115 年 國立中央大學資訊工程學系軟體工程碩士班《離散數學與線性代數》

核心觀念

• 行列式（determinant）是線性映射在基底上的伸縮因子，與矩陣的可逆性、秩（rank）以及三角形結構有直接關係。
• 重要性質：
  1. $\det(A)\neq0\iff A$ 為可逆矩陣 $\iff$ 行（或列）向量組成的集合為 $\mathbb{R}^n$ 的基底。
  2. $\det(cA)=c^{\,n}\det(A)$，其中 $c\in\mathbb{R}$，因為 $cA$ 等於把每一列（或每一行）同時乘上 $c$，共 $n$ 次。
  3. 若 $\operatorname{rank}(A)=r<n$，則 $A$ 至少有一列是其他列的線性組合，矩陣行列式必為 $0$。
  4. 上（下）三角矩陣的行列式等於對角線元素的乘積。
  5. $\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$ 並非一般成立，僅在極特殊情形（例如 $A$、$B$ 皆為零矩陣或某些 1×1 情況）才會成立。

解題方法
針對每個選項，只需檢驗其對應的行列式性質是否為通用真理。若屬於基本定理則直接判定為真；若與已知性質相違則給予反例證明為假。

選項分析

(a) $\det(A)\neq0$ → 行向量形成 $\mathbb{R}^n$ 的基底

• 事實：$\det(A)\neq0$ 等價於 $A$ 為可逆矩陣。可逆矩陣的行向量（亦即列向量）線性獨立，且數目恰好 $n$，因此張成 $\mathbb{R}^n$，形成基底。
• 結論：正確。

(b) $\det(cA)=c\,\det(A)$

• 正確公式為 $\det(cA)=c^{\,n}\det(A)$，因為 $c$ 會同時作用於 $A$ 的每一列（或每一行），共 $n$ 次乘法。以 $n=2$、$A=I_2$ 為例：$\det(2I_2)=2^2=4\neq2\cdot1$。
• 結論：錯誤（只有在 $n=1$ 時才成立）。

核心觀念

• 線性獨立、生成集合、基底：
  • 子集合 $S\subseteq V$ 若任何有限線性組合 $\sum_{i=1}^k a_i v_i=0$（$v_i\in S$）只能得到全部係數 $a_i=0$，則稱 $S$ 為 線性獨立。
  • 若 $V=\operatorname{span}(S)$，則稱 $S$ 為 生成集合（spanning set）。
  • 若 $S$ 同時線性獨立且生成 $V$，則 $S$ 為 基底（basis）。
• 維度（dimension）：有限維向量空間 $V$ 的基底向量個數稱為 $\dim V$，任兩基底的向量個數相等（基底唯一的「大小」），此特性是由基底等勢性定理保證。
• Zorn 引理（或等價的鞅理論）在任意向量空間中保證每個線性獨立集合可延伸成基底。

解題方法
依序檢驗每個敘述的正確性。對於 (a) 需引用 Zorn 引理或等價的「每個線性獨立集合可延伸至基底」定理；對於 (b) 判斷有限維情形下「生成集合必為基底」是否成立；對於 (c) 直接使用基底等勢性；對於 (d) 檢查「唯一」的含義；對於 (e) 檢查「生成 ⇒ 線性獨立」的逆命題。

選項分析

項目	正確性	說明
(a) Every linearly independent subset of $V$ can be extended to a basis of $V$.	真	對任意向量空間（不論有無限維），取一個線性獨立集合 $L$。將所有包含 $L$ 的線性獨立集合構成偏序集合 $(\mathcal{F},\subseteq)$。每條鏈的上界是其聯集，仍線性獨立。依 Zorn 引理，$\mathcal{F}$ 有極大元 $B$，且 $B$ 為 $V$ 的基底。故 $L\subseteq B$，即 $L$ 可延伸成基底。
(b) If $V$ is finite‑dimensional, then every spanning set of $V$ is a basis.	偽	以 $\mathbb{R}^2$ 為例，集合 $S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 生成 $\mathbb{R}^2$，但因包含三個向量且 $\dim\mathbb{R}^2=2$，必有線性相依關係 $(1,1)=(1,0)+(0,1)$，故 $S$ 不是基底。

