108 年 國立中央大學資訊工程學系軟體工程碩士班《離散數學與線性代數》

核心觀念

本題考查離散數學中**命題邏輯（Propositional Logic）**的基礎概念——命題（Proposition）的定義。

根據離散數學的標準定義：

命題（Proposition）是一個能夠宣稱事實的陳述句（Declarative Sentence），且該句子必須具備明確且唯一的真假值（Truth Value），即非真（True, $T$）即假（False, $F$），二者必居其一且不能同時成立。

若一個句子屬於以下類型，則不屬於命題：

1. 感嘆句（Exclamation）或口號願景（Slogan / Wish）：缺乏客觀標準，無法明確評判真假。
2. 疑問句（Question）：如「今天天氣好嗎？」。
3. 祈使句／命令句（Imperative / Command）：如「請把門關上！」。
4. 開放語句（Open Sentence）：含有未給定值的自由變數，如 $x + 1 = 2$。
5. 悖論（Paradox）：無法確定唯一真假值，如「本敘述為假」。

解題方法

判斷一個敘述是否為命題，切入點分為兩步驟：

1. 文法句型檢驗：確認該句子是否為「陳述句」（Declarative Sentence）。口號、祈使句、感嘆句或疑問句可直接排除。
2. 真值客觀性檢驗：確認該句子在給定脈絡下，是否客觀上能夠被賦予確定的真假值（$T$ 或 $F$）。若句意模糊、缺乏客觀評判標準（例如純粹的願景或口號），則不適合認定為命題。

依次檢測各選項之句型與真假值可定義性，找出最不符合命題定義（unlikely a proposition）的選項。

選項分析

• (A) 貨賣得出去,人進得來,高雄發大財。【最不可能為命題】
  • 說明：此敘述本質上屬於政治競選口號（Slogan）與願望祈求。「發大財」一詞缺乏明確、客觀且精確的科學或統計學定義（無法明確界定賺取多少金額才算發大財），且該句子並非嚴謹陳述客觀事實的陳述句，無法被賦予明確且唯一的真假值（$T$ 或 $F$）。因此最不可能被視為命題。
• **(B) 冷泉加熱就變溫泉了。

核心觀念

本題考驗**費氏數列（Fibonacci Numbers）的定義、通項公式及其漸近成長率（Asymptotic Growth Rate）**與上／下界（Upper/Lower Bounds）的概念。

1. 費氏數列的定義與遞迴關係：
   常見定義為 $F_0 = 0, F_1 = 1$，且當 $n \ge 2$ 時滿足遞迴關係式：
   $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

2. 費氏數列的通項公式（Binet's Formula）：
   $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right] = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \hat{\phi}^n \right)$
   其中黃金比例 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$，而 $\hat{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$。

3. 漸近複雜度與界限：
   由於 $|\hat{\phi}| < 1$，當 $n \to \infty$ 時 $\hat{\phi}^n \to 0$，因此費氏數列的漸近成長率為指數成長（Exponential Growth）：
   $F_n = \Theta(\phi^n)$

解題方法

1. 分析費氏數列的成長率：
   根據 Binet 公式，費氏數列 $F_n$ 以黃金比例 $\phi \approx 1.618$ 的指數次方速度成長，即 $F_n = \Theta(\phi^n)$。
2. 判定上界（Upper Bound）與下界（Lower Bound）的合理性：
   在漸近分析中，對於成長率為 $\Theta(\phi^n)$ 的函數：
   • 下界 $g(n)$：只需滿足當 $n$ 足夠大時 $F_n \ge c \cdot g(n)$。由於指數成長遠快於線性成長，任何成長速度不快於 $\phi^n$ 的函數（例如常數、線性 $O(n)$、或底數較小的指數函數 $1.5^n$）皆可作為其有效的下界。
   • 上界 $h(n)$：必須滿足當 $n$ 足夠大時 $F_n \le c \cdot h(n)$。因此，上界函數的成長速度必須大於或等於 $\phi^n$（例如 $\phi^n$、$2^n$ 或 $n!$）。成長速度比指數慢的線性函數 $O(n)$ 絕對無法包覆指數成長的數列。

