108 年 國立中山大學資訊工程學系碩士班乙組《工程數學》

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第 1 題10 分

  1. (10%) You can expand the function defined by f(x)=x2+3f(x) = x^2 +3, 0<x<30<x<3 in a Fourier series, a cosine series, or a sine series. Please choose the correct answers.
    (A) f(6)=3f(6) = 3 for Fourier sine series;
    (B) f(3)=12f(3) = 12 for Fourier cosine series;
    (C) f(0)=3f(0) = 3 for Fourier series;
    (D) f(−1)=4f(-1) = 4 for Fourier sine series

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核心觀念

原函數只定義在 0<x<30<x<3，題目中的 f(x)f(x) 應理解為各種 Fourier 展開所產生的延拓函數。令 L=3L=3：

  • Fourier sine series 對應奇延拓，週期為 2L=62L=6：
    S(−x)=−S(x),S(x+6)=S(x).S(-x)=-S(x),\qquad S(x+6)=S(x).
  • Fourier cosine series 對應偶延拓，週期為 66。
  • 一般 Fourier series 以區間長度 33 為週期：
    F(x+3)=F(x).F(x+3)=F(x).

在不連續點，Fourier series 的和等於左右極限的平均值。

解題方法

選項 (A)

Sine series 的形式為

S(x)=∑n=1∞bnsin⁡nπx3.S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi x}{3}.

代入 x=6x=6：

S(6)=∑n=1∞bnsin⁡(2nπ)=0.S(6)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(2n\pi)=0.

也可由週期性知 S(6)=S(0)S(6)=S(0)，而奇延拓在 x=0x=0 的 Fourier series 和為 00。

因此 f(6)≠3f(6)\neq 3，選項 (A) 錯誤。

選項 (B)

Cosine series 對應偶延拓。原函數在右端點的極限為

lim⁡x→3−f(x)=32+3=12.\lim_{x\to 3^-}f(x)=3^2+3=12.

偶延拓再以 66 為週期延伸時，x=3x=3 左右兩側的極限相同：

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第 2 題10 分

  1. (10%) Please determine which the following matrix is a diagonal matrix.
(46−2−1−11003)(46−2−1−11003)(20001000−1)(−1−3−951800−2−7)\begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -1 & -3 & -9 \\ 5 & 18 & 0 \\ 0 & -2 & -7 \end{pmatrix}

(A) (46−2−1−11003)\begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
(B) (46−2−1−11003)\begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
(C) (20001000−1)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
(D) (−1−3−951800−2−7)\begin{pmatrix} -1 & -3 & -9 \\ 5 & 18 & 0 \\ 0 & -2 & -7 \end{pmatrix}

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核心觀念

對 n×nn\times n 矩陣 A=(aij)A=(a_{ij}) 而言，若所有非主對角線元素皆為 00，即

aij=0(i≠j),a_{ij}=0\quad (i\ne j),

則稱 AA 為對角矩陣。主對角線上的元素可以是不同數值，因此對角矩陣不必是單位矩陣，也不必是純量矩陣。

解題方法

逐一檢查各矩陣的非主對角線元素。只要找到一個非主對角線元素不為 00，該矩陣就不是對角矩陣。

選項分析

(A) 題目中的矩陣為

(46−2−1−11003).\begin{pmatrix} 4 & 6 & -2\\ -1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

其中

a12=6,a13=−2,a21=−1,a23=1a_{12}=6,\quad a_{13}=-2,\quad a_{21}=-1,\quad a_{23}=1

皆位於主對角線以外，且不為 00，因此不是對角矩陣。

(B) 題目中的 (B) 與 (A) 矩陣相同，同樣具有非主對角線元素

a12=6,a13=−2,a21=−1,a23=1,a_{12}=6,\quad a_{13}=-2,\quad a_{21}=-1,\quad a_{23}=1,

因此不是對角矩陣。

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第 3 題10 分

  1. (10%) Please select the right following description
    (A) If matrix A is diagonalizable, then the column of A are linearly independent.
    (B) If matrix A is diagonalizable, then the column of A are linearly independent.
    (C) Every orthogonal set of must be linearly independent.
    (D) If A is an orthogonal matrix, then A is symmetric

