113 年 國立中山大學通訊工程研究所乙組《電子學》

核心觀念

三階低通濾波器的轉移函數可寫成

$$T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}。$$

其中：

• 自然模態對應轉移函數的極點。
• 傳輸零點決定分子 $N(s)$ 的根。
• 在 $s=\infty$ 有零點，表示分子的階數低於分母階數；本題三階系統因此分子為一次式。
• 「直流增益為 1」表示

$$T(0)=1。$$

本題有限傳輸零點位於 $\omega=2$，對應低通原型的實軸零點 $s=-2$。

解題方法

1. 建立分母

題目給出的自然模態為

$$s=-1,\qquad s=-0.5\pm j0.8。$$

因此三個極點形成的分母為

$$D(s)=(s+1)\left(s-(-0.5+j0.8)\right) \left(s-(-0.5-j0.8)\right)。$$

共軛複數極點可整理為

$$\left(s+0.5-j0.8\right)\left(s+0.5+j0.8\right) =(s+0.5)^2+(0.8)^2。$$

所以

$$D(s)=(s+1)\left[(s+0.5)^2+0.64\right].$$

展開二階部分：

$$(s+0.5)^2+0.64 =s^2+s+0.25+0.64 =s^2+s+0.89。$$

因此

$$D(s)=(s+1)(s^2+s+0.89)$$

以及

$$D(s)=s^3+2s^2+1.89s+0.89。$$

2. 建立分子

有限傳輸零點為 $s=-2$，且在 $s=\infty$ 還有一個零點，因此分子為一次式：

$$N(s)=K(s+2)。$$

故轉移函數先寫成

$$T(s)=\frac{K(s+2)} {(s+1)\left[(s+0.5)^2+0.64\right]}。$$

核心觀念

本題考查共基極（common-base）BJT 放大器的：

• 中頻電壓增益
• 低頻耦合／旁路電容造成的低頻極點
• 高頻 $C_\pi$、$C_\mu$ 所造成的高頻極點
• Short-circuit time-constants method
• BJT 小訊號參數

已知

$$\beta=100,\qquad r_e=25\,\Omega,\qquad I_C\approx 1\,\text{mA}$$

因此

$$g_m=\frac{1}{r_e}=\frac{1}{25}=40\,\text{mS}$$

且

$$r_\pi=\beta r_e=100(25)=2.5\,\text{k}\Omega$$

令

$$R_C'=2\,\text{k}\Omega\parallel 1\,\text{k}\Omega =666.7\,\Omega$$

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（a）中頻增益 $V_o/V_s$

中頻時，$10\,\mu\text{F}$ 與 $1\,\mu\text{F}$ 視為短路，因此基極為交流接地，輸出端負載為 $1\,\text{k}\Omega$。

共基極級由射極電壓至集極輸出的增益約為

$$\frac{v_o}{v_e} \simeq \alpha g_m R_C'$$

其中

$$\alpha=\frac{\beta}{\beta+1} =\frac{100}{101}=0.990$$

故

$$\frac{v_o}{v_e} =0.990(40\,\text{mS})(666.7\,\Omega) \approx 26.4$$

訊號源內阻為 $100\,\Omega$，射極小訊號電阻為 $r_e=25\,\Omega$，所以

$$\frac{v_e}{v_s} =\frac{25}{100+25}=0.2$$

因此

$$\boxed{ \frac{V_o}{V_s} \approx 26.4(0.2) \approx 5.28 }$$

共基極放大器的電壓增益為正，因此輸出與輸入同相。

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（b）低頻 3-dB 頻率 $f_L$

低頻主要由 $C_o=10\,\mu\text{F}$ 與 $C_1=1\,\mu\text{F}$ 造成。使用短路時間常數法時，分別求每顆電容所看到的等效電阻，再將各低頻極點頻率相加估計 $f_L$。

由輸出耦合電容 $C_o=10\,\mu\text{F}$ 造成的極點

將其他電容視為短路，基極為交流接地。電容左側看到

$$R_{\text{left}}=2\,\text{k}\Omega\parallel47\,\text{k}\Omega \approx1.918\,\text{k}\Omega$$

電容右側為 $1\,\text{k}\Omega$，所以

$$R_{C_o}=1.918\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega =2.918\,\text{k}\Omega$$

因此

$$f_{L,o} =\frac{1}{2\pi R_{C_o}C_o} =\frac{1}{2\pi(2.918\,\text{k}\Omega)(10\,\mu\text{F})} \approx5.46\,\text{Hz}$$

由基極旁路電容 $C_1=1\,\mu\text{F}$ 造成的極點

由基極看入 BJT，再經過射極的 $100\,\Omega$ 電阻：

$$R_{\text{in,b}} =r_\pi+(\beta+1)(100\,\Omega)$$ $$R_{\text{in,b}} =2.5\,\text{k}\Omega+101(100\,\Omega) =12.6\,\text{k}\Omega$$

另一條路徑經過 $47\,\text{k}\Omega$ 與集極等效電阻：

$$R_{\text{feedback}} =47\,\text{k}\Omega+(2\,\text{k}\Omega\parallel1\,\text{k}\Omega)$$ $$R_{\text{feedback}} =47.667\,\text{k}\Omega$$

所以

$$R_{C_1} =12.6\,\text{k}\Omega\parallel47.667\,\text{k}\Omega \approx9.96\,\text{k}\Omega$$

