108 年 國立中山大學通訊工程研究所乙組《通訊理論》

核心觀念

本題考查：

1. 週期訊號的複指數傅立葉級數。
2. 時域相乘對應到頻域摺積。
3. 週期訊號乘上頻帶限制訊號後，產生位於諧波頻率上的頻譜 replicas。
4. 由頻譜 replicas 的間距判斷 aliasing 條件。

由圖可知，$p(t)$ 週期為 $T$，在每一週期內：

• $p(t)=1$，範圍為 $-T_1<t<T_1$；
• $p(t)=-1$，其餘時間範圍；
• 基本角頻率為

$$\omega_0=\frac{2\pi}{T}.$$

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(a) 求 $P(j\omega)$

先將 $p(t)$ 展開為複指數傅立葉級數：

$$p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0t}.$$

其中

$$c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}p(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt.$$

$k=0$ 的直流係數

一個週期內，$p(t)=1$ 的時間長度為 $2T_1$，$p(t)=-1$ 的時間長度為 $T-2T_1$，因此

$$c_0 =\frac{1}{T}\left[2T_1-(T-2T_1)\right] =\frac{4T_1}{T}-1.$$

$k\neq 0$ 的係數

利用整個週期內常數 $-1$ 的非直流傅立葉係數為零，可得

$$c_k =\frac{2}{T}\int_{-T_1}^{T_1}e^{-jk\omega_0t}\,dt.$$

計算積分：

$$\begin{aligned} c_k &=\frac{2}{T} \left[ \frac{e^{-jk\omega_0t}}{-jk\omega_0} \right]_{-T_1}^{T_1} \\ &=\frac{4}{T k\omega_0}\sin(k\omega_0T_1). \end{aligned}$$

因為 $\omega_0=2\pi/T$，所以

$$c_k =\frac{2}{\pi k} \sin\left(\frac{2\pi kT_1}{T}\right), \qquad k\neq 0.$$

週期訊號的傅立葉轉換為

$$P(j\omega) =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\delta(\omega-k\omega_0).$$

因此

$$\boxed{ P(j\omega) = 2\pi\left[ \left(\frac{4T_1}{T}-1\right)\delta(\omega) + \sum_{k\neq 0} \frac{2}{\pi k} \sin\left(\frac{2\pi kT_1}{T}\right) \delta(\omega-k\omega_0) \right] }$$

其中 $\omega_0=2\pi/T$。

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(b) 求 $Y(j\omega)$

由

$$y(t)=x(t)p(t)$$

以及時域相乘對應到頻域摺積：

$$Y(j\omega) =\frac{1}{2\pi}X(j\omega)*P(j\omega).$$

代入 $P(j\omega)$：

核心觀念

本題考查：

• 脈衝函數的卷積性質
  $\delta(t-t_0)*f(t)=f(t-t_0)$
• 線性與時不變系統的卷積運算。
• $\operatorname{sinc}(t)$ 的平移與卷積。
• 複數基頻等效訊號轉換為實數帶通信號時的濾波器表示。

令

$$A=x_i+jx_2$$

因此

$$x_1(t)=A\operatorname{sinc}(t)$$

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(a) 計算 $y(t)=h_1(t)*x_1(t)$

已知

$$h_1(t)=\delta(t)-j\delta(t-1)$$

利用卷積的線性性質：

$$\begin{aligned} y(t) &=\left[\delta(t)-j\delta(t-1)\right]*x_1(t)\\ &=\delta(t)*x_1(t)-j\delta(t-1)*x_1(t) \end{aligned}$$

再利用脈衝函數的卷積平移性質：

$$\delta(t)*x_1(t)=x_1(t)$$ $$\delta(t-1)*x_1(t)=x_1(t-1)$$

因此

$$y(t)=x_1(t)-jx_1(t-1)$$

代入 $x_1(t)=A\operatorname{sinc}(t)$：

$$\boxed{ y(t)=A\left[\operatorname{sinc}(t)-j\operatorname{sinc}(t-1)\right] }$$