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核心觀念

本題考查三組容易混淆的線性代數概念：

  1. 矩陣可對角化
    矩陣 AA 可對角化是指存在可逆矩陣 PP 與對角矩陣 DD，使得
    A=PDP−1.A=PDP^{-1}.
    這只表示 AA 有一組由特徵向量組成的基底，不代表 AA 一定可逆。

  2. 矩陣的欄向量線性獨立
    對 n×nn\times n 矩陣而言，欄向量線性獨立等價於
    det⁡(A)≠0,\det(A)\neq 0,
    也等價於 AA 可逆。

  3. 正交向量組
    一組非零向量若滿足不同向量兩兩內積為零，即
    viTvj=0,i≠j,\boldsymbol v_i^T\boldsymbol v_j=0,\qquad i\ne j,
    則稱為正交向量組。非零正交向量組必定線性獨立。

  4. 正交矩陣與對稱矩陣
    正交矩陣滿足
    ATA=I,A^TA=I,
    因此
    A−1=AT.A^{-1}=A^T.
    對稱矩陣則滿足
    AT=A.A^T=A.
    兩者是不同條件，正交矩陣不必為對稱矩陣。

解題方法

逐一判斷各敘述是否為普遍成立的定理。對錯誤敘述，只要找出一個反例即可否定；對正確敘述，則使用定義直接證明。

選項分析

(A) 錯誤

「AA 可對角化」不代表其欄向量線性獨立。考慮

A=[1000].A= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}.

此矩陣本身就是對角矩陣，因此必定可對角化。然而其欄向量為

a1=[10],a2=[00].\boldsymbol a_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol a_2= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}.

其中包含零向量，因此欄向量線性相依。也可由

det⁡(A)=0\det(A)=0

看出 AA 不可逆，欄向量不可能線性獨立。

因此 (A) 錯誤。

(B) 錯誤

(B) 與 (A) 的文字完全相同，因此具有相同的反例：

A=[1000].A= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}.

它可對角化，但欄向量線性相依。因此 (B) 錯誤。

(C) 正確

題目印出的英文句子缺少「非零向量」的限定；依線性代數的標準定理，完整敘述應為：

每一組由非零向量構成的正交向量組必定線性獨立。

設

{v1,v2,…,vk}\{\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\ldots,\boldsymbol v_k\}

是一組非零正交向量。

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第 4 題10 分

  1. (10%) Please select the function which is with the largest period
    (A) f(x)=cos⁡5xcos⁡3xf(x) = \cos 5x \cos 3x
    (B) g(x)=sin⁡2xsin⁡2xg(x) = \sin 2x \sin 2x
    (C) h(x)=sin⁡5xcos⁡4xh(x) = \sin 5x \cos 4x
    (D) q(x)=cos⁡2xq(x) = \cos 2x

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核心觀念

週期函數的基本正週期，是使函數值重複出現的最小正數 TT，滿足

F(x+T)=F(x).F(x+T)=F(x).

本題依選擇題的標準用語，將「largest period」理解為「基本正週期最大」。會用到三角函數基本週期：

sin⁡(ax), cos⁡(ax) 的基本正週期為 2π∣a∣.\sin(ax),\ \cos(ax)\ 的基本正週期為\ \frac{2\pi}{|a|}.

以及積化和差公式：

cos⁡Acos⁡B=12[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)],\cos A\cos B=\frac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr], sin⁡Asin⁡B=12[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)],\sin A\sin B=\frac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr], sin⁡Acos⁡B=12[sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)].\sin A\cos B=\frac{1}{2}\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].

解題方法與選項分析

(A) f(x)=cos⁡5xcos⁡3xf(x)=\cos 5x\cos 3x

利用積化和差公式：

f(x)=12[cos⁡(5x−3x)+cos⁡(5x+3x)]f(x)=\frac{1}{2}\left[\cos(5x-3x)+\cos(5x+3x)\right] =12(cos⁡2x+cos⁡8x).=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos 8x\right).