核心觀念

• 線性變換的核與像：$\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}$，$\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\}$。
• 單射（injective）：若 $T(v_1)=T(v_2)$ 則 $v_1=v_2$。等價於 $\ker(T)=\{0\}$。
• 滿射（surjective）：$\operatorname{Im}(T)=W$。
• 維度定理（Rank–Nullity Theorem）：$\displaystyle \dim V = \dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)$.
• 基底與矩陣表示：若 $\{v_1,\dots ,v_n\}$ 為 $V$ 的基底，則 $[T]_{\mathcal B_V}^{\mathcal B_W}$ 的第 $i$ 列是 $T(v_i)$ 在 $W$ 的基底下的座標向量。
• 矩陣表示的依賴性：選擇不同的基底會產生不同的矩陣。

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解題方法
逐一檢驗每個敘述的必要條件與充分條件，必要時以反例或直接利用上述定理證明。對於 (b) 與 (d) 需特別注意「維度相等」與「像的維度」之關係；對於 (c) 必須檢查 $T$ 的滿射性與線性獨立性。

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選項分析

(a) $T$ is injective iff $\ker(T)=\{\mathbf 0\}$

• 充分性：若 $T$ 為單射，假設 $v\in\ker(T)$，則 $T(v)=0=T(0)$，單射性給 $v=0$，故 $\ker(T)=\{0\}$。
• 必要性：若 $\ker(T)=\{0\}$，若 $T(v_1)=T(v_2)$，則 $T(v_1-v_2)=0$，故 $v_1-v_2\in\ker(T)$，因核只有零向量得到 $v_1=v_2$，$T$ 為單射。
• 結論：正確。

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(b) $T$ is surjective iff $\dim(V)=\dim(\operatorname{Image}(T))$

• 必要條件：若 $T$ 為滿射，則 $\operatorname{Im}(T)=W$，故 $\dim(\operatorname{Image}(T))=\dim W$。但 $\dim(V)$ 未必等於 $\dim W$（只有在 $\dim V=\dim W$ 時才成立），因此「$\dim(V)=\dim(\operatorname{Image}(T))$」不必然成立。
• 充分條件：若 $\dim(V)=\dim(\operatorname{Image}(T))$，則 $\dim(\ker(T)) = \dim V-\dim\operatorname{Im}(T)=0$（由 Rank–Nullity），得到 $\ker(T)=\{0\}$，即 $T$ 為單射，但不保證滿射。

核心觀念

• 內積與正交 (orthogonality)：在實數內積空間 $V$ 中，向量 $x\perp y$ 表示 $\langle x,y\rangle =0$。
• 范數與內積的關係：$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$，且有
  $\|x+y\|^{2}= \|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\langle x,y\rangle .$
• 正交集合的線性獨立性：若 $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ 為兩兩正交且每個向量皆非零，則 $\sum_{i}c_{i}v_{i}=0$ 蘊含所有係數 $c_{i}=0$。
• 正交正規化 (orthonormal)：每個向量皆單位長且兩兩正交。若集合的向量個數等於空間的維度，則形成基底；若不等於，則只是一組線性獨立的子集。

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解題方法
對每個選項直接以定義或已證明的性質驗證真假。

• (a) 利用內積的線性性。
• (b) 以內積對於正交集合的線性獨立性證明。
• (c) 檢查「每個正交正規向量集合」是否必然生成整個空間。
• (d) 直接套用範數與內積的恆等式。
• (e) 使用三角不等式的等號條件（當且僅當兩向量同向或其中一向量為零）。因題目限定非零且正交，檢查是否符合等號條件。

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選項分析

(a) 若 $u\perp v$ 且 $u\perp w$，則 $u\perp (v+w)$

$\langle u,\,v+w\rangle=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle=0+0=0 .$

內積的線性性保證兩正交向量的和仍與 $u$ 正交。因此 此敘述正確。

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(b) 若 $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ 為兩兩正交且皆非零，則它是線性獨立的

設係數 $c_{1},\dots ,c_{n}$ 使 $\sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i}=0$。左乘 $\langle\cdot ,v_{k}\rangle$ 得

$$0=\Big\langle \sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i},\,v_{k}\Big\rangle =\sum_{i=1}^{n}c_{i}\langle v_{i},v_{k}\rangle =c_{k}\langle v_{k},v_{k}\rangle .$$

