109 年 國立中山大學通訊工程研究所甲組《線性代數》

本題要求計算一個特殊結構的矩陣的行列式。此類型的矩陣稱為 Hilbert 矩陣的變形，通常可以透過行或列的操作來簡化計算。

考慮矩陣 $A$。我們對矩陣進行行運算，將第一列的元素加到其他列上，或將其他列的元素加到第一列上，通常可以簡化行列式的計算。

一個常見的技巧是將第一列的倍數加到其他列，或者將所有列加到第一列，再進行因式分解。

考慮將第二列到最後一列的元素都減去第一列的元素。
$R_i \leftarrow R_i - R_1$ for $i = 2, 3, \dots, n+1$.

$$\begin{bmatrix} a & b & b & \dots & b \\ b-a & a-b & 0 & \dots & 0 \\ b-a & 0 & a-b & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b-a & 0 & 0 & \dots & a-b \end{bmatrix}$$

這似乎沒有簡化太多。

另一種常見技巧是將所有列加到第一列，然後提取公因式。
$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + \dots + C_{n+1}$.
第一列的每個元素都會變成 $a + n \cdot b$.

本題要求計算一個矩陣的冪次方的特徵值與特徵向量。核心概念是，如果矩陣 $A$ 有特徵值 $\lambda$ 及對應的特徵向量 $v$，則 $f(A)$ 的特徵值為 $f(\lambda)$，對應的特徵向量仍然是 $v$，其中 $f(x)$ 是某個多項式。

首先，我們需要找出矩陣 $A$ 的特徵值和特徵向量。
矩陣 $A = \begin{bmatrix} -10 & 15 \\ 25 & -20 \end{bmatrix}$.
特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$.

$$\det \begin{bmatrix} -10-\lambda & 15 \\ 25 & -20-\lambda \end{bmatrix} = 0$$ $$(-10-\lambda)(-20-\lambda) - (15)(25) = 0$$ $$(10+\lambda)(20+\lambda) - 375 = 0$$ $$200 + 10\lambda + 20\lambda + \lambda^2 - 375 = 0$$ $$\lambda^2 + 30\lambda - 175 = 0$$

我們可以使用二次公式或因式分解來求解 $\lambda$。
因式分解：尋找兩個數字，其和為 30，積為 -175。
觀察到 $35 \times 5 = 175$。因此，我們可以嘗試 $( \lambda + 35)(\lambda - 5) = 0$.
$\lambda^2 - 5\lambda + 35\lambda - 175 = \lambda^2 + 30\lambda - 175$.
所以，特徵值為 $\lambda_1 = 5$ 和 $\lambda_2 = -35$.

接下來，我們尋找對應的特徵向量。

對於 $\lambda_1 = 5$:
我們需要解 $(A - 5I)v_1 = 0$.

$$\begin{bmatrix} -10-5 & 15 \\ 25 & -20-5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} -15 & 15 \\ 25 & -25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

兩方程式都給出 $x = y$。
令 $y=1$，則 $x=1$。
特徵向量 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

核心觀念

矩陣 $M$ 的奇異值分解為

$$M=U\Sigma V^{T},$$

其中 $U,V$ 為正交矩陣，$\Sigma$ 的對角元素為奇異值。

求法如下：

1. 先求 $M^{T}M$ 的特徵值；
2. 特徵值的正平方根即為奇異值；
3. 對應的單位特徵向量組成 $V$；
4. 利用 $$u_i=\frac{Mv_i}{\sigma_i}$$ 求出 $U$。

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解題方法

已知

$$M= \begin{bmatrix} -10&15\\ 25&-20 \end{bmatrix}, \qquad M^T= \begin{bmatrix} -10&25\\ 15&-20 \end{bmatrix}.$$

先計算

$$M^TM= \begin{bmatrix} -10&25\\ 15&-20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -10&15\\ 25&-20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 725&-650\\ -650&625 \end{bmatrix}.$$

