113 年 國立臺灣大學電信工程學研究所乙組《工程數學（D）》

核心觀念

本題考查二維連續型隨機變數的：

• 邊際機率密度函數：

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx$$

• 期望值：
  $E[X]=\int x f_X(x)\,dx$
• 變數轉換求密度函數。
• 條件機率密度：
  $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$
• 指數分布的無記憶性。

題目給定 $0\le x\le y$，表示第一通電話必定早於或同時於第二通電話。

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(a) 第一通與第二通電話到達時間的邊際 PDF

第一通電話 $X$

固定 $x\ge 0$，由於 $y\ge x$，因此

$$f_X(x)=\int_x^\infty \lambda^2e^{-\lambda y}\,dy$$

計算得

$$f_X(x) = \lambda^2\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda y}\right]_{x}^{\infty} = \lambda e^{-\lambda x}.$$

因此

$$f_X(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge 0,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

可見 $X$ 服從參數為 $\lambda$ 的指數分布。

第二通電話 $Y$

固定 $y\ge 0$，由於 $0\le x\le y$，因此

$$f_Y(y)=\int_0^y \lambda^2e^{-\lambda y}\,dx.$$

因為被積分式與 $x$ 無關，

$$f_Y(y) = \lambda^2e^{-\lambda y}\int_0^y dx = \lambda^2 y e^{-\lambda y}.$$

因此

$$f_Y(y)= \begin{cases} \lambda^2 y e^{-\lambda y}, & y\ge 0,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

此為形狀參數 $2$、速率參數 $\lambda$ 的 Gamma 分布。

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(b) 第一通與第二通電話的期望值

$E[X]$

由 $f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，

$$E[X]=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx.$$

利用指數分布的期望值公式，

$$E[X]=\frac{1}{\lambda}.$$

$E[Y]$

由 $f_Y(y)=\lambda^2 y e^{-\lambda y}$，

$$E[Y] = \int_0^\infty y\lambda^2 y e^{-\lambda y}\,dy = \lambda^2\int_0^\infty y^2e^{-\lambda y}\,dy.$$

利用

$$\int_0^\infty y^n e^{-\lambda y}\,dy = \frac{n!}{\lambda^{n+1}},$$

取 $n=2$ 得

$$E[Y] = \lambda^2\frac{2!}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda}.$$

因此第二通電話的平均到達時間是第一通的兩倍。

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(c) 到達時間差 $W=Y-X$ 的 PDF

令

$$W=Y-X.$$

取變數轉換

$$w=y-x,\qquad y=x+w.$$

反變換為

$$x=x,\qquad y=x+w.$$

其 Jacobian 絕對值為

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(x,w)}\right|=1.$$

原本的範圍 $0\le x\le y$ 轉換為

$$x\ge 0,\qquad w\ge 0.$$

因此

$$f_{X,W}(x,w) = f_{X,Y}(x,x+w) = \lambda^2e^{-\lambda(x+w)}.$$

對 $x$ 積分：

$$f_W(w) = \int_0^\infty \lambda^2e^{-\lambda(x+w)}\,dx.$$

整理得

$$f_W(w) = \lambda^2e^{-\lambda w} \int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx = \lambda^2e^{-\lambda w}\frac{1}{\lambda}.$$

所以

$$f_W(w)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda w}, & w\ge 0,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

因此 $W$ 也服從參數為 $\lambda$ 的指數分布。

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(d) 已知第二通電話在時間 $y>0$ 到達，求第一通電話時間的條件 PDF

根據條件密度公式，

核心觀念

本題考查線性組合的變異數公式：

$$\operatorname{Var}(aX+bZ) =a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Z) +2ab\operatorname{Cov}(X,Z).$$

雖然 $X_1$ 與 $X_2$ 同分布，因此

$$\operatorname{Var}(X_1)=\operatorname{Var}(X_2)=\sigma^2,$$

但「同分布」不代表「獨立」，所以 $\operatorname{Cov}(X_1,X_2)$ 不一定為零。

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解題方法

令

$$c=\operatorname{Cov}(X_1,X_2).$$

由 $Y=X_1+kX_2$，可得

$$\operatorname{Var}(Y) =\operatorname{Var}(X_1+kX_2)$$ $$=\operatorname{Var}(X_1)+k^2\operatorname{Var}(X_2) +2k\operatorname{Cov}(X_1,X_2)$$ $$=(1+k^2)\sigma^2+2kc.$$