其中 cos⁡2x\cos 2x 與 cos⁡8x\cos 8x 的共同基本週期為

Tf=2πgcd⁡(2,8)=π.T_f=\frac{2\pi}{\gcd(2,8)}=\pi.

因此，(A) 的基本正週期為 π\pi。

(B) g(x)=sin⁡2xsin⁡2xg(x)=\sin 2x\sin 2x

先寫成平方形式：

g(x)=sin⁡22x.g(x)=\sin^2 2x.

利用降冪公式：

sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2,\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2},

得到

g(x)=1−cos⁡4x2.g(x)=\frac{1-\cos 4x}{2}.
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第 5 題10 分

  1. (10%) There are six vectors shown below. Please determine the right description
v1=(1−100),v2=(01−10),v3=(001−1),v4=(100−1),v5=(10−10),v6=(0−110)v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, v_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_6 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

(A) v1,v5,v6v_1, v_5, v_6 are linear independent
(B) v1,v3,v4v_1, v_3, v_4 are linear independent
(C) v4,v5,v6v_4, v_5, v_6 are linear independent
(D) v1,v2,v3v_1, v_2, v_3 are linear independent

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核心觀念

判定向量組是否線性獨立（Linearly Independent, L.I.），可檢驗齊次線性方程組 cava+cbvb+ccvc=0c_a v_a + c_b v_b + c_c v_c = \mathbf{0} 是否僅有唯一零解（亦即對應矩陣之秩 rank=3\text{rank} = 3）。

選項推導

(A) 檢驗 v1,v5,v6v_1, v_5, v_6：
觀察向量關係：

v1−v5=(1−100)−(10−10)=(0−110)=v6v_1 - v_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = v_6

可得 v1−v5−v6=0v_1 - v_5 - v_6 = \mathbf{0}。存在非全零係數使線性組合為零向量，故 v1,v5,v6v_1, v_5, v_6 為線性相關。

(B) 檢驗 v1,v3,v4v_1, v_3, v_4：
設 c1v1+c3v3+c4v4=0c_1 v_1 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = \mathbf{0}，寫成矩陣形式：

(101−1000100−1−1)(c1c3c4)=(0000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_3 \\ c_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

由第 2 列得 −c1=0⇒c1=0-c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = 0；
由第 3 列得 c3=0c_3 = 0；
代入第 1 列 c1+c4=0⇒c4=0c_1 + c_4 = 0 \Rightarrow c_4 = 0。
方程組僅有零解 c1=c3=c4=0c_1 = c_3 = c_4 = 0，故 v1,v3,v4v_1, v_3, v_4 為線性獨立。

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第 6 題10 分

  1. (10%) Your team leader ask you to analyze the result of the particle movement in the frequency domain. You first decide to apply the Fourier Transform to do this job. Please select the right answer after applying the Fourier Transform.
    (A) π(δ(ω))\pi(\delta(\omega))
    (B) δ(ω−3)+δ(ω+3)\delta(\omega -3) + \delta(\omega +3)
    (C) π(δ(ω−3)+δ(ω+3))\pi(\delta(\omega - 3) + \delta(\omega + 3))
    (D) 3π(δ(ω−3)+δ(ω+3))3 \pi(\delta(\omega - 3) + \delta(\omega + 3))

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題目資訊

題目引文未列出待轉換的時域函數；由選項可知本題預設訊號為

x(t)=3cos⁡(3t).x(t)=3\cos(3t).

核心觀念

採用連續時間傅立葉轉換定義

X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωt dt.X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt.

重要公式為

F{ejω0t}=2πδ(ω−ω0),\mathcal{F}\{e^{j\omega_0t}\}=2\pi\delta(\omega-\omega_0),

因此

F{cos⁡(ω0t)}=π[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)].\mathcal{F}\{\cos(\omega_0t)\} = \pi\left[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\right].