令 $r=\sqrt{170}$，其特徵方程為

$$\det(M^TM-\lambda I) = \begin{vmatrix} 725-\lambda&-650\\ -650&625-\lambda \end{vmatrix} =0.$$

因此

$$(725-\lambda)(625-\lambda)-650^2=0,$$ $$\lambda^2-1350\lambda+30625=0.$$

解得

$$\lambda_{1,2} = \frac{1350\pm\sqrt{1350^2-4(30625)}}{2} = 675\pm50\sqrt{170}.$$

由於奇異值為特徵值的正平方根，

$$\sigma_1=\sqrt{675+50\sqrt{170}},$$ $$\sigma_2=\sqrt{675-50\sqrt{170}}.$$

且

$$\sigma_1>\sigma_2>0.$$

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求 $V$

對 $\lambda_1=675+50\sqrt{170}$，解

$$(M^TM-\lambda_1 I)v_1=0.$$

可取特徵向量

$$q_1= \begin{bmatrix} 13\\ 1-\sqrt{170} \end{bmatrix}.$$

其長度為

$$\|q_1\| = \sqrt{13^2+(1-\sqrt{170})^2} = \sqrt{340-2\sqrt{170}}.$$

因此

$$v_1= \frac{1}{\sqrt{340-2\sqrt{170}}} \begin{bmatrix} 13\\ 1-\sqrt{170} \end{bmatrix}.$$

對 $\lambda_2=675-50\sqrt{170}$，可取特徵向量

$$q_2= \begin{bmatrix} 13\\ 1+\sqrt{170} \end{bmatrix},$$

其長度為

$$\|q_2\| = \sqrt{340+2\sqrt{170}}.$$

故

$$v_2= \frac{1}{\sqrt{340+2\sqrt{170}}} \begin{bmatrix} 13\\ 1+\sqrt{170} \end{bmatrix}.$$

兩個特徵向量互相正交，因為

$$q_1^Tq_2 = 13^2+(1-\sqrt{170})(1+\sqrt{170}) = 169+1-170=0.$$

所以

$$V= \begin{bmatrix} v_1&v_2 \end{bmatrix}$$

即

$$V= \begin{bmatrix} \dfrac{13}{\sqrt{340-2\sqrt{170}}} & \dfrac{13}{\sqrt{340+2\sqrt{170}}} \\[10pt] \dfrac{1-\sqrt{170}}{\sqrt{340-2\sqrt{170}}} & \dfrac{1+\sqrt{170}}{\sqrt{340+2\sqrt{170}}} \end{bmatrix}.$$

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求 $U$

利用

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 矩陣乘積 $AB$ 的秩與核空間維度：

   • 秩—零度定理：
     $\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=\text{定義域維度}$
   • 矩陣乘積的秩受中間空間維度限制。

2. 線性變換
   $T(X)=XC-CX$
   的像空間求法：

   • 以標準基底逐一計算其像。
   • 由所得矩陣判斷像空間的基底。
   • 若題目要求相對於標準基底表示，需同時寫出座標向量。

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（a）求 $\ker(AB)$ 的可能維度

解題方法

矩陣大小為

$$A\in M_{8\times 6},\qquad B\in M_{6\times 11}.$$

因此

$$AB\in M_{8\times 11},$$

所以 $AB$ 所代表的線性映射為

$$AB:\mathbb{R}^{11}\to\mathbb{R}^{8}.$$

由秩—零度定理，

$$\dim(\ker(AB))=11-\operatorname{rank}(AB).$$

由於 $AB$ 經過 $\mathbb{R}^{6}$，其秩最多為 $6$：

$$\operatorname{rank}(AB)\leq 6.$$

另一方面，矩陣 $A,B$ 並未給定具體內容，$\operatorname{rank}(AB)$ 可以從 $0$ 到 $6$ 的每一個整數值。例如，可以選擇 $A$ 與 $B$ 使得乘積的秩分別為 $0,1,\ldots,6$。