因 $\langle v_{k},v_{k}\rangle =\|v_{k}\|^{2}>0$，故 $c_{k}=0$。對所有 $k$ 同理，故所有係數皆為零，向量組線性獨立。 此敘述正確。

核心觀念

• Hermitian 矩陣：$A\in\mathbb C^{n\times n}$ 為 Hermitian 若 $A=A^{\dagger}$，其中 $A^{\dagger}$ 為共軛轉置。
• 特徵值與特徵向量：若 $A\mathbf x=\lambda\mathbf x$，則 $\lambda$ 為特徵值，$\mathbf x\neq\mathbf0$ 為對應的特徵向量。
• 單位矩陣 (unitary)：$U$ 為 unitary 若 $U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I$。
• Spectral Theorem：任意 Hermitian 矩陣皆可被單位矩陣相似對角化，且對角線元素皆為實數特徵值。

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解題方法

針對每個敘述，直接以 Hermitian 的定義或已知定理檢驗其真偽。

1. 實特徵值：利用

$$\lambda \mathbf x^{\dagger}\mathbf x = \mathbf x^{\dagger}A\mathbf x = (\mathbf x^{\dagger}A\mathbf x)^{\!*} = \overline{\lambda}\,\mathbf x^{\dagger}\mathbf x$$

由 $\mathbf x^{\dagger}\mathbf x>0$ 可得 $\lambda=\overline{\lambda}$，故 $\lambda$ 為實數。
2. 互異特徵向量的正交性：若 $A\mathbf x=\lambda\mathbf x,\;A\mathbf y=\mu\mathbf y$ 且 $\lambda\neq\mu$，則

$$\lambda\,\mathbf x^{\dagger}\mathbf y =\mathbf x^{\dagger}A\mathbf y =(\mathbf y^{\dagger}A^{\dagger}\mathbf x)^{\!*} =\mu\,\mathbf x^{\dagger}\mathbf y .$$

因 $\lambda\neq\mu$，必有 $\mathbf x^{\dagger}\mathbf y=0$，即正交。
3. Hermitian 矩陣的加法封閉：若 $A=A^{\dagger},\,B=B^{\dagger}$，則

$(A+B)^{\dagger}=A^{\dagger}+B^{\dagger}=A+B,$

故 $A+B$ 仍為 Hermitian。
4. 單位相似對角化：Spectral Theorem 直接給出：存在 unitary 矩陣 $U$ 使

$U^{\dagger}AU=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),$

其中 $\lambda_i\in\mathbb R$。因此每個 Hermitian 矩陣皆可被單位矩陣對角化。
5. Hermitian 矩陣的乘積：一般而言

$(AB)^{\dagger}=B^{\dagger}A^{\dagger}=BA,$

核心觀念

• 矩陣的冪次計算可利用特徵值或對角化（若可對角化）化簡。
• 行列式的性質：對任意方陣 $X$，有 $|X^k|=|X|^k$。
• 模算術（modular arithmetic）：只需關注算式在模 $5$ 下的餘數，計算時可隨時取模以防數值爆炸。

解題方法

1. 先求 $A$ 的行列式
   $|A| = \det\begin{bmatrix}3&2\\-1&0\end{bmatrix}=3\cdot0-(-1)\cdot2=2.$
2. 由行列式的冪次性質，$|A^{20}| = |A|^{20}=2^{20}.$
3. 計算 $2^{20}\pmod{5}$。利用模 $5$ 的指數循環：

$$2^1\equiv2,\quad 2^2\equiv4,\quad 2^3\equiv3,\quad 2^4\equiv1\pmod{5}.$$

週期長度為 $4$，因此

$2^{20}= (2^4)^{5}\equiv 1^{5}\equiv1\pmod{5}.$

核心觀念

• QR 分解：將矩陣 $A$ 分解為 $A=QR$，其中 $Q$ 為正交矩陣 ($Q^{T}Q=I$)，$R$ 為上三角矩陣。
• Gram–Schmidt 正交化：對 $A$ 的欄向量 $\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ 依序做正交化，可直接得到 $Q$ 的欄向量 $\{q_1,\dots ,q_4\}$，而 $R=Q^{T}A$。
• 乘積 $K$：題目要求把 $R$ 中所有非零元素相乘，再取絕對值、四捨五入後對 5 取餘。

