112 年 國立臺灣大學電信工程學研究所甲組《微分方程》

此題在考微分方程的分類。我們要根據方程是否為線性、齊次（homogenous）來判斷。

給定的微分方程是 $xy'' + xy' + 2y = x^2e^{-x}$。
首先，我們檢查方程的線性。方程中的 $y''$, $y'$, $y$ 項都是線性的（即它們的最高次數都是 1，且沒有它們的乘積項）。係數 $x$, $x$, $2$ 都是自變數 $x$ 的函數，這不影響其線性。

此題在考微分方程的奇異點分類。對於二階線性微分方程 $P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0$，我們首先將其標準化為 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的形式，其中 $p(x) = \frac{Q(x)}{P(x)}$ 且 $q(x) = \frac{R(x)}{P(x)}$。然後檢查 $x_0$ 點的性質。

給定的微分方程是 $(x^2+x-6)y'' + (x + 3)y' + (x - 2)y = 0$。
我們需要判斷 $x = -3$ 點的類型。
首先，找出 $P(x) = x^2+x-6$。令 $P(x)=0$，我們得到 $x^2+x-6 = (x+3)(x-2) = 0$。因此，奇異點是 $x = -3$ 和 $x = 2$。題目要求判斷 $x = -3$ 的類型。

將方程標準化，我們得到：
$y'' + \frac{x+3}{x^2+x-6} y' + \frac{x-2}{x^2+x-6} y = 0$
$y'' + \frac{x+3}{(x+3)(x-2)} y' + \frac{x-2}{(x+3)(x-2)} y = 0$

對於 $x \neq -3$ 且 $x \neq 2$，我們簡化得到：
$y'' + \frac{1}{x-2} y' + \frac{1}{x+3} y = 0$

現在我們檢查 $x_0 = -3$ 點的性質。
$p(x) = \frac{1}{x-2}$ 且 $q(x) = \frac{1}{x+3}$。
我們需要判斷 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $x = -3$ 的行為。

對於 $p(x) = \frac{1}{x-2}$，當 $x \to -3$ 時，$p(x) \to \frac{1}{-3-2} = -\frac{1}{5}$。

此題在考微分方程的求解與解的驗證。給定的微分方程是可分離變數的。

方程為 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
將變數分離：$y \, dy = -x \, dx$。
積分兩邊：
$\int y \, dy = \int -x \, dx$
$\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}x^2 + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。
將常數合併並整理：
$y^2 = -x^2 + 2C_1$
$x^2 + y^2 = 2C_1$
令 $C = 2C_1$，則 $x^2 + y^2 = C$。

現在我們檢查選項：
A. $x^2 + y^2 = 25$, $-5 < x < 5$
這是我們求得的解的形式，其中 $C=25$。在區間 $(-5, 5)$ 上，$x^2 < 25$，所以 $y^2 = 25-x^2 > 0$，這表示 $y$ 是實數。因此，這個選項是該微分方程的一個解。

B. $y = \sqrt{25-x^2}$, $-5<x<5$
這個選項可以從選項 A 得到。如果 $x^2 + y^2 = 25$，那麼 $y^2 = 25-x^2$。如果我們取 $y$ 的正平方根，就得到 $y = \sqrt{25-x^2}$。
我們需要驗證這個解是否滿足原微分方程。
對 $y = \sqrt{25-x^2}$ 求導：
$y' = \frac{d}{dx}(25-x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(25-x^2)^{-1/2}(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$。

核心觀念

本題考查一階線性齊次微分方程

$$y'+y=0$$

的解，以及泰勒級數與指數函數的對應關係。

將方程改寫為

$$y'=-y$$

可知其一般解為

$$y=Ce^{-x},$$

其中 $C$ 為任意常數。因此，$y=0$ 及 $y=e^{-x}$ 都是此微分方程的解。

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解題方法

直接將各選項代入微分方程 $y'+y$ 檢查。

選項 A：$y=0$

此時

$$y'=0.$$

因此

$$y'+y=0+0=0.$$

所以選項 A 正確。

選項 B：$y=e^x$

此時

$$y'=e^x.$$

因此

$$y'+y=e^x+e^x=2e^x\neq 0.$$

所以選項 B 錯誤。

選項 C：

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n$$

由指數函數的麥克勞林級數

$$e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},$$

令 $z=-x$，可得

$$e^{-x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n.$$

因此選項 C 等價於

此題在考三階線性齊次微分方程的通解。這類方程的解法是通過尋找其特徵方程的根。

給定的微分方程是 $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$。
其特徵方程為：
$r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0$