因此

$$\operatorname{rank}(AB)\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.$$

代入零度公式：

$$\begin{aligned} \dim(\ker(AB)) &=11-\operatorname{rank}(AB)\\ &\in\{11,10,9,8,7,6,5\}. \end{aligned}$$

所以共有 $7$ 種可能的維度。

解題技巧

先看 $AB$ 的定義域維度為 $11$，再判斷 $\operatorname{rank}(AB)$ 的可能範圍即可。關鍵是：

$$\operatorname{rank}(AB)\leq \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\}\leq 6.$$

因此核空間維度的範圍為

$$11-6\leq\dim(\ker(AB))\leq 11.$$

所有整數值皆可達到，所以不能只寫範圍，必須列出全部可能值。

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（b）求線性變換 $T$ 的像空間基底

令

$$C= \begin{bmatrix} 2&5\\ 1&2 \end{bmatrix}, \qquad X= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}.$$

線性變換定義為

$$T(X)=XC-CX.$$

計算一般形式

先計算 $XC$：

$$XC= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&5\\ 1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a+b&5a+2b\\ 2c+d&5c+2d \end{bmatrix}.$$

再計算 $CX$：

$$CX= \begin{bmatrix} 2&5\\ 1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a+5c&2b+5d\\ a+2c&b+2d \end{bmatrix}.$$

因此

$$T(X)= \begin{bmatrix} b-5c&5a-5d\\ d-a&5c-b \end{bmatrix}.$$

令

$$u=b-5c,\qquad v=d-a.$$

則

本題考查在函數空間上的內積、Gram-Schmidt 正交化過程以及最小平方法近似。

(a) Gram-Schmidt 正交化

給定向量空間 $C^0_{[0,1]}$，內積定義為 $\langle f,g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx$。
子空間 $S$ 由向量 $1$ 和 $x$ 張成。令 $u_1(x) = 1$ 和 $u_2(x) = x$。
我們使用 Gram-Schmidt 過程來尋找 $S$ 的一個標準正交基。

第一步：令 $v_1 = u_1 = 1$。
正規化 $v_1$ 得到第一個標準正交向量 $e_1$。
$\|v_1\|^2 = \langle v_1, v_1 \rangle = \int_0^1 1 \cdot 1 dx = [x]_0^1 = 1$。
$\|v_1\| = 1$。
所以，$e_1(x) = \frac{v_1}{\|v_1\|} = 1$。

第二步：找到與 $e_1$ 正交的向量 $v_2$。
$v_2 = u_2 - \text{proj}_{v_1} u_2 = u_2 - \frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{\|v_1\|^2} v_1$。
計算內積 $\langle u_2, v_1 \rangle = \langle x, 1 \rangle = \int_0^1 x \cdot 1 dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$。
$\|v_1\|^2 = 1$。
所以，$v_2(x) = x - \frac{1/2}{1} \cdot 1 = x - \frac{1}{2}$。

第三步：正規化 $v_2$ 得到第二個標準正交向量 $e_2$。
計算 $\|v_2\|^2 = \langle v_2, v_2 \rangle = \int_0^1 (x - \frac{1}{2})^2 dx$。
令 $u = x - \frac{1}{2}$，則 $du = dx$。積分範圍不變。
$\int_0^1 (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4 - 6 + 3}{12} = \frac{1}{12}$。
$\|v_2\| = \sqrt{\frac{1}{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$。
所以，$e_2(x) = \frac{v_2}{\|v_2\|} = \frac{x - 1/2}{1/(2\sqrt{3})} = 2\sqrt{3} (x - \frac{1}{2}) = \sqrt{3} (2x - 1)$。