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解題步驟

1. 取欄向量

$$\begin{aligned} a_1 &=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\0\end{bmatrix}, \quad a_2 =\begin{bmatrix}1\\ 1\\0\\0\end{bmatrix}, \quad a_3 =\begin{bmatrix}1\\ 1\\2\\0\end{bmatrix}, \quad a_4 =\begin{bmatrix}1\\ 1\\3\\7\end{bmatrix}. \end{aligned}$$

2. 正交化（Gram‑Schmidt）

核心觀念

• 行列式的基本性質：
  1. 交換兩列（或兩行）會使行列式改變符號。
  2. 把一列乘以常數 $c$，行列式會乘以 $c$。
  3. 把一列加上另一列的倍數，行列式不變。
• 模算術：在質數 $p$（本題 $p=5$）上，$\mathbb Z_p$ 為域，可直接在 $\bmod 5$ 下做高斯消去法，求出 $\det A \pmod 5$。
• 絕對值與模的關係：$\pmod(|K|,5)$ 與 $\pmod(K,5)$ 只差一個正負號，因 $5$ 為正整數，兩者餘數相同。

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解題方法

1. 先把矩陣所有元素取模 5（因為最終只要 $\det A \bmod 5$）

$$A\equiv \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 1 & 4 & 2\\ 2 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 4 & 4 & 2 & 0 & 3\\ 2 & 3 & 4 & 2 & 4 \end{bmatrix}\pmod 5.$$

2. 使用高斯消去（行初等變換），只允許以下操作（在 $\bmod5$ 下）——

   • 行加上另一行的任意倍數（行列式不變）
   • 行交換（行列式改變符號）

   依序消去第一列以下的元素：

   • 用第 1 列消去第 2–5 列的第一個元素，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 4 & 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$$

• 用第 2 列消去第 3–5 列的第二個元素，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

• 交換第 3、4 列（行列式改變符號）使主對角線上出現非零樞紐：

核心觀念

• 向量投影：將向量 $b$ 投射到矩陣 $A$ 的欄空間 (column space) 等價於找最小平方法的解 $\hat x$ 使得 $\|A\hat x-b\|_2$ 最小，投影向量為 $c=A\hat x$。
• 正規方程式：$\displaystyle A^{T}A\hat x=A^{T}b$。若 $A$ 行滿秩 (本題 $\operatorname{rank}A=4$)，則該系統有無限多解，但所有解產生的 $c=A\hat x$ 均唯一。
• 乘積與取模：求得投影向量後計算其分量的乘積 $K$，再算 $\bigl|K\cdot4\bigr|$ 的四捨五入值，最後取模 $5$。

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解題方法

1. 列出欄向量

$$\begin{aligned} a_1&=(1,1,-1,1)^{T}, & a_2&=(-1,1,1,1)^{T},\\ a_3&=(1,-1,1,1)^{T}, & a_4&=(3,-4,2,1)^{T},\\ a_5&=(2,1,-2,1)^{T}. \end{aligned}$$

2. 計算正規方程式的係數

   • $A^{T}A$ 的元素為欄向量內積：

$$A^{T}A= \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & -2 & 6\\ 0 & 4 & 0 & -4 & -2\\ 0 & 0 & 4 & 10 & 0\\ -2&-4&10&30&-1\\ 6&-2&0&-1&10 \end{bmatrix}.$$

• $A^{T}b$：

$$A^{T}b= \begin{bmatrix} 4\\8\\6\\5\\2 \end{bmatrix}.$$

3. 求解正規方程式

   解 $(A^{T}A)\,x = A^{T}b$。以高斯消去法得到

$$\begin{aligned} x_1 &= 1+\tfrac12x_4-\tfrac32x_5,\\ x_2 &= 2+ x_4+\tfrac12x_5,\\ x_3 &= \tfrac32- \tfrac52x_4, \end{aligned}$$

