112 年 國立臺灣大學電信工程學研究所甲組《電子學（C）》

(a) 錯。共基極放大器電壓增益約為

$$A_v \approx g_m(R_C\parallel r_o)>1$$

並非恆小於 $1$。

(b) 對。其輸入端由射極看入，電阻約為

$$R_{\text{in}}\approx \frac{1}{g_m}$$

通常很低。

(c) 錯。共集極放大器（射極隨耦器）的輸出電阻通常很低。

核心觀念

放大器的頻率響應可大致分為三個區域：

• 低頻區：由耦合電容與旁路電容的容抗造成增益衰減。
• 中頻區：耦合電容與寄生電容的影響皆可忽略，增益近似為固定值。
• 高頻區：由電晶體內部接面電容、寄生電容及 Miller effect 主導，使增益下降。

典型放大器存在增益與頻寬的取捨關係。對許多單極點放大器而言，增益頻寬積近似固定：

$$A_M f_H \approx \text{constant}$$

其中 $A_M$ 為中頻增益，$f_H$ 為高截止頻率。

解題方法

逐一判斷各敘述所描述的電容種類與其主要作用頻率：

1. 低頻響應主要看耦合、旁路電容。
2. 高頻響應主要看電晶體寄生電容。
3. 中頻時，兩類電容的影響通常皆可忽略。
4. 增益提高時，頻寬通常會縮小，形成增益與頻寬的取捨。

選項分析

(a) The low-frequency response of an amplifier is due to parasitic capacitances of the transistors.

錯誤。

電晶體的寄生電容，如 $C_{\pi}$、$C_{\mu}$、$C_{db}$，主要在高頻時產生顯著影響。低頻時電容阻抗

$$X_C=\frac{1}{2\pi f C}$$

會變大，電晶體寄生電容通常近似開路，因而不主導低頻響應。

低頻增益衰減主要來自輸入耦合電容、輸出耦合電容及射極旁路電容等外接電容。

(b) The parasitic capacitance of an amplifier can be neglected at higher frequencies.

錯誤。

頻率越高，寄生電容的容抗越小：

$$|X_C|=\frac{1}{2\pi f C}$$

因此寄生電容會形成旁路路徑，並與電阻共同產生高頻極點，使增益下降。對 BJT 而言，基極—集極電容 $C_{\mu}$ 還會透過 Miller effect 被放大為輸入端等效電容：

核心觀念

本題考查互補式 CMOS 邏輯的功率消耗、傳播延遲與雜訊容限。

1. 動態功率

CMOS 電路在輸出切換時，負載電容需要充放電。主要動態功率可表示為

$$P_{\mathrm{dynamic}}=\alpha C_L V_{DD}^{2}f$$

其中：

• $\alpha$：輸出切換活動因子
• $C_L$：負載電容
• $V_{DD}$：電源電壓
• $f$：操作頻率

因此，動態功率與 $V_{DD}^{2}$ 成正比。

2. 靜態功率

理想互補式 CMOS 在穩態時，輸入為固定邏輯準位，PMOS 與 NMOS 中僅有一側導通，電源與地之間沒有直流導通路徑，因此理想情況下：

$$P_{\mathrm{static}}=0$$

實際電路仍可能存在次臨界漏電、閘極漏電與接面漏電，但基礎 CMOS 分析通常採用理想模型。

3. 傳播延遲

CMOS 邏輯閘的延遲可近似為

$$t_p \approx 0.69R_{\mathrm{eq}}C_L$$

增加 MOS 的寬度 $W$ 時，驅動電流增加、等效導通電阻 $R_{\mathrm{eq}}$ 降低，因此可降低延遲。不過，電晶體尺寸變大也會增加寄生電容，實際延遲改善具有取捨。

4. 雜訊容限

CMOS inverter 的轉移特性與切換點 $V_M$，會受到 PMOS 與 NMOS 的相對驅動能力影響。MOS 的驅動能力與

$$\beta_n=\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W_n}{L_n}, \qquad \beta_p=\mu_p C_{\mathrm{ox}}\frac{W_p}{L_p}$$

有關，因此調整兩者的 aspect ratio（$W/L$）即可改變電壓轉移特性，進而調整雜訊容限。

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解題方法

逐項依據三個判斷原則分析：

1. 輸出是否發生切換，以判斷動態功率。
2. 穩態時電源與地之間是否存在直流路徑，以判斷靜態功率。
3. 檢查尺寸、電源電壓與雜訊容限對延遲及功率的影響公式。

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選項分析

(a) Complementary CMOS logic has zero dynamic power dissipation.