選項分析

• A. The first two numbers of Fibonacci numbers are commonly defined as 0 and 1, but it could be defined differently.（敘述正確）

  • 分析：費氏數列最普遍的初始值設定為 $F_0 = 0, F_1 = 1$，但部分文獻或應用情境亦會定義為 $F_1 = 1, F_2 = 1$ 或 $F_0 = 1, F_1 = 1$。初始項的定義差異並不影響其遞迴規律與漸近成長率，故此敘述正確。

• B. We can find a lower bound of Fibonacci numbers that grows linearly.（敘述正確）

核心觀念

• 費馬小定理（Fermat's Little Theorem）：若 $p$ 為質數，且整數 $a$ 滿足 $\gcd(a, p) = 1$，則：
  $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$
• 同餘基本性質（Modular Arithmetic Properties）：
  若 $a \equiv b \pmod m$，則對任意正整數 $k$，有 $a^k \equiv b^k \pmod m$；且若 $c \equiv d \pmod m$，則 $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod m$。
• 指數降次原理（Exponent Reduction）：利用同餘週期的概念，將大指數 $n$ 表示為 $n = (p-1) \cdot q + r$，從而簡化計算為 $a^n \equiv a^r \pmod p$。

解題方法

1. 確認定理適用條件：
   底數 $a = 3$，模數 $p = 11$（質數），且 $\gcd(3, 11) = 1$，完全符合費馬小定理之假設條件。

2. 套用費馬小定理求週期：
   由費馬小定理可得：
   $3^{11-1} = 3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$

3. 對指數進行除法分解（降次）：
   將指數 $302$ 除以週期 $10$：
   $302 = 10 \times 30 + 2$

4. 代入同餘式展開計算：
   $3^{302} = 3^{10 \times 30 + 2} = \left(3^{10}\right)^{30} \cdot 3^2 \pmod{11}$

核心觀念

本題考驗離散數學中**偏序集（Partially Ordered Set, Poset）**及其相關結構特性的基本概念，包含：

1. 偏序集與整除關係：給定集合 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 及整除關係 $|$，二元關係 $R = (S, |)$ 為一偏序集。其中 $a | b$ 表示「$a$ 整除 $b$」（即存在整數 $k$ 使得 $b = k \cdot a$）。
2. 全序（Total Order）：若偏序集中任意兩元素 $a, b \in S$ 皆可比較（即 $a | b$ 或 $b | a$ 必有一成立），則稱該偏序關係為全序關係。
3. 極大元（Maximal Element）與最小元（Least Element / Minimum）：
   • 極大元：不存在其他元素 $x \in S$ 使得 $m < x$（即 $m | x$ 且 $m \neq x$）。
   • 最小元：存在元素 $l \in S$，對所有 $x \in S$ 皆滿足 $l \le x$（即 $l | x$）。
4. 最大下界（Greatest Lower Bound, GLB / Infimum）：
   • 集合 $S$（或任意子集合）的共同下界中「最大」者（即被所有其他下界整除者）。
   • 在整除關係偏序集中，兩元素 $a, b$ 的 GLB 即為其最大公因數 $\gcd(a, b)$。
5. 格（Lattice）：若偏序集中的任意兩元素皆同時存在最小上界（LUB, Least Upper Bound / Supremum）與最大下界（GLB），則該偏序集稱為格。

解題方法

給定集合 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 與整除關係 $|$。我們依據各項定義進行檢驗與推導：