相應極點為

核心觀念

本題考查 BJT 射極隨耦器（emitter follower）的：

• 直流偏壓分析
• 射極電阻與交流負載的等效
• 輸入電阻
• 電壓增益與訊號源分壓

圖中耦合電容於中頻視為短路，$+9\text{ V}$ 電源於交流分析時視為接地。題目文字中的 $V_G$ 應為圖中所標示的 $V_E$。

(a) $I_E$、$V_E$ 與 $V_B$

採用 $V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$，且

$$I_E=(\beta+1)I_B$$

直流等效電路中，基極電流由 $100\text{ k}\Omega$ 電阻提供，因此套用 KVL：

$$9=I_B(100\text{ k}\Omega)+0.7+I_E(1\text{ k}\Omega)$$

代入 $\beta=100$：

$$9=I_B(100\text{ k}\Omega)+0.7+101I_B(1\text{ k}\Omega)$$ $$I_B=\frac{9-0.7}{100\text{ k}\Omega+101\text{ k}\Omega} =41.3\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_E=101I_B =4.17\text{ mA}$$

射極電壓為

$$V_E=I_E(1\text{ k}\Omega) =4.17\text{ V}$$

基極電壓為

$$V_B=V_E+V_{BE} =4.17+0.7 =4.87\text{ V}$$

(b) 輸入電阻 $R_{in}$

交流時，射極端所看到的電阻為射極電阻與負載電阻的並聯：

$$R_E'=1\text{ k}\Omega\parallel 1\text{ k}\Omega =500\ \Omega$$

小訊號射極電阻取

$$r_e\approx \frac{V_T}{I_E} =\frac{25\text{ mV}}{4.17\text{ mA}} \approx 6.0\ \Omega$$

因此

$$r_\pi=\beta r_e =100(6.0) =600\ \Omega$$

從基極看入 BJT 的輸入電阻為

$$R_{in,B}=r_\pi+(\beta+1)R_E'$$ $$R_{in,B}=600+101(500) =51.1\text{ k}\Omega$$

核心觀念

本題考查共射極放大器的：

• 小訊號參數 $g_m$、$r_{\pi}$
• 輸入電阻與中頻電壓增益
• 耦合電容 $C_{C1}$、$C_{C2}$ 所造成的低頻極點
• 發射極旁路電容 $C_E$ 所造成的低頻極點與零點

依原卷圖面，元件值為

$$R_s=5\,\text{k}\Omega,\quad R_1=33\,\text{k}\Omega,\quad R_2=22\,\text{k}\Omega$$ $$R_E=3.9\,\text{k}\Omega,\quad R_C=4.7\,\text{k}\Omega,\quad R_L=5.6\,\text{k}\Omega$$

且

$$I_E=0.33\,\text{mA},\quad \beta_0=120,\quad r_o=300\,\text{k}\Omega,\quad r_x=50\,\Omega$$

取 $V_T\approx25\,\text{mV}$，並以 $I_C\approx I_E$ 估算：

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} \approx \frac{0.33\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} =13.2\,\text{mS}$$ $$r_{\pi}=\frac{\beta_0}{g_m} =\frac{120}{13.2\,\text{mS}} \approx9.09\,\text{k}\Omega$$

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(a) 輸入電阻 $R_{in}$

題目提示：

$$R_{in}=R_1\parallel R_2\parallel(r_x+r_{\pi})$$

先計算電晶體基極支路：

$$r_x+r_{\pi}=50+9090 \approx9.14\,\text{k}\Omega$$

因此

$$R_{in} =33\parallel22\parallel9.14 \approx5.40\,\text{k}\Omega$$

所以

$$\boxed{R_{in}\approx5.4\,\text{k}\Omega}$$

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(b) 中頻增益 $A_M$

中頻時，$C_{C1}$、$C_{C2}$ 與 $C_E$ 視為短路，因此發射極為交流接地。

集極端的等效負載為

$$R_o=R_C\parallel R_L\parallel r_o$$ $$R_o=4.7\parallel5.6\parallel300 \approx2.53\,\text{k}\Omega$$

由內部基極電壓 $v_{\pi}$ 到輸出端的增益為

$$\frac{v_o}{v_{\pi}} =-g_mR_o$$ $$\frac{v_o}{v_{\pi}} =-(13.2\,\text{mS})(2.53\,\text{k}\Omega) \approx-33.4$$

然而訊號源還會受到 $R_s$ 與 $R_{in}$ 的分壓，且 $r_x$ 與 $r_{\pi}$ 之間有些微分壓：

$$\frac{v_{\pi}}{v_s} = \frac{R_{in}}{R_s+R_{in}} \cdot \frac{r_{\pi}}{r_x+r_{\pi}}$$

代入數值：

$$\frac{v_{\pi}}{v_s} = \frac{5.40}{5+5.40} \cdot \frac{9.09}{9.14} \approx0.516$$

故整體中頻電壓增益為

$$A_M=\frac{v_o}{v_s} =(-33.4)(0.516) \approx-17.2$$

因此

$$\boxed{A_M\approx-17.2\ \text{V/V}}$$

負號表示共射極放大器具有 $180^\circ$ 的相位反轉。

若只定義為由 $v_{\pi}$ 到 $v_o$ 的放大器本身增益，則為

$$\boxed{\frac{v_o}{v_{\pi}}\approx-33.4}$$

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(c) 低頻 $3$ dB 頻率與 $C_E$ 零點

由輸入耦合電容 $C_{C1}$ 造成的極點

$C_{C1}$ 所看到的等效電阻為