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(b) 求等效濾波器 $h(t)$

已知

$$h_2(t)=2j\operatorname{sinc}(t)$$

且

$$r(t)=h_2(t)*y(t)=h(t)*x_1(t)$$

由 (a)：

$$y(t)=A\left[\operatorname{sinc}(t)-j\operatorname{sinc}(t-1)\right]$$

因此

$$\begin{aligned} r(t) &=2j\operatorname{sinc}(t) * A\left[\operatorname{sinc}(t)-j\operatorname{sinc}(t-1)\right]\\ &=2jA\left[ \operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}(t) -j\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}(t-1) \right] \end{aligned}$$

依題目提示，對整數平移量 $k$：

$$\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}(t-k) = \operatorname{sinc}(t-k)$$

因此

$$\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}(t) = \operatorname{sinc}(t)$$

以及

$$\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}(t-1) = \operatorname{sinc}(t-1)$$

代入可得

$$\begin{aligned} r(t) &=2jA\left[ \operatorname{sinc}(t)-j\operatorname{sinc}(t-1) \right]\\ &=A\left[ 2j\operatorname{sinc}(t)+2\operatorname{sinc}(t-1) \right] \end{aligned}$$

另一方面，

$$r(t)=h(t)*x_1(t)$$

而

$$x_1(t)=A\operatorname{sinc}(t)$$

選取

$$\boxed{ h(t)=2\operatorname{sinc}(t-1)+2j\operatorname{sinc}(t) }$$

即可得到

核心觀念

本題為數位通訊系統中脈衝振幅調變（PAM）訊號的隨機程序（Random Process）頻譜分析經典題型，核心涵蓋以下四大觀念：

1. 隨機變數轉換與 XOR 運算：

   • 互斥或（XOR, $\oplus$）運算本質為二進位模二加法（modulo-2 addition）：
     $b_n = a_n \oplus a_{n-1} = \begin{cases} 0, & a_n = a_{n-1} \\ 1, & a_n \neq a_{n-1} \end{cases}$
   • 當輸入序列 $\{a_n\}$ 為獨立同分布（i.i.d.）且具均勻分布時，輸出序列 $\{b_n\}$ 仍為對稱的 Bernoulli 隨機程序。

2. 離散隨機序列的自相關函數（Autocorrelation Function）：

   • 廣義平穩（WSS）隨機序列的自相關函數定義為：
     $R_b[k] = E[b_n b_{n+k}]$
   • 需針對時間延遲 $k = 0$、$|k| = 1$ 以及 $|k| \ge 2$ 分別探討變數之間的統計關聯性。

3. PAM 隨機訊號的功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）公式：

   • 連續時間隨機 PAM 訊號 $s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n g(t-nT)$ 為循環平穩（Cyclostationary）程序，其時間平均 PSD 遵循：
     $S_s(f) = \frac{1}{T} |G(f)|^2 S_b(f)$
     其中 $S_b(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} R_b[k] e^{-j 2\pi f k T}$ 為序列 $\{b_n\}$ 的離散時間傅立葉轉換（DTFT）。
   • 亦可拆解為連續頻譜（AC/隨機擾動成分）與離散譜線（DC/週期性均值成分）：
     $S_s(f) = \frac{\sigma_b^2}{T} |G(f)|^2 + \frac{\mu_b^2}{T^2} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left|G\left(\frac{m}{T}\right)\right|^2 \delta\left(f - \frac{m}{T}\right)$

4. 脈衝成形函數的頻譜零交越特性：

   • 矩形脈衝 $g(t) = \text{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ 的能量譜為 $|G(f)|^2 = T^2 \text{sinc}^2(Tf)$。
   • 在取樣頻率整數倍 $f = \frac{m}{T}$ ($m \in \mathbb{Z}, m \neq 0$) 處，$\text{sinc}(m) = 0$，僅直流成分 $m = 0$ 處保留衝激響應（Dirac delta function）。

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解題方法

(a) 求 $P(b_n = 0)$ 與 $P(b_n = 1)$

已知 $\{a_n\}$ 為 i.i.d. 序列，且 $P(a_n = 0) = P(a_n = 1) = \frac{1}{2}$。
因為 $a_n$ 與 $a_{n-1}$ 相互獨立，二者的聯合機率為：
$P(a_n = i, a_{n-1} = j) = P(a_n = i) P(a_{n-1} = j) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \quad \forall i, j \in \{0, 1\}$