1. 可比性（Comparability）檢驗：
   • 觀察 $2, 3 \in S$：$2 \nmid 3$ 且 $3 \nmid 2$，故 $2$ 與 $3$ 在偏序集 $R$ 中不可比較（Incomparable）。
2. 極大元（Maximal Elements）搜尋：
   • 找出在 $S$ 中沒有「其他嚴格倍數」的元素：
     • $5$ 在 $S$ 中的倍數僅有自身 $5$。
     • $6$ 在 $S$ 中的倍數僅有自身 $6$。
     • $7$ 在 $S$ 中的倍數僅有自身 $7$。
     • $8$ 在 $S$ 中的倍數僅有自身 $8$。
     • $9$ 在 $S$ 中的倍數僅有自身 $9$。
   • 因此，極大元集合為 $\{5, 6, 7, 8, 9\}$，共有 5 個極大元。
3. 最大下界（GLB）分析：
   • 對於整體偏序集 $R = (S, |)$，因為對所有 $x \in S$ 皆滿足 $1 | x$，故 $1$ 為 $R$ 的最小元（Least Element / Bottom Element），即 $\text{glb}(S) = 1$。
   • 此外，對 $S$ 中任意兩元素 $a, b$，其最大下界為 $\text{glb}(a, b) = \gcd(a, b)$。

核心觀念

本題考 Dijkstra 演算法：在邊權重皆非負時，從起點逐步選出「目前暫定距離最小」的未確定節點，並以該節點更新鄰點距離。最後可由前驅節點還原最短路徑。

以下依原卷圖形讀取邊權重；圖中線段沒有箭頭，視為無向邊。

解題方法

從 $a$ 出發，先得到 $d(a)=0$，相鄰節點的暫定距離為 $d(b)=4$、$d(c)=3$。先確定距離較小的 $c$，再由 $c$ 更新 $d$、$e$：

此時未確定節點中，$b$ 的距離為 $4$，小於 $d$ 的 $6$，因此下一個確定的節點是 $b$，不是 $d$。

完整結果如下：

核心觀念

本題旨在考驗離散數學中**關係（Relation）與全序關係（Total Order Relation）**的嚴格定義及邏輯推導能力。

1. 偏序關係（Partial Order Relation）：
   若集合 $A$ 上的二元關係 $R$ 同時滿足以下三個性質，則稱 $R$ 為偏序關係：

   • 自反性（Reflexivity）：$\forall x \in A, R(x, x)$
   • 反對稱性（Antisymmetry）：$\forall x, y \in A, (R(x, y) \wedge R(y, x)) \rightarrow (x = y)$
   • 遞移性（Transitivity）：$\forall x, y, z \in A, (R(x, y) \wedge R(y, z)) \rightarrow R(x, z)$

2. 全序關係（Total Order Relation / Linear Order Relation）：
   若偏序關係 $R$ 還額外滿足以下性質，則稱 $R$ 為全序關係：

   • 可比性 / 全序性（Comparability / Totality）：$\forall x, y \in A, R(x, y) \vee R(y, x)$

3. 逆關係（Inverse Relation）：
   關係 $R$ 的逆關係定義為：
   $R^{-1}(x, y) \iff R(y, x)$

解題方法

本題為邏輯命題判斷題。解題關鍵在於：

1. 直接利用全序關係的四大基本公理（自反、反對稱、遞移、可比）進行形式化邏輯驗證。
2. 對於含有逆關係 $R^{-1}$ 的選項，先運用定義 $R^{-1}(x, y) \equiv R(y, x)$ 將其轉化為原關係 $R$ 的語意後再行判斷。
3. 對於欲否定（說明不恆成立）的選項，尋找經典的全序集反例（如整數集或實數集搭配標準小於等於關係 $(\mathbb{Z}, \le)$ 或 $(\mathbb{R}, \le)$）來證明其假。

選項分析

• A. $\forall x, y, (R(x,y)) \rightarrow R(y, x)$

  • 說明：此命題代表對稱性（Symmetry）。全序關係並不要求對稱性。
  • 反例：考慮實數集上的小於等於關係 $(\mathbb{R}, \le)$，此關係為全序關係。當取 $x = 1, y = 2$ 時，$1 \le 2$ 為真，但 $2 \le 1$ 為假，故 $R(1,2) \rightarrow R(2,1)$ 不成立。
  • 結論：選項 A 錯誤。

