在輸出。

故通帶邊緣至少要涵蓋 $0.4f_s$，而阻帶邊緣需不晚於 $0.6f_s$。取最大轉換帶寬時，兩個邊緣分別位於這兩個界線：

$$f_{pass}=0.4f_s,\qquad f_{stop}=0.6f_s.$$

在原信號頻帶內，$A_s(f)=f_s$，因此通帶增益取 $K/f_s$ 即可使 $S(f)=K A(f)$。

(c) 繪出 $r(t)$

發射與接收濾波器相同，且

$$p(t)=h(t)= \begin{cases} 2,&0\le t\le 0.5T_s,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

等效脈衝響應為 $g(t)=p(t)*h(t)$。兩個高度為 2、寬度為 $0.5T_s$ 的矩形脈衝卷積後，得到支撐區間為 $[0,T_s]$ 的三角波：

$$g(t)= \begin{cases} 4t,&0\le t\le 0.5T_s,\\ 4(T_s-t),&0.5T_s<t\le T_s,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

其峰值為 $g(0.5T_s)=2T_s$。因此

$$r(t)=\sum_{n=0}^{4}a(nT_s)g(t-nT_s).$$

相鄰三角波只在端點相接，端點值皆為零，所以輸出是依序乘上各符號的三角波：

時間	$r(t)$
$0\le t\le T_s$	在 $0.5T_s$ 達峰值 $2T_s$
$T_s\le t\le 2T_s$	在 $1.5T_s$ 達峰值 $-2T_s$
$2T_s\le t\le 3T_s$	在 $2.5T_s$ 達峰值 $-6T_s$
$3T_s\le t\le 4T_s$	在 $3.5T_s$ 達峰值 $6T_s$
$4T_s\le t\le 5T_s$	在 $4.5T_s$ 達峰值 $-2T_s$

並且 $r(nT_s)=0$，$n=0,\ldots,5$。每一段在表列峰值與前後零點間作線性變化。

(d) 接收雜訊功率

核心觀念

題目中的 $f_s$ 未明確定義；以下依通訊系統常用記號，將它視為單音調變頻率。FM 解調後的訊號雜訊比，關鍵在於調變指數：頻率偏移固定時，調變頻率愈高，調變指數愈小。

對 $m(t)=A_m\cos(2\pi f_s t)$，峰值頻率偏移為 $\Delta f=f_dA_m$，調變指數為

$$\beta=\frac{\Delta f}{f_s}=\frac{f_dA_m}{f_s}.$$

在高載波雜訊比的標準 FM 分析下，單音 FM 的解調訊噪比與 $\beta^2$ 成正比；相對於解調前載波雜訊比的改善因子為

$$\frac{\mathrm{SNR}_{\mathrm{out}}}{\mathrm{SNR}_{\mathrm{in}}} =\frac{3}{2}\beta^2.$$

解題方法

本題考驗幅度調變 (AM) 系統的相關計算，包含訊號正規化、功率計算及效率分析。

核心觀念：

• AM 調變的數學模型。
• 訊號正規化。
• 訊號功率的計算。
• AM 調變器的效率。

給定訊息訊號 $m(t) = 4 \cos(10\pi t) + 6 \cos(30\pi t)$。
載波訊號為 $c(t) = 200 \cos(600\pi t)$。
調變指數 $\mu = 0.8$。

AM 調變器的輸出訊號一般形式為：
$s(t) = A_c [1 + \mu m_n(t)] \cos(2\pi f_c t)$
其中 $A_c$ 是載波幅度，$f_c$ 是載波頻率，$\mu$ 是調變指數，$m_n(t)$ 是正規化的訊息訊號。
由 $c(t) = 200 \cos(600\pi t)$ 可知，載波幅度 $A_c = 200$，載波角頻率 $\omega_c = 600\pi$，所以載波頻率 $f_c = 300$ Hz。
由 $m(t)$ 的頻率，$10\pi$ 和 $30\pi$ 應為角頻率。
$m(t) = 4 \cos(\omega_1 t) + 6 \cos(\omega_2 t)$，其中 $\omega_1 = 10\pi$ rad/s，$\omega_2 = 30\pi$ rad/s。
對應的頻率為 $f_1 = \omega_1 / (2\pi) = 5$ Hz，$f_2 = \omega_2 / (2\pi) = 15$ Hz。
載波頻率 $f_c = 300$ Hz，遠大於訊息訊號的頻率，符合 AM 調變的要求。

(a) Write the equation for $m_n(t)$, the normalized signal with a minimum value of -1.