錯誤。

互補式 CMOS 在輸出切換時，負載電容會進行充電與放電，因此會產生動態功率：

$$P_{\mathrm{dynamic}}=\alpha C_L V_{DD}^{2}f$$

此外，輸入轉換期間 PMOS 與 NMOS 可能短暫同時導通，也會產生短路功率。因此 CMOS 並非沒有動態功率；只有在輸出完全不切換的理想情況下，動態切換功率才為零。

(b) Complementary CMOS logic has zero static power dissipation.

正確。

在理想互補式 CMOS 的穩態操作中：

• 輸入為低準位時，PMOS 導通、NMOS 截止；
• 輸入為高準位時，PMOS 截止、NMOS 導通。

任何穩態下，電源 $V_{DD}$ 與接地之間都沒有完整的直流導通路徑，因此理想靜態功率為零：

核心觀念

本題考查運算放大器（op-amp）的負回授、虛短路（virtual short）、正負回授的用途，以及反相放大器的輸入電阻。

理想運算放大器的開迴路增益 $A$ 極大，基本關係為

$$v_o=A(v_+-v_-)$$

在穩定的負回授線性操作下，回授會使閉迴路增益由外部電阻決定，並抑制輸入差動電壓。因此通常有

$$v_+\approx v_-$$

此即虛短路性質。但虛短路並非任何負回授狀況都必然成立，還必須滿足運算放大器工作在線性區且回授系統穩定。

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解題方法

逐項檢查各敘述是否符合基本回授理論：

1. 負回授是否能使輸出維持有限且穩定？
2. 虛短路成立是否需要額外條件？
3. 雙穩態電路應使用正回授還是負回授？
4. 反相放大器的輸入電阻由何者決定？
5. 非反相放大器使用正回授還是負回授？

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選項分析

(a) For an op-amp circuit with a negative feedback, the output voltage is finite.

正確。

負回授會抑制運算放大器的開迴路高增益，使閉迴路增益成為有限值。以一般負回授系統表示：

$$A_f=\frac{A}{1+A\beta}$$

其中 $A$ 為開迴路增益，$\beta$ 為回授因子。當迴路增益 $A\beta$ 很大時，

$$A_f\approx \frac{1}{\beta}$$

因此輸出電壓由輸入訊號與回授網路決定，為有限值。此敘述採用運算放大器在線性區且負回授穩定的標準操作假設。

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(b) Virtual-short property always applies for an op-amp circuit with a negative feedback.

錯誤。

虛短路成立需要同時具備下列條件：

• 存在負回授；
• 運算放大器工作在線性區；
• 輸出未飽和；
• 回授系統穩定；
• 開迴路增益足夠大。

由

$$v_o=A(v_+-v_-)$$

可得

$$v_+-v_-=\frac{v_o}{A}$$

當 $A$ 很大且 $v_o$ 有限時，才可近似為

$$v_+\approx v_-$$

核心觀念

本題是以三個理想運算放大器組成的二階主動濾波器，需使用：

• 理想運算放大器反相端為虛地；
• 反相級增益公式；
• 二階標準低通形式
  $H(s)=\frac{K\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}.$

令

$p=sRC.$

由圖中第一級的回授阻抗

$Z_f=QR\parallel \frac{1}{sC}$

可得其導納為

$\frac{1}{Z_f}=\frac{1}{QR}+sC.$

設三個運算放大器輸出依序為 $v_1,v_2,v_o$。

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解題方法

第二級為反相積分器，因此

$v_2=-\frac{v_1}{sRC}=-\frac{v_1}{p}.$

第三級為增益 $-1$ 的反相器，因此

$v_o=-v_2=\frac{v_1}{p},$

故

$v_1=pv_o.$

在第一級反相端的虛地節點套用 KCL：

$$\frac{v_i}{R}+\frac{v_o}{R} +v_1\left(\frac{1}{QR}+sC\right)=0.$$

乘上 $R$ 並代入 $v_1=pv_o$：

$v_i+v_o+p v_o\left(\frac{1}{Q}+p\right)=0.$

因此

$v_i+v_o\left(1+\frac{p}{Q}+p^2\right)=0.$

所以濾波器傳遞函數為

$$\boxed{ H(s)=\frac{v_o}{v_i} =-\frac{1}{(sRC)^2+\frac{sRC}{Q}+1} }$$

亦可寫成

$$\boxed{ H(s)=-\frac{1}{s^2R^2C^2+\frac{sRC}{Q}+1} }.$$

其自然角頻率為

$\omega_0=\frac{1}{RC}.$

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(b) 避免增益峰化時的 $Q$ 值

令 $s=j\omega$，並定義 $x=\omega RC$，則

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{(1-x^2)^2+\frac{x^2}{Q^2}}.$$