題目要求 $\operatorname{Var}(Y)\geq \sigma^2$，因此

$$(1+k^2)\sigma^2+2kc\geq \sigma^2.$$

整理得

$$k^2\sigma^2+2kc\geq 0.$$

在 $\sigma^2>0$ 的情況下，令相關係數

$$\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X_1,X_2)}{\sigma^2} =\frac{c}{\sigma^2},$$

則

$$k^2+2\rho k\geq 0,$$

即

$$k(k+2\rho)\geq 0.$$

因此 $k$ 必須位於兩根之外：

$$k\leq \min(0,-2\rho) \quad\text{或}\quad k\geq \max(0,-2\rho).$$

核心觀念

本題考查：

• 幾何型隨機變數與停止時間。

• MGF（Moment Generating Function，動差生成函數）的定義：

  $\phi_X(s)=E\left[e^{sX}\right]$

• 由 MGF 求期望值與變異數：

  $E[X]=\phi_X'(0),\qquad E[X^2]=\phi_X''(0)$

  $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\{E[X]\}^2$

• Chebyshev 不等式：

  $P(|X-\mu|\ge a)\le \frac{\sigma^2}{a^2}$

每局 Alice 獲勝的機率為 $0.5$、落敗的機率為 $0.4$，因此和局機率為

$P(\text{tie})=1-0.5-0.4=0.1.$

Alice 一旦落敗，比賽立即結束。設 $W$ 為落敗前獲勝的總局數，則 Alice 的總得分為

$X=W-1,$

因為每次獲勝得 $1$ 分，最後落敗扣 $1$ 分，和局不影響分數。

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解題方法

可從第一局開始建立遞迴：

• 以機率 $0.4$ 直接落敗，得分為 $-1$；
• 以機率 $0.5$ 獲勝，先得 $1$ 分，之後重新面對相同的比賽；
• 以機率 $0.1$ 和局，得分為 $0$，之後重新面對相同的比賽。

令 $M(s)=\phi_X(s)$，則由上述三種情形得到

$$M(s)=0.4e^{-s}+0.5e^sM(s)+0.1M(s).$$

移項整理：

$$M(s)(0.9-0.5e^s)=0.4e^{-s}.$$

因此

$$\boxed{\phi_X(s)=\frac{0.4e^{-s}}{0.9-0.5e^s}}$$

其定義條件為分母級數可收斂，即

$$0.5e^s<0.9 \quad\Longrightarrow\quad s<\ln(1.8).$$

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(a) MGF

因此，$X$ 的 MGF 為

$$\boxed{\phi_X(s)=\frac{0.4e^{-s}}{0.9-0.5e^s}}, \qquad s<\ln(1.8).$$

快速驗算：

$$\phi_X(0)=\frac{0.4}{0.9-0.5}=1,$$

符合任何 MGF 必須滿足 $\phi_X(0)=1$。

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(b) 變異數

先將 MGF 改寫為較方便微分的形式：

$$\phi_X(s)=\frac{4e^{-s}}{9-5e^s}.$$

令

$$D(s)=9-5e^s,$$

則

$$\phi_X(s)=4e^{-s}D(s)^{-1}.$$

微分一次：

$$\phi_X'(s) = -4e^{-s}D(s)^{-1} + 20e^s e^{-s}D(s)^{-2}.$$

在 $s=0$ 時，$D(0)=4$，所以

$$E[X]=\phi_X'(0) = -\frac{4}{4}+\frac{20}{16} = -\frac14+\frac54 = \frac14.$$

核心觀念

本題考查以下線性代數觀念：

• 向量組的線性相依與線性獨立。
• 行空間（row space）與列空間（column space）。
• 矩陣轉置、對稱矩陣與斜對稱矩陣。
• 矩陣的秩（rank）與主元個數。

若存在不全為零的係數，使

$$c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+\cdots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0,$$

則這些向量線性相依。

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選項分析

(a)

考慮兩個向量

$$\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\3\\2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v_2= \begin{bmatrix} 2\\1\\3 \end{bmatrix}.$$

兩個非零向量線性相依，必須互為倍數。由第一個分量可得倍數應為 $2$，但

$$2\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 2\\6\\4 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 2\\1\\3 \end{bmatrix}.$$

因此兩向量不是倍數關係，線性獨立。

判定：False

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(b)

令

$$\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 1\\-3\\2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v_2= \begin{bmatrix} 2\\1\\-3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v_3= \begin{bmatrix} -3\\2\\1 \end{bmatrix}.$$

直接相加：

$$\mathbf v_1+\mathbf v_2+\mathbf v_3 = \begin{bmatrix} 1+2-3\\ -3+1+2\\ 2-3+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}.$$