• B. $\forall x, y, (R(x, y) \wedge R(y,x)) \rightarrow (x = y)$

核心觀念

1. 遞迴關係式（Recurrence Relation）之建立：分析分治演算法（Divide-and-Conquer Algorithm）在每層遞迴呼叫次數、子問題規模縮減比例以及非遞迴額外開銷（Non-recursive Overhead）下的步驟總數。
2. 主定理（Master Theorem）：用於求解型如 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$ 之漸近時間複雜度的標準工具。
3. 遞迴樹法（Recursion Tree Method）：觀察每層節點工作量的累加級數，驗證當非遞迴工作量成長率小於樹葉節點成長率時，複雜度由樹葉節點總數（$a^{\log_b n} = n^{\log_b a}$）支配。

解題方法

一、 建立步驟數遞迴關係式 $p(n)$

分析程序 Procedure P(A) 各行程式碼之步驟數：

• 行 1（if n <= 3 exit）與行 5（return）：基本條件判斷與回傳控制，耗費固定常數步驟數，設為 $c_2$。
• 行 2（call Q(A)）：對大小為 $n$ 的陣列呼叫程序 $Q$。題目給定程序 $Q$ 耗時 $\Theta(\sqrt{m})$，故此處耗費步驟數為 $c_1 n^{1/2}$。
• 行 3（call P(B1)）與行 4（call P(B3)）：分別對大小為 $n/3$ 的子陣列進行遞迴呼叫，共有 2 次遞迴，耗費步驟數為 $2 \cdot p(n/3)$。

綜合上述，步驟數 $p(n)$ 之遞迴關係式為：
$p(n) = 2p(n/3) + c_1 n^{1/2} + c_2$

二、 求解漸近時間複雜度 $f_p(n)$

將 $p(n) = 2p(n/3) + \Theta(n^{1/2})$ 對照主定理標準式 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$：

• 遞迴呼叫次數 $a = 2$
• 子問題縮減比例 $b = 3$
• 非遞迴工作量 $f(n) = \Theta(n^{1/2})$

計算臨界指數（Critical Exponent）：
$\log_b a = \log_3 2 \approx 0.6309$

比較非遞迴項 $f(n) = \Theta(n^{0.5})$ 與 $n^{\log_b a} = \Theta(n^{\log_3 2})$：
因 $0.5 < \log_3 2$，存在常數 $\epsilon = \log_3 2 - 0.5 > 0$，使得：
$f(n) = O(n^{\log_3 2 - \epsilon})$

符合**主定理第一類型（Case 1）**之條件。因此，演算法的整體時間複雜度由遞迴樹底層之葉節點總數支配：
$f_p(n) = \Theta(n^{\log_3 2})$

選項分析

核心觀念

本題考查離散數學中二元關係（Binary Relation）的基本性質及其分類判定：

1. 自反性（Reflexivity）：對所有 $i \in \mathbb{Z}$，皆滿足 $i \sim i$。
2. 對稱性（Symmetry）：對所有 $i, j \in \mathbb{Z}$，若 $i \sim j$，則 $j \sim i$。
3. 遞移性（Transitivity）：對所有 $i, j, k \in \mathbb{Z}$，若 $i \sim j$ 且 $j \sim k$，則 $i \sim k$。
4. 反對稱性（Antisymmetry）：對所有 $i, j \in \mathbb{Z}$，若 $i \sim j$ 且 $j \sim i$，則 $i = j$。
5. 等價關係（Equivalence Relation）：同時滿足自反性、對稱性與遞移性。
6. 偏序關係（Partial Order）：同時滿足自反性、反對稱性與遞移性。