標準正交基 $\mathcal{B}$ 為 $\{e_1(x), e_2(x)\} = \{1, \sqrt{3}(2x-1)\}$。

(b) 最小平方法近似

核心觀念

群的階為質數 $5$ 時，群必為循環群。也就是說，任一非單位元都能生成整個群，元素可依序寫成 $e,g,g^2,g^3,g^4$，且 $g^5=e$。

題目沒有指定 $a,b,c,d$ 分別對應哪個生成元次方，因此表格不能唯一決定。以下採用合理假設：令 $a=g,\ b=g^2,\ c=g^3,\ d=g^4$。

解題方法

將群運算視為指數相加，並以 $g^5=e$ 化簡。例如：

• $a\cdot b=g\cdot g^2=g^3=c$。
• $c\cdot d=g^3\cdot g^4=g^7=g^2=b$。
• $a\cdot d=g\cdot g^4=g^5=e$。

依此計算各列：

核心觀念

本題考查線性轉換的矩陣表示。

若 $B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 是定義域的有序基底，$C$ 或 $D$ 是陪域的有序基底，則

$$[T]_{C\leftarrow B} = \begin{bmatrix} [T(v_1)]_C & [T(v_2)]_C & [T(v_3)]_C & [T(v_4)]_C \end{bmatrix}.$$

也就是說：

1. 依序計算 $T$ 作用在 $B$ 的每個基底向量所得的結果。
2. 將所得多項式改寫成陪域基底 $C$ 或 $D$ 的線性組合。
3. 將各組合的座標向量依序排列成矩陣的欄向量。

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解題方法

令

$$E_{11}= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad E_{12}= \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad E_{21}= \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},\quad E_{22}= \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

這四個矩陣依序就是基底 $B$ 的元素。

各基底向量的轉換結果

對一般矩陣

$$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},$$

題目給定

$$T(A)=(a+b)+2dx+bx^2.$$

因此：

1. $E_{11}$

此時 $a=1,b=c=d=0$，所以

$$T(E_{11})=1.$$

2. $E_{12}$

此時 $b=1,a=c=d=0$，所以

$$T(E_{12})=1+x^2.$$

3. $E_{21}$

此時 $c=1,a=b=d=0$，所以

$$T(E_{21})=0.$$

4. $E_{22}$

此時 $d=1,a=b=c=0$，所以

$$T(E_{22})=2x.$$

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(a) 相對於 $B,C$ 的矩陣表示

因為

$$C=\{1,x,x^2\},$$

各轉換結果在基底 $C$ 下的座標為

$$[T(E_{11})]_C= \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \quad [T(E_{12})]_C= \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},$$ $$[T(E_{21})]_C= \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}, \quad [T(E_{22})]_C= \begin{bmatrix}0\\2\\0\end{bmatrix}.$$

將這些座標向量依序作為欄向量：

$$[T]_{C\leftarrow B} = \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ 0&0&0&2\\ 0&1&0&0 \end{bmatrix}.$$

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(b) 相對於 $B,D$ 的矩陣表示

給定

$$D=\{1+x,\ x,\ 1+x^2\}.$$

設任意多項式

核心觀念

本題考查三對角矩陣的行列式遞迴關係。令

$$d_n=|A_n|.$$

對第一列展開行列式時，只會出現前兩個元素 $1,1$，因此可將 $d_n$ 化為較低階行列式。所使用的工具包括：

• 行列式的餘因子展開；
• 三對角矩陣的結構；
• 餘因子符號 $(-1)^{i+j}$。

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解題方法：沿第一列展開

對 $A_m$ 的第一列作餘因子展開。第一列只有前兩個非零元素，因此

$$d_m = 1\cdot C_{11}+1\cdot C_{12},$$

其中 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$M_{ij}$ 表示刪去第 $i$ 列與第 $j$ 欄後所得的子行列式。

先計算 $C_{11}$。

刪去第一列與第一欄後，所得矩陣為

$$\begin{bmatrix} 1&1&0&\cdots&0\\ 1&1&1&\cdots&0\\ 0&1&1&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&1\\ 0&0&0&1&1 \end{bmatrix},$$

