114 年 國立臺灣大學電信工程學研究所甲組《電子學（C）》

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第 1 題

For the amplifier circuit in Fig. 1, the parameters are given as:
Vcc = 6 V
RE=10 kΩR_{E} = 10 \, \text{k}\Omega
CC1,CC2,CE=∞C_{C1}, C_{C2}, C_{E} = \infty
RB1=300 kΩR_{B1} = 300 \, \text{k}\Omega
RB2=300 kΩR_{B2} = 300 \, \text{k}\Omega
RC=10 kΩR_{C} = 10 \, \text{k}\Omega
Re=250 ΩR_{e} = 250 \, \Omega
Rsig=10 kΩR_{sig} = 10 \, \text{k}\Omega
RL=10 kΩR_{L} = 10 \, \text{k}\Omega
β\beta of BJT = 100

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Fig. 1

(a) Perform DC analysis and find the collector current (ICI_C) and collector voltage (VCV_C). [10%]
(b) Find RinR_{in} and RoutR_{out} of the amplifier. [20%]
(c) What is the voltage gain (Vo/VsigV_o/V_{sig}) of the amplifier? [10%]
(d) Define the output voltage swing range of the amplifier. [10%]

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 1 頁

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核心觀念

本題考查電阻分壓偏壓之 BJT 共射極放大器，重點包括：

  • 直流分析：耦合電容與旁路電容於直流視為開路。
  • Thevenin 等效偏壓電路。
  • 中頻小訊號分析：CC1C_{C1}、CC2C_{C2}、CEC_E 視為短路。
  • 輸入、輸出電阻與電壓增益。
  • 截止與飽和所限制的最大輸出擺幅。

以下採用 VBE=0.7 VV_{BE}=0.7\text{ V}、VCE(sat)=0.2 VV_{CE(\text{sat})}=0.2\text{ V}，並忽略 BJT 的 ror_o。

(a) 直流分析

直流時，CC1C_{C1}、CC2C_{C2}、CEC_E 皆視為開路，因此射極的直流電阻為

RE=10 kΩR_E=10\text{ k}\Omega

將基極分壓器作 Thevenin 等效：

VTH=VCCRB2RB1+RB2=6300300+300=3 VV_{TH}=V_{CC}\frac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}} =6\frac{300}{300+300}=3\text{ V} RTH=RB1∥RB2=300 kΩ∥300 kΩ=150 kΩR_{TH}=R_{B1}\parallel R_{B2} =300\text{ k}\Omega\parallel300\text{ k}\Omega =150\text{ k}\Omega

基極電流為

IB=VTH−VBERTH+(β+1)REI_B= \frac{V_{TH}-V_{BE}} {R_{TH}+(\beta+1)R_E} IB=3−0.7150 kΩ+101(10 kΩ)=1.98 μAI_B= \frac{3-0.7} {150\text{ k}\Omega+101(10\text{ k}\Omega)} =1.98\,\mu\text{A}

因此

IC=βIB=100(1.98 μA)≈0.198 mAI_C=\beta I_B =100(1.98\,\mu\text{A}) \approx0.198\text{ mA} IE=(β+1)IB≈0.200 mAI_E=(\beta+1)I_B \approx0.200\text{ mA}

射極電壓為

VE=IERE≈0.200 mA×10 kΩ≈2.00 VV_E=I_E R_E \approx0.200\text{ mA}\times10\text{ k}\Omega \approx2.00\text{ V}

集極電壓為

VC=VCC−ICRCV_C=V_{CC}-I_C R_C VC=6−(0.198 mA)(10 kΩ)≈4.02 VV_C=6-(0.198\text{ mA})(10\text{ k}\Omega) \approx4.02\text{ V}

故

IC≈0.198 mA\boxed{I_C\approx0.198\text{ mA}} VC≈4.02 V\boxed{V_C\approx4.02\text{ V}}

(b) 輸入電阻與輸出電阻

輸入電阻 RinR_{in}

中頻時，CEC_E 將 RE−reR_E-r_e 旁路，因此交流射極端約為接地，只剩 BJT 的內部射極電阻 re=250 Ωr_e=250\,\Omega 影響輸入端。

基極看入的電阻為

rπ≈βre=100(250 Ω)=25 kΩr_{\pi}\approx\beta r_e =100(250\,\Omega) =25\text{ k}\Omega

若採用較精確的 (β+1)re(\beta+1)r_e，則

rπ,in≈(β+1)re=25.25 kΩr_{\pi,\text{in}}\approx(\beta+1)r_e =25.25\text{ k}\Omega

因此放大器輸入電阻為

Rin=RB1∥RB2∥(β+1)reR_{in}=R_{B1}\parallel R_{B2}\parallel(\beta+1)r_e Rin=150 kΩ∥25.25 kΩ≈21.65 kΩR_{in}=150\text{ k}\Omega\parallel25.25\text{ k}\Omega \approx21.65\text{ k}\Omega

故

Rin≈21.7 kΩ\boxed{R_{in}\approx21.7\text{ k}\Omega}

輸出電阻 RoutR_{out}

求輸出電阻時，將輸入訊號設為零並移除負載 RLR_L。由於忽略晶體管的 ror_o，輸出端主要看到集極電阻：

Rout≈RC=10 kΩR_{out}\approx R_C=10\text{ k}\Omega

故

Rout≈10 kΩ\boxed{R_{out}\approx10\text{ k}\Omega}

注意：RLR_L 是外接負載，計算放大器本身的 RoutR_{out} 時不併入；但計算電壓增益時必須納入。

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第 2 題

For a two-stage op amp, the transfer function can be expressed as
A0(1−s/ωz)(1+s/ωp1)(1+s/ωp2)\frac{A_0 (1-s/\omega_z)}{(1+s/\omega_{p1})(1+s/\omega_{p2})}
where A0=105A_0 = 10^5, ωp1=102 rad/s\omega_{p1} = 10^2 \, \text{rad/s}, and ωp2=108 rad/s\omega_{p2} = 10^8 \, \text{rad/s}.