解題方法

給定二元關係 $\sim$ 定義於整數集合 $\mathbb{Z}$ 上：
$i \sim j \iff 2i + 3j = 5n \quad (\exists n \in \mathbb{Z}) \iff 2i + 3j \equiv 0 \pmod 5$

解題切入點有以下兩種方式：

【方法一：同餘概念簡化（快速判定）】
由 $2i + 3j \equiv 0 \pmod 5$，利用 $3 \equiv -2 \pmod 5$，可得：
$2i - 2j \equiv 0 \pmod 5 \implies 2(i - j) \equiv 0 \pmod 5$
由於 $\gcd(2, 5) = 1$，可將係數 $2$ 約去，得到：
$i - j \equiv 0 \pmod 5 \iff i \equiv j \pmod 5$
這表明關係 $\sim$ 本質上即為「模 5 同餘關係（Modulo 5 Equivalence Relation）」。由於模 $m$ 同餘關係為標準的等價關係，可直接判定其性質。

【方法二：代數定義嚴謹證明】
依序證明自反性、對稱性與遞移性：

1. 自反性：對任意整數 $i$，
   $2i + 3i = 5i = 5n \quad (n = i \in \mathbb{Z})$
   故 $i \sim i$ 恆成立。
2. 對稱性：假設 $i \sim j$，即存在整數 $n$ 使得 $2i + 3j = 5n$。
   考量 $2j + 3i$：
   $2j + 3i = 5(i + j) - (2i + 3j) = 5(i + j) - 5n = 5(i + j - n)$
   由於 $i, j, n \in \mathbb{Z}$，故 $(i + j - n) \in \mathbb{Z}$，此即 $j \sim i$ 成立。
3. 遞移性：假設 $i \sim j$ 且 $j \sim k$，即存在整數 $m, n$ 使得 $2i + 3j = 5m$ 與 $2j + 3k = 5n$。
   將兩式相加：
   $(2i + 3j) + (2j + 3k) = 5m + 5n$
   $2i + 5j + 3k = 5(m + n)$
   $2i + 3k = 5(m + n - j)$

核心觀念

本題考查**函數對射性質（Injective / Surjective / Bijective）與函數合成（Function Composition）**的核心定理。
給定函數 $f: A \rightarrow B$ 與 $g: B \rightarrow C$，合成函數 $g \circ f: A \rightarrow C$ 定義為 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$。

關鍵定義與重要定理如下：

1. 一對一（One-to-one / Injective, 單射）：對任意 $x_1, x_2 \in A$，若 $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$。
2. 映上（Onto / Surjective, 滿射）：對任意 $c \in C$，皆存在 $b \in B$ 使得 $g(b) = c$（即值域等於對應域 $\text{Im}(g) = C$）。
3. 一對一且映上（Bijection / Bijective, 雙射）：同時滿足單射與滿射。
4. 合成函數基本定理：
   • 若 $g \circ f$ 為一對一（Injective），則前函數 $f$ 必定是一對一（後函數 $g$ 則不一定）。
   • 若 $g \circ f$ 為映上（Surjective），則後函數 $g$ 必定是映上（前函數 $f$ 則不一定）。

解題方法

對於函數合成之單射與滿射性質判斷，採用以下原則：

1. 欲證明敘述為真：使用嚴謹的邏輯推導（由單射或滿射的數學定義切入）。
2. 欲證明敘述為偽：構造明確的反例（Counterexample），通常可設計一個規模較大的中間集合 $B$（即 $|B| > |A|$ 且 $|B| > |C|$）來快速驗證。

選項分析

選項 A：正確

• 分析：若 $g \circ f$ 為一對一，則 $f$ 必為一對一。
• 證明：
  對任意 $x_1, x_2 \in A$，假設 $f(x_1) = f(x_2)$。
  兩邊同取 $g$ 函數作用，可得 $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$，即 $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$。
  因為已知 $g \circ f$ 為一對一，故必有 $x_1 = x_2$。
  因此，由定義可知 $f$ 為一對一。