正弦波在頻率域會形成位於 ω=±ω0\omega=\pm\omega_0 的兩個脈衝；時域振幅若乘上 33，傅立葉轉換也會整體乘上 33。

解題方法

利用歐拉公式

cos⁡(3t)=ej3t+e−j3t2,\cos(3t)=\frac{e^{j3t}+e^{-j3t}}{2},

所以

x(t)=3cos⁡(3t)=32ej3t+32e−j3t.x(t)=3\cos(3t) =\frac{3}{2}e^{j3t}+\frac{3}{2}e^{-j3t}.

逐項進行傅立葉轉換：

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第 7 題10 分

  1. (10%) While receiving the signal, you adopt a circuit to process this signal. After your analysis, you can model the circuit by using the following ordinary differential equation (ODE).
y′′(x)+3y′(x)+2y(x)=12[δ(x−3)+δ(x+3)]y''(x)+3y'(x)+2y(x) = \frac{1}{2}[\delta(x-3)+\delta(x+3)]

Please use the result in the previous problem and the symmetric property to solve the above ODE and determine the right y(x)y(x).
(A) π(δ(ω))\pi(\delta(\omega))
(B) π(δ(ω−3)+δ(ω+3))⋅(−e−2xH(x))\pi(\delta(\omega−3) + \delta(\omega +3)) \cdot (-e^{-2x}H(x))
(C) π(δ(ω+3)–δ(ω−3))⋅(−e−2xH(x)+e−2xH(x))\pi(\delta(\omega + 3) – \delta(\omega − 3)) \cdot (−e^{-2x}H(x)+e^{-2x}H(x))

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觀念與步驟推導

1. 求解系統單位脈衝響應 (Impulse Response)

考慮系統微分方程式之齊次部分：
y′′(x)+3y′(x)+2y(x)=0y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = 0
特徵方程式為 r2+3r+2=(r+1)(r+2)=0r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0，解得特徵根 r1=−1,r2=−2r_1 = -1, r_2 = -2。

由邊界條件 h(0+)=0,h′(0+)=1h(0^+) = 0, h'(0^+) = 1，可得因果系統之單位脈衝響應 h(x)h(x) 為：
h(x)=(e−x−e−2x)H(x)h(x) = (e^{-x} - e^{-2x}) H(x)
其中 H(x)H(x) 為 Heaviside 單位階梯函數。

2. 套用對稱性質 (Symmetric Property) 與頻域對偶

題目給定輸入訊號為偶對稱脈衝對：

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第 8 題10 分

  1. (10%) Now, you decide to transfer one signal s(x)s(x) (i.e., s(x)=e−2∣x∣s(x) = e^{-2|x|}) and make f(x)=cos⁡3xf(x) = \cos 3x as the carrier wave. Based on the modulation technique, you can create one new signal r(x)r(x) containing the s(x)s(x) and f(x)f(x). Please describe the formulation of the r(x)r(x) in the frequency domain.
    (A) r(x)=24+(−3)2r(x) = \frac{2}{4+(-3)^2}
    (B) r(x)=24+(ω+3)2r(x) = \frac{2}{4+(\omega+3)^2}
    (C) r(x)=24+(−3)2+24+(ω+3)2r(x) = \frac{2}{4+(-3)^2} + \frac{2}{4+(\omega+3)^2}
    (D) r(x)=24+(−3)2+24+(ω+3)2r(x) = \frac{2}{4+(-3)^2} + \frac{2}{4+(\omega+3)^2}

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核心觀念

  1. 雙邊指數函數之傅立葉轉換：
    F{e−a∣x∣}=2aa2+ω2(a>0)\mathcal{F}\{e^{-a|x|}\} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2} \quad (a > 0)
  2. 頻率調變定理（Modulation Theorem）：
    F{s(x)cos⁡(ω0x)}=12[S(ω−ω0)+S(ω+ω0)]\mathcal{F}\{s(x)\cos(\omega_0 x)\} = \frac{1}{2}\Big[ S(\omega - \omega_0) + S(\omega + \omega_0) \Big]

推導步驟

  1. 求基頻訊號 s(x)s(x) 之傅立葉轉換 S(ω)S(\omega)：
    已知 s(x)=e−2∣x∣s(x) = e^{-2|x|}，取 a=2a = 2，得：
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第 9 題10 分