這是一個係數不全為零的線性組合，因此三個向量線性相依。

判定：True

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(c)

「行空間等於列空間」不代表矩陣本身等於其轉置。反例取

$$A= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}.$$

因為 $A$ 為可逆矩陣，所以

核心觀念

本題考查以下線性代數概念：

• 矩陣欄向量的線性獨立與 $A^T A$ 的可逆性。
• 方程組 $Ax=b$ 的可解條件與 pivot position。
• 矩陣的 rank、欄空間與解的存在性。
• 對角矩陣的矩陣乘法。
• Null space（零空間）的求法。

設 $A$ 是 $m\times n$ 矩陣，則 $Ax$ 表示 $A$ 的欄向量之線性組合。

選項分析

(a) True

考慮任意 $x\in\mathbb{R}^n$：

$$x^T A^T A x=(Ax)^T(Ax)=\|Ax\|^2.$$

若 $A$ 的欄向量線性獨立，則

$$Ax=0\Longrightarrow x=0.$$

假設 $A^T A x=0$，左乘 $x^T$ 得

$$x^T A^T A x=0 \Longrightarrow \|Ax\|^2=0 \Longrightarrow Ax=0 \Longrightarrow x=0.$$

因此 $A^T A$ 的零空間只有零向量，所以 $A^T A$ 可逆。

反之，若 $A$ 的欄向量線性相關，則存在非零向量 $x$ 使得

$$Ax=0.$$

因此

$$A^T A x=A^T(Ax)=0.$$

這表示 $A^T A$ 有非零零向量，故不可逆。

所以：

$$A^T A\text{ 可逆} \Longleftrightarrow A\text{ 的欄向量線性獨立}.$$

故本選項為 True。

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(b) False

「$A$ 的每一列都有 pivot」所代表的正確定理是：

$$Ax=b\text{ 對每一個 }b\in\mathbb{R}^m\text{ 都有解} \Longleftrightarrow A\text{ 的每一列都有 pivot}.$$

但題目只說某一個方程 $Ax=b$ 是否有解，不能只依據 $A$ 是否每列都有 pivot 判斷，還必須考慮 $b$ 是否位於 $A$ 的欄空間中。

反例取

$$A= \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}.$$

此時

$$Ax=b$$

有解，例如 $x=0$；但是 $A$ 沒有 pivot position。

因此「有解」不必然推出「每一列都有 pivot」，本選項為 False。

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(c) True

這裡 $A$ 是 $5\times 3$ 矩陣，因此其 rank 滿足

$$\operatorname{rank}(A)\leq 3.$$

欄空間 $\operatorname{Col}(A)$ 至多是 $\mathbb{R}^5$ 中的三維子空間，不可能等於整個 $\mathbb{R}^5$。因此必定存在某些 $b\in\mathbb{R}^5$ 不在 $\operatorname{Col}(A)$ 中，使得

$$Ax=b$$

無解。

例如取

$$A= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\1\\0 \end{bmatrix}.$$

則 $Ax$ 的第四個分量永遠為 $0$，不可能等於 $b$ 的第四個分量 $1$，所以方程無解。

故 $Ax=b$ 不一定有解，本選項為 True。

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(d) True

設

$$A= \begin{bmatrix} d_1&0&0\\ 0&d_2&0\\ 0&0&d_3 \end{bmatrix}.$$

則

核心觀念

本題綜合考察：

• 四大基本子空間與轉置矩陣的關係
• 齊次方程組的解與零空間
• 對稱矩陣的自由度
• 秩－零度定理
• 矩陣乘法的交換律是否具有傳遞性

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（a）$A^T y=b$ 可解時，$b$ 屬於 $A$ 的哪個子空間？

矩陣方程

$$A^T y=b$$

可解的必要且充分條件是：$b$ 必須屬於 $A^T$ 的欄空間，即

$$b\in \operatorname{Col}(A^T).$$

而轉置矩陣的欄空間等於原矩陣的列空間：

$$\operatorname{Col}(A^T)=\operatorname{Row}(A).$$

因此，

$$\boxed{b\in \operatorname{Row}(A)}$$

四大子空間逐一判斷

• $\operatorname{Col}(A)$：一般不是 $A^T$ 的欄空間，錯誤。
• $\operatorname{Row}(A)$：等於 $\operatorname{Col}(A^T)$，正確。
• $\operatorname{Null}(A)$：描述 $Ax=0$ 的解，與 $A^T y=b$ 的可解性無直接關係，錯誤。
• $\operatorname{Null}(A^T)$：描述 $A^T y=0$ 的解，不是右側向量 $b$ 所屬的可解空間，錯誤。