選項 B：錯誤

• 分析：若 $g \circ f$ 為一對一，$g$ 不一定是一對一。
• 反例：
  設 $A = \{1\}$，$B = \{a, b\}$，$C = \{\alpha\}$。
  定義 $f: A \to B$ 為 $f(1) = a$；
  定義 $g: B \to C$ 為 $g(a) = \alpha$，$g(b) = \alpha$。
  此時合成函數 $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = \alpha$。因為定義域 $A$ 僅有一個元素，故 $g \circ f$ 顯然為一對一。

核心觀念

本題考查使用生成函數（Generating Function, OGF）求解常係數齊次線性遞迴關係（Linear Homogeneous Recurrence Relation with Constant Coefficients）。

主要包含以下核心知識點：

1. 生成函數定義：將數列 $\{a_n\}$ 轉化為冪級數形式 $g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$。
2. 平移性質與代數變換：利用遞迴關係式，搭配初始條件 $a_0, a_1$，將數列遞迴式轉化為 $g(z)$ 的代數方程式並解出封閉形式（Closed Form）。
3. 部分分式拆解（Partial Fraction Decomposition）：將有理函數 $g(z)$ 拆解為標準的 $\frac{A}{1-rz}$ 形式。
4. 級數展開與係數提取（Coefficient Extraction）：利用無窮等比級數公式 $\frac{1}{1-xz} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n z^n$，還原出數列一般項 $a_n$ 的通解。

解題方法

第一步：建立生成函數方程式

設數列 $\{a_n\}$ 的生成函數為：
$g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \dots$

題目給定遞迴關係式為：
$a_n = -6a_{n-1} + 7a_{n-2} \implies a_n + 6a_{n-1} - 7a_{n-2} = 0 \quad (n \ge 2)$

初始條件為：
$a_0 = -5, \quad a_1 = 3$

將遞迴關係式兩邊同乘以 $z^n$ 並對 $n \ge 2$ 求和：
$\sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n + 6 \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-1} z^n - 7 \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} z^n = 0$

將各求和項以 $g(z)$ 表示：

1. $\sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n = g(z) - a_0 - a_1 z = g(z) - (-5) - 3z = g(z) + 5 - 3z$
2. $6 \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-1} z^n = 6z \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-1} z^{n-1} = 6z(g(z) - a_0) = 6z(g(z) - (-5)) = 6z g(z) + 30z$
3. $-7 \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} z^n = -7z^2 \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} z^{n-2} = -7z^2 g(z)$

代回等式整理：
$(g(z) + 5 - 3z) + (6z g(z) + 30z) - 7z^2 g(z) = 0$
$g(z)(1 + 6z - 7z^2) + 5 + 27z = 0$
$g(z)(1 + 6z - 7z^2) = -(27z + 5)$

解得生成函數 $g(z)$ 之封閉形式：
$g(z) = \frac{-(27z + 5)}{1 + 6z - 7z^2}$

第二步：部分分式拆解

將分母進行因式分解：
$1 + 6z - 7z^2 = (1 + 7z)(1 - z)$

將 $g(z)$ 設為部分分式形式：
$g(z) = \frac{-(27z + 5)}{(1 + 7z)(1 - z)} = \frac{A}{1 + 7z} + \frac{B}{1 - z}$

兩邊同乘以 $(1 + 7z)(1 - z)$：
$-(27z + 5) = A(1 - z) + B(1 + 7z)$

核心觀念

本題考驗線性代數中基礎矩陣運算性質與矩陣代數結構，核心涵蓋以下四大單元：

1. 特徵值與三角矩陣（Eigenvalues & Triangular Matrix）：上三角或下三角矩陣的特徵值即為其主對角線上的元素。
2. 矩陣可逆性與其運算性質（Invertibility & Matrix Operations）：
   • 矩陣可逆的充要條件為行列式不為零（$\det(A) \neq 0$）。
   • 若 $A$ 可逆，則其轉置矩陣 $A^T$ 亦可逆，且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$。
   • 若 $A$ 與 $B$ 均可逆，則積矩陣 $AB$ 亦可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
3. 矩陣乘法的非交換性（Non-commutativity of Matrix Multiplication）：一般而言，矩陣乘法不滿足交換律，即可能存在 $AB \neq BA$。
4. 實數矩陣與幾何變換（Real Matrix & Geometric Transformations）：實數矩陣平方可為負的單位矩陣（即 $A^2 = -I$），在幾何上代表二次 $90^\circ$ 旋轉變換（即 $180^\circ$ 旋轉）。