正規化訊息訊號 $m_n(t)$ 的定義是將原始訊息訊號 $m(t)$ 的最大值和最小值分別映射到 1 和 -1。
$m_n(t) = \frac{m(t) - m_{avg}}{\max|m(t) - m_{avg}|}$。
如果訊號的平均值 $m_{avg}=0$，則 $m_n(t) = \frac{m(t)}{\max|m(t)|}$。
首先，我們需要找到 $m(t)$ 的最大絕對值。
$m(t) = 4 \cos(10\pi t) + 6 \cos(30\pi t)$。
由於 $10\pi t$ 和 $30\pi t$ 的頻率不同，它們的最大值不會同時發生。
因此，最大絕對值通常是各項最大絕對值之和（對於非同步訊號）。
$|m(t)|_{max} = |4| + |6| = 4 + 6 = 10$。
所以，正規化訊號為：
$m_n(t) = \frac{m(t)}{10} = \frac{4 \cos(10\pi t) + 6 \cos(30\pi t)}{10}$
$m_n(t) = 0.4 \cos(10\pi t) + 0.6 \cos(30\pi t)$。
這個正規化訊號的最大值為 $0.4 + 0.6 = 1$，最小值為 $-(0.4 + 0.6) = -1$。

【答案】
$m_n(t) = 0.4 \cos(10\pi t) + 0.6 \cos(30\pi t)$。

(b) Determine $<m_n(t)>$, the power in $m_n(t)$.

訊號的功率定義為其均方值的時間平均。
$P_{signal} = <x(t)^2> = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x^2(t) dt$。
對於週期性訊號或均值為零的隨機訊號，功率計算會簡化。
對於 $m_n(t) = 0.4 \cos(10\pi t) + 0.6 \cos(30\pi t)$，這是兩個不同頻率的餘弦訊號之和。
由於兩個頻率 $10\pi$ 和 $30\pi$ 的比值是整數 ($30\pi / 10\pi = 3$)，因此 $m_n(t)$ 是週期性訊號。

核心觀念

本題比較兩種 $M$ 元調變：

• $M$-PSK：以載波相位代表符號。
• $M$-FSK：以互相正交的 $M$ 個頻率代表符號。

設：

• $M=2^m$；
• $E$：每一個符號的能量；
• $E_b$：每一個位元的能量；
• 因為每個符號含有 $m=\log_2 M$ 個位元，所以
  $E=mE_b$
• 通道為 AWGN，雙邊雜訊功率頻譜密度為 $N_0/2$；
• FSK 採用相干偵測，且各頻率訊號彼此正交；
• $Q(x)$ 定義為
  $Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du$

主要使用兩個公式：

1. 二元判決錯誤率由判決變數的高斯尾端機率得到。
2. $M$ 元調變的高信噪比錯誤率，可用聯集界（union bound）近似：
   $P_s\approx \sum_{j\ne i}P(i\rightarrow j)$

---

(a) $M=2$ 時的接收器與位元錯誤率

1. 二元 PSK：BPSK

BPSK 以兩個相反相位表示兩個位元：

$s_0(t)=+\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos(2\pi f_ct)$

$s_1(t)=-\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos(2\pi f_ct)$

相干接收器先將接收訊號與同步載波相乘，再通過積分器或匹配濾波器，最後以零為門檻判決。

             ┌──────────────┐
r(t) ───────►│ × cos(2πfct) │──► 積分器／匹配濾波器 ──► 判決器
             └──────────────┘                         │
                                                       ├─ y > 0：判定 0
                                                       └─ y < 0：判定 1