$x_4, x_5$ 為自由參數。
代回 $c=A x$ 後，所有自由參數相互抵消，得到唯一的投影向量

核心觀念

1. 基底與座標向量：若 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}$ 為 $\mathbb{R}^3$ 的一組基底，任意向量 $v$ 可唯一寫成
   $v = [v]_{\mathcal{B}1}b_1+[v]_{\mathcal{B}2}b_2+[v]_{\mathcal{B}3}b_3.$
   因此座標向量 $[v]_{\mathcal{B}}$ 與標準坐標之間的關係可寫成矩陣乘法

$$v = P_{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{B}},\qquad P_{\mathcal{B}}=[b_1\;b_2\;b_3].$$

2. 換基：已知 $[v]_T$，要找 $[v]_S$，先算出 $v$ 的標準坐標，再解 $P_S\,[v]_S=v$。

3. 求和、絕對值、四捨五入與模 5：題目最後要求
   $\pmod\bigl(\text{round}(|M+N+P|),5\bigr).$
   若 $M+N+P$ 為整數，四捨五入不改值。

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解題步驟

1. 寫出兩組基底的矩陣

$$P_T=\begin{bmatrix} -1&0& 2\\ 1&1& 1\\ 0&1& 1 \end{bmatrix},\qquad P_S=\begin{bmatrix} -1&0&-2\\ 2&1& 2\\ 1&0& 1 \end{bmatrix}.$$

2. 由 $[V]_T=[2,3,1]^T$ 求出 $V$ 的標準坐標

$$V = P_T\,[V]_T =2\,u_1+3\,u_2+1\,u_3 =2\!\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix} +3\!\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\6\\4\end{bmatrix}.$$

3. 解線性系統 $P_S\,[M,N,P]^T = V$

   寫出方程式：

核心觀念

• 遞迴類型：判斷演算法是否屬於 divide‑and‑conquer（分而治之）或 linear recursion（線性遞迴）。
• 遞迴式求解：利用 Master 定理（或遞迴樹）求時間複雜度。需要把 合併步驟 $I$ 的成本 正確寫成與 $n$ 的關係。
• Theta 記號：只關心漸近上、下界相同的等價等式，不必寫常數因子。

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解題方法

1. 寫出遞迴式
   • 基本情況：當 $n\le 4$ 時直接返回，成本為常數 $Θ(1)$。
   • 其他情況：將 $n$ 個元素分成四個大小約為 $n/4$ 的子集合。只對其中 兩個子集合 再遞迴呼叫 $A$，因此產生 兩個子問題，每個子問題規模 $n/4$。
   • 合併階段使用程序 $I$，其成本為 $Θ(\sqrt{m}/4)$，其中 $m$ 為每個子問題的規模。此處 $m=n/4$，故

$Θ\!\left(\frac{\sqrt{n/4}}{4}\right)=Θ\!\left(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{n}}{4}\right)=Θ(\sqrt{n}).$

故遞迴式為

$$T(n)=\begin{cases} Θ(1), & n\le 4,\\[4pt] 2\,T\!\left(\frac{n}{4}\right)+Θ(\sqrt{n}), & n>4. \end{cases}$$

2. 套用 Master 定理

   形式為 $T(n)=a\,T\!\left(\frac{n}{b}\right)+f(n)$，其中

$a=2,\qquad b=4,\qquad f(n)=Θ(\sqrt{n}).$

計算指數

$n^{\log_b a}=n^{\log_4 2}=n^{1/2}=Θ(\sqrt{n}).$

此時 $f(n)=Θ\!\bigl(n^{\log_b a}\bigr)$，屬於 Master 定理的 第二種情形（$f(n)$ 與 $n^{\log_b a}$ 同階），得到

核心觀念
本題測驗的是 一階述語邏輯 與 整數的可除性、同餘 概念的結合。

• 可除性：$D(a,b)$ 表示「$b$ 為 $a$ 的倍數」⇔$a\mid b$。
• 同餘：$C_n(u,v)$ 表示「$u\equiv v\pmod n$」。
• 量詞 $\forall x\forall y$ 表示「對所有整數 $x,y$」皆成立。

題目給出的公式

$\forall x\forall y\;\bigl(C_3(x,y)\land \neg C_6(x,y)\land D(6,x)\;\rightarrow\;\neg D(x,y)\bigr)$