這正是 $A_{m-1}$，所以

$$C_{11}=|A_{m-1}|=d_{m-1}.$$

再計算 $C_{12}$。刪去第一列與第二欄後，所得矩陣的第一欄為

$$\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}.$$

沿此第一欄展開，剩餘的子矩陣正是 $A_{m-2}$，因此

$$M_{12}=|A_{m-2}|=d_{m-2}.$$

由於

$$C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12},$$

故

$$C_{12}=-d_{m-2}.$$

合併兩項可得

$$d_m=d_{m-1}-d_{m-2}.$$

本題要求計算一個旋轉矩陣的冪次方。這類問題的核心是利用矩陣的指數形式或棣莫弗定理 (De Moivre's Theorem)。

矩陣 $A = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 代表一個繞原點逆時針旋轉 $\theta$ 角的旋轉變換。
根據矩陣乘法規則，兩個旋轉矩陣相乘對應於角度的相加：
$\begin{bmatrix} \cos(\theta_1) & -\sin(\theta_1) \\ \sin(\theta_1) & \cos(\theta_1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta_2) & -\sin(\theta_2) \\ \sin(\theta_2) & \cos(\theta_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \end{bmatrix}$。

因此，矩陣 $A$ 的 $k$ 次冪為：
$A^k = \begin{bmatrix} \cos(k\theta) & -\sin(k\theta) \\ \sin(k\theta) & \cos(k\theta) \end{bmatrix}$。

在本題中，$\theta = \frac{\pi}{6}$。我們需要計算 $A^{100}$。
根據上述公式，
$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos(100 \cdot \frac{\pi}{6}) & -\sin(100 \cdot \frac{\pi}{6}) \\ \sin(100 \cdot \frac{\pi}{6}) & \cos(100 \cdot \frac{\pi}{6}) \end{bmatrix}$。

核心觀念

本題主要考查：

1. 行列式只定義於方陣。
2. 初等列運算對行列式的影響。
3. 矩陣乘積的逆矩陣公式： $$(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$$
4. 利用矩陣表示列運算。

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(a) 題目資料的維度檢查

題目給出的 $A$ 為 $3\times 3$ 矩陣，但 $B$ 為

$$B= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21}+2a_{31} & a_{23}+2a_{33}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix},$$

因此 $B$ 是 $3\times 2$ 矩陣。

行列式 $|B|$ 只對方陣定義，$3\times 2$ 矩陣沒有行列式。因此，依照題目目前的排版，$|B|$ 沒有定義，無法由 $|A|=10$ 求出數值。

此外，即使將 $|B|$ 解讀為某個二階子矩陣的行列式，$|A|=10$ 也不足以唯一決定該子矩陣的行列式。

例如：

$$A_1= \begin{bmatrix} 10&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad |A_1|=10,$$

此時

$$B_1= \begin{bmatrix} 10&0\\ 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}.$$

另一個矩陣

$$A_2= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&10 \end{bmatrix}, \qquad |A_2|=10,$$

則有

$$B_2= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&10\\ 10&0 \end{bmatrix}.$$

兩者的 $|A|$ 都等於 $10$，但得到的 $B$ 不同，故不存在唯一的 $|B|$。

(a) 結論

題目將 $B$ 寫成 $3\times2$ 矩陣，故 $|B|$ 未定義；題目資料不足以得到數值答案。

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(b) 將 $C$ 表示為矩陣乘積

令

$$s=\sin\theta,\qquad c=\cos\theta.$$

觀察 $C$ 的三個列向量，可知 $C$ 是由 $A$ 進行下列列運算得到：

• 第一列：$R_1\leftarrow R_1-sR_3$
• 第二列：$R_2\leftarrow R_2-cR_3$
• 第三列保持不變

因此可寫成