解題方法

針對選擇題的評估策略，本題可透過矩陣代數定理推導、行列式性質分析以及建構具體實例進行逐項驗證：

1. 理論定理驗證（選項 A、B、C）：利用特徵多項式與行列式積的運算性質（$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 及 $\det(A^T) = \det(A)$），或直接推導其反矩陣表達式。
2. 實例建構（選項 D、E）：針對存在性判定（"It is possible..."），只需找到一組符合條件的實例即可證明該敘述為正確。

選項分析

選項 A：正確

• 詳細推導：
  設 $T$ 為 $n \times n$ 上三角矩陣（下三角矩陣同理），其對角元素分別為 $t_{11}, t_{22}, \dots, t_{nn}$。
  $T$ 的特徵多項式定義為 $p(\lambda) = \det(T - \lambda I)$。
  由於 $T - \lambda I$ 亦為一三角矩陣，其行列式值即為對角線上所有元素的乘積：
  $p(\lambda) = (t_{11} - \lambda)(t_{22} - \lambda) \cdots (t_{nn} - \lambda) = 0$
  解此特徵方程式可得特徵值 $\lambda_1 = t_{11}, \lambda_2 = t_{22}, \dots, \lambda_n = t_{nn}$。
  因此，三角矩陣的特徵值即為其主對角線上的元素。

選項 B：正確

• 詳細推導：
  若 $A$ 為可逆矩陣，則存在反矩陣 $A^{-1}$ 滿足 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$。
  對該式兩端取轉置（Transpose），並利用轉置性質 $(XY)^T = Y^T X^T$，可得：
  $(A A^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T = I^T = I$
  $(A^{-1} A)^T = A^T (A^{-1})^T = I^T = I$
  這顯示 $A^T$ 的反矩陣確實存在，且符合 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$。
  亦可從行列式角度驗證：因為 $\det(A^T) = \det(A) \neq 0$，故 $A^T$ 必定可逆。

選項 C：正確

• 詳細推導：
  若 $A$ 與 $B$ 皆為可逆的 $n \times n$ 矩陣，則 $\det(A) \neq 0$ 且 $\det(B) \neq 0$。

核心觀念

本題考查線性代數中關於矩陣對角化、矩陣相似性、實對稱矩陣以及二次形式正定性的核心定理與定義：

1. 實對稱矩陣譜定理（Spectral Theorem for Real Symmetric Matrices）：實對稱矩陣的所有特徵值皆為實數，且必可正交對角化（Orthogonally Diagonalizable）。
2. 矩陣對角化與可逆性（Diagonalizability and Invertibility）：若矩陣 $A$ 可對角化（$A = PDP^{-1}$）且可逆，則其逆矩陣 $A^{-1} = P D^{-1} P^{-1}$ 亦可被相同的可逆矩陣 $P$ 對角化。
3. 矩陣相似性（Matrix Similarity）：若存在可逆矩陣 $P$ 滿足 $B = P^{-1} A P$（或 $A = P B P^{-1}$），則稱 $A$ 與 $B$ 相似。當 $A$ 為可逆方陣時，$AB = A(BA)A^{-1}$，故 $AB$ 相似於 $BA$。
4. 對角化矩陣之乘積：兩可對角化矩陣之乘積 $AB$ 不一定可對角化。
5. 正定二次形式與矩陣元素：矩陣元素皆為正數（Positive Matrix, $a_{ij} > 0$）與矩陣為正定矩陣（Positive Definite Matrix）為完全不同的概念。正定矩陣要求所有特徵值皆為正實數（或所有順序主子行列式皆大於 0），而非元素本身大於 0。