我們觀察到這個多項式是 $(r-1)^3$ 的展開式。
$(r-1)^3 = r^3 - 3r^2(1) + 3r(1)^2 - 1^3 = r^3 - 3r^2 + 3r - 1$。
所以，特徵方程是 $(r-1)^3 = 0$。

這個方程有三個重根：$r_1 = r_2 = r_3 = 1$。

對於具有重根 $r$ 的線性齊次微分方程，其通解的形式為：
如果根是 $r$ (單根)，則解為 $c_1 e^{rx}$。
如果根是 $r$ (二重根)，則解為 $c_1 e^{rx} + c_2 x e^{rx}$。
如果根是 $r$ (三重根)，則解為 $c_1 e^{rx} + c_2 x e^{rx} + c_3 x^2 e^{rx}$。

在這個問題中，根是 $1$ (三重根)。
因此，通解的形式應該是 $y = c_1 e^{1x} + c_2 x e^{1x} + c_3 x^2 e^{1x}$。
即 $y = c_1 e^x + c_2 x e^x + c_3 x^2 e^x$。

此題在考 Euler-Cauchy (歐拉-柯西) 方程的通解。這類方程的特徵是自變數 $x$ 的冪次與導數的階數相匹配。

給定的微分方程是 $x^2y'' - 2xy' - 4y = 0$。
這是一個 Euler-Cauchy 方程。我們假設解的形式為 $y = x^r$。
對 $y = x^r$ 求導：
$y' = rx^{r-1}$
$y'' = r(r-1)x^{r-2}$

將這些代入原方程：
$x^2 [r(r-1)x^{r-2}] - 2x [rx^{r-1}] - 4 [x^r] = 0$
$r(r-1)x^r - 2rx^r - 4x^r = 0$
$x^r [r(r-1) - 2r - 4] = 0$

由於 $x^r \neq 0$ (假設 $x \neq 0$)，我們得到特徵方程：
$r(r-1) - 2r - 4 = 0$
$r^2 - r - 2r - 4 = 0$
$r^2 - 3r - 4 = 0$

對這個二次方程進行因式分解：
$(r-4)(r+1) = 0$

所以，特徵方程的根是 $r_1 = 4$ 和 $r_2 = -1$。

對於 Euler-Cauchy 方程，如果特徵方程有兩個不同的實根 $r_1$ 和 $r_2$，則通解為：
$y = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2}$

核心觀念

本題考查一階線性齊次微分方程的通解。方程式為

$$2y'-8y=0.$$

兩邊除以 $2$，化為標準形式：

$$y'-4y=0.$$

對一階微分方程而言，通解通常只含有一個任意常數。

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解題方法

將方程式改寫為

$$y'=4y.$$

當 $y\neq 0$ 時可分離變數：

$$\frac{dy}{y}=4\,dx.$$

兩邊積分：

$$\int \frac{1}{y}\,dy=\int 4\,dx,$$

得到

$$\ln|y|=4x+C.$$

取指數後，任意常數可合併為 $C_1$：

$$y=C_1e^{4x}.$$

因此，此微分方程的通解為

$$\boxed{y=C_1e^{4x}}.$$

也可直接代回驗算：

$$y'=4C_1e^{4x}=4y,$$

所以

$$2y'-8y=2(4y)-8y=0.$$

題目中的各選項皆不是 $C_1e^{4x}$ 的形式。

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選項分析

A. $y=c_1\cos(2x)+c_2\cos(2x)$

合併後為

$$y=(c_1+c_2)\cos(2x).$$

其導數為

$$y'=-2(c_1+c_2)\sin(2x).$$

代入原方程式：

$$2y'-8y =-4(c_1+c_2)\sin(2x)-8(c_1+c_2)\cos(2x),$$

不會對所有 $x$ 恆等於 $0$，因此錯誤。

此外，兩項完全相同，實際上也只相當於一個任意常數。

B. $y=c_1\cosh(2x)+c_2\cosh(2x)$

合併後為

$$y=(c_1+c_2)\cosh(2x).$$

其導數為

$$y'=2(c_1+c_2)\sinh(2x).$$

代入得

$$2y'-8y =4(c_1+c_2)\sinh(2x)-8(c_1+c_2)\cosh(2x),$$

不會恆等於 $0$，因此錯誤。

此題在考四階線性齊次微分方程的通解。這類方程的解法是通過尋找其特徵方程的根。

給定的微分方程是 $\frac{d^4y}{dx^4} + 2\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$。
其特徵方程為：
$r^4 + 2r^2 + 1 = 0$

我們觀察到這個多項式是 $(r^2+1)^2$ 的展開式。
$(r^2+1)^2 = (r^2)^2 + 2(r^2)(1) + 1^2 = r^4 + 2r^2 + 1$。
所以，特徵方程是 $(r^2+1)^2 = 0$。

