109 年 國立臺灣大學電信工程學研究所甲組《電子學（C）》

核心觀念

圖一為反相 Miller 積分器：

• 輸入端經電阻 $R$ 接至反相端。
• 電容 $C$ 從輸出端回授至反相端。
• 非反相端接地。
• 理想運算放大器時，反相端為虛地。
• 有限開迴路增益時，必須使用
  $v_o=A_o(0-v_- )=-A_o v_-.$

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(a) 最大輸入振幅

理想積分器的傳遞函數為

$$\frac{v_o}{v_i}=-\frac{1}{sRC}.$$

若輸入為正弦波

$$v_i(t)=V_{i,\mathrm{pk}}\sin(\omega t),$$

則輸出振幅為

$$V_{o,\mathrm{pk}}=\frac{V_{i,\mathrm{pk}}}{\omega RC}.$$

輸出最大斜率為

$$\left|\frac{dv_o}{dt}\right|_{\max} =\omega V_{o,\mathrm{pk}} =\frac{V_{i,\mathrm{pk}}}{RC}.$$

為避免 slew-rate distortion，必須滿足

$$\frac{V_{i,\mathrm{pk}}}{RC}\leq SR.$$

因此最大輸入峰值振幅為

$$V_{i,\mathrm{pk,max}}=SR\cdot RC.$$

代入

$$R=10~\mathrm{k\Omega},\qquad C=1~\mathrm{nF},$$

得到

$$RC=(10^4)(10^{-9}) =10^{-5}\ \mathrm{s} =10~\mu\mathrm{s}.$$

因此

$$V_{i,\mathrm{pk,max}} =(1~\mathrm{V/\mu s})(10~\mu\mathrm{s}) =10~\mathrm{V}.$$

所以輸入正弦波的最大振幅為

$$\boxed{10~\mathrm{V\ peak}}$$

亦即最大峰對峰值為 $20~\mathrm{V_{p-p}}$。

解題技巧：對理想積分器而言，輸出斜率最大值為 $V_{i,\mathrm{pk}}/(RC)$，因此在只考慮 slew rate 時，最大輸入振幅與頻率無關。若另有限制輸出擺幅，則還需檢查輸出峰值是否超過電源範圍。

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(b) 有限開迴路增益時的傳遞函數

令反相端電壓為 $v_-$。在反相端節點套用 KCL：

$$\frac{v_- - v_i}{R}+sC(v_- -v_o)=0.$$

整理得

$$v_i=v_-(1+sRC)-sRC\,v_o.$$

有限開迴路增益的運算放大器滿足

$$v_o=-A_o v_-,$$

因此

$$v_-=-\frac{v_o}{A_o}.$$

代入節點方程式：

$$v_i = -\frac{v_o}{A_o}(1+sRC)-sRC\,v_o.$$

整理為

核心觀念

這題要把共基極 BJT 放大器換成兩種標準二埠模型：

• 電壓放大器模型：輸入電阻 $R_{\text{in}}$、開路電壓增益 $A_{vo}$、輸出電阻 $R_{\text{out}}$。
• 電流放大器模型：輸入電阻 $R_{\text{in}}$、短路電流增益 $A_{is}$、輸出電阻 $R_{\text{out}}$。

採用 BJT 小訊號 hybrid-$\pi$ 模型，令

$$r_{\pi}=\frac{\beta}{g_m}$$

圖中集極電阻 $R_C$ 是放大器的一部分；$r_o$ 很大，因此忽略。以下令輸入電壓為 $v_i=v_e$，輸出電壓 $v_o$ 以集極對地為正；輸出電流 $i_o$ 定義為由放大器流向外部負載。

解題方法

先求基極電壓 $v_b$ 與 $v_{be}=v_b-v_e$，再用受控電流源 $g_m v_{be}$ 求輸出。輸入端則計算由訊號源流入射極的電流 $i_i$。

若基極接地，$v_b=0$；若加入 $R_B$，基極電壓需由 $R_B$ 與 $r_\pi$ 的分壓求得。

(a) 電壓放大器模型，基極接地

基極交流接地，因此

$$v_{be}=-v_i$$

輸入電流為

$$i_i=\left(g_m+\frac{1}{r_\pi}\right)v_i =\frac{\beta+1}{r_\pi}v_i$$

所以

$$R_{\text{in}}=\frac{v_i}{i_i} =\frac{r_\pi}{\beta+1} =\frac{\beta}{\beta+1}\frac{1}{g_m}$$