核心觀念

本題考察兩種 cascode 放大器的小訊號分析：

• MOSFET 與 BJT 的偏壓點計算
• MOSFET 飽和區條件
• BJT 主動區條件
• 共源極／共射極級的電壓增益
• cascode 對輸出電阻的提升效果
• Early effect 與有限輸出電阻

採用下列常用近似：

$$V_{BE}=0.7\text{ V},\qquad V_{CE,\text{sat}}=0.2\text{ V},\qquad V_T=25\text{ mV}$$

MOSFET 的參數為

$$k_n=\mu_n C_{ox}\frac WL =400\frac{3.6}{0.36} =4\text{ mA/V}^2$$

MOSFET 的 Early 電壓為

$$V_{A,n}=5\frac{\text{V}}{\mu\text{m}}\times0.36\ \mu\text{m} =1.8\text{ V}$$

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(a) 最小 $V_{BIAS}$ 與輸出擺幅

圖 6(a) 中，BJT 的集極電流為 $I=180\ \mu\text{A}$。由於 BJT 的 $\beta=100$，其射極電流為

$$I_E=I_C\left(1+\frac1\beta\right) =180\left(1+\frac1{100}\right) =181.8\ \mu\text{A}$$

此電流也是下方 MOSFET 的汲極電流。

MOSFET 的過驅電壓：

$$V_{OV1} =\sqrt{\frac{2I_D}{k_n}} =\sqrt{\frac{2(181.8\ \mu\text{A})}{4\text{ mA/V}^2}} \approx0.302\text{ V}$$

為使 Q1 保持飽和，Q1 汲極電壓至少須為 $V_{OV1}$。Q2 射極電壓為

$$V_{E2}=V_{BIAS}-V_{BE}$$

因此最低偏壓條件為

$$V_{BIAS}-V_{BE}=V_{OV1}$$

故

$$V_{BIAS,\min}=0.7+0.302 \approx1.002\text{ V}$$

Q2 保持主動區時，輸出最低電壓約為

$$V_{o,\min}=V_{E2}+V_{CE,\text{sat}} =0.302+0.2 \approx0.502\text{ V}$$

因此，輸出端的最低電壓約為 $0.50\text{ V}$。若電源電壓為 $V_{DD}$，則最大輸出峰對峰擺幅為

$$V_{o,\text{pp}}\approx V_{DD}-0.502\text{ V}$$

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(b) 圖 6(a) 的電壓增益與輸出電阻

小訊號參數

MOSFET Q1：

$$g_{m1}=\sqrt{2k_nI_D} \approx1.206\text{ mS}$$ $$r_{o1}=\frac{V_{A,n}}{I_D} =\frac{1.8}{181.8\ \mu\text{A}} \approx9.90\text{ k}\Omega$$

BJT Q2：

$$g_{m2}=\frac{I_C}{V_T} =\frac{180\ \mu\text{A}}{25\text{ mV}} =7.20\text{ mS}$$ $$r_{\pi2}=\frac{\beta}{g_{m2}} =\frac{100}{7.20\text{ mS}} \approx13.89\text{ k}\Omega$$ $$r_{o2}=\frac{V_{A,BJT}}{I_C} =\frac{10}{180\ \mu\text{A}} \approx55.56\text{ k}\Omega$$

電壓增益

Q2 的 cascode 增益因子為

$$1+g_{m2}r_{o2} =1+(7.20\text{ mS})(55.56\text{ k}\Omega) \approx401$$

由於 Q2 射極端受到 $r_{\pi2}$ 與 $r_{o1}$ 負載，等效電阻為

$$r_{o1}\parallel r_{\pi2} =9.90\text{ k}\Omega\parallel13.89\text{ k}\Omega \approx5.78\text{ k}\Omega$$

因此

$$A_{v1} =\frac{v_o}{v_i} \approx-g_{m1}(r_{o1}\parallel r_{\pi2}) (1+g_{m2}r_{o2})$$ $$A_{v1} \approx-(1.206\text{ mS})(5.78\text{ k}\Omega)(401) \approx-2.80\times10^3$$

輸出電阻

在輸入訊號設為零時，利用小訊號模型可得

$$R_{out} \approx2.35\text{ M}\Omega$$

因此

$$\boxed{\frac{v_o}{v_i}\approx-2.80\times10^3}$$ $$\boxed{R_{out}\approx2.35\text{ M}\Omega}$$

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(c) 圖 6(b) 的電壓增益與輸出電阻

此時

$$I=80\ \mu\text{A}$$

下方 BJT Q2 的參數為

$$g_{m2}=\frac{80\ \mu\text{A}}{25\text{ mV}} =3.20\text{ mS}$$