這個方程的根是 $r^2+1 = 0$，即 $r^2 = -1$。
這給出 $r = \pm i$。
由於方程是 $(r^2+1)^2 = 0$，這意味著根 $r=i$ 和 $r=-i$ 都是二重根。

對於具有複數根 $\alpha \pm i\beta$ 的線性齊次微分方程，如果這些根是單根，則對應的解的形式為 $e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$。
如果複數根是重根，則解的形式會乘以 $x$ 的冪次。
對於二重複數根 $\alpha \pm i\beta$，其對應的解的形式為 $e^{\alpha x}[(c_1 + c_3 x) \cos(\beta x) + (c_2 + c_4 x) \sin(\beta x)]$。
展開後就是 $c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x) + c_3 x e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_4 x e^{\alpha x} \sin(\beta x)$。

在這個問題中，我們的根是 $r = \pm i$，它們是二重根。
所以，$\alpha = 0$ 且 $\beta = 1$。
根是 $0 \pm 1i$ (二重根)。

因此，通解的形式應該是：
$y = e^{0x}[(c_1 + c_3 x) \cos(1x) + (c_2 + c_4 x) \sin(1x)]$

核心觀念

本題考查：

• 冪級數解法；
• 將級數逐項微分；
• 代回微分方程後比較各次方 $x^k$ 的係數；
• 在區間 $(0,\infty)$ 上，只要級數收斂且可逐項微分，代回後恆等於 $0$ 即為解。

令

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n.$$

則

$$y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}x^n, \qquad y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n.$$

代入

$$2xy''+(1+x)y'+y=0.$$

其中 $x^k$ 的係數為

$$(k+1)(2k+1)c_{k+1}+(k+1)c_k.$$

因此必須滿足遞迴關係

$$(2k+1)c_{k+1}+c_k=0,$$

即

$$\boxed{c_{k+1}=-\frac{c_k}{2k+1}}.$$

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選項 A 分析

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n!}x^n=-e^{-x}.$$

有

$$y'=e^{-x},\qquad y''=-e^{-x}.$$

代回原方程：

$$2xy''+(1+x)y'+y = -2xe^{-x}+(1+x)e^{-x}-e^{-x}.$$

整理得

$$2xy''+(1+x)y'+y=-xe^{-x}\neq 0 \qquad (x>0).$$

所以 A 錯誤。

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選項 B 分析

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!!}x^{n+\frac12}.$$

由

$$(2n)!!=2^n n!,$$

可寫成

$$y=x^{1/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n n!}x^n =x^{1/2}e^{-x/2}.$$

在 $x>0$ 上計算：

$$y'=y\left(\frac{1}{2x}-\frac12\right),$$

且

$$y'' = y\left[ \left(\frac{1}{2x}-\frac12\right)^2-\frac{1}{2x^2} \right] = y\left(-\frac{1}{4x^2}-\frac{1}{2x}+\frac14\right).$$

因此

核心觀念

題目給出的微分方程為一階線性微分方程：

$$y'+y=4x+10\sin x.$$

標準形式為

$$y'+P(x)y=Q(x),$$

其積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^x.$$

一階線性微分方程的通解只會含有一個任意常數，且本題齊次解應為 $Ce^{-x}$，不會是 $c_1\cos x+c_2\sin x$。

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解題方法

將方程式乘以積分因子 $e^x$：

$$e^xy'+e^xy=4xe^x+10e^x\sin x.$$

左側可合併為微分形式：

$$\frac{d}{dx}(e^xy)=4xe^x+10e^x\sin x.$$

積分得

$$e^xy=\int 4xe^x\,dx+10\int e^x\sin x\,dx+C.$$

分別計算兩個積分。

首先，

$$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1).$$

其次，利用公式

$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx),$$

取 $a=b=1$，得到

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x).$$

因此，

$$e^xy=4e^x(x-1)+5e^x(\sin x-\cos x)+C.$$

除以 $e^x$：

$$\boxed{ y=Ce^{-x}+4x-4+5\sin x-5\cos x }.$$

快速代回驗算：

$$y'=-Ce^{-x}+4+5\cos x+5\sin x,$$

所以

$$y'+y = 4x+10\sin x.$$

故此通解正確。

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選項分析

A.

$$y=c_1\cos x+c_2\sin x+4x.$$

其齊次部分為 $c_1\cos x+c_2\sin x$，這是方程式 $y''+y=0$ 的齊次解，不是一階方程 $y'+y=0$ 的齊次解。此外，$4x$ 微分後會產生額外常數項，代回亦無法得到右側的 $10\sin x$。