112 年 國立中山大學通訊工程研究所乙組《電磁學》

同軸電纜的漏電電阻與電容分別為

$$R=\frac{\ln(a/b)}{2\pi\sigma L},\qquad C=\frac{2\pi\epsilon L}{\ln(a/b)}.$$

因此

核心觀念

互感定義為一個線圈的電流在另一個線圈所圍面積內產生的磁通量除以該電流，即 $M=\Phi/I$。本題利用 $b\gg c$，把矩形線圈的兩條長邊近似為無限長直導線，再將它們在圓形線圈圓面上的磁場積分。

解題方法

由 Fig. 1 可讀出：圓形線圈半徑為 $c$，矩形線圈寬為 $a$、長邊長為 $b$；$d$ 是圓心至矩形近側長邊的距離。圖示為兩線圈分離，因此幾何條件取 $d>c$；題幹所列 $c>d$ 與圖示配置不相容。

令圓心為原點，矩形的近側、遠側長邊分別位於 $x=d$ 與 $x=d+a$。取矩形線圈電流 $I$ 的方向，使近側長邊電流沿 $+y$；兩條長邊的電流方向相反。忽略端邊效應後，圓面上座標 $(x,y)$ 處的垂直磁場為

$$B_z(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi} \left(\frac{1}{d-x}-\frac{1}{d+a-x}\right).$$

對位於 $x=s$、且 $s>c$ 的長直導線，圓形面積內所需的積分為

$$J(s)=\iint_{x^2+y^2\le c^2}\frac{dA}{s-x}.$$

核心觀念

本題考查四個電磁學基本主題：

1. Maxwell 方程式的微分形式。
2. 電磁場跨越介面時的邊界條件。
3. 均勻、無源介質中的 Helmholtz 方程式。
4. 色散現象，以及波數、相速度、群速度與頻率的關係。

以下皆採 SI 制，並以線性各向同性介質的本構關係

$$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},\qquad \mathbf{B}=\mu\mathbf{H},\qquad \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$$

作說明。

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(a) Maxwell 方程式的微分形式

1. 高斯定律

$$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v$$

其中 $\rho_v$ 為體電荷密度。若介質均勻且 $\varepsilon$ 為常數，則

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon}$$

此式表示電場的散度由電荷分布決定。

2. 磁場高斯定律

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

此式表示不存在孤立磁單極，磁力線必須形成閉合曲線。

3. Faraday 電磁感應定律

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

隨時間變化的磁場會產生旋渦電場。負號反映 Lenz 定律。

4. Ampère-Maxwell 定律

$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

右側第一項是傳導電流密度，第二項是位移電流密度。

因此，Maxwell 方程式的完整微分形式為

$$\boxed{ \begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{D}&=\rho_v,\\ \nabla\cdot\mathbf{B}&=0,\\ \nabla\times\mathbf{E}&=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\ \nabla\times\mathbf{H}&=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}. \end{aligned} }$$

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(b) EM 邊界條件

設介面兩側分別為區域 1 與區域 2，單位法向量 $\hat{\mathbf{n}}$ 由區域 1 指向區域 2。介面上可能存在表面電荷密度 $\rho_s$ 與表面電流密度 $\mathbf{J}_s$。

1. 電位移向量的法向分量

由高斯定律取跨越介面的薄圓柱體，可得

$$\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\rho_s$$

也就是

$$\boxed{ D_{2n}-D_{1n}=\rho_s }$$

若介面沒有表面電荷，則

$$\boxed{ D_{2n}=D_{1n} }$$

2. 磁通密度的法向分量

由

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

取跨越介面的薄圓柱體，可得

$$\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0$$

因此

$$\boxed{ B_{2n}=B_{1n} }$$

磁通密度的法向分量永遠連續。

3. 電場的切向分量

由 Faraday 定律取跨越介面的極小矩形迴路，當矩形高度趨近於零時，可得

$$\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0$$

因此

$$\boxed{ \mathbf{E}_{2t}=\mathbf{E}_{1t} }$$

只要介面不具有奇異的時變磁通，電場切向分量即連續。

4. 磁場的切向分量

由 Ampère-Maxwell 定律取跨越介面的極小矩形迴路，可得

$$\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{J}_s$$

因此

$$\boxed{ \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{J}_s }$$

若介面沒有表面電流，則

$$\boxed{ \mathbf{H}_{2t}=\mathbf{H}_{1t} }$$

綜合而言，EM 邊界條件為

$$\boxed{ \begin{aligned} \hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)&=\rho_s,\\ \hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)&=0,\\ \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)&=0,\\ \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)&=\mathbf{J}_s. \end{aligned} }$$

判斷技巧

• 法向分量搭配散度方程式。
• 切向分量搭配旋度方程式。
• $\mathbf{D}$ 的法向分量可因表面電荷不連續。
• $\mathbf{H}$ 的切向分量可因表面電流不連續。
• $\mathbf{B}$ 的法向分量與 $\mathbf{E}$ 的切向分量在一般情況下連續。