取正交基底後，接收判決變數可寫成

$y=\pm\sqrt{E_b}+n$

其中

$n\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{N_0}{2}\right)$

假設傳送 $s_0$，錯誤事件為 $y<0$，因此

$$P_b^{\text{BPSK}} =Q\left(\frac{\sqrt{E_b}}{\sqrt{N_0/2}}\right)$$

得到

$$\boxed{ P_b^{\text{BPSK}} =Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) }$$

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2. 二元 FSK：相干 BFSK

BFSK 使用兩個互相正交的載波：

$s_0(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos(2\pi f_0t)$

$s_1(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos(2\pi f_1t)$

其中

$\int_0^{T_b}s_0(t)s_1(t)\,dt=0$

接收器使用兩個相關器，分別計算接收訊號在兩個頻率基底上的投影，再比較兩個輸出值。

                              ┌─► 相關器 f0 ─► y0 ─┐
r(t) ─────────────────────────┤                    ├─► 比較器
                              └─► 相關器 f1 ─► y1 ─┘

                    y0 > y1：判定 0
                    y1 > y0：判定 1

假設傳送 $s_0$，兩個相關器輸出為

$y_0=\sqrt{E_b}+n_0$

$y_1=n_1$

其中 $n_0,n_1$ 互相獨立，且

$n_0,n_1\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{N_0}{2}\right)$

判決錯誤條件為 $y_1>y_0$，亦即

$y_1-y_0>0$

令

$z=y_1-y_0=-\sqrt{E_b}+(n_1-n_0)$

由於

$n_1-n_0\sim\mathcal{N}(0,N_0)$

所以

$$P_b^{\text{BFSK}} =Q\left(\frac{\sqrt{E_b}}{\sqrt{N_0}}\right)$$

因此

$$\boxed{ P_b^{\text{coherent BFSK}} =Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) }$$

比較可知，在相同 $E_b/N_0$ 下：

$$Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) < Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)$$

所以相干 BPSK 的位元錯誤率低於相干 BFSK。

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(b) $M=2^m$、$m\ge 2$ 時的近似符號錯誤率

1. $M$-PSK

$M$-PSK 的相鄰星座點相位差為

$\Delta\theta=\frac{2\pi}{M}$

每個符號的判決區域由相鄰兩條角平分線構成，因此高信噪比時，主要錯誤來自兩個相鄰符號。

相鄰兩個 PSK 訊號的歐氏距離為

$d_{\min}=2\sqrt{E}\sin\left(\frac{\pi}{M}\right)$

AWGN 中兩個訊號的成對錯誤機率為

$$P(i\rightarrow j) =Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_0}}\right)$$

代入 $d_{\min}$：

$$P(i\rightarrow j) =Q\left( \sqrt{\frac{2E}{N_0}} \sin\frac{\pi}{M} \right)$$

每個符號有兩個主要相鄰錯誤，因此

$$\boxed{ P_s^{\text{M-PSK}} \approx 2Q\left( \sqrt{\frac{2E}{N_0}} \sin\frac{\pi}{M} \right) }$$

令 $M=2^m$，可寫為

$$\boxed{ P_s^{\text{M-PSK}} \approx 2Q\left( \sqrt{\frac{2E}{N_0}} \sin\frac{\pi}{2^m} \right) }$$

此式是高信噪比近似；低信噪比時，非相鄰符號錯誤不可忽略。

---

2. 相干正交 $M$-FSK

相干正交 $M$-FSK 使用 $M$ 個互相正交的訊號，每一個訊號能量皆為 $E$。

假設傳送第 $i$ 個訊號，接收器有 $M$ 個相關器：

                         ┌─► 相關器 1 ─► y1 ─┐
                         ├─► 相關器 2 ─► y2 ─┤
r(t) ────────────────────┼─►    ⋮       ─► ⋮  ├─► 選最大值
                         └─► 相關器 M ─► yM ─┘