(a) If the op amp is used in a feedback system with a feedback factor β=0.1\beta = 0.1, find the phase margin. [10%]
(b) If the op amp is used as a unity gain buffer, find the DC gain and the phase margin. [20%]
(c) If ωz\omega_z can be modified without changing the other parameters of the op amp, how do you choose the value of ωz\omega_z to achieve a phase margin of 60∘60^\circ for the unity-gain buffer? [20%]

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核心觀念

本題考查兩級運算放大器的頻率響應、迴路增益與相位裕度。

開迴路增益為

A(s)=A0(1−s/ωz)(1+s/ωp1)(1+s/ωp2)A(s)=\frac{A_0(1-s/\omega_z)} {(1+s/\omega_{p1})(1+s/\omega_{p2})}

其中

A0=105,ωp1=102 rad/s,ωp2=108 rad/sA_0=10^5,\qquad \omega_{p1}=10^2\ \text{rad/s},\qquad \omega_{p2}=10^8\ \text{rad/s}

若未特別指定零點位置，(a)、(b) 採用零點遠高於交越頻率的標準假設，即

ωz→∞\omega_z\rightarrow\infty

因此在 (a)、(b) 中可忽略零點效應。由於分子為 1−s/ωz1-s/\omega_z，若 ωz>0\omega_z>0，此零點屬於右半平面零點，會額外造成相位落後，這也是 (c) 用來調整相位裕度的因素。

負回授系統的迴路增益為

T(s)=βA(s)T(s)=\beta A(s)

增益交越頻率 ωc\omega_c 定義為

∣T(jωc)∣=1|T(j\omega_c)|=1

相位裕度定義為

PM=180∘+∠T(jωc)\mathrm{PM}=180^\circ+\angle T(j\omega_c)

(a) β=0.1\beta=0.1 時的相位裕度

1. 求增益交越頻率

忽略零點後，

∣A(jω)∣=105[1+(ω102)2][1+(ω108)2]|A(j\omega)| = \frac{10^5} {\sqrt{\left[1+\left(\frac{\omega}{10^2}\right)^2\right] \left[1+\left(\frac{\omega}{10^8}\right)^2\right]}}

交越條件為

∣βA(jωc)∣=1|\beta A(j\omega_c)|=1

因此

∣A(jωc)∣=1β=10|A(j\omega_c)|=\frac{1}{\beta}=10

由於交越頻率遠大於 ωp1\omega_{p1}，可將第一個極點視為積分器：

∣A(jω)∣≈105(102)ω1+(ω/108)2|A(j\omega)| \approx \frac{10^5(10^2)} {\omega\sqrt{1+(\omega/10^8)^2}}

所以

107ωc1+(ωc/108)2=10\frac{10^7} {\omega_c\sqrt{1+(\omega_c/10^8)^2}} =10

亦即

ωc1+(ωc/108)2=106\omega_c\sqrt{1+(\omega_c/10^8)^2}=10^6

解得

ωc≈1.00×106 rad/s\omega_c\approx 1.00\times 10^6\ \text{rad/s}

2. 計算交越頻率處的相位

兩個左半平面極點各造成相位落後，因此

∠A(jωc)=−tan⁡−1(ωc102)−tan⁡−1(ωc108)\angle A(j\omega_c) = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_c}{10^2}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_c}{10^8}\right)

代入 ωc≈106\omega_c\approx 10^6：

∠A(jωc)≈−tan⁡−1(104)−tan⁡−1(10−2)\angle A(j\omega_c) \approx -\tan^{-1}(10^4)-\tan^{-1}(10^{-2}) ∠A(jωc)≈−89.994∘−0.573∘=−90.567∘\angle A(j\omega_c) \approx -89.994^\circ-0.573^\circ =-90.567^\circ

β=0.1\beta=0.1 為正實數，不增加相位，因此

PM=180∘−90.567∘≈89.43∘\mathrm{PM} = 180^\circ-90.567^\circ \approx 89.43^\circ

(b) Unity-gain buffer 的 DC 增益與相位裕度

Unity-gain buffer 的回授因子為

β=1\beta=1

1. DC closed-loop gain

低頻時 A(0)=A0=105A(0)=A_0=10^5，閉迴路增益為

ACL(0)=A01+βA0A_{\mathrm{CL}}(0) = \frac{A_0}{1+\beta A_0}

代入 β=1\beta=1：

ACL(0)=1051+105=105100001≈0.99999A_{\mathrm{CL}}(0) = \frac{10^5}{1+10^5} = \frac{10^5}{100001} \approx 0.99999

因此 unity-gain buffer 的實際 DC 增益略小於 1。

2. 求增益交越頻率

因為 β=1\beta=1，交越條件為

∣A(jωc)∣=1|A(j\omega_c)|=1

使用前述近似：

107ωc1+(ωc/108)2=1\frac{10^7} {\omega_c\sqrt{1+(\omega_c/10^8)^2}} =1

因此

ωc1+(ωc/108)2=107\omega_c\sqrt{1+(\omega_c/10^8)^2}=10^7

解得

ωc≈9.95×106 rad/s\omega_c\approx 9.95\times 10^6\ \text{rad/s}

3. 計算相位裕度

交越頻率處的相位為

∠A(jωc)=−tan⁡−1(ωc102)−tan⁡−1(ωc108)\angle A(j\omega_c) = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_c}{10^2}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_c}{10^8}\right)

代入 ωc≈9.95×106\omega_c\approx9.95\times10^6：

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