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(c) 均勻 Helmholtz 方程式

1. 方程式的定義

均勻 Helmholtz 方程式的一般形式為

$$\boxed{ \nabla^2\psi+k^2\psi=0 }$$

其中：

• $\psi$ 可代表電場或磁場的某一分量；
• $k$ 為波數；
• $\nabla^2$ 為 Laplacian 運算子。

若為向量場，則寫成

$$\boxed{ \nabla^2\mathbf{E}+k^2\mathbf{E}=0 }$$

以及

$$\boxed{ \nabla^2\mathbf{H}+k^2\mathbf{H}=0 }$$

「均勻」有兩層意義：

1. 均勻方程式：等號右側為零，表示沒有外加源項。
2. 均勻介質：$\varepsilon$、$\mu$ 不隨空間位置改變，使推導可直接化為上述形式。

2. 由 Maxwell 方程式推導電場 Helmholtz 方程式

考慮無源、無損、均勻介質：

$$\rho_v=0,\qquad \mathbf{J}=0$$

採用時間相量表示法，時間因子取為 $e^{j\omega t}$，則 Maxwell 方程式變為

$$\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}$$ $$\nabla\times\mathbf{H}=j\omega\varepsilon\mathbf{E}$$

對第一式取旋度：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -j\omega\mu(\nabla\times\mathbf{H})$$

代入第二式：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -j\omega\mu(j\omega\varepsilon\mathbf{E})$$

因為

$$-j\cdot j=1$$

所以

核心觀念

本題考查平面波在理想導體（PEC）表面的反射，以及下列兩個公式：

$$\mathbf{H}=\frac{1}{\eta}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}$$ $$\mathbf{J}_s=\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_{\text{導體}}-\mathbf{H}_{1})$$

理想導體內部 $\mathbf{E}=0$、$\mathbf{H}=0$，且導體表面的切向電場必須為零：

$$\mathbf{E}_{t,i}+\mathbf{E}_{t,r}=0$$

圖中入射面為 $x$-$z$ 平面，垂直極化表示電場沿 $y$ 軸方向。以下取入射電場沿 $+\hat{\mathbf{y}}$，並採用 $e^{j\omega t}$ 時間慣例。

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解題方法

令介質 1 為空氣，其波阻抗為 $\eta_1$，波數為 $k_1$。入射波與反射波的傳播方向分別為

$$\hat{\mathbf{k}}_i = \sin\theta_i\,\hat{\mathbf{x}} + \cos\theta_i\,\hat{\mathbf{z}}$$ $$\hat{\mathbf{k}}_r = \sin\theta_i\,\hat{\mathbf{x}} - \cos\theta_i\,\hat{\mathbf{z}}$$

理想導體表面位於 $z=0$。設入射電場振幅為 $E_{i0}$，則

$$\mathbf{E}_i = \hat{\mathbf{y}}E_{i0} e^{-jk_1(x\sin\theta_i+z\cos\theta_i)}$$

因為導體表面的切向電場必須為零，垂直極化的反射係數為 $-1$，因此

$$\mathbf{E}_r = -\hat{\mathbf{y}}E_{i0} e^{-jk_1(x\sin\theta_i-z\cos\theta_i)}$$

由 $\mathbf{H}=(1/\eta_1)\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}$，可得

$$\mathbf{H}_i = \frac{E_{i0}}{\eta_1} \left( -\cos\theta_i\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta_i\,\hat{\mathbf{z}} \right) e^{-jk_1(x\sin\theta_i+z\cos\theta_i)}$$ $$\mathbf{H}_r = -\frac{E_{i0}}{\eta_1} \left( \cos\theta_i\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta_i\,\hat{\mathbf{z}} \right) e^{-jk_1(x\sin\theta_i-z\cos\theta_i)}$$

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（a）導體表面感應電流

在 $z=0$ 處，磁場的切向分量為 $x$ 分量：

核心觀念

同軸線的 TEM 模態中，電場與磁場都在橫截面內，沒有 $z$ 分量。電場由內、外導體間的電位差決定；磁場則由 TEM 波的場與傳播方向關係求得。圖示內導體半徑為 $a$、外導體半徑為 $b$，介質參數為 $\mu,\epsilon,\sigma$，波沿 $+z$ 方向傳播。以下令內導體相對外導體的電壓為 $V_0$，並以外導體為電位參考。

解題方法

圓柱對稱下，電位只與徑向座標 $r$ 有關。內、外導體分別滿足 $V(a)=V_0$、$V(b)=0$，因此介質中的電位為

$$V(r)=V_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)}.$$

由 $\mathbf E=-\nabla V$ 得到橫向電場：

$$\mathbf E_t =-\frac{\partial V}{\partial r}\mathbf a_r =\frac{V_0}{r\ln(b/a)}\mathbf a_r.$$

若介質有導電率 $\sigma$，前進波的相量沿 $+z$ 方向變化為 $e^{-\gamma z}$。採用時間因子 $e^{j\omega t}$，其中

$$\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\epsilon)}, \qquad \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}.$$

因此電場為

$$\mathbf E(r,z) =\frac{V_0}{r\ln(b/a)}e^{-\gamma z}\mathbf a_r, \qquad a<r<b.$$