集極的 KCL 為 $v_o/R_C+g_m v_{be}=0$，因此

$$v_o=-g_m R_C v_{be}=g_m R_C v_i$$

輸出開路電壓增益及輸出電阻為

$$A_{vo}=\frac{v_o}{v_i}=g_mR_C, \qquad R_{\text{out}}=R_C$$

電壓放大器等效模型為：輸入端接 $R_{\text{in}}$；輸出端是受控電壓源 $A_{vo}v_i$ 串聯 $R_{\text{out}}$。

(b) 加入基極接地電阻 $R_B$ 的電壓放大器模型

基極節點套用 KCL：

$$\frac{v_b}{R_B}+\frac{v_b-v_i}{r_\pi}=0$$

解得

$$v_b=\frac{R_B}{R_B+r_\pi}v_i, \qquad v_{be}=v_b-v_i=-\frac{r_\pi}{R_B+r_\pi}v_i$$

輸入電流為

$$i_i=\frac{v_i-v_b}{r_\pi}-g_m v_{be} =\frac{\beta+1}{R_B+r_\pi}v_i$$

故輸入電阻為

$$R_{\text{in}}=\frac{R_B+r_\pi}{\beta+1}$$

輸出電壓由集極 KCL 得到：

$$v_o=-g_mR_Cv_{be} =g_mR_C\frac{r_\pi}{R_B+r_\pi}v_i$$

因此

核心觀念

本題考查兩級運算放大器小訊號模型的：

1. 節點法列寫 KCL。
2. 跨導電流源與輸出電阻、寄生電容共同形成的轉移函數。
3. 極點與零點的求法。
4. 單位增益頻率與相位裕度：

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle A(j\omega_u)$$

其中 $\omega_u$ 為 $\lvert A(j\omega_u)\rvert=1$ 的頻率。

令第一級輸出節點電壓為 $v_1$，最終輸出為 $v_o$，輸入為 $v_{i1}$。

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(a) 轉移函數

令

$$g_{o1}=\frac{1}{R_{o1}},\qquad g_{o2}=\frac{1}{R_{o2}}$$

在第一級輸出節點列 KCL：

$$\left[g_{o1}+s(C_1+C_c)\right]v_1-sC_cv_o=-G_{m1}v_{i1}$$

在第二級輸出節點列 KCL：

$$(G_{m2}-sC_c)v_1+ \left[g_{o2}+s(C_2+C_c)\right]v_o=0$$

由第二式得

$$v_o = -\frac{G_{m2}-sC_c} {g_{o2}+s(C_2+C_c)}v_1$$

代回第一式，可得放大器轉移函數：

$$\boxed{ \frac{v_o}{v_{i1}} = \frac{ G_{m1}(G_{m2}-sC_c) }{ \left[g_{o1}+s(C_1+C_c)\right] \left[g_{o2}+s(C_2+C_c)\right] -s^2C_c^2 } }$$

將分母展開：

$$\boxed{ \frac{v_o}{v_{i1}} = \frac{ G_{m1}(G_{m2}-sC_c) }{ g_{o1}g_{o2} +s\left[g_{o1}(C_2+C_c)+g_{o2}(C_1+C_c)\right] +s^2(C_1C_2+C_1C_c+C_2C_c) } }$$

其中 $s^2C_c^2$ 會與乘積中的 $s^2C_c^2$ 抵消。

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(b) 極點與零點

題目給定：

$$G_{m1}=G_m,\qquad G_{m2}=2G_m$$ $$R_{o1}=R_{o2}=R,\qquad C_c=10C,\qquad C_1=C,\qquad C_2=2C$$

因此

$$g_{o1}=g_{o2}=\frac{1}{R}$$

轉移函數分子為

$$G_m(2G_m-10Cs)$$

分母為

$$\left(\frac{1}{R}+11Cs\right) \left(\frac{1}{R}+12Cs\right) -(10Cs)^2$$

整理得

$$\frac{v_o}{v_{i1}} = \frac{ G_m(2G_m-10Cs) }{ \frac{1}{R^2} +\frac{23C}{R}s +32C^2s^2 }$$

零點

令分子為零：

$$2G_m-10Cs=0$$

所以

$$\boxed{ z=\frac{G_m}{5C} }$$

由於零點位於 $s$ 平面的正半軸，因此這是右半平面零點（RHP zero）：

$$\boxed{ s_z=+\frac{G_m}{5C} }$$

其頻率為

$$\boxed{ \omega_z=\frac{G_m}{5C} }$$

極點

令分母為零：

$$32C^2s^2+\frac{23C}{R}s+\frac{1}{R^2}=0$$

乘上 $R^2$，並令 $x=sRC$：

$$32x^2+23x+1=0$$

因此

$$x=\frac{-23\pm\sqrt{23^2-4(32)(1)}}{64} = \frac{-23\pm\sqrt{401}}{64}$$

所以兩個極點為

$$\boxed{ p_{1,2} = \frac{-23\pm\sqrt{401}}{64RC} }$$

亦即

核心觀念

本題考查 n-channel MOSFET 的載子種類、電流傳導機制，以及元件尺寸對 Early voltage $V_A$ 與轉導 $g_m$ 的影響。

在一般強反轉操作下：

• nMOS 的反轉層主要由電子組成。

• 電子在通道中的主要運動機制是漂移（drift）。

• MOSFET 的有限輸出電阻可用通道長度調變描述：

  $I_D \approx I_{D0}\left(1+\frac{V_{DS}}{V_A}\right)$

• 長通道 MOSFET 的轉導為

  $g_m=\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}$

  在飽和區可寫成

$$g_m=\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}V_{OV} =\sqrt{2\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}I_D}$$