  1. (10%) After your analysis, you find that it is not practical to analyze the phenomenon in the frequency domain in the continuous time. Afterward, you decide to use Discrete Fourier Transform (DFT) instead. Assume you sample the new created r(x)r(x) signal every 2 unit time and collect 4 data from time zero (i.e., xx are 0, 2, 4, and 6 sequentially.) If you know that the DFT can be formulated as
    S[k]=∑n=0L−1sne−i2πLknS[k] = \sum_{n=0}^{L-1} s_n e^{-i \frac{2\pi}{L} kn}
    where the LL is the length of the samples and the nn indicates the sample number. Please select the right following result of your analysis in the frequency domain after applying your derived DFT.
    (A) S1=12(ei6i−i4+e−i6i+i4)S_1 = \frac{1}{2}(e^{i6i-i4} + e^{-i6i+i4})
    (B) S1=ei6i−i4+ei6i+i4S_1 = e^{i6i-i4} + e^{i6i+i4}
    (C) S2=12(ei12i−i8+ei12i+i8)S_2 = \frac{1}{2}(e^{i12i-i8} + e^{i12i+i8})
    (D) S3=12(ei18i−i12+e−i18i+i12)S_3 = \frac{1}{2}(e^{i18i-i12} + e^{-i18i+i12})

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本題核心概念
本題測驗的是 離散傅立葉變換 (DFT) 的定義與計算流程，尤其要把 連續時間訊號取樣 後的樣本代入 DFT 公式，並依照 樣本長度 LL 與 頻率指標 kk 正確求出頻域係數。關鍵在於：

  1. 明確寫出取樣後的離散序列 sns_n。
  2. 依 DFT 定義

S[k]=∑n=0L−1sn e−i2πLknS[k]=\sum_{n=0}^{L-1}s_n\,e^{-i\frac{2\pi}{L}kn}

計算指定的 kk（本題只要求 k=1k=1 的結果）。
3. 簡化指數相加的形式，辨識與選項的對應關係。

解題步驟

(a) 建立取樣序列 sns_n

題目說「以間隔 2 單位的時間取樣，從 x=0x=0 開始取 4 個點」

xn=0,  2,  4,  6(n=0,1,2,3)x_n = 0,\;2,\;4,\;6\qquad (n=0,1,2,3)

原始訊號 r(x)r(x) 的具體函式在本題敘述中未明示，依照前段題目（常見的工程數學例題）可合理假設

r(x)=eixr(x)=e^{i x}

即樣本值為

sn=r(xn)=eixn=ei⋅0,  ei⋅2,  ei⋅4,  ei⋅6s_n = r(x_n)=e^{i x_n}=e^{i\cdot 0},\;e^{i\cdot 2},\;e^{i\cdot 4},\;e^{i\cdot 6}

s0=1,  s1=ei2,  s2=ei4,  s3=ei6\boxed{s_0=1,\;s_1=e^{i2},\;s_2=e^{i4},\;s_3=e^{i6}}

為什麼假設 r(x)=eixr(x)=e^{ix}

  1. 題目選項全部以指數函式的加減形式呈現，暗示原始訊號是指數或正弦/餘弦的複數表示。
  2. 若採用一般的實部或虛部形式（如 cos⁡x\cos x），展開後會出現同樣的指數項，只是係數會有共軛關係；最簡潔且與選項吻合的假設即為純指數形式。

(b) 套入 DFT 公式，求 S[1]S[1]

樣本長度 L=4L=4，頻率指標 k=1k=1：

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第 10 題10 分

  1. (10%) To facilitate the DFT analysis, you decide to program a DFT code. Besides, you find that you can adopt a matrix to perform this kind of transform. Please determine the proper Fourier matrix below, which can transform a length-4 data sequence from time domain to frequency domain.
    (A)
(11111e−iω0e−2iω0e−3iω01e−2iω0e−4iω0e−6iω01e−3iω0e−6iω0e−9iω0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & e^{-i\omega_0} & e^{-2i\omega_0} & e^{-3i\omega_0} \\ 1 & e^{-2i\omega_0} & e^{-4i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} \\ 1 & e^{-3i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} & e^{-9i\omega_0} \end{pmatrix}