1. 計算 $P(b_n = 0)$：
   $b_n = 0$ 當且僅當 $a_n = a_{n-1}$，利用全機率定理：
   $P(b_n = 0) = P(a_n = 0, a_{n-1} = 0) + P(a_n = 1, a_{n-1} = 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

2. 計算 $P(b_n = 1)$：
   $b_n = 1$ 當且僅當 $a_n \neq a_{n-1}$：
   $P(b_n = 1) = P(a_n = 1, a_{n-1} = 0) + P(a_n = 0, a_{n-1} = 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

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(b) 求序列 $b_n$ 的自相關函數 $R_b[k]$

自相關函數定義為 $R_b[k] = E[b_n b_{n+k}]$，依時滯 $k$ 分項計算：

1. 當 $k = 0$ 時：
   因為 $b_n \in \{0, 1\}$，故 $b_n^2 = b_n$：
   $R_b[0] = E[b_n^2] = E[b_n] = 0 \times P(b_n = 0) + 1 \times P(b_n = 1) = \frac{1}{2}$

2. 當 $|k| = 1$ 時（以 $k = 1$ 為例）：
   $b_n b_{n+1}$ 僅在 $b_n = 1$ 且 $b_{n+1} = 1$ 時取值為 $1$，其餘皆為 $0$：
   $E[b_n b_{n+1}] = 1 \times P(b_n = 1, b_{n+1} = 1) + 0 \times P(b_n b_{n+1} = 0) = P(b_n = 1, b_{n+1} = 1)$
   事件 $\{b_n = 1, b_{n+1} = 1\}$ 等價於 $\{a_{n-1} \neq a_n \text{ 且 } a_n \neq a_{n+1}\}$，符合條件的三聯組 $(a_{n-1}, a_n, a_{n+1})$ 僅有兩種可能：

   • $(0, 1, 0)$，機率為 $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$
   • $(1, 0, 1)$，機率為 $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

   因此：
   $R_b[1] = P(b_n = 1, b_{n+1} = 1) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$
   由對稱性可知 $R_b[-1] = R_b[1] = \frac{1}{4}$。

3. 當 $|k| \ge 2$ 時：
   $b_n = a_n \oplus a_{n-1}$ 僅由隨機變數集合 $\{a_n, a_{n-1}\}$ 決定；
   $b_{n+k} = a_{n+k} \oplus a_{n+k-1}$ 僅由 $\{a_{n+k}, a_{n+k-1}\}$ 決定。
   當 $|k| \ge 2$ 時，指標集合互斥，由 $\{a_n\}$ 之 i.i.d. 性質可知 $b_n$ 與 $b_{n+k}$ 相互獨立：

核心觀念

本題考的是希爾伯特轉換、單邊頻譜的形成，以及複指數調變造成的頻譜平移。

希爾伯特轉換的頻率響應為 $-j\operatorname{sgn}(\omega)$，因此

$$\widetilde X(\omega)=-j\operatorname{sgn}(\omega)X(\omega).$$

它不改變非零頻率處的頻譜大小，只改變相位：正頻率減少 $\pi/2$，負頻率增加 $\pi/2$。

另外，頻譜平移公式為

$$z(t)e^{j\omega_ct}\ \longleftrightarrow\ Z(\omega-\omega_c), \qquad z(t)e^{-j\omega_ct}\ \longleftrightarrow\ Z(\omega+\omega_c).$$

解題方法

原圖橫軸為角頻率 $\omega$，縱軸為 $|X(\omega)|$；兩個三角形分別位於 $[-\omega_2,-\omega_1]$ 與 $[\omega_1,\omega_2]$，峰值位置為 $-\omega_c$ 與 $\omega_c$，且 $0<\omega_1<\omega_c<\omega_2$。圖 2(a) 在相加後乘上 $e^{-j\omega_ct}$，圖 2(b) 則使用反希爾伯特轉換，並在相加後乘上 $e^{j\omega_ct}$。

