109 年 國立中山大學通訊工程研究所乙組《電子學》

核心觀念

本題利用二階轉移函數的極點、零點與直流增益條件：

• 極點決定分母多項式。
• 傳輸在 $\omega=2$ rad/s 為零，表示在 $s=\pm j2$ 有零點。
• 直流增益為 1，即 $H(0)=1$。
• 對實際線性電路，轉移函數係數為實數，因此零點必須成共軛對出現。

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解題方法

設轉移函數為

$$H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}.$$

1. 由極點求分母

題目給定極點

$$s_1=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad s_2=-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

因此分母為

$$D(s)=(s-s_1)(s-s_2).$$

利用共軛根相乘：

$$D(s) = \left(s+\frac12-j\frac{\sqrt3}{2}\right) \left(s+\frac12+j\frac{\sqrt3}{2}\right)$$ $$= \left(s+\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2$$ $$=s^2+s+\frac14+\frac34 =s^2+s+1.$$

所以

$$D(s)=s^2+s+1.$$

2. 由傳輸零點求分子

頻率響應為 $H(j\omega)$。題目指出在 $\omega=2$ rad/s 時傳輸為零：

$$H(j2)=0.$$

因此 $s=j2$ 是零點。因為轉移函數係數為實數，其共軛點 $s=-j2$ 也必須是零點。

故分子為

$$N(s)=K(s-j2)(s+j2)$$ $$=K(s^2+4),$$

其中 $K$ 為待定常數。

因此轉移函數可寫成

核心觀念

本題考查共射極放大器的：

• 分壓偏壓電路之直流工作點
• hybrid-$\pi$ 小訊號模型
• 輸入電阻 $R_i$
• 電壓增益 $v_o/v_s$
• 電流增益 $i_o/i_i$

中頻分析時，耦合電容與旁路電容視為短路，因此射極為交流接地，$V_{CC}$ 亦為交流接地。

以下採用 $V_{BE}\simeq 0.7$ V、$V_T\simeq 25$ mV。

(a) 計算直流偏壓電流 $I_E$

將 $R_1$、$R_2$ 化為戴維寧等效：

$$V_{TH}=V_{CC}\frac{R_2}{R_1+R_2} =9\frac{15}{27+15} =3.214\text{ V}$$ $$R_{TH}=R_1\parallel R_2 =27\parallel 15 =9.643\text{ k}\Omega$$

基極電流為

$$I_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}} {R_{TH}+(\beta+1)R_E}$$ $$I_B= \frac{3.214-0.7} {9.643\text{ k}\Omega+101(1.2\text{ k}\Omega)} =19.2\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_E=(\beta+1)I_B =101(19.2\ \mu\text{A}) \simeq 1.94\text{ mA}$$

順便確認電晶體工作於主動區：

$$V_E=I_E R_E =(1.94\text{ mA})(1.2\text{ k}\Omega) \simeq 2.33\text{ V}$$ $$I_C\simeq \frac{\beta}{\beta+1}I_E \simeq 1.92\text{ mA}$$ $$V_C=9-I_C R_C =9-(1.92\text{ mA})(2.2\text{ k}\Omega) \simeq 4.77\text{ V}$$ $$V_{CE}=V_C-V_E\simeq 2.44\text{ V}>0$$

所以工作點位於主動區。

(b) hybrid-$\pi$ 小訊號模型

中頻時：

• 輸入、輸出耦合電容視為短路
• 射極旁路電容使射極交流接地
• $V_{CC}$ 為交流接地
• $R_1$、$R_2$ 皆接至交流地
• 電晶體以 $r_\pi$、受控電流源 $g_m v_\pi$ 及 $r_o$ 表示

電晶體參數為

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1.92\text{ mA}}{25\text{ mV}} \simeq 0.0769\text{ S}$$ $$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{0.0769} \simeq 1.30\text{ k}\Omega$$

由 Early effect：

$$r_o=\frac{V_A}{I_C} =\frac{100\text{ V}}{1.92\text{ mA}} \simeq 52.0\text{ k}\Omega$$

因此，輸入端看到 $R_1\parallel R_2\parallel r_\pi$；輸出端看到 $R_C\parallel R_L\parallel r_o$。

(c) 輸入電阻 $R_i$

$$R_i=R_1\parallel R_2\parallel r_\pi$$

核心觀念

圖 2 為兩組電流鏡：

• PMOS：$Q_1$ 為二極體接法，設定 $I_{REF}$；$Q_2$ 輸出 $I_2$，$Q_3$ 提供 $Q_4$ 的參考電流。
• NMOS：$Q_4$ 為二極體接法，$Q_5$ 輸出 $I_5$。