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（b）何種子空間只含零向量時，解 $y$ 唯一？

若 $y_1$ 與 $y_2$ 都是方程式

$$A^T y=b$$

的解，則相減可得

$$A^T(y_1-y_2)=0.$$

因此，

$$y_1-y_2\in \operatorname{Null}(A^T).$$

要使兩個解必定相同，必須有

$$\operatorname{Null}(A^T)=\{\mathbf 0\}.$$

所以填空為：

$$\boxed{\operatorname{Null}(A^T)}$$

也可稱為 $A$ 的左零空間（left nullspace）。

判斷

• $\operatorname{Null}(A^T)=\{\mathbf 0\}$：解唯一，正確。
• $\operatorname{Null}(A^T)$ 含有非零向量：若 $y$ 是一組解，則 $y+z$ 也是解，其中 $z\in\operatorname{Null}(A^T)$，因此解不唯一。

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（c）$n\times n$ 對稱矩陣子空間的維度

對稱矩陣滿足

$$A=A^T.$$

矩陣中的元素分成兩類：

1. 對角線元素：共有 $n$ 個，可自由指定。
2. 非對角線元素：$a_{ij}=a_{ji}$，只需指定上三角或下三角其中一側。

非對角線中獨立元素的數量為

$$\frac{n(n-1)}{2}.$$

因此總自由度為

$$n+\frac{n(n-1)}{2} =\frac{n(n+1)}{2}.$$

故答案為：

$$\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}$$

例如，$3\times3$ 對稱矩陣具有 $3(4)/2=6$ 個獨立元素：

$$\begin{bmatrix} a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f \end{bmatrix}.$$

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（d）$5\times3$ 矩陣 $A$ 的 kernel 為一維，求 $A$ 的維度

矩陣 $A$ 有 $3$ 個欄，因此其定義域維度為 $3$。由秩－零度定理：

核心觀念

本題考查矩陣的列空間、行空間與秩的基本性質。

對於外積矩陣 $uv^T$：

• 每一個欄向量都是 $u$ 的倍數，因此其列空間由 $u$ 張成。
• 每一個列向量都是 $v^T$ 的倍數，因此其行空間由 $v^T$ 張成。
• 若兩個秩一矩陣相加，總矩陣的列空間受到 $u,w$ 控制，行空間受到 $v,z$ 控制。

將矩陣寫成乘積形式：

$$A=uv^T+wz^T = \begin{bmatrix}u&w\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v^T\\z^T\end{bmatrix}.$$

因此由秩的不等式，

$$\operatorname{rank}(A) \leq \min\left\{ \operatorname{rank}\begin{bmatrix}u&w\end{bmatrix}, \operatorname{rank}\begin{bmatrix}v^T\\z^T\end{bmatrix} \right\}.$$

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解題方法與各小題

(a) 列空間

設 $A$ 的第 $j$ 個欄向量為 $A_{\cdot j}$。由矩陣乘法，

$$A_{\cdot j}=v_j u+z_j w,$$

其中 $v_j,z_j$ 分別是向量 $v,z$ 的第 $j$ 個分量。

所以 $A$ 的每一個欄向量都是 $u$ 與 $w$ 的線性組合，故

$$\operatorname{Col}(A)\subseteq \operatorname{span}\{u,w\}.$$

因此可用 $u,w$ 張成 $A$ 的列空間：

$$\boxed{\operatorname{Col}(A)\text{ 由 }u,w\text{ 張成}}.$$

這兩個向量不一定線性獨立，因此不一定都是列空間的基底。

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(b) 行空間

將 $A$ 寫成轉置形式：

$$A^T=vu^T+zw^T.$$

依照 (a) 的相同理由，$A^T$ 的列空間由 $v,z$ 張成。又因為 $A^T$ 的列空間等於 $A$ 的行空間，所以

$$\boxed{\operatorname{Row}(A)\text{ 由 }v^T,z^T\text{ 張成}}.$$

若以行向量的轉置慣例表示，也可寫成「由 $v,z$ 張成」。

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(c) 秩小於 $2$ 的條件

由

$$A= \begin{bmatrix}u&w\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v^T\\z^T\end{bmatrix},$$