接收端選擇輸出最大者：

本題考驗 QPSK 和 16-QAM 的符號錯誤機率和頻寬比較。

核心觀念：

• QPSK 和 16-QAM 的訊號星座圖。
• 符號錯誤機率 (Symbol Error Probability, $P_s$) 的計算。
• 頻寬的計算，特別是 null-to-null bandwidth。
• 相同資料率下的比較。

1. QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying)

• $M=4$ 個符號。
• 每個符號代表 $\log_2(4) = 2$ 位元。
• 星座圖：四個點位於圓上，相位分別為 $\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$ (或 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ 等，取決於定義)。
• 符號錯誤機率 (近似)：$P_s(\text{QPSK}) \approx 2 Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \sin(\frac{\pi}{4})\right) = 2 Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2N_0}}\right)$。
  • 這裡的 $E_s$ 是每符號能量。
  • 若以位元錯誤機率 $P_b$ 表示，則 $E_s = 2 E_b$。
  • $P_b(\text{QPSK}) \approx 2 Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{2N_0}}\right) = 2 Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)$。
• 頻寬：
  QPSK 使用兩個獨立的 BPSK 訊號（I 和 Q 兩個通道）來傳送兩位元資訊。
  每個通道的頻寬與 BPSK 相同。
  若資料率為 $R_b$ bps，則每位元週期 $T_b = 1/R_b$。
  每個通道的符號率為 $R_s = R_b / 2$。
  每個通道的符號週期 $T_s = 1/R_s = 2 T_b$。
  QPSK 的頻譜主要集中在 $R_s$ 附近。
  Null-to-null bandwidth 通常是指主瓣的寬度。
  對於使用 Raised Cosine 濾波器的系統，其 null-to-null bandwidth 與符號率 $R_s$ 有關。
  若使用 Ideal Nyquist filter (Rectangular pulse shaping)，頻寬為 $R_s$。
  考慮到 QPSK 是兩個 BPSK 訊號，每個 BPSK 的頻寬約為 $R_b$。
  若將兩個 BPSK 訊號併合，其頻寬也大約是 $R_b$。
  Null-to-null bandwidth 通常定義為 $2 R_s$。
  $R_s = R_b / 2$。
  所以，Null-to-null bandwidth $\approx 2 R_s = 2 (R_b / 2) = R_b$。
  或者，更精確地說，由於 I 和 Q 訊號共享頻譜，整個 QPSK 訊號的頻寬大約是 $R_b$。
  一些定義將 null-to-null bandwidth 定義為 $2 R_s$。

2. 16-QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

• $M=16$ 個符號。
• 每個符號代表 $\log_2(16) = 4$ 位元。
• 星座圖：16 個點，通常排列成一個 $4 \times 4$ 的網格。
• 符號錯誤機率 (近似)：對於 square QAM，
  $P_s(\text{16-QAM}) \approx 4 Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}} \frac{1}{\sqrt{2.5}}\right)$ (假設 $E_s$ 是平均符號能量)。
  更精確的公式是：$P_s \approx 4 Q\left(\frac{d/2}{\sigma}\right)$，其中 $d$ 是最小距離，$\sigma^2 = N_0/2$。
  對於 square QAM，若符號能量為 $E_s$，則 $d = 2 \sqrt{E_s / (5 \times M / 2)}$，對於 16-QAM, $M=16$, $E_s$
  $P_s \approx 4 Q\left(\frac{d/2}{\sqrt{N_0/2}}\right) = 4 Q\left(\frac{d}{\sqrt{2N_0}}\right)$。
  對於 square QAM，符號能量 $E_s = \frac{M}{3} d^2$ (當 $M=2^m$, $m$ 為偶數)。
  $E_s = \frac{16}{3} d^2 \implies d^2 = \frac{3 E_s}{16} \implies d = \sqrt{\frac{3 E_s}{16}} = \frac{\sqrt{3 E_s}}{4}$。