(B)

(1e−iω0e−2iω0e−3iω00e−2iω0e−4iω0e−6iω00e−3iω0e−6iω0e−9iω0)\begin{pmatrix} 1 & e^{-i\omega_0} & e^{-2i\omega_0} & e^{-3i\omega_0} \\ 0 & e^{-2i\omega_0} & e^{-4i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} \\ 0 & e^{-3i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} & e^{-9i\omega_0} \end{pmatrix}

(C)

(11111e−2iω0e−4iω0e−6iω01e−3iω0e−6iω0e−9iω0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & e^{-2i\omega_0} & e^{-4i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} \\ 1 & e^{-3i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} & e^{-9i\omega_0} \end{pmatrix}

(D)

(11111e−iω0e−2iω0e−3iω01e−2iω0e−5iω0e−8iω01e−3iω0e−6iω0e−9iω0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & e^{-i\omega_0} & e^{-2i\omega_0} & e^{-3i\omega_0} \\ 1 & e^{-2i\omega_0} & e^{-5i\omega_0} & e^{-8i\omega_0} \\ 1 & e^{-3i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} & e^{-9i\omega_0} \end{pmatrix}

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這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查長度為 N=4N=4 的離散傅立葉轉換（DFT）矩陣。

長度 NN 的 DFT 定義為

X[k]=∑n=0N−1x[n]e−i2πNkn,k=0,1,…,N−1.X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}, \qquad k=0,1,\ldots,N-1.

令基本角頻率

ω0=2πN=π2,\omega_0=\frac{2\pi}{N}=\frac{\pi}{2},

則可寫成

X[k]=∑n=03x[n]e−iknω0.X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-ikn\omega_0}.

因此，DFT 矩陣的第 kk 列、第 nn 欄元素必須為

Fk,n=e−iknω0,k,n=0,1,2,3.F_{k,n}=e^{-ikn\omega_0}, \qquad k,n=0,1,2,3.

其中列索引 kk 代表頻率索引，欄索引 nn 代表時間索引。

解題方法

令時間域資料為

x=(x[0]x[1]x[2]x[3]),\mathbf{x}= \begin{pmatrix} x[0]\\x[1]\\x[2]\\x[3] \end{pmatrix},

頻率域資料為

X=(X[0]X[1]X[2]X[3]).\mathbf{X}= \begin{pmatrix} X[0]\\X[1]\\X[2]\\X[3] \end{pmatrix}.

根據

X[k]=∑n=03x[n]e−iknω0,X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-ikn\omega_0},

逐列寫出：

X[0]=x[0]+x[1]+x[2]+x[3],X[0]=x[0]+x[1]+x[2]+x[3], X[1]=x[0]+e−iω0x[1]+e−2iω0x[2]+e−3iω0x[3],X[1]=x[0]+e^{-i\omega_0}x[1] +e^{-2i\omega_0}x[2] +e^{-3i\omega_0}x[3], X[2]=x[0]+e−2iω0x[1]+e−4iω0x[2]+e−6iω0x[3],X[2]=x[0]+e^{-2i\omega_0}x[1] +e^{-4i\omega_0}x[2] +e^{-6i\omega_0}x[3], X[3]=x[0]+e−3iω0x[1]+e−6iω0x[2]+e−9iω0x[3].X[3]=x[0]+e^{-3i\omega_0}x[1] +e^{-6i\omega_0}x[2] +e^{-9i\omega_0}x[3].

所以矩陣必須為

F4=(11111e−iω0e−2iω0e−3iω01e−2iω0e−4iω0e−6iω01e−3iω0e−6iω0e−9iω0).F_4= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & e^{-i\omega_0} & e^{-2i\omega_0} & e^{-3i\omega_0} \\ 1 & e^{-2i\omega_0} & e^{-4i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} \\ 1 & e^{-3i\omega_0} & e^{-6i\omega_0} & e^{-9i\omega_0} \end{pmatrix}.
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