若 $u,w$ 線性相依，則矩陣 $\begin{bmatrix}u&w\end{bmatrix}$ 的秩小於 $2$，因此

$$\operatorname{rank}(A)<2.$$

核心觀念

矩陣的特徵值總和等於矩陣的跡（trace），即主對角線元素之和：

$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\operatorname{tr}(A)$$

若矩陣的特徵值為 $-48$、$24$ 與未知的 $\lambda_3$，即可利用跡求出第三個特徵值。

解題方法

矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} 51 & -12 & -21\\ 60 & -40 & -28\\ 57 & -68 & 1 \end{bmatrix}$$

其跡為主對角線元素的總和：

核心觀念

本題適合使用「低秩矩陣的作用」與「冪次循環」處理。由矩陣的第二欄可見

$$\begin{bmatrix}55\\21\\44\end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}110\\42\\88\end{bmatrix},$$

因此矩陣 $A$ 的作用可寫成兩個向量的線性組合。

令

$$u= \begin{bmatrix}110\\42\\88\end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix}-164\\-62\\-131\end{bmatrix}.$$

則對任意向量 $x=(x_1,x_2,x_3)^T$，

$$Ax = \left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)u+x_3w.$$

所以 $A$ 的像空間由 $u,w$ 張成。只要研究 $A$ 對 $u,w$ 的作用，即可掌握高次冪。

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解題方法

先計算 $Au$。由上述表示式，

$$Au = \left(110+\frac{42}{2}\right)u+88w = 131u+88w.$$

再計算 $Aw$：

$$Aw = \left(-164+\frac{-62}{2}\right)u-131w = -195u-131w.$$

因此在基底 $\{u,w\}$ 下，$A$ 的作用矩陣為

$$B= \begin{bmatrix} 131 & -195\\ 88 & -131 \end{bmatrix}.$$

計算其跡與行列式：

$$\operatorname{tr}(B)=131-131=0,$$ $$\det(B) = 131(-131)-(-195)(88) = -17161+17160=-1.$$

故特徵多項式為

$$p_B(\lambda) = \lambda^2-\operatorname{tr}(B)\lambda+\det(B) = \lambda^2-1.$$

由 Cayley–Hamilton 定理，

$$B^2-I=0,$$

因此

$$B^2=I.$$

核心觀念

本題考查內積空間中的「正交」與「正規化」，以及 Gram–Schmidt 正交化程序。

多項式空間

$$\mathcal{P}_2=\{a+bx+cx^2:a,b,c\in\mathbb{R}\}$$

的維度為 $3$。題目給定內積

$$\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\,dx.$$

若多項式組 $\{p_0,p_1,p_2\}$ 滿足

$$\langle p_i,p_j\rangle=0\quad (i\ne j),$$

則稱其為正交組；若進一步滿足

$$\langle p_i,p_i\rangle=1,$$

則稱為正交規範組，也就是 orthonormal basis。

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解題方法

取 $\{1,x,x^2\}$ 作為 $\mathcal{P}_2$ 的原始基底，使用 Gram–Schmidt 程序。

第一步：建立第一個正交多項式

令

$$u_0(x)=1.$$

其長度平方為

$$\|u_0\|^2=\langle 1,1\rangle =\int_{-1}^{1}1\,dx=2.$$

因此正規化後得到

$$e_0(x)=\frac{u_0(x)}{\|u_0\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

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第二步：處理一次多項式

令

$$u_1(x)=x-\frac{\langle x,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0.$$

由於 $x$ 是奇函數，且積分區間 $[-1,1]$ 對稱，

$$\langle x,1\rangle =\int_{-1}^{1}x\,dx=0.$$

所以

$$u_1(x)=x.$$

其長度平方為

$$\|u_1\|^2 =\int_{-1}^{1}x^2\,dx =\frac{2}{3}.$$

因此

$$e_1(x)=\frac{x}{\sqrt{2/3}} =\sqrt{\frac{3}{2}}\,x.$$

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第三步：處理二次多項式

令

$$u_2(x) =x-\text{的正交化形式} =x^2-\frac{\langle x^2,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0 -\frac{\langle x^2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1.$$

先計算與 $u_0=1$ 的投影係數：

$$\frac{\langle x^2,1\rangle}{\langle 1,1\rangle} = \frac{\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx} {\displaystyle\int_{-1}^{1}1\,dx} = \frac{2/3}{2} =\frac{1}{3}.$$

再計算與 $u_1=x$ 的投影係數。因為 $x^2\cdot x=x^3$ 是奇函數，

$$\langle x^2,x\rangle =\int_{-1}^{1}x^3\,dx=0.$$

因此

$$u_2(x)=x^2-\frac{1}{3}.$$