解題方法

本題為觀念判斷與反例建構題：

• 對於正確敘述（A、B、C），運用線性代數基本定理、對角化定義與相似矩陣定義進行符號推導與證明。
• 對於錯誤敘述（D、E），構造具體的 $2 \times 2$ 矩陣反例，精確說明其滿足前提條件但結論不成立。

選項分析

• 選項 A：正確

  • 說明：根據實對稱矩陣譜定理，若 $A$ 為實對稱矩陣（$A^T = A$），則 $A$ 的所有特徵值皆為實數，且必存在一個正交矩陣 $Q$（滿足 $Q^T = Q^{-1}$）使得 $Q^T A Q = D$（$D$ 為對角矩陣）。因此 $A$ 必可正交對角化，自然也是可對角化的矩陣。

• 選項 B：正確

  • 說明：若 $A$ 可對角化，則存在可逆矩陣 $P$ 及對角矩陣 $D$ 使得 $A = PDP^{-1}$。
    因為 $A$ 可逆，其行列式 $\det(A) \neq 0$，代表 $D$ 的對角線元素（即 $A$ 的特徵值）皆不為 0，故 $D^{-1}$ 存在且仍為對角矩陣。
    求取 $A^{-1}$：
    $A^{-1} = (PDP^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} D^{-1} P^{-1} = P D^{-1} P^{-1}$
    由於 $D^{-1}$ 為對角矩陣，此式符合對角化定義，因此 $A^{-1}$ 亦可對角化。

• 選項 C：正確

  • 說明：若 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $A$ 為可逆矩陣，則 $A$ 必須為方陣，故 $m = n$。
    此時 $B$ 亦為 $n \times n$ 方陣，$AB$ 與 $BA$ 均為 $n \times n$ 方陣。
    因為 $A$ 可逆，其逆矩陣 $A^{-1}$ 存在。將 $AB$ 變形如下：
    $AB = A B (A A^{-1}) = A (BA) A^{-1}$
    令 $P = A$，則 $P$ 為可逆矩陣且滿足 $AB = P (BA) P^{-1}$。
    根據相似矩陣的定義，這證明了 $AB$ 相似於 $BA$。

• 選項 D：錯誤

  • 說明：可構造反例說明兩個可對角化矩陣的乘積不可對角化。

核心觀念

本題考查線性代數中矩陣的跡數（Trace）與特徵值（Eigenvalues）之間的關係。
對任意 $n \times n$ 方陣 $A$，其所有特徵值的和（計算重複度）必定等於矩陣的主對角線元素之和，即：
$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$

此性質為特徵多項式根與係數關係（韋達定理）的直接推論。

解題方法

1. 讀取對角線元素：
   矩陣 $A$ 為：
   $A = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.4 & 0.3 \\ 0.4 & 0.9 & 0.2 \\ 0.3 & 0.2 & 0.8 \end{bmatrix}$
   其主對角線元素分別為 $a_{11} = 0.6$、$a_{22} = 0.9$、$a_{33} = 0.8$。

2. 計算跡數與特徵值總和：
   根據跡數與特徵值的關係定理：
   $\text{特徵值之和} = \text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0.6 + 0.9 + 0.8 = 2.3$

核心觀念

題目將矩陣寫成 $A=LU$，其中 $L$ 是下三角矩陣、$U$ 是上三角矩陣。令

則原方程 $Ax=b$ 可拆成兩個較容易求解的三角系統：

三角系統適合用代入法求解：先由 $Ly=b$ 從上往下求 $y$，再由 $Ux=y$ 從下往上求 $x$。由於 $L$、$U$ 的對角線元素皆非零，$A$ 可逆，解唯一。