忽略通道長度調變時，同一電流鏡中的元件具有相同的 $V_{OV}$，因此

$$\frac{I_D}{I_{D,\mathrm{ref}}} = \frac{(W/L)}{(W/L)_{\mathrm{ref}}}.$$

飽和區電流公式為

$$I_D=\frac{1}{2}k'\frac{W}{L}V_{OV}^2.$$

其中 PMOS 使用

$$V_{OV,p}=V_{SG}-|V_{tp}|,$$

NMOS 使用

$$V_{OV,n}=V_{GS}-V_{tn}.$$

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解題方法與計算

（a）各電晶體寬度與電阻 $R$

所有元件的 $L=2\,\mu\text{m}$，最小寬度為 $2\,\mu\text{m}$，故最小的 $W/L=1$。

1. PMOS 電流鏡

令 $Q_1$ 採用最小尺寸：

$$W_1=2\,\mu\text{m},\qquad \frac{W_1}{L}=1.$$

由 $I_{REF}=20\,\mu\text{A}$，

$$20 = \frac{1}{2}(30)(1)V_{OV,p}^2,$$

因此

$$V_{OV,p} = \sqrt{\frac{2(20)}{30}} = 1.155\text{ V}.$$

$Q_2$ 與 $Q_1$ 的電流比為

$$\frac{I_2}{I_{REF}} = \frac{100}{20} = 5,$$

所以

$$\frac{W_2}{W_1}=5 \quad\Longrightarrow\quad W_2=10\,\mu\text{m}.$$

$Q_3$ 輸出給 $Q_4$ 的電流為 $20\,\mu\text{A}$，因此可採最小尺寸：

$$W_3=2\,\mu\text{m}.$$

2. NMOS 電流鏡

$Q_4$ 的參考電流為 $I_{REF}=20\,\mu\text{A}$，採最小尺寸：

$$W_4=2\,\mu\text{m}.$$

$Q_5$ 的電流比為

$$\frac{I_5}{I_4} = \frac{40}{20} = 2,$$

因此

$$\frac{W_5}{W_4}=2 \quad\Longrightarrow\quad W_5=4\,\mu\text{m}.$$

各元件尺寸整理如下：

元件	類型	電流	$W$
$Q_1$	PMOS	$20\,\mu\text{A}$	$2\,\mu\text{m}$
$Q_2$	PMOS	$100\,\mu\text{A}$	$10\,\mu\text{m}$
$Q_3$	PMOS	$20\,\mu\text{A}$	$2\,\mu\text{m}$
$Q_4$	NMOS	$20\,\mu\text{A}$	$2\,\mu\text{m}$
$Q_5$	NMOS	$40\,\mu\text{A}$	$4\,\mu\text{m}$

3. 求電阻 $R$

$Q_1$ 的

$$V_{SG1}=|V_{tp}|+V_{OV,p} =0.9+1.155 =2.055\text{ V}.$$

核心觀念

本題考查共基極（common-base, CB）放大器的：

1. 中頻電壓增益。
2. 耦合電容與旁路電容造成的低頻截止頻率。
3. $C_\pi$、$C_\mu$ 造成的高頻極點與上限截止頻率。

原圖標示的是 $r_e=25\,\Omega$；以下依原卷圖示計算。因此

$$g_m=\frac{1}{r_e}=\frac{1}{25}=40\text{ mS}$$ $$r_\pi=\beta r_e=100(25)=2.5\text{ k}\Omega$$

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(a) 中頻增益 $V_o/V_s$

中頻時，$C_1$ 與 $10\,\mu\text{F}$ 視為短路，因此基極為交流接地，集極負載為

$$R_C'=2\text{ k}\Omega\parallel 47\text{ k}\Omega\parallel 1\text{ k}\Omega$$ $$R_C'=657.3\,\Omega$$

輸入端的交流電阻為

$$R_{\text{in,e}}\simeq r_e=25\,\Omega$$

考慮訊號源串聯的 $100\,\Omega$ 電阻，射極電壓為

$$v_e=v_s\frac{25}{100+25}$$

共基極放大器的集極電流與射極電壓同相，但集極電壓因電流增加而下降，因此電壓增益為負：

$$\frac{v_o}{v_s} \simeq -\alpha R_C'\frac{1}{100+r_e}$$

其中

$$\alpha=\frac{\beta}{\beta+1}=\frac{100}{101}=0.990$$

所以

$$\boxed{ \frac{V_o}{V_s} \simeq -\frac{0.990(657.3)}{125} \simeq -5.21 }$$

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(b) 低頻截止頻率 $f_L$

使用短路時間常數法：

$$\omega_L\simeq \sum_i\frac{1}{R_iC_i}$$

因此

$$f_L\simeq \sum_i\frac{1}{2\pi R_iC_i}$$

輸出耦合電容 $10\,\mu\text{F}$

將獨立電壓源歸零，左端所見電阻為

$$2\text{ k}\Omega\parallel47\text{ k}\Omega =1.918\text{ k}\Omega$$

右端為 $1\text{ k}\Omega$，故

$$R_{10\mu\text{F}}=1.918\text{ k}\Omega+1\text{ k}\Omega =2.918\text{ k}\Omega$$

相應截止頻率：

$$f_{L,o} = \frac{1}{2\pi(2.918\text{ k}\Omega)(10\,\mu\text{F})} \simeq 54.6\text{ Hz}$$

基極旁路電容 $C_1=1\,\mu\text{F}$

由基極看入電晶體及訊號源的電阻為

$$R_b=r_\pi+(\beta+1)(100\,\Omega)$$ $$R_b=2.5\text{ k}\Omega+101(100\,\Omega) =12.6\text{ k}\Omega$$

$47\text{ k}\Omega$ 電阻也必須計入。其另一端經集極交流電阻接地，因此

$$R_{47k}\simeq 47\text{ k}\Omega+ (2\text{ k}\Omega\parallel1\text{ k}\Omega) =47.667\text{ k}\Omega$$

故 $C_1$ 所見電阻為