依原卷，要求繪製的是 $x_{b,1}(t)$ 與 $x_{b,2}(t)$ 的頻譜；以下也列出題目文字提到的 $\widetilde x(t)$ 頻譜。

1. 希爾伯特轉換後的頻譜

由定義，

$$\widetilde X(\omega)= \begin{cases} -jX(\omega),&\omega>0,\\ jX(\omega),&\omega<0. \end{cases}$$

所以 $|\widetilde X(\omega)|=|X(\omega)|$：大小頻譜仍是原圖的兩個三角形，位置及高度均不變，只有相位改變。

2. 圖 2(a)：保留正頻率，再向左平移

相加器輸出為

$$z_1(t)=x(t)+j\widetilde x(t).$$

其頻譜為

$$\begin{aligned} Z_1(\omega) &=X(\omega)+j\bigl[-j\operatorname{sgn}(\omega)X(\omega)\bigr]\\ &=[1+\operatorname{sgn}(\omega)]X(\omega). \end{aligned}$$

因此，負頻率瓣被消除，正頻率瓣變成原來的兩倍。再乘上 $e^{-j\omega_ct}$，得到

$$\boxed{ X_{b,1}(\omega) =[1+\operatorname{sgn}(\omega+\omega_c)]X(\omega+\omega_c) }.$$

原本位於 $[\omega_1,\omega_2]$ 的正頻率瓣向左移動 $\omega_c$，因此輸出三角頻譜的範圍為

$$[\omega_1-\omega_c,\ \omega_2-\omega_c],$$

峰值移至 $\omega=0$。

3. 圖 2(b)：保留負頻率，再向右平移

令反希爾伯特轉換的輸出為 $v(t)$，則

$$V(\omega)=j\operatorname{sgn}(\omega)X(\omega).$$

相加器輸出為

$$z_2(t)=x(t)+jv(t),$$

所以

$$\begin{aligned} Z_2(\omega) &=X(\omega)+j\bigl[j\operatorname{sgn}(\omega)X(\omega)\bigr]\\ &=[1-\operatorname{sgn}(\omega)]X(\omega). \end{aligned}$$

因此，正頻率瓣被消除，負頻率瓣變成原來的兩倍。再乘上 $e^{j\omega_ct}$，得到

核心觀念

本題考查 AWGN 通道下的最佳偵測器。由於 $M$ 個訊號等機率傳送，因此 MAP 偵測器等同於最大概似（ML）偵測器。

兩個接收天線的雜訊彼此獨立，但雜訊變異數不同，因此合併時必須依照雜訊功率加權：雜訊功率越小的接收訊號，權重越大。

解題方法

對假設傳送訊號為 $s_m(t)$，兩個接收訊號的聯合條件機率密度為

$$p(y_1,y_2|s_m) \propto \exp\left[ -\frac{1}{2\sigma_1^2}\int |y_1(t)-s_m(t)|^2dt -\frac{1}{2\sigma_2^2}\int |y_2(t)-s_m(t)|^2dt \right].$$

因此最佳偵測器選擇使加權平方距離最小的訊號：

$$\hat m = \arg\min_{1\le m\le M} \left\{ \frac{1}{\sigma_1^2}\int |y_1(t)-s_m(t)|^2dt + \frac{1}{\sigma_2^2}\int |y_2(t)-s_m(t)|^2dt \right\}.$$

這就是根據兩個天線觀測值的最佳 ML/MAP 偵測規則。

將平方項展開，可得等價的判決形式：

$$\hat m = \arg\max_m \left[ \frac{1}{\sigma_1^2} \int y_1(t)s_m(t)\,dt + \frac{1}{\sigma_2^2} \int y_2(t)s_m(t)\,dt - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sigma_1^2} + \frac{1}{\sigma_2^2} \right) \int s_m^2(t)\,dt \right].$$

若所有訊號具有相同能量

$$E_m=\int s_m^2(t)\,dt=E_s,$$

則最後一項與 $m$ 無關，可以省略。因此判決量為

$$\Lambda_m = \int \left[ \frac{y_1(t)}{\sigma_1^2} + \frac{y_2(t)}{\sigma_2^2} \right] s_m(t)\,dt,$$

並選擇使 $\Lambda_m$ 最大的 $m$。

等效加權合併器

定義加權合併訊號