其中 $W$ 為通道寬度、$L$ 為通道長度、$V_{OV}=V_{GS}-V_{TH}$。

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解題方法

逐一檢查各敘述是否符合 nMOS 的基本物理與公式：

1. 判斷通道中的主要載子。
2. 判斷電流的主要傳導機制。
3. 檢查 $V_A$ 是否與元件尺寸有關。
4. 由 $g_m$ 公式判斷其是否受 $W/L$ 影響。

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選項分析

（a）Current conduction due to both electron and hole currents

n-channel MOSFET 在閘極施加足夠正電壓後，表面形成 n 型反轉層，通道中的主要載子是電子。

因此，汲極電流主要由電子在反轉層中的運動所造成，而不是由電子電流與電洞電流共同構成。

故此項錯誤。

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（b）Current flow due to carrier diffusion

擴散電流源自載子濃度梯度。在一般強反轉 MOSFET 的通道中，主要電流是由源極至汲極的電場造成，屬於漂移電流。

雖然在次臨界區或弱反轉區，擴散電流可能成為重要甚至主要的電流成分，但本題採用一般 MOSFET 基本操作模型，所指的通道電流傳導機制是漂移。

故此項錯誤。

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（c）Current flow due to carrier drift

通道內存在由汲極—源極電壓所形成的縱向電場，電子在此電場作用下產生漂移運動，形成汲極電流。

核心觀念

本題考查 BJT 的基本導電機制，以及 Early voltage $V_A$ 與跨導 $g_m$ 對元件尺寸、製程與偏壓的依賴性。

BJT 的主要觀念如下：

1. BJT 為雙極性元件，電子與電洞都參與電流傳導。
2. BJT 的主要電流機制是少數載子的擴散。
3. 在接面電場存在時，載子也會產生漂移電流。
4. Early voltage $V_A$ 主要與基極寬度及製程有關，通常與發射極面積無關。
5. BJT 的跨導為

$$g_m=\frac{I_C}{V_T}$$

其中 $I_C$ 為集極電流，$V_T$ 為熱電壓，室溫下約為 $25.9\text{ mV}$。因此，在相同 $I_C$ 下，$g_m$ 與電晶體面積無關。

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解題方法

逐項依據 BJT 的物理導電機制與小訊號參數定義判斷：

• 涉及載子種類者，檢查電子與電洞是否都參與導電。
• 涉及電流形成機制者，檢查擴散與漂移是否存在。
• 涉及 $V_A$ 者，檢查其是否主要受製程與基極寬度影響。
• 涉及 $g_m$ 者，利用 $g_m=I_C/V_T$ 判斷其與尺寸及偏壓的關係。

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選項分析

(a) Current conduction due to both electron and hole currents

正確。

BJT 稱為雙極性接面電晶體，因為電子與電洞兩種載子都參與電流傳導。

以 NPN BJT 為例：

• 發射極注入大量電子至基極。
• 電子在基極中以少數載子形式傳輸，主要依靠擴散前往集極接面。
• 同時，基極中的電洞也會注入發射極，形成電洞電流。
• 基極電流主要包含電洞注入電流與電子在基極中的復合電流。

因此，BJT 的電流並非只由單一種類載子形成，選項 (a) 正確。

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(b) Current flow due to carrier diffusion

正確。

BJT 的主要工作原理是利用載子濃度梯度造成擴散。

以正向主動區的 NPN BJT 為例，發射極摻雜濃度高，基極摻雜濃度低，因此發射極注入基極的電子在基極內形成濃度梯度，電子由高濃度區向低濃度區擴散。

在理想 BJT 中，集極電流可近似寫成

$$I_C \approx I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

此指數關係正是由基極內少數載子的擴散傳輸所造成。因此，選項 (b) 正確。

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(c) Current flow due to carrier drift

正確。

雖然 BJT 的主要載子傳輸機制是擴散，但在接面附近存在電場，因此載子也會產生漂移運動。

特別是在基極—集極空乏區中，具有電場。電子進入此空乏區後，會受到電場作用而快速漂移至集極。因此：

• 中性基極區內主要是擴散。
• 基極—集極空乏區內主要是漂移。

完整的半導體電流密度可表示為