可直譯為：若 $x$ 同餘於 $y$ (mod 3)，且 不 同餘於 $y$ (mod 6)，且 6 能整除 $x$，則 $x$ 不能整除 $y$。

關鍵在於把「$C_3$ 且 $\neg C_6$」與「$6\mid x$」的條件組合起來，判斷其對 $\neg D(x,y)$ 的必然性。

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解題方法

1. 化簡前件
   • $C_3(x,y)$ 表示 $x\equiv y\pmod 3$。
   • $\neg C_6(x,y)$ 表示 $x\not\equiv y\pmod 6$。
     由同餘的性質可得：若 $x\equiv y\pmod 3$ 而且 $x\not\equiv y\pmod 6$，則必有

$x\equiv y\pmod 3\quad\text{且}\quad x\equiv y+3\pmod 6,$

換句話說，$x$ 與 $y$ 的差是 3 的奇數倍，因此 $x-y$ 為 $3(2k+1)$。

2. 利用 $D(6,x)$ (即 $6\mid x$)
   既然 $6\mid x$，寫成 $x=6m$。將 $x-y =3(2k+1)$ 代入得到

$6m - y =3(2k+1)\;\Longrightarrow\; y = 6m -3(2k+1)=3\bigl(2m-(2k+1)\bigr).$

因此 $y$ 也是 3 的倍數，但 不一定是 6 的倍數（因為括號內的整數可能是奇數）。

3. 檢驗結論 $\neg D(x,y)$
   若要有 $x\mid y$，必須 $y = x\cdot t = 6m\cdot t$。但上式已顯示 $y$ 的因子只有 3，而缺少額外的 2，除非 $t$ 帶入額外的 2，這會使 $y$ 同時滿足 $x\equiv y\pmod6$，與前提 $\neg C_6(x,y)$ 矛盾。故在前提同時成立時，不可能有 $x\mid y$，即 $\neg D(x,y)$ 必然成立。

4. 對照選項
   只要選項的自然語句與上述「前提 → 結論」完全吻合，即為正確解釋；若改成「不可能出現前提」或「前提成立且結論成立」等，則與原式不符。

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核心觀念

• 生成函數（generating function）$G(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$。
• 透過把遞迴式乘上 $x^n$ 後從 $n\ge2$ 起求和，可將遞迴關係轉換成 $G(x)$ 的代數方程式。
• 常係數線性齊次遞迴可由特徵方程 $r^2+r-6=0$ 求出通解，亦可藉部分分式展開生成函數直接得到閉式。

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解題方法

1. 建立生成函數方程式

$a_n=-a_{n-1}+6a_{n-2}\qquad(n\ge 2)$

兩側同乘以 $x^n$ 後，於 $n\ge2$ 求和：

$\sum_{n\ge2}a_nx^n=\sum_{n\ge2}(-a_{n-1})x^n+\sum_{n\ge2}6a_{n-2}x^n .$

右邊改寫指標：

$\sum_{n\ge2}a_nx^n =-x\sum_{n\ge1}a_nx^{\,n}+6x^2\sum_{n\ge0}a_nx^{\,n}.$

使用 $G(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n$，且已知 $a_0=0,\;a_1=5$：

$G(x)-a_0-a_1x=-x\bigl(G(x)-a_0\bigr)+6x^2G(x)$

$\Longrightarrow \;G(x)-5x =-xG(x)+6x^2G(x).$

把含 $G(x)$ 的項移到左側：

$G(x)(1+x-6x^2)=5x .$

因此 選項 (a) 正確，而 (b) 中右端的 $2+7x$ 與左端不相等，故錯誤。

2. 求出 $G(x)$ 的顯式形式

$G(x)=\frac{5x}{1+x-6x^2}.$

分母因式分解：

$1+x-6x^2=(1-2x)(1+3x).$

再以部分分式寫成

$\frac{5x}{(1-2x)(1+3x)}=\frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1+3x}.$

解聯立方程：

$5x=A(1+3x)+B(1-2x)=(A+B)+(3A-2B)x .$

常數項：$A+B=0\Rightarrow B=-A$。
$x$ 項：$5=3A-2B=3A-2(-A)=5A\Rightarrow A=1$，故 $B=-1$。

$G(x)=\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1+3x}.$

這正是 選項 (c)，而 (d) 的係數 $2$ 與 $-3$ 不符合上述解，故錯誤。

3. 由生成函數得到通項公式

   已知